第四章 流体阻力和水头损失第一节 液流阻力产生的原因和水头损失的分类一、基本概念
1、湿周：管子断面上流体与固体壁接触的边界周长。
以 表示。
2、水力半径：断面面积和湿周之比,。
AR?
AR?
圆环流 明渠流
3、绝对粗糙度：壁面上粗糙突起的高度。
4、平均粗糙度：壁面上粗糙颗粒的平均高度或突起高度的平均值。以 Δ 表示 。
5、相对粗糙度,Δ /D （ D —— 管径）。
4
4
22
dD
dD
dD
R
42
2
1 2
a
a
a
R
4
4
2
d
d
d
R
44
2 a
a
aR
圆管,方管：
圆环流,明渠流：
二、阻力产生的原因
1、外因
（ a） 管子的几何形状与几何尺寸。
实验结论,阻力 1 < 阻力 2 < 阻力 3
a41 a52 a43湿周：
水力半径 R，与阻力成反比,R↑ 阻力 ↓
（ b） 与管壁的粗糙度有关,Δ ↑ 阻力 ↑
（ c） 与管长有关,L↑ 阻力 ↑
2、内因流体在流动中永远存在质点的摩擦和撞击现象，流体质点由于相互摩擦所表现出的粘性，以及质点撞击引起速度变化所表现出的惯性，才是流动阻力产生的根本原因。
沿程阻力,粘性造成的摩擦阻力和惯性造成的能量消耗。
局部阻力,液流中流速重新分布，旋涡中粘性力做功和质点碰撞产生动量交换。
三、阻力的分类
1、沿程阻力与沿程水头损失
(1) 沿程阻力,沿着管路直管段所产生的阻力。
（管路直径不变，计算公式不变）
(2) 沿程水头损失,克服沿程阻力所消耗的能量。
∑ hf ＝ hf1 + hf2 + hf3
2、局部阻力与局部阻力损失
(1) 局部阻力,液流流经局部装置时所产生的阻力。
(2) 局部水头损失,∑ hj ＝ hj1 + hj2 + hj3
3,总水头损失,hw ＝ ∑ hf + ∑h j
第二节 两种流态及转化标准一、流动状态 —— 雷诺实验
1、层流 —— 质点是直线运动管内流速较低，看到管内有一条很直的有色水线。有色水线呈直线形状，非常稳定，这表明管内水的流动都是沿着轴向，流体质点没有横向运动，不相互掺混，从管中心开始向管壁延伸流动是一层一层的，这种流动称为层流。
2、过渡区 —— 质点是曲线运动（临界状态）
将管出口阀门逐渐开打，发现有色水线开始抖动，直线变为弯曲线。这说明管内一层层的流动受到扰动，流体质点开始横向运动，直线尽管变得有弯曲形状，但仍在管中心部位。这是一种过渡状态。
3、紊流 —— 质点是无规则运动把圆管出口阀门继续开大，流量增加，管内有色水线的完整形状消失，流动变得杂乱无章。这说明管内流体质点有剧烈的横向运动，互相撞击掺混，流体质点不仅沿轴向而且在纵向也有不规则的脉动，这种流动状态称为紊流。
二、沿程水头损失与流速的关系实验方法：在实验管路 A,B两点装测压管测压降，
用实测流量求流速。
实验数据处理：把实验点描在双对数坐标纸上
（ 1）层流时,m = 1,θ ＝ 45°
（ 2）紊流时,m = 1.75～ 2,θ ＝ 60°
21p ph
f
VmKh f lglglg
三,判别流动状态的标准 Re
1、流体的层流和湍流流动状态与流体的性质即密度和动力粘度有关，还与管道的特征尺寸（这里是管内径 D）和流动的特征速度（这里是流体的平均速度 V）有关。
雷诺数：用 Re表示,对于圆管，雷诺数
2,Re 的物理意义：作用在质点上的惯性力与粘性力的比值。
VdVdRe
当 Re ≤ 2000 时，为层流当 Re ＞ 2000时，为紊流工程上一般取,Re临 ＝ 2000
3 层流（ laminar flow）：是指流体质点不相互混杂，流体作有序的成层流动。
特点：
（ 1）有序性。水流呈层状流动，各层的质点互不混掺，质点作有序的直线运动。
（ 2）粘性占主要作用，遵循牛顿内摩擦定律 。
（ 3）能量损失与流速的一次方成正比。
（ 4）在流速较小且雷诺数 Re较小时发生。
4 紊流（ turbulent flow）：亦称湍流，是指局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。
特点：
（ 1）无序性、随机性、有旋性、混掺性。流体质点不再成层流动，而是呈现不规则紊动，流层间质点相互混掺，为无序的随机运动。
（ 2）紊流受粘性和紊动的共同作用。
（ 3）水头损失与流速的 1.75 – 2 次方成正比。
（ 4）在流速较大且雷诺数较大时发生。
第三节 实际流体运动微分方程式
Navier－ Stokes方程式一、理想流体与实际流体的比较
２、理想流体运动微分方程
１、实际流体与理想流体平衡微分方程
３、理想流体与实际流体的比较二,Navier－ Stokes方程式
—— 粘性不可压缩流体运动微分方程式以 应力形式 表示的实际流体运动微分方程
1、受力分析,
质量力分量：Ｘ、Ｙ、Ｚ
表面力：表面力有两部分（ 法向和切向应力 ）
2、得出结论以 应力形式表示的粘性流体的运动微分方程二,Navier－ Stokes方程式说明
1、对于理想流体 ν ＝ 0，上式变成 Eulerian运动微分方程式。
2、当 u＝ 0时,N－ S方程变成 Eulerian平衡微分方程式。
3、方程可解性：方程中有 12个未知数，需与另外方程联立求解。 N－ S方程求解是一个复杂问题，大部分情况下不能求三、流体质点的应力与应变关系式 —— 本构方程
