第三章 流体运动学与动力学基础
[教学目的 ]
1、陈述描述液体运动的两种方法，掌握迹线、流线的概念及方程，掌握质点加速度表达式；
2、了解描述流体运动的一些基本概念；
3、熟练掌握连续性方程，尤其总流的连续性方程；
4、熟练掌握伯努利方程，尤其实际流体总流的伯努利方程；
5、陈述系统与控制体的概念；
6、掌握稳定流的动量方程，能解决相关的工程问题。
第三章 流体运动学与动力学基础
[学习重点 ]
1、迹线与流线；
2、连续性方程 —— 质量守衡；
3、伯努利方程（能量方程）推导、应用；
4、动量方程（应用）。
[学习难点 ]
1、微团运动基本形式及其相应表达式，流函数与速度势函数；
2、动量方程的应用。
第一节 研究流体运动的两种方法流体质点,是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。
空间点,表示空间位置。
流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（ x,y,z）上，具有一定的速度、压力、
密度、温度等标志其状态的运动参数。拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。
第一节 研究流体运动的两种方法一、拉格朗日法 （跟踪法、质点法）
1,定义,以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
2,拉格朗日变数,取 t=to 时，以每个质点的空间坐标位置为
（ a,b,c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3,适用情况,流体的振动和波动问题。
4,优点,可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。 缺点,不便于研究整个流场的特性。
5,方程,设任意时刻 t，质点坐标为 (x,y,z),则：
),,,( tcbaxx?
),,,( tcbayy?
),,,( tcbazz?
t
tcbax
t
xu
x?
),,,(
t
tcbay
t
yu
y?
),,,(
t
tcbaz
t
zu
z?
),,,(
2
2 ),,,(
t
tcbax
t
ua x
x?
2
2 ),,,(
t
tcbay
t
ua y
y?
2
2 ),,,(
t
tcbaz
t
ua z
z?
位置,速度：
加速度：
二、欧拉法
1,定义,以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。
2,欧拉变数,空间坐标（ x,y,z）称为欧拉变数。
欧拉法着眼于充满运动流体的空间（这种空间称为流场），以流场上各个固定的空间点作为考查对象，观察流体质点通过这些固定空间点时运动参数的变化规律，而不涉及具体质点的运动过程。因为在某一空间点，此时刻为某个质点所占据，在另一时刻被另一质点占据。设在某一瞬时，观察到流场中各个空间点上质点的流速，将这些流速综合在一起就构成了一个流速场。
3,方程,因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。
tzyxudtdxu xx,,,
tzyxudtdyu yy,,,
tzyxudtdzu zz,,,
速度场：
说明,x,y,z也是时间 t的函数。
tzyxpp,,,?压力场：
z
uu
y
uu
x
uu
t
ua x
z
x
y
x
x
x
x?
z
uu
y
uu
x
uu
t
ua y
z
y
y
y
x
y
y?
z
uu
y
uu
x
uu
t
ua z
z
z
y
z
x
z
z?
加速度：
uutua
uutua
全加速度 ＝ 当地加速度 ＋ 迁移加速度当地加速度,在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率。
迁移加速度,流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率。
三、流场分类
1、三元流场：运动要素是三个坐标的函数（或三维流场）。
2、二元流场：运动要素是二个坐标的函数。
3、一元流场：运动要素是一个坐标的函数。
管截面 A=A(I)，若人们研究的是各截面上流动的平均物理参数，则它可以简化为一元流场 B=B(I,t)。
kyxjxyixyu
54
2
1
2
2
1
为几元流场?速度第二节 流体运动的基本概念一,稳定流与不稳定流
1,不稳定流动 （ 非定常流场 ）,经过空间点流体质点运动参数的全部或者部分随时间而变化的流动 。
2,稳定流动 （ 定常流场 ）,物理参数场与时间无关的流动 。
例 1：设拉格朗日观点给出,
式中拉格朗日数Ｃ １ 和Ｃ ２ 对不同的质点取不同的常数。
判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。
tecx 11 tecy 21
例 2：设欧拉观点给出,
求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。
例 3：设欧拉观点给出,
求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。
22 yx
cyu
x 22 yx
cxu
y
yztu x?xz tu y? 0?zu
二、迹线和流线
1,迹线 （ 拉格朗日法 ）
某一液体质点的运动轨迹曲线称为迹线。
特点,每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一簇曲线，且只随质点不同而异。
例：设拉格朗日观点给出,
式中拉格朗日数Ｃ １ 和Ｃ ２ 对不同的质点取不同的常数。
求 t=0 时，通过点（－１，－１）的质点迹线。
tectx 11 tecty 21
2,流线 （ 欧拉法 ）
对于某一固定时刻,流场中存在这样一条曲线,其曲线上任意一点的速度与曲线在该点的切线方向重合,这样的曲线称为流线 。
特性：
1）不稳定流时，流线的空间方位形状随时间变化；
2）稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合；
3）流线是一条光滑曲线，既不能相交，也不能转折。
在流线上某点的邻域内，取一微线长 dS,根据流线的定义,即：
上式称为 流线方程,流线与欧拉概念相联系。
0 udS
u
ds
u
dz
u
dy
u
dx
zyx
例：设欧拉观点给出,
式中常数 a≠0,求 t=0 时的流线族。
解：根据流线方程有：
2taxu x 2tayu y
22 tay
dy
tax
dx
ctaytax
actaytax
ctay
a
tax
a
22
1
22
1
22
ln
ln
1
ln
1
故当 t=0 时的流线族为：
2a
cxy?
例：已知：
求,t＝ 0 时，过 A（－ 1,1）点流线的方程。
解：根据流线方程有：
积分,ln(x+t) = -ln(-y+t)+ C
→ (x+t)( -y+t)=C`
当 t＝ 0时,x＝－ 1,y＝ 1，代入上式得,C`＝ 1
所以，过 A（－ 1,1）点流线的方程为,xy＝－ 1
ty
dy
tx
dx
tyutxu yx,
三、流管、流束、总流
1,流管 （ 人为的一个虚构空间 ）
流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，过曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的管状表面称为流管。
特点：流管内的流体不能穿出流管表面，流管外的流体不能穿入流管表面。
稳定流时，流管形状不随时间而变。
2、流束：充满在流管内部的流体。
微小流束：断面无穷小的流束 。
3、总流：无数微小流束的总和。
4、有效断面（过流断面）：流束或总流上，垂直于流线的断面。有效断面可以是曲面或平面。
5,流量流量有体积流量和质量流量之分 。 通过 过流截面 的流体量由下式计算：
体积流量：
质量流量：
AudAQ A为过流断面
QM
6、断面平均流速 V
QudAvA A
A
Q
A
u d A
v A
四、可压缩流体、不可压缩流体、均质流体
1、不可压缩流体根据定义，质点的密度在运动过程中不变的流体称为个不可压缩流体。换言之，对于不可压缩流体的而言，密度对时间的导数为零。
那么必有,
0?dtd?
