信号与系统
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电子教案 2009-7-29第 八 章 系统状态变量分析
8.1 状态变量与状态方程一、状态变量与状态方程二、动态方程的一般形式
8.2 状态方程的建立一、电路状态方程的列写二,由输入 -输出方程建立状态方程
8.3 离散系统状态方程的建立
8.4 连续系统状态方程的解
8.5 离散系统状态方程的解点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案 2009-7-29
第 八 章 系统状态变量分析前面的分析方法称为 外部法,它强调用 系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性 。其特点：
（ 1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；
（ 2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制 。
本章将介绍的 内部法 ——状态变量法 是用 n个状态变量的 一阶微分或差分方程组（状态方程） 来描述系统。优点有,（ 1）提供系统的内部特性以便研究。
（ 2）便于分析多输入多输出系统；
（ 3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于时变系统和非线性系统。
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电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程
8.1 状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
R 1 R 2L 1 L 2i L 1 i L 2
i C
u Cu s 1 u s 2
a
u
以 u(t)和 iC(t)为输出若还想了解内部三个变量 uC(t),iL1(t),iL2(t)
的变化情况。
这时可列出方程
0dd 12 LLC iituC
a
0dd 11111 SCLL uutiLiR
0dd 22222 CSLL uuiRtiL
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
21
11
d
d
11
d
d
11
d
d
SLC
L
SLC
L
LL
C
u
L
i
L
R
u
Lt
i
u
L
i
L
R
u
Lt
i
i
C
i
Ct
u
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电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
21
11
d
d
11
d
d
11
d
d
SLC
L
SLC
L
LL
C
u
L
i
L
R
u
Lt
i
u
L
i
L
R
u
Lt
i
i
C
i
Ct
u
R 1 R 2L 1 L 2i L 1 i L 2
i C
u Cu s 1 u s 2
a
u
这是由三个内部变量 uC(t),iL1(t)和 iL2(t)构成的一阶微分方程组。
若初始值 uC(t0),iL1(t0)和 iL2(t0)已知，则根据 t≥t0时的给定激励 uS1(t)和 uS2(t)就可惟一地确定在 t≥t0时的解
uC(t),iL1(t)和 iL2(t)。
)()()(
)()()(
21
222
tititi
tutiRtu
LLC
SL
系统的输出容易地由三个内部变量和激励求出,一组代数方程信号与系统
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电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程状态与状态变量的定义系统在某一时刻 t0的 状态 是指表示该系统 所必需最少 的一组数值，已知这组数值和 t≥t0时系统的激励，
就能完全确定 t≥t0时系统的全部工作情况。
状态变量 是描述状态随时间 t 变化的一组变量，
它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的 状态 。
对 n阶动态系统需有 n个独立的状态变量，通常用
x1(t),x2(t),…,xn(t)表示。
说明 （ 1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合； （ 2）状态变量应线性独立；
（ 3）状态变量的选择并不是唯一的 。
在初始时刻的值称为 初始状态 。
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电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下,用状态变量分析系统时，
一般分 两步 进行：
（ 1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；
（ 2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系统输出。
状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该一阶微分方程组称为 状态方程 。
状态方程 描述了 状态变量的一阶导数与状态变量和激励 之间的关系 。 而描述 输出 与状态变量和激励之间关系的一组 代数方程 称为 输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为 动态方程 或 系统方程 。
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电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程对于一般的 n阶多输入 -多输出 LTI连续系统，如图 。
{ x i( t 0 )}
f 1 ( t )
f 2 ( t )
f p ( t )
y 1 ( t )
y 2 ( t )
y q ( t )
┇ ┇
其状态方程和输出方程为
pnpnnnnnnnn
ppnn
ppnn
fbfbfbxaxaxax
fbfbfbxaxaxax
fbfbfbxaxaxax
22112211
222212122221212
121211112121111
pqpqqnqnqqq
ppnn
ppnn
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
22112211
222212122221212
121211112121111
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电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程写成矩阵形式：
状态方程 )()()( ttt BfAxx
输出方程 )()()( ttt DfCxy
其中 A为 n× n方阵，称为 系统矩阵,
B为 n× p矩阵，称为 控制矩阵,
C为 q× n矩阵，称为 输出矩阵,D为 q× p矩阵对 离散系统,类似状态方程
)()()1( kkk BfAxx
输出方程 )()()( kkk DfCxy
状态变量分析的 关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立
8.2 连续系统状态方程的建立一、由电路图直接建立状态方程首先选择状态变量 。
通常选 电容电压 和 电感电流 为状态变量。
必须保证所选状态变量为 独立的电容电压和独立的电感电流 。
( a ) 任选两个电容电压独立
( b ) 任选一个电容电压独立
( c ) 任选两个电感电流独立
( d ) 任选一个电感电流独立
u C1
u C2 u C3
u C1
u C2u s
i L1 i L2
i L3
i L2
i L1
i s
四种非独立的电路结构信号与系统
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立状态方程 的建立：
根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。
由于
t
uCi C
C d
d? tiLu LL dd?