1、剪应力互等定理
yxxy
zxxz
yzzy
2、切应力的大小
)(
)(
)(
x
u
z
u
xzzx
z
u
y
u
zyyz
y
u
x
u
yxxy
zx
yz
xy
已建立关系：
３、法应力的大小
22 ( )
3
22
3
yxx z
xx
x
uuu u
Pp
x x y z
u
up
x
22
3
y
yy
u
P u py
22
3
z
zz
uP u p
z
四、实际流体的运动微分方程 —— Ｎ－Ｓ方程
1、一般形式
22
3
yx x x x zud u u u u upXu
d t x x x x y x y z z x
22
3
y y y yx zd u u u uu upYu
d t y y y y x x y z y z
22
3
yxz z z z uud u u u upZu
d t z z z z x z x y y z
上式即为不可压缩粘性流体的运动微分方程，一般通称为纳维－斯托克斯方程，即Ｎ－Ｓ方程。
质量力项压力项粘性力项惯性力项对于 不可压缩流体 (粘度为常数 )
说明,以上三个方程＋连续性方程，原则上可以求解，
但数学求解有很大困难。
１）物理意义,质量力＋表面力＝惯性力
２）适用范围：不可压缩流体（理想、实际、定常与非定常）
对于静止流体，欧拉平衡微分方程式：
对于理想流体 v ＝０，理想流体的欧拉运动微分方程：
第四节 因次分析和相似原理由于流体流动十分复杂，至今对一些工程中的复杂流动问题，仍不能完全依靠理论分析来求得解答。因此，实验常常是流动研究中最基本的手段。
(1) 实物试验很困难或太昂贵的情况，如何进行试验？
A 实验中应测哪些量
B 实验数据如何整理相似原理因次分析
(2) 变量太多问题：
一、因次概念、分析
1,因次：即量纲，是标志性质不同的各类物理量的符号。
如：长度因次用 [L] 表示。
基本因次,[M],[L],[T]
无单位的数 —— 无因次量，即因次为 1
因次式：因次表达式。
2、因次齐次性原理 （和谐性原理）
—— 因次分析的基本原理 (各项的因次必须一致 )
如伯努利方程：
21
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 2g
V
2g
V
wh
pzpz?
4、因次分析方法 —— Π 定理 （白金汉 Π 定理）
（ 1） Π 定理适用于：变量多于 4个的复杂问题分析。
（ 2） Π 定理内容：
某一物理过程包含有 n 个物理量，涉及到 m 个基本因次，则这个物理现象可由 n 个物理量组成的 n－ m 个无因次量所表达的关系式来描述，即：
f（ Π 1,Π 2,…,Π n－ m）＝ 0。
（ 3） Π 定理的实用价值：
对于一些复杂的物理现象，即使无法建立微分方程，但只要知道这些现象包含哪些物理量，就能求出它们的无因次综合量 —— 相似准数，从而提供了找出这些物理现象的规律性的可能性。
匀加速直线运动物体 位移,
S = u0t + 1/2 a t2
函数 f(s,u0,t,a) = S - u0t – 1/2 at2 =0
无因次积
2
1 2 3
00
00
4 5 6 2
,,
,,
s a t a t
u t u s
u t u s
s a t a t
独立无因次积
[S]=[L] [u0]=[LT-1] [a]=[LT-2] [t]=[T]
Π = [L]0[T]0 = [S]k1[u0]k2[a]k3[t]k4
= [L]k1[LT-1]k2[LT-2]k3[T]k4
K1 + k2 + k3 = 0
-K2 - 2K3 + K4 = 0
对 L:
对 T:
无因次 Π,
用两个方程求四个 k值，只能任意假定两个 k值，
解其它两个 k值，故相互独立的只有两个 Π 值。
（ 4）应用 Π 定理的步骤（ 5步）：
① 确定影响此物理现象的 各个物理量
② 从 n个物理量中选取 m个基本物理量作为 m个基本因次 的代表。 m一般为 3，应至少包含 M,L,T。
③ 从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基本物理量组合成一个无量纲的 Π 项，一共写出
n－ 3个 Π 项 。
④ 据因次齐次性求各 Π 项的指数 。
⑤ 写出描述物理现象的无因次关系式。
0),,,( 21?nxxxf?
例 1：流体螺旋桨推力问题涉及的变量符号因次如下表，试利用因次分析方法建立变量间的无因次关系式。
解,a,n＝ 7 f（ P,D,V,n,g,ρ,ν ）＝ 0
b,选 ρ,V,D 为基本的物理量
c,建立 n－ m＝ 7－ 3＝ 4个 π 项
d,据因次齐次性求各指数 ai,bi,ci
对于 Π 1项：
444333
222111
43
21
cbacba
cbacba
DVDVg
DVnDVP
111 ][][]][[][ 132000 cba LLTMLM L TTLM
则等式两边对应指数相等。
对于 M,0＝ 1+a1
L,0＝ 1－ 3a1+b1+c1
T,0＝－ 2－ b1
所以,a1 ＝ － 1,b1 ＝ － 2,c1 ＝ － 2
则同理：
则
221 / DVP
VDVDgVnD /,/,/ 4232
0,,,222
VDV
Dg
V
nD
DV
PF?