对于可压缩流体,密度的随体导数不为零,即：
0?dtd?
2,均质流体均质流体是指某一瞬时流场中各点的密度都相同 。
质量守恒定律：
对于空间固定的封闭曲面,Δ t时间内流出的流体质量与流入的流体质量之差应等于封闭曲面内的流体质量的减少。
Δ t时间内：流出质量－流入质量＝减少量第三节 连续性方程一、一元流动（管流）连续性方程
1,微小流束的连续性方程流出质量,ρ 2 u2 dA2 dt
流入质量,ρ 1 u1 dA1 dt
dt时间内，实际流入微小流束的质量：
dM = ρ 1u1dA1 dt -ρ 2u2dA2 dt
对于定常流,dM / dt ＝ 0
即,ρ 2 u2 dA2 ＝ ρ 1 u1 dA1
—— 可压缩流体沿微小流束稳定流的连续性方程图 3 － 9 流束和总流
2,总流的连续性方程（定常流）：
222111 21 dAudAu AA
222111 21 dAudAu AA
对于均质管流,
2211 QQ 222111 AVAV
或
—— 可压缩流体稳定流沿总流的连续性方程：
沿流程的质量流量保持不变。
对于 不可压缩 均质 流体,ρ ＝ C 2211 AVAV?
稳定流动总流的连续性方程：沿流程的体积流量保持不变。
分流与汇流,Q1 + Q2＝ Q3
二、空间运动的连续性方程
1,dt 时间内流出与流入微元体的质量之差 Δ m
x 方向：
dt 时间内流入的质量：
dt 时间内流出的质量：
d yd z d tudtudzdyVdm xx11
d yd z d tdx
x
uum x
x
22
沿 x 轴方向流出和流入之差：
dx d y d z dt
x
udy d z dtudy d z dtdx
x
uum x
x
x
xx?
同理可求, d xd yd z d t
y
um y
y?
d x d y d z d t
z
um z
z?
dt 时间内流出与流入微元体的质量之差 Δ m为：
d x dy d z dt
z
u
y
u
x
ummmm zyx
zyx
2,dt时间前后，微元体内流体质量变化
（由于密度变化引起的）
d xd yd zm1
d xd yd zdttm2
dt 时间前：
dt 时间后：
减少值：
d x dy d z d ttmmm21
3、据流体的连续流动和质量守恒,mm
d x d y d z d t
z
u
y
u
x
um zyx
d x d y d z d ttm
整理可得流体运动的连续性微分方程式：
0?
z
u
y
u
x
u
t
zyx
4、公式说明：
物理意义：单位时间内，流体流经单位体积的流出与流入之差与其内部质量变化的代数和为零。
对稳定流：
对于不可压流体：
0t
0?
z
u
y
u
x
u zyx
Ct,0
0 zuyuxu zyx
第四节 理想流体运动微分方程式及伯努利方程一、理想流体运动微分方程式（ Euler方程）
1、受力分析,(x向 )
（ 1）理想流体 μ ＝ 0，单位质量流体受到的质量力为,X
（ 2）单位质量流体受的表面力为：
（ 3）单位质量流体的加速度：
x
p
1
dt
dux
所以：
同理：
—— Euler运动微分方程
dt
du
x
pX x?
1
dt
du
y
pY y?
1
dt
du
z
pZ z?
1
2、公式说明
（ 1） 物理意义作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于加速度。
（ 2） 适用条件
① 理想流体：无粘性、无能量消耗。
② 可压缩、不可压缩流体
③ 稳定流、不稳定流
（ 3） 方程可解性四个未知数 ux,uy,uz,p，三个方程加一个连续性方程：可解。
二、理想流体流束的伯努利方程
Euler方程三式分别乘以流线上两点坐标增量 dx,dy,dz，则相加后得：
1、稳定流因为稳定流动时，流线与迹线重合，即有,
dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZ d zY d yX d x zyx )(1)(?
dt
dzu
dt
dyu
dt
dxu
zyx
(1)
)(21 2udduuduuduudzdtdudydtdudxdtdu zzyyxxzyx所以：
2211)( uddpZ d zY d yX d x(1)式变为：
2、设作用在流体上的质量力只有重力所以：
gZYX 0
0)(211 2 uddpgdz?