为使方程中含有状态变量 uC的一阶导数,
可对接有 该电容的独立结点 列写 KCL电流方程；
为使方程中含有状态变量 iL的一阶导数,
可对含有 该电感的独立回路 列写 KVL电压方程。
对列出的方程，只 保留状态变量和输入激励,设法 消去其它中间的变量,经整理即可给出 标准的状态方程 。
对于 输出方程,通常可用 观察法 由电路直接列出。
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：
（ 1）选电路中所有 独立的电容电压和电感电流作为状态变量 ；
（ 2）对 接有所选电容的独立结点列出 KCL电流方程，
对 含有所选电感的独立回路列写 KVL电压方程；
（ 3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的 KCL,KVL方程 将它们消去,
然后整理给出 标准的状态方程形式 ；
（ 4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立例,电路如图，以电阻 R1上的电压 uR1和电阻 R2上的电流 iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。
u C
i L
u R1
i R2
u S1 u S2
L
C
R 1 R 2a
解 选状态变量
x1(t) = iL(t),x2(t) = uC(t)
L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) x?
a
C 2(t) + iR2(t) = x1(t) x?
消去 iR2(t),列右网孔 KVL方程,R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0
代入整理得
)(
)(
1
0
0
1
)(
)(
11
1
)(
)(
2
1
2
2
1
2
1
2
1
tu
tu
CR
L
tx
tx
CRC
LL
R
tx
tx
s
s
输出方程：
uR1(t) = R1x1(t)
)(
)(1
0
00
)(
)(
1
0
0
)(
)(
2
1
2
2
1
2
1
2
1
tu
tu
Rtx
tx
R
R
ti
tu
s
s
R
R
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立二、由输入 -输出方程建立状态方程这里需要解决的问题是,
已知系统的外部描述（ 输入 -输出方程、系统函数、
模拟框图、信号流图 等）；如何写出其状态方程及输出方程。
具体方法：
（ 1）由系统的 输入 -输出方程 或 系统函数,首先 画出其 信号流图 或 框图 ；
（ 2）选 一阶子系统 (积分器）的 输出 作为 状态变量 ；
（ 3）根据每个 一阶子系统 的 输入输出关系 列状态方程；
（ 4）在 系统的输出端 列输出方程。
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立例 1 某系统的微分方程为
y?(t) + 3 y?(t) + 2y(t) = 2 f?(t) +8 f (t)
试求该系统的状态方程和输出方程。
解 由微分方程不难写出其系统函数
23
)4(2)(
2
ss
ssH
方法一,画出直接形式的信号流图
1?
s
1?
s1
-3
-2
2
8
f ( t )
y ( t )
设状态变量 x1(t),x2(t)
x1x2
由后一个积分器，有
21 xx
fxxx 212 32?
由前一个积分器，有系统输出端，有 y(t) =8 x1+2 x2
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立方法二,
2
2
1
4
23
)4(2)(
2
ss
s
ss
ssH
画出串联形式的信号流图
1?s
-1
f ( t )
1
1 4
1?s
y ( t )
-2
21设状态变量 x1(t),x2(t) x
2x1
fxx 11?
设中间变量 y1(t)
y1
fxxxy 1111 34?
1x? 2x?
fxxxyx 21212 232?
系统输出端，有
y(t) =2 x2 ][
1
1
23
01
2
1
2
1 f
x
x
x
x
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立方法三,
2
4
1
6
23
)4(2)(
2?
ssss
ssH
画出并联形式的信号流图
1?
s
-1
1 6
1?s
-2
-41
f(t) y(t)
设状态变量 x1(t),x2(t) x
1
x2
1x?
fxx 11?
2x?
fxx 22 2?
][
1
1
20
01
2
1
2
1 f
x
x
x
x
系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2
可见 H(s)相同的系统，
状态变量的选择并不唯一。
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立例 2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。
f ( t )
1
1
s 2
4
s
s
3
1
s
∑
y 1 ( t )
y 2 ( t )
x 2 ( t )x 1 ( t )
x 3 ( t )
解 对三个一阶系统
211 yxx
其中,y2= f - x3
fxxx 311?