二、相似原理
1、相似原理：研究模型与实物之间相似关系的基本原理。
2、相似运动：如两个流动相应点上所有表征流动状况的相应物理量都维持各自的固定比例关系，则这两个流动是相似的。
3、动力学相似理论包括,几何相似、运动相似、动力相似。
A 几何相似 n —— 原型 m —— 模型
（ 1）定义：原型与模型之间对应的几何尺寸成比例，
对应角度相等。
（ 2）长度比尺：
（ 3）面积比尺：
模型长度原型长度
m
n
l l
l?
2
2
2
l
m
n
m
n
A l
l
A
A
（ 4）体积比尺,3
3
3
l
m
n
m
n
V l
l
V
V
B 运动相似
（ 1）定义：原型与模型之间对应的运动参数的方向一致，
大小成比例。
（ 2）时间比尺：
m
n
t t
t
（ 3）速度比尺：
t
l
mm
nn
m
n
v tl
tl
v
v
（ 4）加速度比尺：
22
2
t
l
mm
nn
m
n
a tl
tl
a
a
C 动力相似
（ 1）原型与模型之间对应的受力方向一致，大小成比例。
（ 2）力的比尺：
（ 3）动力相似充要条件,Nen = Nem (牛顿数相等 )
22
2
3
23
23
vl
t
l
l
mmmm
nnnn
mmm
nnn
m
n
F tll
tll
aV
aV
F
F
无因次牛顿数：
22vl
FNe
（作用在流体质点上的力系与惯性力之比）
两个几何相似的流动，如果动力相似，则牛顿数必相等。
反之，牛顿数相等的两个几何相似的流动，必为动力相似。
（ 4）完全动力相似：所有外力均满足动力相似条件，即牛顿数相等。
（ 5）局部动力相似：部分外力满足动力相似条件。
4、相似准数：无因次数由于实际情况的限制，达到完全的动力相似困难。因此，进行模型实验时，常只考虑某些起主要作用的力，根据起主要作用外力种类，常用的相似准数有,雷诺数 Re 佛劳德数 Fr 欧拉数
Eu 韦伯数 We 柯西数 Ca。
（ 1）雷诺数 Re,作用在流体上的外力中,粘性力 起主导作用，
如低速有压管流，设计模型实验时，需 Re相等。
dy
duAF ][][][ 2 Vl
l
VlF
VlVlVl
Vl
F
FeN
i
22
Vl?Re
—— 物理意义：惯性力与粘性力之比。
粘性力：
则：
即：
（ 2）佛劳德数 Fr,以 重力 为主时,Fr 相等 —— 如明渠流。
因为 F＝ Mg 所以佛劳德数（惯性力与重力之比）
][][ 3 glF
222
3
V
gl
Vl
gl
F
F
i
gl
VFr 2?佛劳德数：
（ 3）欧拉数 Eu：以 压力 为主时,Eu 相等 —— 研究水中物体的受力因为 所以欧拉数 （压力与惯性力之比）
][][][ 2plpAF 222
2
V
p
Vl
lp
F
F
i
2V
pEu
（ 4）韦伯数 We,表面张力 相似时,We相等。
韦伯数：
（ 5）柯西数 Ca,弹性力 相似时,Ca相等。
柯西数：
222 VlVl
l
2VlWe?
222
2
V
K
lV
Kl
/
2
K
VC
a?
K —— 流体弹性系数例：油泵抽贮油池中的石油，为保证不发生漩涡及吸入空气，
必须用实验方法确定最小油位 h，已知原型设备中吸入管直径 dn=250mm,ν n=0.75× 10-4 m2/s,Qn=140L/s，实验在 1,5
的模型中进行，试确定：
(1) 模型中 ν m =？,Qm =？,Vm =？
(2) 若模型中出现漩涡的最小液柱高度 hm = 60mm，求 hn=？
分析：重力、惯性力、粘性力，特征长度为 d
第五节 圆管层流分析当 Re ≤ 2000 时，为层流：常发生在粘度较高或速度较低的情况下。
主要内容：
流速分布流量计算公式切应力分布规律沿程水头损失的计算由雷诺试验发现,层流时液体质点互不干扰,分层向前运动 。 因此,流体在圆管中作层流流动时仅存在轴向流速,且轴对称,如图示 。
一、圆管层流分析 —— 不可压缩流体的定常层流运动
1、流速分布（由实际不可压流体的运动微分方程求 出 ）
Navier— Stokes方程：
dt
du
z
u
y
u
x
u
x
pX xxxx?
2
2
2
2
2
21
dt
du
z
u
y
u
x
u
y
pY yyyy?
2
2
2
2
2
21
dt
du
z
u
y
u
x
u
z
pZ zzzz?
2
2
2
2
2
21
以下根据圆管层流的运动特点对 N－ S方程进行简化。
（ 1）液流沿水平等径管运动,ux＝ u,uy＝ uz＝ 0；
（ 2）水平运动且为稳定流,X＝ Y＝ 0,Z＝－ g；
（ 3）对于稳定流动：
0 xux 0yuy 0 zuz 022 xux
0?dtdux 0?dtduy 0?dtduz
则 N— S方程变成：
01 2
2
2
2
z
u
y
u
x
p xx?
01 yp?
01 zpg?
（ 4） 对于等径管，压强沿轴向变化率为定值,
（ 5）由于管道的对称性,ux（ y,z） ＝ ux（ r），
由圆柱坐标可得：
将（ 4）（ 5）代入：
01 2
2
2
2
z
u
y
u
x
p xx?