3、对于不可压缩流体积分上式得：
c
cupgz 2
2
cg
upz
2
2
对于流线上任意两点 1,2：
g
upz
g
upz
22
2
22
2
2
11
1
—— 理想流体沿流线的伯努利方程
4、公式说明：
（ 1） 适用条件 ①理想流体 ②稳定流动 ③质量力只受重力
④不可压流体 ⑤沿流线或微小流束。
（ 2）各项意义几何意义
Ｚ —— 位置水头 —— 压力水头 —— 速度水头
p
g
u
2
2
物理意义
Ｚ —— 比位能 —— 比压能 —— 比动能
p gu22
一、实际流体总流与理想流体流束的比较
1、能量的表现形式一致：比位能、比压能、比动能；
2、断面上的流速不同：用总流 V ===?修正断面 u ；
3、断面上 Ｚ,不同；
4、实际流体有能量损耗。
第五节 实际流体总流的伯努利方程
p
g
upz
g
upz
22
2
22
2
2
11
1
对于实际流体，有粘性存在，消耗能量：
（ 1）本身摩擦变成热能散发
（ 2）与壁面的摩擦损耗
（ 3）局部损耗二、实际流体总流的伯努利方程
1、实际流体沿微小流束（流线）的能量方程
：流束上 1,2两点间单位重量流体的能量损失
' 21?wh
'
21
2
22
2
2
11
1 22 whg
upz
g
upz
2、实际流体沿总流的伯努利方程公式推导,因为通过一个通道的流体总流是由许多流束组成的。每个流束的流动参量都有差别，而对于总流，希望利用平均参量来描述其流动特性。因此：
① 用 V 代替公式（ 1）的 u,使公式适用于总流。
② 实际流体有粘性，存在能量损耗 → 。
' 21?wh 21?wh
（ 1）单位时间在 微小流束有效断面 上通过流体的总能量
（ 2）单位时间通过 总流有效断面 流体总能量
u d AgupzdGedE )2(
2
AA udAgupzdEE )2(
2
公式推导：
（ 3）给定断面平均单位重量流体的能量
A udAgupzQQEe )2(1
2
1,2两点的平均单位重量流体的能量关系
2 211 21
2
22
2
2
11
1
1)
2(
1)
2(
1
A
A
A wA u dAhQu dAg
upz
Qu dAg
upz
Q
积分存在那些问题？ —— 压力不等 & 速度不等引进下面两个新概念：
A 缓变流 （解决压力不等的问题）
（ 1）定义：流线间夹角很小，近似平行；
流线曲率半径很大，近似直线的流动。
（ 2）特性：缓变流断面接近平面；
质量力只有重力，离心惯性力可以忽略。
在缓变流中取相距极近的两流线 S1 及 S2,并在有效断面上取一面积为 dA，长为 dz的微小圆体柱。
0)( nFdGpdAdAdpp
00 dzdpF n Cpz
pzu d Apz
Qu d A
pz
Q AA )(
1)(1
急变流,流动参量沿流程急剧变化的总流。
例如：
缓变流断面,1－ 1,4－ 4
急变流断面,2－ 2,3－ 3
B,动能修正系数 （解决流速不均的问题）
因为总流有效断面上的速度分布是不均匀的，设各点真实速度 u与平均速度 V之差为?u，则有：
A udAguQ 21 2
uVu
AAAAA udAQudAV dAdAuVudAQ
0A udA则,
AV
dAu
g
V
AV
dAu
gQ
AV
dAuVAV
gQ
dAudAuVu d AVdAV
gQ
dAuV
gQ
dAu
gQ
u d A
g
u
Q
AA
AA AA A
AAA
2
2
2
2
2
3
233223
33
2
31
2
31
2
3
2
1
)33(
2
1
2
1
2
1
2
1
动能修正系数,＝
则
AV
dAu
AV
dAu
AA
3
3
2
2
31
g
Vu d A
g
u
Q A 22
1 22
令则积分式为：
21 2121 1 AA ww udAhQh
21
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 2g
V
2g
V
wh
pzpz?
—— 实际流体总流的 Bernoulli方程
3、公式说明
（ 1） α 物理意义,它是总流有效断面上的实际动能对按平均流速算出假想动能的比值。 层流时：
2 紊流时,1.1~05.1
（ 2） 的物理意义：实际总流 1→2 有效断面间单位重量液流的平均能量损失。
（ 3）适用条件：
① 稳定流；② 不可压缩；③ 质量力只受重力；④ 选取的计算断面为缓变流断面，中间允许有急变流；⑤ 具有共同流线。
21?wh
三、伯努利方程式的应用
1、伯努利方程式的 应用 包括四个方面：
① 一般水力计算
② 节流式流量计
③ 毕托管、驻压强、总压强（测速管）
④ 流动吸力问题
2、解题步骤：
① 顺液流方向取面两个计算断面：所求未知量所在断面；已知条件比较充分的断面；基准面。
② 列伯努利方程求解 212222221111 2gV2gV whpzpz
3、应用伯努利方程应注意的问题：
① 搞清使用条件；
② 方程中位置水头 z 是相对基准面而言；
③ 计算时，方程两边选用压力标准一致，单位统一；
④ 不作特殊说明，动能修正系数 α =1 ；
⑤ 同一基准面上两点 1,2两处含义不同，不可混用；
⑥ 对于水罐、水池等，液面上速度近似为零。
据连续性方程,A1>>A2,V1<<V2 ==? V1≈ 0
（ 1）一般水力计算问题例１ 已知,C点与大气相通求,Vc＝？ Q＝？ pB＝？
mhmh
mdmd
Paatp
CwBBwA
CA
A
1.0,5.0
02.0,05.0
108.922 4
√ √？ √？？ √ √？
zA,pA,VA； zB,pB,VB； zC,pC,VC
21
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 2g
V
2g
V
wh
pzpz?
例２ 有一喷水装置如图示。
已知,h1＝ 0.3m，
h2＝ 1.0m，
h3＝ 2.5m，
求：喷水出口流速水流喷射高度 h
（不计水头损失）
（ 2）节流式流量计例１,设管径为 D，孔板孔径为 d，
1－ 1 断面处速度为 V1，
2－ 2 断面处速度为 V2，
孔眼处速度为 V。
对于液气压差计
hp
21
p
对于水－汞压差计
hp Hg
1p 21
U形水银压差计连接于直角弯管已知,d1＝ 300mm,d2＝ 100mm，
管中流量 Q＝ 100L/s时，
试问：压差计读数 Δ h等于多少？（不计水头损失）
（ 3） 皮托管（测速管）原理
guo 22
op
① 驻 压强：流动流体中加一障碍物后，驻点处增高的压强，即动能转化而来的压强
② 动压强：流动流体中不受流速影响的某点的压强
③ 总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。
已知：流体密度,U形管内液体密度,液位差读数为 。
求：来流速度 与这些参数的关系式。
单孔测速管双孔测速管测速管 制作原理：当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向四周分流时，
在物体表面上受水流顶冲的 A点流速等于零，称为水流滞止点（驻点）。
驻点处的动能全部转化为压能，单孔测速管和皮托管就是根据这一原理制成的一种测速仪。
例 2,水从立管下端泄出，立管直径为 d＝ 50mm，射流冲击一水平放置的半径 R＝ 150mm的圆盘，若水层离开盘边的厚度 δ ＝ 1mm，
求流量 Q及汞比压计的读数 Δ h。水头损失不计。
分析：
1－ 1,p1（＝ 0），
V1（？），
z1（ √ ）
2－ 2,p2（＝ 0），
V2（？），
z2（ √ ）
3－ 3,p3（？），
V3（＝ 0），
z3（ √ ）（驻点）
（ 4） 流动吸力 —— 喷雾器、喷射泵原理,利用喷嘴处高速水流造成的低压将液箱内的液体吸入泵内与主液流混合。
例：如图一喷射泵
m /s1.4V A
AA
Q 2 5,5 m /sV
C
cA
Q
A－ C列方程：
代入数据得,
CwA
CCAA h
g
Vp
g
Vp
22
22
水柱mp C 94.2
四、水头线和水力坡降
1、水头线的由来
Bernoulli 方程中的每一项比能和水头损失都具有长度的因次，所以它们可用液柱高度来表示，从而可直观地反映各能量转化关系。
2、水头线它是能量方程的几何表示，
即用一个液柱高度来表示每一种比能。
Z,位置水头
g
V
2
2?,流速水头
p,压力水头
hw1－ 2,损失水头
pz?,测压管水头
g
Vpz
2
2?