1122 42 xxxx fxx 313
fxxxx 3212 23?
233 3 xxx 323
3 xxx
输出方程
y1(t) = x2
y2(t) = -x3 + f
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立三、由状态方程列输入 -输出方程例 3 已知某系统的动态方程如下，列出描述 y(t)
与 f(t)之间的微分方程。? )(01)(
)]([
1
1
)(
03
14
)(
tty
tftt
x
xx
解法一 由输出方程得 y(t)=x1(t)
y?(t)=x1?(t) = – 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)
y?(t)=– 4 x1?(t) + x2?(t)+ f?(t)
=–4[–4 x1(t) + x2(t)+ f (t)] + [–3 x1(t) + f (t)] + f?(t)
=13 x1(t) –4x2(t) –3 f (t) + f?(t)
y?+a y?+ by=(13 –4a +b) x1+(–4+a) x2+ f?(t) +(a–3) f (t)
a=4,b=3 y?+4 y?+ 3y= f?(t) + f (t)
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立解法二 对方程取拉氏变换，
零状态。 )]([11)(03 14)( tftt xx?
)(11)(03 14)( sFsss?
XX
)(11)()03 14( sFss?
XI )(
1
1)
03
14()( 1 sFss
IX
)(01)( ssY X?
)(
1
1
)
03
14
(01)( 1 sFssY?
I
信号与系统
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立
1
1
)
03
14
(01
)(
)()( 1Is
sF
sYsH
34
43
1
3
14
)
03
14
(
2
1
1
ss
s
s
s
s
s I
34
1
34
1
1
1
1
1
34
43
1
01)(
222
ss
s
ss
s
ss
s
s
sH
y?+4 y?+ 3y= f?(t) + f (t)
信号与系统
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电子教案 2009-7-298.3 离散 系统状态方程的建立
8.3 离散 系统状态方程的建立与连续系统类似，具体方法为：
（ 1）由系统的 输入 -输出方程 或 系统函数,首先 画出其信号流图 或 框图 ；
（ 2）选 一阶子系统 (迟延器）的 输出 作为 状态变量 ；
（ 3）根据每个 一阶子系统 的 输入输出关系 列状态方程；
（ 4）在 系统的输出端 列输出方程。
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电子教案 2009-7-298.3 离散 系统状态方程的建立例 1,某离散系统的差分方程为
y(k) + 2y(k –1) –y(k –2) = f(k –1) –f(k –2)
列出其动态方程。
解,不难写出系统函数
21
21
21
)(
zz
zzzH
画信号流图：
1
-2
1
-1
y ( k )
1?
z
1?
z
1
f ( k )
设状态变量 x1 (k),x2 (k),
x1x2x1(k+1)=x2 (k),
x2(k+1)
x2(k+1)= x1 (k) –2x2(k) + f(k),
输出方程 y (k)=–x1 (k) + x2(k)
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电子教案 2009-7-298.3 离散 系统状态方程的建立例 2 某离散系统有两个输入 f1(k),f2(k)和两个输出 y1(k)、
y2(k)，其信号流图如图示。列写该系统的状态方程和输出方程。
3
1
z
2
1
z
z
-1
x 1 ( k )x 2 ( k )
x 3 ( k )
p 1 ( k )
p 2 ( k )
-1
-2
-1
1
1
1
1
2
2
-1
3
a
b
c
d
y 1 ( k )
y 2 ( k )
f 1 ( k )
f 2 ( k )解 p1(k) = 2x1(k) +2x3(k)
p2(k) =3p1(k)-x3(k) +f2(k)
= 6x1(k) +5x3(k) + f2(k)
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电子教案 2009-7-298.3 离散 系统状态方程的建立
)(
)(
10
11
00
)(
)(
)(
706
527
013
)1(
)1(
)1(
2
1
3
2
1
3
2
1
kf
kf
kx
kx
kx
kx
kx
kx
)(
)(
)(
202
001
)(
)(
3
2
1
2
1
kx
kx
kx
ky
ky
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电子教案 2009-7-298.4 连续状态方程的求解
8.4 连续系统状态方程的求解状态方程和输出方程的一般形式为 )()()( ttt BfAxx
)()()( ttt DfCxy用拉普拉斯变换法求解状态方程
sX(s) -x(0-) = A X(s) + BF(s) ( sI -A )X(s) = x(0-) +BF(s)
X(s)=(sI -A )-1x(0-) +(sI -A )-1BF(s)=Φ(s)x(0-) +Φ(s)BF(s)
式中 Φ(s) = ( sI -A )-1常称为预解矩阵 。
Y(s) = CX(s) +DF(s)
Yx(s) = CΦ(s)x(0-) Yf(s) = [CΦ(s)B +D ] F(s)
H(s) = [CΦ(s)B +D ]
Φ(s)的极点就是 H(s)的极点,即 | sI-A|=0的根。
=CΦ(s)x(0-) +[ CΦ(s)B +D ] F(s)
信号与系统
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电子教案 2009-7-298.4 连续状态方程的求解例 1 描述 LTI因果系统的状态方程和输出方程为
)]([10)( )(41 21)( )(
2
1
2
1 tf
tx
tx
tx
tx
)(]1[
)(
)(11)(
2
1 tf
tx
txty?