L
p
L
pp
L
pp
x
p
2112
2
2
2
2
2
2
2
2
dr
ud
r
u
z
u
y
u xxxx?
2
2
2 dr udLp x
可得：
2
2
2 dr udLp x
对 积分：
边界条件,r = 0 时,du/dr = 0；
r = R 时,u = 0。
)(4 22 rRLpu积分得：
左式表明：圆管中层流过水断面速度沿半径方向呈抛物线分布。
当 r=0 时：
L
pDR
L
pur
m 164,0
2
2
过流断面上的流量 Q 等于,
平均流速 V：
2
m a x2
1
82
QpV R u
Rl
222 ( )
2
RR
oo
pQ u rd r R r rd r
l
4
8
p R
l
rLprr uudrdudrdudydu 20
12
12
牛顿内摩擦定律,切应力：
当 r＝ R 时,τ ＝ τ 0
RLp20
R
r
0
故,有效断面上，切应力随 r 成线性关系。
rLprr uudrdudrdudy 20
12
12
牛顿内摩擦定律：
2、沿程损失
g
V
D
l
g
V
D
l
DVgD
lV
gR
lVh
f 2Re
64
2
64328 22
22
Re
64
g
V
D
lh
f 2
2
对于水平等径直管：
ph
f
l
pDV
32
2?
232 D lVp
又所以：
其中,为层流沿程水力摩阻系数。
即：
层流状态，水头损失与速度呈线性关系。
g
V
D
l
g
V
D
l
DVgD
lV
gR
lVh
f 2Re
64
2
64328 22
22
对于非水平放置的等径直管：
公式仍然适用，仅需将 用 代替即可。
)()()()( 22112
2
1
1
zpzppzpzh
f
**
2
*
1 ppp
p? *p?
一、紊流的产生由于粘性的存在，限制了流体质点的扰动，从而在一定雷诺数限度内能维持层流状态。
1 两层流体有速度差别是造成不稳定的主要原因。
2 粘滞性对漩涡的产生、存在和发展具有决定性的作用。
3 在剪切流动中，横向压力梯度的存在导致漩涡的产生。
第六节 紊流理论分析二、紊流的脉动紊流状况下，流体质点运动非常紊乱，其运动速度的大小和方向随时改变。表现为各点速度和压力的 脉动现象 —— 紊流的随机性。
tt?
x
v
xi
v
x
v?
o
xi
v
三、紊流的一种研究方法 时均法时均法 —— 在紊流流场中某一固定点上，在不同时刻测量该处的速度。
图中两条曲线为两次实验结果，由图，每次实验的速度变化都极不规则，在相当长的时段内的平均却是相同的。
时均速度
t0 dt1 xix vtv
脉动速度瞬时速度
xv?
,xxxi vvv
同理时均参数不随时间改变的紊流流动称为准定常流动 或 时均定常流 。
tt?
x
v
xi
v
x
v?
o
xi
v
瞬时轴向速度与时均速度图
,ppp i
VVNNVNV N
K
K
11
1
BABA
0 VVVVVVVV?
0VV
BABAAB
平均值的平均仍为原平均值：
瞬时量之和的平均等于各量平均值之和：
脉动值的平均值等于零：
脉动值与任一平均值乘积的平均等于零：
两瞬时量积的平均等于两瞬时量平均的积加上脉动量积的平均：
脉动值与平均值的性质我们知道,紊流运动极不规则,极不稳定,每一点的速度随时间和空间随机地变化着 。 对于这类随机现象,人们对每点每一瞬时的真实速度并不感兴趣,而把注意力集中在时均运动上 。
连续性方程瞬时脉动的连续性方程
0yx zuu ux y z
0yx zuu ux y z
对于不可压缩流体准稳定流：
时均运动微分方程 对 N-S 方程取时均,
以 X方向为例,
z
uu
y
uu
x
uu
t
uu
x
pX iiii
i
x
z
x
y
x
x
x
x
i
i?
21?
x
Tt
t x
Tt
t
Tt
t ux
pXdtu
Tdtx
p
TX d tT
22 11111 0
0
0
0
0
0
等号左边取时均,等号右边第一项取时均,tudttuT xTt
t
x
0
0
1
xzxyxx
z
xxz
y
xyx
x
xxx
x
z
x
y
x
x
uu
z
uu
y
uu
x
z
u
uuu
zy
u
uuu
yx
u
uuu
xz
u
u
y
u
u
x
u
u
等号右边后三项可化为,
xzxzxyxyxxx
xzxyxx
x
z
x
y
x
x
uuuu
z
uuuu
y
uuu
x
uu
z
uu
y
uu
xz
u
u
y
u
u
x
u
u
2
所以则整理可得
xzxyxxx
xz
x
xy
x
x
x
uu
z
uu
y
uu
xt
u
uu
z
u
z
uu
y
u
y
u
x
u
xx
p
X
2
同理
yzzyyxy
yz
y
y
y
yx
y
uu
z
uu
y
uu
xt
u
uu
z
u
z
u
y
u
y
uu
x
u
xy
p
Y
2
zzzyzxz
z
z
zy
z
zx
z
uu
z
uu
y
uu
xt
u
u
z
u
z
uu
y
u
y
uu
x
u
xx
p
Z
2
222,,
zyx uuu
xzzyyx uuuuuu,,
统称为：雷诺应力
—— 雷诺方程由于脉动而产生的附加法向应力与 N－ S 方程相比，它多了以下六项：
由于脉动而产生的切向应力显然，除了流体分子的粘性应力外，还多了由脉动所引起的应力，这种新型应力称为 紊流应力 或 雷诺应力,时均流动所满足的方程称为 雷诺方程。 应当指出，上述方程组是不封闭的，方程的个数只有四个，而未知数却有十个，即三个速度分量，一个压强分量和六个雷诺应力分量。为了使方程组封闭，必须在雷诺应力与时均速度间建立补充关系 —— 紊流模型 。
四、普朗特混合长理论及无界固壁上的紊流运动为了求解雷诺方程,核心问题是建立雷诺应力与时均速度之间的关系 （ 紊流模型 ）,从而使雷诺方程封闭,这里介绍一种最主要的半经验理论,它是普朗特提出的,称为普朗特混合长理论 。
混合长度当流体质点在 y方向脉动，由一层跳入另一层时，要经过一段不与其它任何流体质点相碰的距离 l，以自己原来的动量和新位置周围的质点相混，完成动量交换。流体质点从一层跳入另一层所经过的这一段距离 l 称为混合长度，它是流体质点在横向混杂运动中，其自由行程的平均值。
Prandtl混合长度假说
（ 1） 流体质点的纵向脉动速度 近似等于两层流体的时均速度之差 。
dy
udlu x
x
xu?