：总水头
3、水头线的性质
（ 1）总水头线（ Ht）一般情况下总是下降的，有局部损失时集中下降，有泵时除外。
（ 2）测压管水头线（ Hp）总是比总水头线小一速度水头值。
（ 3）当 Hp 线在 Z 线上面时为正压区；反之为负压区。
4、水力坡降单位长度上的水头损失
dL
dh
L
hi w
21
21
第六节 液流能量的增加和泵的效率一、泵的扬程（ H）：泵对单位重量液体所作的功。
（单位重量流体通过泵时增加的能量）
单位：米二、有能量输入（泵）的伯努利方程有泵时的 Bernoulli 方程：
21
2
222
2
2
111
1 2g
V
2g
V
wh
pzHpz?
三、功率
1、泵的有效功率（输出功率）,泵在单位时间内对通过的液体所做的功。
单位时间内水流从泵中实际获得的总能量为,N泵 =?QH
2、输入功率：电动机的输出功率。（轴功率）
3、泵效率：
轴泵
N
N
例,测定水泵扬程的装置如图所示。
已知水泵吸水管直径 d1=200mm，
压水管直径 d2=150mm，测得流量 Q=0.06m3/s，水泵进口真空表读数为 4at,水泵出口压力表读数为 2at,两仪表连接的测压孔位置之间的高差 h=0.5m。
试求此时的水泵扬程 H。若同时测得水泵的轴功率 N=25hp（马力），试求水泵的效率?。
例,已知,Q＝ 0.001m3/s,D＝ 0.01m,hw吸＝ 1m,hw排＝ 25m。
求,H＝？ PB＝？ N泵 ＝？
一,系统
1.定义一团确定不变的流体质点的集合。系统以外的物质称为外界，系统与外界的分界面称为边界。系统可通过边界与外界发生力的作用和能量交换，但不发生质量交换，即系统的质量是不变的。
2.特点
1) 系统的质量不变,通过边界与外界发生力的作用和能量交换。
2) 对于流动过程，系统边界形状也会不断发生变化。
第七节 系统与控制体二、控制体
1、定义：流场中某一个确定区域；
2、特点：形状、位置不变，质点可变；
3、控制面：控制体的周界。
三、输运公式设 N：某一瞬时系统内流体所具有的某一种物理量的总和。
η,单位质量流体所具有的这种物理量。
CS nCV dAudVtdtdN
物理意义：系统内部 N的时间变化率等于控制体内 N的时间变化率加上单位时间经过控制面 N的净含量。
第八节 稳定流的动量方程和动量矩方程一、稳定流动量方程动量定律：系统内的流体动量对时间的导数等于作用在系统上的外力的矢量和,即：
Fdudtd cv V?
稳定流动量方程：
zzz
yyy
xxx
FVVQ
FVVQ
FVVQ
)(
)(
)(
12
12
12
二、动量方程的应用
1、解题步骤：
（ 1）选研究对象（控制体内的流体） 1-1～ 2-2断面 +固体壁面
（ 2）选取适当的坐标系
（ 3）对控制体内的流体进行受力分析
① 重力 G（水平放置的管路不考虑：与管壁的支撑力相抵消）
② 两断面的压力 （表压；注意方向）
③ 边界对液流的作用力 R
反实际方向与假设方向相同实际方向与假设方向相未知，假设方向求解
0
0
R
RR
（ 4）速度分析：分量方向
（ 5）应用动量方程说明：液流对边界的作用力 R’ 与 R是作用力与反作用力。
2、应用
（ 1）流体作用于弯管的力一水平转弯的管路。由于液流在弯道改变了流动方向，
也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁。因此在设计管道时，在管路拐弯处必须考虑这个作用力，并设法平衡之，以防管道破裂。
受力分析：
xRApApxc o s21：轴方向的作用力总和为沿
)c o s( VVQx轴方向的动量变化为：沿代入方程：
)c o s(c o s21 VVQRApAp x
)c o s1()c o s( 21 QVAppR x
s ins in2 QVApR y
同理：
x
y
yx R
RRRR a r c t a n22
（ 2）射流的背压（反推力）
容器在液面下深度等于 h 处有一比液面面积微小得多的出流孔，其面积为 A。在出流孔微小的前提下，假使只就一段很短的时间来看，那出流过程就可以当作近似的稳定流动。
这一瞬刻在容器内的流体，它在水平方向的动量变化将决定于单位的时间内容器流出来的动量：
ghV 2?
2AVQV hAA g hAVF 222
理想流体的出流速度：
（ 3）自由射流对挡板的压力（水平）
射流从喷咀以速度冲向挡板，射流冲击挡板后将沿挡板表面分成两股射流，速度分别为 V1,V2，流量从 Q0 分成 Q1 和
Q2 。由于射流的冲击作用，在挡板上产生一个作用力 R。 流体作用于挡板上的力则与之大小相等，方向相反。
三、应用实例：
一个水平放置的 90o 弯管输送水。
已知,d1＝ 150mm,d2＝ 75mm,p1＝ 2.06× 105 Pa，
Q＝ 0.02 m3/s，不计水头损失。
求：水流对弯管的作用力大小和方向。
例,水自压力容器稳定地出流,压力表 P=10.13× 105
N/m2,h=3m,喷嘴直径 d1=50mm,d2=10mm。若不计管嘴内的液体和管嘴本身的重力，试求管嘴上螺旋群共受多大拉力？
四、动量矩方程动量矩定律：系统内流体对某点的动量矩对时间的导数应等于作用于系统的外力对同一点的力矩和。
() ii
cv
d r u d V r F
dt
稳定流：
() n i i
cs
r u u d A r F
离心泵叶轮
r1
r2
u2
u1
u1e
u2r u1r
u2e
已知离心通风机如图所示,叶轮转速，内外半径，进 \
出口角，进 \出口宽度；流量 Q。求牵连速度、相对速度、
绝对速度和单位重量流体所获得的能量。
[教学目的 ]
1、陈述描述液体运动的两种方法，掌握迹线、流线的概念及方程，掌握质点加速度表达式；
2、了解描述流体运动的一些基本概念；
3、熟练掌握连续性方程，尤其总流的连续性方程；
4、熟练掌握伯努利方程，尤其实际流体总流的伯努利方程；
5、陈述系统与控制体的概念；
6、掌握稳定流的动量方程，能解决相关的工程问题。
第三章 流体运动学与动力学基础
[学习重点 ]
1、迹线与流线；
2、连续性方程 —— 质量守衡；
3、伯努利方程（能量方程）推导、应用；
4、动量方程（应用）。
[学习难点 ]
1、微团运动基本形式及其相应表达式，流函数与速度势函数；
2、动量方程的应用。
第一节 研究流体运动的两种方法流体质点,是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。
空间点,表示空间位置。
流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（ x,y,z）上，具有一定的速度、压力、
密度、温度等标志其状态的运动参数。拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。
第一节 研究流体运动的两种方法一、拉格朗日法 （跟踪法、质点法）
1,定义,以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
2,拉格朗日变数,取 t=to 时，以每个质点的空间坐标位置为
（ a,b,c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3,适用情况,流体的振动和波动问题。
4,优点,可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。 缺点,不便于研究整个流场的特性。
5,方程,设任意时刻 t，质点坐标为 (x,y,z),则：
),,,( tcbaxx?