解
41
21
41
21
10
01)(
s
sss AI
)d e t (
)a d j()()( 1
AI
AIAI
s
sssΦ
11
24
)3)(2(
1
s
s
ss
X(s) = Φ(s)[x(0-) +BF(s)]
]1[1
0
2
3
11
24
)3)(2(
1
s
s
ss
起始状态 x1(0-)=3,x2(0-)=2，输入 f(t) =δ(t)。求状态变量和输出。并判断该系统是否稳定。
2
6
3
9
3
9
2
12
)3)(2(
3
)3)(2(
)6(3
ss
ss
ss
s
ss
s
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电子教案 2009-7-298.4 连续状态方程的求解
y(t) = [1 1]x(t) + f(t) =
)(
e6e9
e9e12)(
23
32
tt tt
tt
x
)()(
e6e9
e9e1211
23
32
tttt
tt
=δ(t)+ 6e-2tε(t)
由于 H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。
H(s)的极点就是 |sI-A|=0的根。 |sI-A|=(s+2)(s+3)
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电子教案 2009-7-298.5 离散状态方程的求解
8.5 离散系统状态方程的求解
)()()1( kkk BfAxx )()()( kkk DfCxy
用 Z变换法求解状态方程 取单边 z变换,
zX(z)-zx(0) = AX(z)+BF(z) Y(z) = CX(z)+DF(z)
X(z) = (zI-A)-1zx(0) +(zI-A)-1BF(z)
设 Φ(z)= (zI-A)-1 z X(z) = Φ(z)x(0) +z-1Φ(z)BF(z)
Y(z) = CΦ(z)x(0)+[Cz-1Φ(z)B+D]F(z)
yx(k) =Z-1[CΦ(z) x(0) ],yf(k) =Z -1[( Cz-1Φ(z)B+D )F(z)]
H(z)=[Cz-1Φ(z)B+D]
Φ(z)的极点就是 H(z)的极点,即 | zI-A|=0的根。
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电子教案 2009-7-298.5 离散状态方程的求解例 已知某离散因果系统的状态方程和输出方程分别为
)(10)( )(56 10)1( )1(
2
1
2
1 kf
kx
kx
kx
kx
)(
)(
12
11
)(
)(
2
1
2
1
kx
kx
ky
ky
初始状态为
21)0( )0(
2
1
x
x
，激励 f(k)=ε(k)。求状态方程的解和系统的输出。
解 Φ(z)=[zI-A]-1z=
)3)(2()3)(2(
6
)3)(2()3)(2(
5
2
2
zz
z
zz
z
zz
z
zz
zz
X(z)=Φ(z)[x(0)+z-1BF(z)]=
3
2
3
1
2
1
3
2
1
1
2
1
)3)(1(
)32(
)3)(1(
)2(
z
z
z
z
z
z
z
z
zz
zz
zz
zz
)(
])3(31[
2
1
])3(1[
2
1
)( kk
k
k
x
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-30页 ■
电子教案 2009-7-298.5 离散状态方程的求解
)(
])3(31[
2
1
])3(1[
2
1
12
11
)(
)(
12
11
)(
)(
2
1
2
1
k
kx
kx
ky
ky
k
k
)(
])3(1[
2
1
)3(21
kk
k
信号与系统
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电子教案 2009-7-29
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-1页 ■
电子教案 2009-7-29第 八 章 系统状态变量分析
8.1 状态变量与状态方程一、状态变量与状态方程二、动态方程的一般形式
8.2 状态方程的建立一、电路状态方程的列写二,由输入 -输出方程建立状态方程
8.3 离散系统状态方程的建立
8.4 连续系统状态方程的解
8.5 离散系统状态方程的解点击目录,进入相关章节信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-2页 ■
电子教案 2009-7-29
第 八 章 系统状态变量分析前面的分析方法称为 外部法,它强调用 系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性 。其特点：
（ 1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；
（ 2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制 。
本章将介绍的 内部法 ——状态变量法 是用 n个状态变量的 一阶微分或差分方程组（状态方程） 来描述系统。优点有,（ 1）提供系统的内部特性以便研究。
（ 2）便于分析多输入多输出系统；
（ 3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于时变系统和非线性系统。
信号与系统
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电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程
8.1 状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
R 1 R 2L 1 L 2i L 1 i L 2
i C
u Cu s 1 u s 2
a
u
以 u(t)和 iC(t)为输出若还想了解内部三个变量 uC(t),iL1(t),iL2(t)
的变化情况。
这时可列出方程
0dd 12 LLC iituC
a
0dd 11111 SCLL uutiLiR
0dd 22222 CSLL uuiRtiL
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