yu? xu?
（ 2）横向脉动速度 和纵向脉动速度 成比例
dy
udlCuCu x
xy
（ 3） l∝y,即 l正比于距离壁面的距离。
五、圆管内速度分布为水力摩阻系数层,Re30 d?1、概念：
（ 1） 层流边层,当流动是紊流状态时，在贴近管壁的地方仍有一层流体底层 δ 层。
（ 2） 水力光滑,当 δ 层 > 绝对粗糙度 Δ 时,Δ 对流动阻力影响不计，称为水力光滑。
（ 3） 水力粗糙,当 δ 层 < Δ 时,Δ 对流动阻力有很大影响，
称为水力粗糙。
2 速度分布壁面附近流动情况分成三个区域研究,近壁层流底层区、
过渡区、紊流核心区。
圆管紊流速度分布近似指数表达式实验证明,n
m r
yuu
0
um —— 轴心处最大流速； y —— 坐标值；
ro —— 半径； n —— 指数。
对于水力光滑管：
对于水力粗糙管：
10
1?n
第七节 圆管紊流沿程水力摩阻的实验分析一、圆管沿程水头损失计算通式由于紊流运动的复杂性，水力摩阻系数的计算无精确公式，它的计算一般借助于经验公式。
公式推导方法（因次分析法）：
（ 1）找出影响水力摩阻的各种因素
（ 2）利用因次分析方法找出其函数关系式
（ 3）实验处理
（ 4）导出公式
1 影响能耗因素
Δ P d ρ μ V L Δ
ML-1T-2 L ML-3 ML-1T-1 LT-1 L L
2 选基本物理量,ρ,V,d
3 组成 4个 π 项：
444333
222111
43
21
zyxzyx
zyxzyx
dVdVL
dVdVP
4 据因次齐次性求各 π 项：
dd
L
VdV
P
43221,,,
g
V
dd
LfPh
dd
L
Vdf
VPh
dd
L
VdfV
P
f
f
2,R e,2
,,
,,
2
2
2
5 列出关系式：
实验证明,hf ∝ L/D 则：
g
V
dd
LfPh
dd
L
Vdf
VPh
dd
L
VdfV
P
f
f
2,R e,2
,,
,,
2
2
2
g
V
dd
LfPh
dd
L
Vd
fVPh
dd
L
Vd
f
V
P
f
f
2
,R e,2
,,
,,
2
2
2
g
V
dd
LfPh
dd
L
Vd
fVPh
dd
L
Vd
f
V
P
f
f
2
,R e,2
,,
,,
2
2
2
g
V
d
L
dfh f 2R e,2
2
df R e,2?令则
g
V
d
Lh
f 2
2
—— 沿程水头损失计算公式（达西公式）
二、计算沿程水力摩阻系数 λ的经验公式
1、确定 的实验方法?
df R e,2?
λ 与 Re 和 Δ /D 有关,实验步骤：
选定 Δ/D为定值的管子，变更不同的流量，通过测量一定管长的压差，作 λ -f1（ Re）关系曲线；
一个管子测定完后，变更不同相对粗糙度的管子，用同样方法实验，就得出不同相对粗糙度情况下的多条曲线。
对于水平管：
g
V
d
Lph
f 2
2?
22
22
VL
gpd
VL
gdh f
Vd?Re
层流区过渡区水力光滑管区
Re
光滑至粗糙过渡区 水力粗糙管区尼库拉兹实验曲线图由尼库拉兹实验曲线可知：
(1)对于层流状态,圆管内沿程阻力损失系数与粗糙度无关；
(2)对于层流向紊流的过渡,圆管内沿程阻力损失系数受粗糙度的影响较小；
(3)对于紊流状态,粗糙度对沿程阻力系数有显著影响 。
2 计算水力摩阻的莫迪图
0.05
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.001
0.000 8
0.000 6
0.000 4
0.000 2
0.000 1
0.000,05
0.000,01
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.009
0.008
层流区临界区过渡区完全紊流粗糙管区光滑管区
3
10
4
10
5
10
2 3 8654 2 3 4 5 6 8 2 3 4 5 6 8 2 3 4 5 6 8 2
3 4 5 6 8
6
10
7
10
8
10
d
Re 0 0 0 0 0 1.0?