),,,( tcbayy?
),,,( tcbazz?
t
tcbax
t
xu
x?
),,,(
t
tcbay
t
yu
y?
),,,(
t
tcbaz
t
zu
z?
),,,(
2
2 ),,,(
t
tcbax
t
ua x
x?
2
2 ),,,(
t
tcbay
t
ua y
y?
2
2 ),,,(
t
tcbaz
t
ua z
z?
位置,速度：
加速度：
二、欧拉法
1,定义,以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。
2,欧拉变数,空间坐标（ x,y,z）称为欧拉变数。
欧拉法着眼于充满运动流体的空间（这种空间称为流场），以流场上各个固定的空间点作为考查对象，观察流体质点通过这些固定空间点时运动参数的变化规律，而不涉及具体质点的运动过程。因为在某一空间点，此时刻为某个质点所占据，在另一时刻被另一质点占据。设在某一瞬时，观察到流场中各个空间点上质点的流速，将这些流速综合在一起就构成了一个流速场。
3,方程,因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。
tzyxudtdxu xx,,,
tzyxudtdyu yy,,,
tzyxudtdzu zz,,,
速度场：
说明,x,y,z也是时间 t的函数。
tzyxpp,,,?压力场：
z
uu
y
uu
x
uu
t
ua x
z
x
y
x
x
x
x?
z
uu
y
uu
x
uu
t
ua y
z
y
y
y
x
y
y?
z
uu
y
uu
x
uu
t
ua z
z
z
y
z
x
z
z?
加速度：
uutua
uutua
全加速度 ＝ 当地加速度 ＋ 迁移加速度当地加速度,在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率。
迁移加速度,流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率。
三、流场分类
1、三元流场：运动要素是三个坐标的函数（或三维流场）。
2、二元流场：运动要素是二个坐标的函数。
3、一元流场：运动要素是一个坐标的函数。
管截面 A=A(I)，若人们研究的是各截面上流动的平均物理参数，则它可以简化为一元流场 B=B(I,t)。
kyxjxyixyu
54
2
1
2
2
1
为几元流场?速度第二节 流体运动的基本概念一,稳定流与不稳定流
1,不稳定流动 （ 非定常流场 ）,经过空间点流体质点运动参数的全部或者部分随时间而变化的流动 。
2,稳定流动 （ 定常流场 ）,物理参数场与时间无关的流动 。
例 1：设拉格朗日观点给出,
式中拉格朗日数Ｃ １ 和Ｃ ２ 对不同的质点取不同的常数。
判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。
tecx 11 tecy 21
例 2：设欧拉观点给出,
求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。
例 3：设欧拉观点给出,
求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。
22 yx
cyu
x 22 yx
cxu
y
yztu x?xz tu y? 0?zu
二、迹线和流线
1,迹线 （ 拉格朗日法 ）
某一液体质点的运动轨迹曲线称为迹线。
特点,每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一簇曲线，且只随质点不同而异。
例：设拉格朗日观点给出,
式中拉格朗日数Ｃ １ 和Ｃ ２ 对不同的质点取不同的常数。
求 t=0 时，通过点（－１，－１）的质点迹线。
tectx 11 tecty 21
2,流线 （ 欧拉法 ）
对于某一固定时刻,流场中存在这样一条曲线,其曲线上任意一点的速度与曲线在该点的切线方向重合,这样的曲线称为流线 。
特性：
1）不稳定流时，流线的空间方位形状随时间变化；
2）稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合；
3）流线是一条光滑曲线，既不能相交，也不能转折。
在流线上某点的邻域内，取一微线长 dS,根据流线的定义,即：
上式称为 流线方程,流线与欧拉概念相联系。
0 udS
u
ds
u
dz
u
dy
u
dx
zyx
例：设欧拉观点给出,
式中常数 a≠0,求 t=0 时的流线族。
解：根据流线方程有：
2taxu x 2tayu y
22 tay
dy
tax
dx
ctaytax
actaytax
ctay
a
tax
a
22
1
22
1
22
ln
ln
1
ln
1
故当 t=0 时的流线族为：
2a
cxy?
例：已知：
求,t＝ 0 时，过 A（－ 1,1）点流线的方程。
解：根据流线方程有：
积分,ln(x+t) = -ln(-y+t)+ C
→ (x+t)( -y+t)=C`
当 t＝ 0时,x＝－ 1,y＝ 1，代入上式得,C`＝ 1
所以，过 A（－ 1,1）点流线的方程为,xy＝－ 1
ty
dy
tx
dx
tyutxu yx,
三、流管、流束、总流
1,流管 （ 人为的一个虚构空间 ）
流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，过曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的管状表面称为流管。
特点：流管内的流体不能穿出流管表面，流管外的流体不能穿入流管表面。
稳定流时，流管形状不随时间而变。
2、流束：充满在流管内部的流体。
微小流束：断面无穷小的流束 。
3、总流：无数微小流束的总和。
4、有效断面（过流断面）：流束或总流上，垂直于流线的断面。有效断面可以是曲面或平面。
5,流量流量有体积流量和质量流量之分 。 通过 过流截面 的流体量由下式计算：
体积流量：
质量流量：
AudAQ A为过流断面
QM
6、断面平均流速 V
QudAvA A
A
Q
A
u d A
v A
四、可压缩流体、不可压缩流体、均质流体
1、不可压缩流体根据定义，质点的密度在运动过程中不变的流体称为个不可压缩流体。换言之，对于不可压缩流体的而言，密度对时间的导数为零。
那么必有,
0?dtd?