21
11
d
d
11
d
d
11
d
d
SLC
L
SLC
L
LL
C
u
L
i
L
R
u
Lt
i
u
L
i
L
R
u
Lt
i
i
C
i
Ct
u
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-4页 ■
电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
21
11
d
d
11
d
d
11
d
d
SLC
L
SLC
L
LL
C
u
L
i
L
R
u
Lt
i
u
L
i
L
R
u
Lt
i
i
C
i
Ct
u
R 1 R 2L 1 L 2i L 1 i L 2
i C
u Cu s 1 u s 2
a
u
这是由三个内部变量 uC(t),iL1(t)和 iL2(t)构成的一阶微分方程组。
若初始值 uC(t0),iL1(t0)和 iL2(t0)已知，则根据 t≥t0时的给定激励 uS1(t)和 uS2(t)就可惟一地确定在 t≥t0时的解
uC(t),iL1(t)和 iL2(t)。
)()()(
)()()(
21
222
tititi
tutiRtu
LLC
SL
系统的输出容易地由三个内部变量和激励求出,一组代数方程信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-5页 ■
电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程状态与状态变量的定义系统在某一时刻 t0的 状态 是指表示该系统 所必需最少 的一组数值，已知这组数值和 t≥t0时系统的激励，
就能完全确定 t≥t0时系统的全部工作情况。
状态变量 是描述状态随时间 t 变化的一组变量，
它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的 状态 。
对 n阶动态系统需有 n个独立的状态变量，通常用
x1(t),x2(t),…,xn(t)表示。
说明 （ 1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合； （ 2）状态变量应线性独立；
（ 3）状态变量的选择并不是唯一的 。
在初始时刻的值称为 初始状态 。
信号与系统
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电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下,用状态变量分析系统时，
一般分 两步 进行：
（ 1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；
（ 2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系统输出。
状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该一阶微分方程组称为 状态方程 。
状态方程 描述了 状态变量的一阶导数与状态变量和激励 之间的关系 。 而描述 输出 与状态变量和激励之间关系的一组 代数方程 称为 输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为 动态方程 或 系统方程 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-7页 ■
电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程对于一般的 n阶多输入 -多输出 LTI连续系统，如图 。
{ x i( t 0 )}
f 1 ( t )
f 2 ( t )
f p ( t )
y 1 ( t )
y 2 ( t )
y q ( t )
┇ ┇
其状态方程和输出方程为
pnpnnnnnnnn
ppnn
ppnn
fbfbfbxaxaxax
fbfbfbxaxaxax
fbfbfbxaxaxax
22112211
222212122221212
121211112121111
pqpqqnqnqqq
ppnn
ppnn
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
22112211
222212122221212
121211112121111
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-8页 ■
电子教案 2009-7-298.1 状态变量与状态方程写成矩阵形式：
状态方程 )()()( ttt BfAxx
输出方程 )()()( ttt DfCxy
其中 A为 n× n方阵，称为 系统矩阵,
B为 n× p矩阵，称为 控制矩阵,
C为 q× n矩阵，称为 输出矩阵,D为 q× p矩阵对 离散系统,类似状态方程
)()()1( kkk BfAxx
输出方程 )()()( kkk DfCxy
状态变量分析的 关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-9页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立
8.2 连续系统状态方程的建立一、由电路图直接建立状态方程首先选择状态变量 。
通常选 电容电压 和 电感电流 为状态变量。
必须保证所选状态变量为 独立的电容电压和独立的电感电流 。
( a ) 任选两个电容电压独立
( b ) 任选一个电容电压独立
( c ) 任选两个电感电流独立
( d ) 任选一个电感电流独立
u C1
u C2 u C3
u C1
u C2u s
i L1 i L2
i L3
i L2
i L1
i s
四种非独立的电路结构信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-10页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立状态方程 的建立：
根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。
由于
t
uCi C
C d
d? tiLu LL dd?