d
000005.0?
d
（用于计算工业管道）
3 常用计算水力摩阻的经验公式常用公式见教材 125 表 4-7
输油用特殊橡胶软管，其水力摩阻的参考经验公式：
（ 1）装有钢丝圈的橡胶软管
（ 2）平滑橡胶软管教材 126
教材 126
一般来说，常用管道水力摩阻的计算，都可查阅相关的经验公式或计算图表。
[例 ] 沿程损失：已知管道和流量求沿程损失求：冬天和夏天的沿程损失 hf
解,30 0 2 7 7 8
3600
mQ,m s
smd
QV 884.0
2.0
4278.04
22
冬天 2 3 0 01 6 1 9
100 9 2.1
2.08 8 5.0Re
41
Vd 层流夏天 2 3 0 04 9 8 0
10355.0
2.0884.0Re
42
Vd 湍流冬天 (油柱 ) m
g
V
d
l
g
V
d
lh
f 6.2381.92
885.0
2.0
3 0 0 0
1 6 1 9
64
2Re
64
2
222
1
1
1
夏天 m
g
V
d
lh
f 0.2381.92
884.0
2.0
30000385.0
2
22
22
(油柱 )
已知,d＝ 200mm,l＝ 3000m 的旧无缝钢管,ρ ＝ 900 kg/m3,Q＝ 90T/h,
在冬天为 1.092× 10-4 m2/s,夏天为 0.355× 10-4 m2/s
在夏天，查旧无缝钢管等效粗糙度 ε =0.2mm,ε /d=0.001
查穆迪图 λ 2=0.0385
[例 ] 沿程损失：已知沿程损失和流量求管径求,管径 d 应选多大解：
22
04.040 3 1 4.0
ddA
QV
由达西公式
5
22
2
2 1
086.0)4(2 12 dlQdQgdlgVdlh f
42
2
5 1069.3
61.900318.04000826.00826.0
fh
lQd
ddd
dVd 4 0 0 0
10
04.004.0Re
52
aKPp 8 0 0
已知,l＝ 400m 的旧无缝钢管输送比重 0.9,=10 -5 m2/s 的油
Q = 0.0314 m3/s
[例 ] 沿程损失：已知沿程损失和流量求管径
41 1006.40 9 8 4.0/4 0 0 0Re
由 ε / d = 0.2 / 98.4 = 0.002，查 Moody 图得 λ 2 = 0.027
d 2 = (3.69× 10– 4 × 0.027) 1 / 5 = 0.0996 (m)
Re2 = 4000 / 0.0996 = 4.01× 104
由 ε / d = 0.2 / 99.6 = 0.002，查 Moody 图得 λ 3 = 0.027
取 d =0.1m。
用迭代法 设 λ 1=0.025
)(104.98)025.01069.3( 35/141 md
第七节 局部水力摩阻
1、局部阻力的产生在工业生产过程中，出于各种净化、输送、控制、计量等原因，经常遇到转弯、加速、减速、分流、合流、调节等环节，因此必须安装各种管道附件。
常用的管件有 弯头、三通、变径段、短接、活接、进出口、过滤器、节流测量元件、各种阀件 等。
流体在这些管件中流动时受到扰动，在局部装置处出现旋涡区和速度重新分布。这使得流体产生不规则地旋转和撞击运动，消耗能量造成能量损失。
(1) 局部阻力的产生条件
A、管道断面发生变化，例如过流断面突然扩大、缩小；
B、流动方向有改变，例如弯管；
C、管道中有局部装置，例如安装阀门。
(2) 产生局部损失的物理原因
A、液流中流速重新分布任何断面形状的改变，都必将引起流速的重新分布，因而附加了流体间的相对运动和流体质点的急剧变形，结果导致质点间附加摩擦和相互撞击，使流体能量受到损失。
B、在旋涡中粘性力作功流速的重新分布，总是伴随有流动分离和旋涡的形成，在旋涡区由于粘性的存在，便有摩擦的能量损失。
C、流体质点的混掺引起的动量变化在旋涡区中，又有质点被主流所带走，即有动量交换，因而消耗运动流体的能量。
2、局部水头损失计算公式（用实验方法确定）
为局部阻力系数在工程实际中，为了便于合并局部和沿程水头损失，
局部水头损失也常写成：
其中：
那么当量长度：
g
V
d
lh
j 2
2
当
d
l当＝
dl?
当
0? 022.00
022.00
对教材表 4－ 8查说明：
是在局部水头损失从理论上推导一般是很困难的。仅有极少数的局部阻力可用理论分析方法进行计算，而绝大多数的局部阻力都需用实验方法来确定。 通过实验确定局部阻力系数。
局部阻力的形式繁多，而且绝大多数处于紊流状态。各种手册或文献通过实验或实践经验，列出了常用的局部阻力系数，
应用时只需 查表 即可。
的紊流过程确定的。
如果实际管路中的水力摩阻系数为，则局部阻力系数需按比例换算成：
对于层流,修正系数 见教材表 4-9。?