对于可压缩流体,密度的随体导数不为零,即：
0?dtd?
2,均质流体均质流体是指某一瞬时流场中各点的密度都相同 。
质量守恒定律：
对于空间固定的封闭曲面,Δ t时间内流出的流体质量与流入的流体质量之差应等于封闭曲面内的流体质量的减少。
Δ t时间内：流出质量－流入质量＝减少量第三节 连续性方程一、一元流动（管流）连续性方程
1,微小流束的连续性方程流出质量,ρ 2 u2 dA2 dt
流入质量,ρ 1 u1 dA1 dt
dt时间内，实际流入微小流束的质量：
dM = ρ 1u1dA1 dt -ρ 2u2dA2 dt
对于定常流,dM / dt ＝ 0
即,ρ 2 u2 dA2 ＝ ρ 1 u1 dA1
—— 可压缩流体沿微小流束稳定流的连续性方程图 3 － 9 流束和总流
2,总流的连续性方程（定常流）：
222111 21 dAudAu AA
222111 21 dAudAu AA
对于均质管流,
2211 QQ 222111 AVAV
或
—— 可压缩流体稳定流沿总流的连续性方程：
沿流程的质量流量保持不变。
对于 不可压缩 均质 流体,ρ ＝ C 2211 AVAV?
稳定流动总流的连续性方程：沿流程的体积流量保持不变。
分流与汇流,Q1 + Q2＝ Q3
二、空间运动的连续性方程
1,dt 时间内流出与流入微元体的质量之差 Δ m
x 方向：
dt 时间内流入的质量：
dt 时间内流出的质量：
d yd z d tudtudzdyVdm xx11
d yd z d tdx
x
uum x
x
22
沿 x 轴方向流出和流入之差：
dx d y d z dt
x
udy d z dtudy d z dtdx
x
uum x
x
x
xx?
同理可求, d xd yd z d t
y
um y
y?
d x d y d z d t
z
um z
z?
dt 时间内流出与流入微元体的质量之差 Δ m为：
d x dy d z dt
z
u
y
u
x
ummmm zyx
zyx
2,dt时间前后，微元体内流体质量变化
（由于密度变化引起的）
d xd yd zm1
d xd yd zdttm2
dt 时间前：
dt 时间后：
减少值：
d x dy d z d ttmmm21
3、据流体的连续流动和质量守恒,mm
d x d y d z d t
z
u
y
u
x
um zyx
d x d y d z d ttm
整理可得流体运动的连续性微分方程式：
0?
z
u
y
u
x
u
t
zyx
4、公式说明：
物理意义：单位时间内，流体流经单位体积的流出与流入之差与其内部质量变化的代数和为零。
对稳定流：
对于不可压流体：
0t
0?
z
u
y
u
x
u zyx
Ct,0
0 zuyuxu zyx
第四节 理想流体运动微分方程式及伯努利方程一、理想流体运动微分方程式（ Euler方程）
1、受力分析,(x向 )
（ 1）理想流体 μ ＝ 0，单位质量流体受到的质量力为,X
（ 2）单位质量流体受的表面力为：
（ 3）单位质量流体的加速度：
x
p
1
dt
dux
所以：
同理：
—— Euler运动微分方程
dt
du
x
pX x?
1
dt
du
y
pY y?
1
dt
du
z
pZ z?
1
2、公式说明
（ 1） 物理意义作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于加速度。
（ 2） 适用条件
① 理想流体：无粘性、无能量消耗。
② 可压缩、不可压缩流体
③ 稳定流、不稳定流
（ 3） 方程可解性四个未知数 ux,uy,uz,p，三个方程加一个连续性方程：可解。
二、理想流体流束的伯努利方程
Euler方程三式分别乘以流线上两点坐标增量 dx,dy,dz，则相加后得：
1、稳定流因为稳定流动时，流线与迹线重合，即有,
dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZ d zY d yX d x zyx )(1)(?
dt
dzu
dt
dyu
dt
dxu
zyx
(1)
)(21 2udduuduuduudzdtdudydtdudxdtdu zzyyxxzyx所以：
2211)( uddpZ d zY d yX d x(1)式变为：
2、设作用在流体上的质量力只有重力所以：
gZYX 0
0)(211 2 uddpgdz?