为使方程中含有状态变量 uC的一阶导数,
可对接有 该电容的独立结点 列写 KCL电流方程；
为使方程中含有状态变量 iL的一阶导数,
可对含有 该电感的独立回路 列写 KVL电压方程。
对列出的方程，只 保留状态变量和输入激励,设法 消去其它中间的变量,经整理即可给出 标准的状态方程 。
对于 输出方程,通常可用 观察法 由电路直接列出。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-11页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：
（ 1）选电路中所有 独立的电容电压和电感电流作为状态变量 ；
（ 2）对 接有所选电容的独立结点列出 KCL电流方程，
对 含有所选电感的独立回路列写 KVL电压方程；
（ 3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的 KCL,KVL方程 将它们消去,
然后整理给出 标准的状态方程形式 ；
（ 4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-12页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立例,电路如图，以电阻 R1上的电压 uR1和电阻 R2上的电流 iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。
u C
i L
u R1
i R2
u S1 u S2
L
C
R 1 R 2a
解 选状态变量
x1(t) = iL(t),x2(t) = uC(t)
L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) x?
a
C 2(t) + iR2(t) = x1(t) x?
消去 iR2(t),列右网孔 KVL方程,R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0
代入整理得
)(
)(
1
0
0
1
)(
)(
11
1
)(
)(
2
1
2
2
1
2
1
2
1
tu
tu
CR
L
tx
tx
CRC
LL
R
tx
tx
s
s
输出方程：
uR1(t) = R1x1(t)
)(
)(1
0
00
)(
)(
1
0
0
)(
)(
2
1
2
2
1
2
1
2
1
tu
tu
Rtx
tx
R
R
ti
tu
s
s
R
R
信号与系统
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电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立二、由输入 -输出方程建立状态方程这里需要解决的问题是,
已知系统的外部描述（ 输入 -输出方程、系统函数、
模拟框图、信号流图 等）；如何写出其状态方程及输出方程。
具体方法：
（ 1）由系统的 输入 -输出方程 或 系统函数,首先 画出其 信号流图 或 框图 ；
（ 2）选 一阶子系统 (积分器）的 输出 作为 状态变量 ；
（ 3）根据每个 一阶子系统 的 输入输出关系 列状态方程；
（ 4）在 系统的输出端 列输出方程。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-14页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立例 1 某系统的微分方程为
y?(t) + 3 y?(t) + 2y(t) = 2 f?(t) +8 f (t)
试求该系统的状态方程和输出方程。
解 由微分方程不难写出其系统函数
23
)4(2)(
2
ss
ssH
方法一,画出直接形式的信号流图
1?
s
1?
s1
-3
-2
2
8
f ( t )
y ( t )
设状态变量 x1(t),x2(t)
x1x2
由后一个积分器，有
21 xx
fxxx 212 32?
由前一个积分器，有系统输出端，有 y(t) =8 x1+2 x2
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-15页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立方法二,
2
2
1
4
23
)4(2)(
2
ss
s
ss
ssH
画出串联形式的信号流图
1?s
-1
f ( t )
1
1 4
1?s
y ( t )
-2
21设状态变量 x1(t),x2(t) x
2x1
fxx 11?
设中间变量 y1(t)
y1
fxxxy 1111 34?
1x? 2x?
fxxxyx 21212 232?
系统输出端，有
y(t) =2 x2 ][
1
1
23
01
2
1
2
1 f
x
x
x
x
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-16页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立方法三,
2
4
1
6
23
)4(2)(
2?
ssss
ssH
画出并联形式的信号流图
1?
s
-1
1 6
1?s
-2
-41
f(t) y(t)
设状态变量 x1(t),x2(t) x
1
x2
1x?
fxx 11?
2x?
fxx 22 2?