0Re0Re0Re
A、突然扩大管水头损失取 1－ 1,2－ 2断面列方程得
g
VVpzzh
j 2
p 222121
21
(忽略沿程水力损失 hf)
几种水力摩阻的理论分析取 1－ 1,2－ 2为控制体，列动量方程：
p为涡流区环形面积 (A2-A1)上的平均压力。
实验发现 p ≈p 1，于是上式变为：
)()( 12122211 VVQAApApAp
)()( 12221 VVQApp
)( 12
2
21 VVA
Qpp
)( 122 VVV
g
VV
VVVV
g
g
VV
g
VVV
g
VVVVV
h
j
2
)2(
2
1
2
2
)(
2
21
2
112
2
2
2
2
2
112
2
2
2
2
2
1122
g
V
g
V
A
A
g
V
g
V
A
A
h
j
22
1
22
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
g
VVpzzh
j 2
p 222121
21
代入 得：
当管道与大面积的水池相连时
11
管道入口的能量损失
5.02
例,流速由 V1 变为 V3 的突然扩大管，为了减小阻力，可分两次扩大，问中间级 V2 取多大时，所产生的局部阻力最小？比一次扩大的阻力小多少？
例,如图所示，水在压强作用下从密封的下水箱沿竖直管道流入上水箱中，已知 h
＝ 50cm,H＝ 3m，管道直径 D
＝ 25mm,λ ＝ 0.02，各局部阻力系数分别为 ζ 1＝ 0.5，
ζ 2＝ 5.0,ζ 3＝ 1.0，管中流速 V ＝ 1m/s，求：下水箱的液面压强。（设稳定流动）
1、湿周：管子断面上流体与固体壁接触的边界周长。
以 表示。
2、水力半径：断面面积和湿周之比,。
AR?
AR?
圆环流 明渠流
3、绝对粗糙度：壁面上粗糙突起的高度。
4、平均粗糙度：壁面上粗糙颗粒的平均高度或突起高度的平均值。以 Δ 表示 。
5、相对粗糙度,Δ /D （ D —— 管径）。
4
4
22
dD
dD
dD
R
42
2
1 2
a
a
a
R
4
4
2
d
d
d
R
44
2 a
a
aR
圆管,方管：
圆环流,明渠流：
二、阻力产生的原因
1、外因
（ a） 管子的几何形状与几何尺寸。
实验结论,阻力 1 < 阻力 2 < 阻力 3
a41 a52 a43湿周：
水力半径 R，与阻力成反比,R↑ 阻力 ↓
（ b） 与管壁的粗糙度有关,Δ ↑ 阻力 ↑
（ c） 与管长有关,L↑ 阻力 ↑
2、内因流体在流动中永远存在质点的摩擦和撞击现象，流体质点由于相互摩擦所表现出的粘性，以及质点撞击引起速度变化所表现出的惯性，才是流动阻力产生的根本原因。
沿程阻力,粘性造成的摩擦阻力和惯性造成的能量消耗。
局部阻力,液流中流速重新分布，旋涡中粘性力做功和质点碰撞产生动量交换。
三、阻力的分类
1、沿程阻力与沿程水头损失
(1) 沿程阻力,沿着管路直管段所产生的阻力。
（管路直径不变，计算公式不变）
(2) 沿程水头损失,克服沿程阻力所消耗的能量。
∑ hf ＝ hf1 + hf2 + hf3
2、局部阻力与局部阻力损失
(1) 局部阻力,液流流经局部装置时所产生的阻力。
(2) 局部水头损失,∑ hj ＝ hj1 + hj2 + hj3
3,总水头损失,hw ＝ ∑ hf + ∑h j
第二节 两种流态及转化标准一、流动状态 —— 雷诺实验
1、层流 —— 质点是直线运动管内流速较低，看到管内有一条很直的有色水线。有色水线呈直线形状，非常稳定，这表明管内水的流动都是沿着轴向，流体质点没有横向运动，不相互掺混，从管中心开始向管壁延伸流动是一层一层的，这种流动称为层流。
2、过渡区 —— 质点是曲线运动（临界状态）
将管出口阀门逐渐开打，发现有色水线开始抖动，直线变为弯曲线。这说明管内一层层的流动受到扰动，流体质点开始横向运动，直线尽管变得有弯曲形状，但仍在管中心部位。这是一种过渡状态。
3、紊流 —— 质点是无规则运动把圆管出口阀门继续开大，流量增加，管内有色水线的完整形状消失，流动变得杂乱无章。这说明管内流体质点有剧烈的横向运动，互相撞击掺混，流体质点不仅沿轴向而且在纵向也有不规则的脉动，这种流动状态称为紊流。
二、沿程水头损失与流速的关系实验方法：在实验管路 A,B两点装测压管测压降，
用实测流量求流速。
实验数据处理：把实验点描在双对数坐标纸上
（ 1）层流时,m = 1,θ ＝ 45°
（ 2）紊流时,m = 1.75～ 2,θ ＝ 60°
21p ph
f
VmKh f lglglg
三,判别流动状态的标准 Re
1、流体的层流和湍流流动状态与流体的性质即密度和动力粘度有关，还与管道的特征尺寸（这里是管内径 D）和流动的特征速度（这里是流体的平均速度 V）有关。
雷诺数：用 Re表示,对于圆管，雷诺数
2,Re 的物理意义：作用在质点上的惯性力与粘性力的比值。
VdVdRe
当 Re ≤ 2000 时，为层流当 Re ＞ 2000时，为紊流工程上一般取,Re临 ＝ 2000
3 层流（ laminar flow）：是指流体质点不相互混杂，流体作有序的成层流动。
特点：
（ 1）有序性。水流呈层状流动，各层的质点互不混掺，质点作有序的直线运动。
（ 2）粘性占主要作用，遵循牛顿内摩擦定律 。
（ 3）能量损失与流速的一次方成正比。
（ 4）在流速较小且雷诺数 Re较小时发生。
4 紊流（ turbulent flow）：亦称湍流，是指局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。