3、对于不可压缩流体积分上式得：
c
cupgz 2
2
cg
upz
2
2
对于流线上任意两点 1,2：
g
upz
g
upz
22
2
22
2
2
11
1
—— 理想流体沿流线的伯努利方程
4、公式说明：
（ 1） 适用条件 ①理想流体 ②稳定流动 ③质量力只受重力
④不可压流体 ⑤沿流线或微小流束。
（ 2）各项意义几何意义
Ｚ —— 位置水头 —— 压力水头 —— 速度水头
p
g
u
2
2
物理意义
Ｚ —— 比位能 —— 比压能 —— 比动能
p gu22
一、实际流体总流与理想流体流束的比较
1、能量的表现形式一致：比位能、比压能、比动能；
2、断面上的流速不同：用总流 V ===?修正断面 u ；
3、断面上 Ｚ,不同；
4、实际流体有能量损耗。
第五节 实际流体总流的伯努利方程
p
g
upz
g
upz
22
2
22
2
2
11
1
对于实际流体，有粘性存在，消耗能量：
（ 1）本身摩擦变成热能散发
（ 2）与壁面的摩擦损耗
（ 3）局部损耗二、实际流体总流的伯努利方程
1、实际流体沿微小流束（流线）的能量方程
：流束上 1,2两点间单位重量流体的能量损失
' 21?wh
'
21
2
22
2
2
11
1 22 whg
upz
g
upz
2、实际流体沿总流的伯努利方程公式推导,因为通过一个通道的流体总流是由许多流束组成的。每个流束的流动参量都有差别，而对于总流，希望利用平均参量来描述其流动特性。因此：
① 用 V 代替公式（ 1）的 u,使公式适用于总流。
② 实际流体有粘性，存在能量损耗 → 。
' 21?wh 21?wh
（ 1）单位时间在 微小流束有效断面 上通过流体的总能量
（ 2）单位时间通过 总流有效断面 流体总能量
u d AgupzdGedE )2(
2
AA udAgupzdEE )2(
2
公式推导：
（ 3）给定断面平均单位重量流体的能量
A udAgupzQQEe )2(1
2
1,2两点的平均单位重量流体的能量关系
2 211 21
2
22
2
2
11
1
1)
2(
1)
2(
1
A
A
A wA u dAhQu dAg
upz
Qu dAg
upz
Q
积分存在那些问题？ —— 压力不等 & 速度不等引进下面两个新概念：
A 缓变流 （解决压力不等的问题）
（ 1）定义：流线间夹角很小，近似平行；
流线曲率半径很大，近似直线的流动。
（ 2）特性：缓变流断面接近平面；
质量力只有重力，离心惯性力可以忽略。
在缓变流中取相距极近的两流线 S1 及 S2,并在有效断面上取一面积为 dA，长为 dz的微小圆体柱。
0)( nFdGpdAdAdpp
00 dzdpF n Cpz
pzu d Apz
Qu d A
pz
Q AA )(
1)(1
急变流,流动参量沿流程急剧变化的总流。
例如：
缓变流断面,1－ 1,4－ 4
急变流断面,2－ 2,3－ 3
B,动能修正系数 （解决流速不均的问题）
因为总流有效断面上的速度分布是不均匀的，设各点真实速度 u与平均速度 V之差为?u，则有：
A udAguQ 21 2
uVu
AAAAA udAQudAV dAdAuVudAQ
0A udA则,
AV
dAu
g
V
AV
dAu
gQ
AV
dAuVAV
gQ
dAudAuVu d AVdAV
gQ
dAuV
gQ
dAu
gQ
u d A
g
u
Q
AA
AA AA A
AAA
2
2
2
2
2
3
233223
33
2
31
2
31
2
3
2
1
)33(
2
1
2
1
2
1
2
1
动能修正系数,＝
则
AV
dAu
AV
dAu
AA
3
3
2
2
31
g
Vu d A
g
u
Q A 22
1 22
令则积分式为：
21 2121 1 AA ww udAhQh
21
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 2g
V
2g
V
wh
pzpz?
—— 实际流体总流的 Bernoulli方程
3、公式说明
（ 1） α 物理意义,它是总流有效断面上的实际动能对按平均流速算出假想动能的比值。 层流时：
2 紊流时,1.1~05.1
（ 2） 的物理意义：实际总流 1→2 有效断面间单位重量液流的平均能量损失。
（ 3）适用条件：
① 稳定流；② 不可压缩；③ 质量力只受重力；④ 选取的计算断面为缓变流断面，中间允许有急变流；⑤ 具有共同流线。
21?wh
三、伯努利方程式的应用
1、伯努利方程式的 应用 包括四个方面：
① 一般水力计算
② 节流式流量计
③ 毕托管、驻压强、总压强（测速管）
④ 流动吸力问题
2、解题步骤：
① 顺液流方向取面两个计算断面：所求未知量所在断面；已知条件比较充分的断面；基准面。
② 列伯努利方程求解 212222221111 2gV2gV whpzpz
3、应用伯努利方程应注意的问题：
① 搞清使用条件；
② 方程中位置水头 z 是相对基准面而言；
③ 计算时，方程两边选用压力标准一致，单位统一；
④ 不作特殊说明，动能修正系数 α =1 ；
⑤ 同一基准面上两点 1,2两处含义不同，不可混用；
⑥ 对于水罐、水池等，液面上速度近似为零。
据连续性方程,A1>>A2,V1<<V2 ==? V1≈ 0
（ 1）一般水力计算问题例１ 已知,C点与大气相通求,Vc＝？ Q＝？ pB＝？
mhmh
mdmd
Paatp
CwBBwA
CA
A
1.0,5.0
02.0,05.0
108.922 4
√ √？ √？？ √ √？
zA,pA,VA； zB,pB,VB； zC,pC,VC
21
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 2g
V
2g
V
wh
pzpz?
例２ 有一喷水装置如图示。
已知,h1＝ 0.3m，
h2＝ 1.0m，
h3＝ 2.5m，
求：喷水出口流速水流喷射高度 h
（不计水头损失）
（ 2）节流式流量计例１,设管径为 D，孔板孔径为 d，
1－ 1 断面处速度为 V1，
2－ 2 断面处速度为 V2，
孔眼处速度为 V。
对于液气压差计
hp
21
p
对于水－汞压差计
hp Hg
1p 21
U形水银压差计连接于直角弯管已知,d1＝ 300mm,d2＝ 100mm，
管中流量 Q＝ 100L/s时，
试问：压差计读数 Δ h等于多少？（不计水头损失）
（ 3） 皮托管（测速管）原理
guo 22
op
① 驻 压强：流动流体中加一障碍物后，驻点处增高的压强，即动能转化而来的压强
② 动压强：流动流体中不受流速影响的某点的压强
③ 总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。
已知：流体密度,U形管内液体密度,液位差读数为 。
求：来流速度 与这些参数的关系式。
单孔测速管双孔测速管测速管 制作原理：当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向四周分流时，
在物体表面上受水流顶冲的 A点流速等于零，称为水流滞止点（驻点）。
驻点处的动能全部转化为压能，单孔测速管和皮托管就是根据这一原理制成的一种测速仪。
例 2,水从立管下端泄出，立管直径为 d＝ 50mm，射流冲击一水平放置的半径 R＝ 150mm的圆盘，若水层离开盘边的厚度 δ ＝ 1mm，
求流量 Q及汞比压计的读数 Δ h。水头损失不计。
分析：
1－ 1,p1（＝ 0），
V1（？），
z1（ √ ）
2－ 2,p2（＝ 0），
V2（？），
z2（ √ ）
3－ 3,p3（？），
V3（＝ 0），
z3（ √ ）（驻点）
（ 4） 流动吸力 —— 喷雾器、喷射泵原理,利用喷嘴处高速水流造成的低压将液箱内的液体吸入泵内与主液流混合。
例：如图一喷射泵
m /s1.4V A
AA
Q 2 5,5 m /sV
C
cA
Q
A－ C列方程：
代入数据得,
CwA
CCAA h
g
Vp
g
Vp
22
22
水柱mp C 94.2
四、水头线和水力坡降
1、水头线的由来
Bernoulli 方程中的每一项比能和水头损失都具有长度的因次，所以它们可用液柱高度来表示，从而可直观地反映各能量转化关系。
2、水头线它是能量方程的几何表示，
即用一个液柱高度来表示每一种比能。
Z,位置水头
g
V
2
2?,流速水头
p,压力水头
hw1－ 2,损失水头
pz?,测压管水头
g
Vpz
2
2?