][
1
1
20
01
2
1
2
1 f
x
x
x
x
系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2
可见 H(s)相同的系统，
状态变量的选择并不唯一。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-17页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立例 2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。
f ( t )
1
1
s 2
4
s
s
3
1
s
∑
y 1 ( t )
y 2 ( t )
x 2 ( t )x 1 ( t )
x 3 ( t )
解 对三个一阶系统
211 yxx
其中,y2= f - x3
fxxx 311?
1122 42 xxxx fxx 313
fxxxx 3212 23?
233 3 xxx 323
3 xxx
输出方程
y1(t) = x2
y2(t) = -x3 + f
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-18页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立三、由状态方程列输入 -输出方程例 3 已知某系统的动态方程如下，列出描述 y(t)
与 f(t)之间的微分方程。? )(01)(
)]([
1
1
)(
03
14
)(
tty
tftt
x
xx
解法一 由输出方程得 y(t)=x1(t)
y?(t)=x1?(t) = – 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)
y?(t)=– 4 x1?(t) + x2?(t)+ f?(t)
=–4[–4 x1(t) + x2(t)+ f (t)] + [–3 x1(t) + f (t)] + f?(t)
=13 x1(t) –4x2(t) –3 f (t) + f?(t)
y?+a y?+ by=(13 –4a +b) x1+(–4+a) x2+ f?(t) +(a–3) f (t)
a=4,b=3 y?+4 y?+ 3y= f?(t) + f (t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-19页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立解法二 对方程取拉氏变换，
零状态。 )]([11)(03 14)( tftt xx?
)(11)(03 14)( sFsss?
XX
)(11)()03 14( sFss?
XI )(
1
1)
03
14()( 1 sFss
IX
)(01)( ssY X?
)(
1
1
)
03
14
(01)( 1 sFssY?
I
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-20页 ■
电子教案 2009-7-298.2 连续系统状态方程的建立
1
1
)
03
14
(01
)(
)()( 1Is
sF
sYsH
34
43
1
3
14
)
03
14
(
2
1
1
ss
s
s
s
s
s I
34
1
34
1
1
1
1
1
34
43
1
01)(
222
ss
s
ss
s
ss
s
s
sH
y?+4 y?+ 3y= f?(t) + f (t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-21页 ■
电子教案 2009-7-298.3 离散 系统状态方程的建立
8.3 离散 系统状态方程的建立与连续系统类似，具体方法为：
（ 1）由系统的 输入 -输出方程 或 系统函数,首先 画出其信号流图 或 框图 ；
（ 2）选 一阶子系统 (迟延器）的 输出 作为 状态变量 ；
（ 3）根据每个 一阶子系统 的 输入输出关系 列状态方程；
（ 4）在 系统的输出端 列输出方程。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-22页 ■
电子教案 2009-7-298.3 离散 系统状态方程的建立例 1,某离散系统的差分方程为
y(k) + 2y(k –1) –y(k –2) = f(k –1) –f(k –2)
列出其动态方程。
解,不难写出系统函数
21
21
21
)(
zz
zzzH
画信号流图：
1
-2
1
-1
y ( k )
1?
z
1?
z
1
f ( k )
设状态变量 x1 (k),x2 (k),
x1x2x1(k+1)=x2 (k),
x2(k+1)
x2(k+1)= x1 (k) –2x2(k) + f(k),
输出方程 y (k)=–x1 (k) + x2(k)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-23页 ■
电子教案 2009-7-298.3 离散 系统状态方程的建立例 2 某离散系统有两个输入 f1(k),f2(k)和两个输出 y1(k)、
y2(k)，其信号流图如图示。列写该系统的状态方程和输出方程。
3
1
z
2
1
z
z
-1
x 1 ( k )x 2 ( k )
x 3 ( k )
p 1 ( k )
p 2 ( k )
-1
-2
-1
1
1
1
1
2
2
-1
3
a
b
c
d
y 1 ( k )
y 2 ( k )
f 1 ( k )
f 2 ( k )解 p1(k) = 2x1(k) +2x3(k)
p2(k) =3p1(k)-x3(k) +f2(k)
= 6x1(k) +5x3(k) + f2(k)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-24页 ■
电子教案 2009-7-298.3 离散 系统状态方程的建立
)(
)(
10
11
00
)(
)(
)(
706
527
013
)1(
)1(
)1(
2
1
3
2
1
3
2
1
kf
kf
kx
kx
kx
kx
kx
kx
)(
)(
)(
202
001
)(
)(
3
2
1
2
1
kx
kx
kx
ky
ky
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-25页 ■
电子教案 2009-7-298.4 连续状态方程的求解
8.4 连续系统状态方程的求解状态方程和输出方程的一般形式为 )()()( ttt BfAxx
)()()( ttt DfCxy用拉普拉斯变换法求解状态方程
sX(s) -x(0-) = A X(s) + BF(s) ( sI -A )X(s) = x(0-) +BF(s)
X(s)=(sI -A )-1x(0-) +(sI -A )-1BF(s)=Φ(s)x(0-) +Φ(s)BF(s)
式中 Φ(s) = ( sI -A )-1常称为预解矩阵 。
Y(s) = CX(s) +DF(s)
Yx(s) = CΦ(s)x(0-) Yf(s) = [CΦ(s)B +D ] F(s)
H(s) = [CΦ(s)B +D ]
Φ(s)的极点就是 H(s)的极点,即 | sI-A|=0的根。
=CΦ(s)x(0-) +[ CΦ(s)B +D ] F(s)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-26页 ■
电子教案 2009-7-298.4 连续状态方程的求解例 1 描述 LTI因果系统的状态方程和输出方程为
)]([10)( )(41 21)( )(
2
1
2
1 tf
tx
tx
tx
tx
)(]1[
)(
)(11)(
2
1 tf
tx
txty?
解
41
21
41
21
10
01)(
s
sss AI
)d e t (
)a d j()()( 1
AI
AIAI
s
sssΦ
11
24
)3)(2(
1
s
s
ss
X(s) = Φ(s)[x(0-) +BF(s)]
]1[1
0
2
3
11
24
)3)(2(
1
s
s
ss
起始状态 x1(0-)=3,x2(0-)=2，输入 f(t) =δ(t)。求状态变量和输出。并判断该系统是否稳定。
2
6
3
9
3
9
2
12
)3)(2(
3
)3)(2(
)6(3
ss
ss
ss
s
ss
s
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-27页 ■
电子教案 2009-7-298.4 连续状态方程的求解
y(t) = [1 1]x(t) + f(t) =
)(
e6e9
e9e12)(
23
32
tt tt
tt
x
)()(
e6e9
e9e1211
23
32
tttt
tt
=δ(t)+ 6e-2tε(t)
由于 H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。
H(s)的极点就是 |sI-A|=0的根。 |sI-A|=(s+2)(s+3)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 8-28页 ■
电子教案 2009-7-298.5 离散状态方程的求解
8.5 离散系统状态方程的求解
)()()1( kkk BfAxx )()()( kkk DfCxy
用 Z变换法求解状态方程 取单边 z变换,
zX(z)-zx(0) = AX(z)+BF(z) Y(z) = CX(z)+DF(z)
X(z) = (zI-A)-1zx(0) +(zI-A)-1BF(z)
设 Φ(z)= (zI-A)-1 z X(z) = Φ(z)x(0) +z-1Φ(z)BF(z)
Y(z) = CΦ(z)x(0)+[Cz-1Φ(z)B+D]F(z)
yx(k) =Z-1[CΦ(z) x(0) ],yf(k) =Z -1[( Cz-1Φ(z)B+D )F(z)]
H(z)=[Cz-1Φ(z)B+D]
Φ(z)的极点就是 H(z)的极点,即 | zI-A|=0的根。
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电子教案 2009-7-298.5 离散状态方程的求解例 已知某离散因果系统的状态方程和输出方程分别为
)(10)( )(56 10)1( )1(
2
1
2
1 kf
kx
kx
kx
kx
)(
)(
12
11
)(
)(
2
1
2
1
kx
kx
ky
ky
初始状态为
21)0( )0(
2
1
x
x
，激励 f(k)=ε(k)。求状态方程的解和系统的输出。
解 Φ(z)=[zI-A]-1z=
)3)(2()3)(2(
6
)3)(2()3)(2(
5
2
2
zz
z
zz
z
zz
z
zz
zz
X(z)=Φ(z)[x(0)+z-1BF(z)]=
3
2
3
1
2
1
3
2
1
1
2
1
)3)(1(
)32(
)3)(1(
)2(
z
z
z
z
z
z
z
z
zz
zz
zz
zz
)(
])3(31[
2
1
])3(1[
2
1
)( kk
k
k
x
信号与系统
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电子教案 2009-7-298.5 离散状态方程的求解
)(
])3(31[
2
1
])3(1[
2
1
12
11
)(
)(
12
11
)(
)(
2
1
2
1
k
kx
kx
ky
ky
k
k
)(
])3(1[
2
1
)3(21
kk
k
信号与系统
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电子教案 2009-7-29