：总水头
3、水头线的性质
（ 1）总水头线（ Ht）一般情况下总是下降的，有局部损失时集中下降，有泵时除外。
（ 2）测压管水头线（ Hp）总是比总水头线小一速度水头值。
（ 3）当 Hp 线在 Z 线上面时为正压区；反之为负压区。
4、水力坡降单位长度上的水头损失
dL
dh
L
hi w
21
21
第六节 液流能量的增加和泵的效率一、泵的扬程（ H）：泵对单位重量液体所作的功。
（单位重量流体通过泵时增加的能量）
单位：米二、有能量输入（泵）的伯努利方程有泵时的 Bernoulli 方程：
21
2
222
2
2
111
1 2g
V
2g
V
wh
pzHpz?
三、功率
1、泵的有效功率（输出功率）,泵在单位时间内对通过的液体所做的功。
单位时间内水流从泵中实际获得的总能量为,N泵 =?QH
2、输入功率：电动机的输出功率。（轴功率）
3、泵效率：
轴泵
N
N
例,测定水泵扬程的装置如图所示。
已知水泵吸水管直径 d1=200mm，
压水管直径 d2=150mm，测得流量 Q=0.06m3/s，水泵进口真空表读数为 4at,水泵出口压力表读数为 2at,两仪表连接的测压孔位置之间的高差 h=0.5m。
试求此时的水泵扬程 H。若同时测得水泵的轴功率 N=25hp（马力），试求水泵的效率?。
例,已知,Q＝ 0.001m3/s,D＝ 0.01m,hw吸＝ 1m,hw排＝ 25m。
求,H＝？ PB＝？ N泵 ＝？
一,系统
1.定义一团确定不变的流体质点的集合。系统以外的物质称为外界，系统与外界的分界面称为边界。系统可通过边界与外界发生力的作用和能量交换，但不发生质量交换，即系统的质量是不变的。
2.特点
1) 系统的质量不变,通过边界与外界发生力的作用和能量交换。
2) 对于流动过程，系统边界形状也会不断发生变化。
第七节 系统与控制体二、控制体
1、定义：流场中某一个确定区域；
2、特点：形状、位置不变，质点可变；
3、控制面：控制体的周界。
三、输运公式设 N：某一瞬时系统内流体所具有的某一种物理量的总和。
η,单位质量流体所具有的这种物理量。
CS nCV dAudVtdtdN
物理意义：系统内部 N的时间变化率等于控制体内 N的时间变化率加上单位时间经过控制面 N的净含量。
第八节 稳定流的动量方程和动量矩方程一、稳定流动量方程动量定律：系统内的流体动量对时间的导数等于作用在系统上的外力的矢量和,即：
Fdudtd cv V?
稳定流动量方程：
zzz
yyy
xxx
FVVQ
FVVQ
FVVQ
)(
)(
)(
12
12
12
二、动量方程的应用
1、解题步骤：
（ 1）选研究对象（控制体内的流体） 1-1～ 2-2断面 +固体壁面
（ 2）选取适当的坐标系
（ 3）对控制体内的流体进行受力分析
① 重力 G（水平放置的管路不考虑：与管壁的支撑力相抵消）
② 两断面的压力 （表压；注意方向）
③ 边界对液流的作用力 R
反实际方向与假设方向相同实际方向与假设方向相未知，假设方向求解
0
0
R
RR
（ 4）速度分析：分量方向
（ 5）应用动量方程说明：液流对边界的作用力 R’ 与 R是作用力与反作用力。
2、应用
（ 1）流体作用于弯管的力一水平转弯的管路。由于液流在弯道改变了流动方向，
也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁。因此在设计管道时，在管路拐弯处必须考虑这个作用力，并设法平衡之，以防管道破裂。
受力分析：
xRApApxc o s21：轴方向的作用力总和为沿
)c o s( VVQx轴方向的动量变化为：沿代入方程：
)c o s(c o s21 VVQRApAp x
)c o s1()c o s( 21 QVAppR x
s ins in2 QVApR y
同理：
x
y
yx R
RRRR a r c t a n22
（ 2）射流的背压（反推力）
容器在液面下深度等于 h 处有一比液面面积微小得多的出流孔，其面积为 A。在出流孔微小的前提下，假使只就一段很短的时间来看，那出流过程就可以当作近似的稳定流动。
这一瞬刻在容器内的流体，它在水平方向的动量变化将决定于单位的时间内容器流出来的动量：
ghV 2?
2AVQV hAA g hAVF 222
理想流体的出流速度：
（ 3）自由射流对挡板的压力（水平）
射流从喷咀以速度冲向挡板，射流冲击挡板后将沿挡板表面分成两股射流，速度分别为 V1,V2，流量从 Q0 分成 Q1 和
Q2 。由于射流的冲击作用，在挡板上产生一个作用力 R。 流体作用于挡板上的力则与之大小相等，方向相反。
三、应用实例：
一个水平放置的 90o 弯管输送水。
已知,d1＝ 150mm,d2＝ 75mm,p1＝ 2.06× 105 Pa，
Q＝ 0.02 m3/s，不计水头损失。
求：水流对弯管的作用力大小和方向。
例,水自压力容器稳定地出流,压力表 P=10.13× 105
N/m2,h=3m,喷嘴直径 d1=50mm,d2=10mm。若不计管嘴内的液体和管嘴本身的重力，试求管嘴上螺旋群共受多大拉力？
四、动量矩方程动量矩定律：系统内流体对某点的动量矩对时间的导数应等于作用于系统的外力对同一点的力矩和。
() ii
cv
d r u d V r F
dt
稳定流：
() n i i
cs
r u u d A r F
离心泵叶轮
r1
r2
u2
u1
u1e
u2r u1r
u2e
已知离心通风机如图所示,叶轮转速，内外半径，进 \
出口角，进 \出口宽度；流量 Q。求牵连速度、相对速度、
绝对速度和单位重量流体所获得的能量。