特点：
（ 1）无序性、随机性、有旋性、混掺性。流体质点不再成层流动，而是呈现不规则紊动，流层间质点相互混掺，为无序的随机运动。
（ 2）紊流受粘性和紊动的共同作用。
（ 3）水头损失与流速的 1.75 – 2 次方成正比。
（ 4）在流速较大且雷诺数较大时发生。
第三节 实际流体运动微分方程式
Navier－ Stokes方程式一、理想流体与实际流体的比较
２、理想流体运动微分方程
１、实际流体与理想流体平衡微分方程
３、理想流体与实际流体的比较二,Navier－ Stokes方程式
—— 粘性不可压缩流体运动微分方程式以 应力形式 表示的实际流体运动微分方程
1、受力分析,
质量力分量：Ｘ、Ｙ、Ｚ
表面力：表面力有两部分（ 法向和切向应力 ）
2、得出结论以 应力形式表示的粘性流体的运动微分方程二,Navier－ Stokes方程式说明
1、对于理想流体 ν ＝ 0，上式变成 Eulerian运动微分方程式。
2、当 u＝ 0时,N－ S方程变成 Eulerian平衡微分方程式。
3、方程可解性：方程中有 12个未知数，需与另外方程联立求解。 N－ S方程求解是一个复杂问题，大部分情况下不能求三、流体质点的应力与应变关系式 —— 本构方程
1、剪应力互等定理
yxxy
zxxz
yzzy
2、切应力的大小
)(
)(
)(
x
u
z
u
xzzx
z
u
y
u
zyyz
y
u
x
u
yxxy
zx
yz
xy
已建立关系：
３、法应力的大小
22 ( )
3
22
3
yxx z
xx
x
uuu u
Pp
x x y z
u
up
x
22
3
y
yy
u
P u py
22
3
z
zz
uP u p
z
四、实际流体的运动微分方程 —— Ｎ－Ｓ方程
1、一般形式
22
3
yx x x x zud u u u u upXu
d t x x x x y x y z z x
22
3
y y y yx zd u u u uu upYu
d t y y y y x x y z y z
22
3
yxz z z z uud u u u upZu
d t z z z z x z x y y z
上式即为不可压缩粘性流体的运动微分方程，一般通称为纳维－斯托克斯方程，即Ｎ－Ｓ方程。
质量力项压力项粘性力项惯性力项对于 不可压缩流体 (粘度为常数 )
说明,以上三个方程＋连续性方程，原则上可以求解，
但数学求解有很大困难。
１）物理意义,质量力＋表面力＝惯性力
２）适用范围：不可压缩流体（理想、实际、定常与非定常）
对于静止流体，欧拉平衡微分方程式：
对于理想流体 v ＝０，理想流体的欧拉运动微分方程：
第四节 因次分析和相似原理由于流体流动十分复杂，至今对一些工程中的复杂流动问题，仍不能完全依靠理论分析来求得解答。因此，实验常常是流动研究中最基本的手段。
(1) 实物试验很困难或太昂贵的情况，如何进行试验？
A 实验中应测哪些量
B 实验数据如何整理相似原理因次分析
(2) 变量太多问题：
一、因次概念、分析
1,因次：即量纲，是标志性质不同的各类物理量的符号。
如：长度因次用 [L] 表示。
基本因次,[M],[L],[T]
无单位的数 —— 无因次量，即因次为 1
因次式：因次表达式。
2、因次齐次性原理 （和谐性原理）
—— 因次分析的基本原理 (各项的因次必须一致 )
如伯努利方程：
21
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 2g
V
2g
V
wh
pzpz?
4、因次分析方法 —— Π 定理 （白金汉 Π 定理）
（ 1） Π 定理适用于：变量多于 4个的复杂问题分析。
（ 2） Π 定理内容：
某一物理过程包含有 n 个物理量，涉及到 m 个基本因次，则这个物理现象可由 n 个物理量组成的 n－ m 个无因次量所表达的关系式来描述，即：
f（ Π 1,Π 2,…,Π n－ m）＝ 0。
（ 3） Π 定理的实用价值：
对于一些复杂的物理现象，即使无法建立微分方程，但只要知道这些现象包含哪些物理量，就能求出它们的无因次综合量 —— 相似准数，从而提供了找出这些物理现象的规律性的可能性。
匀加速直线运动物体 位移,
S = u0t + 1/2 a t2
函数 f(s,u0,t,a) = S - u0t – 1/2 at2 =0
无因次积
2
1 2 3
00
00
4 5 6 2
,,
,,
s a t a t
u t u s
u t u s
s a t a t
独立无因次积
[S]=[L] [u0]=[LT-1] [a]=[LT-2] [t]=[T]
Π = [L]0[T]0 = [S]k1[u0]k2[a]k3[t]k4
= [L]k1[LT-1]k2[LT-2]k3[T]k4
K1 + k2 + k3 = 0
-K2 - 2K3 + K4 = 0
对 L:
对 T:
无因次 Π,
用两个方程求四个 k值，只能任意假定两个 k值，
解其它两个 k值，故相互独立的只有两个 Π 值。
（ 4）应用 Π 定理的步骤（ 5步）：
① 确定影响此物理现象的 各个物理量
② 从 n个物理量中选取 m个基本物理量作为 m个基本因次 的代表。 m一般为 3，应至少包含 M,L,T。
③ 从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基本物理量组合成一个无量纲的 Π 项，一共写出
n－ 3个 Π 项 。
④ 据因次齐次性求各 Π 项的指数 。
⑤ 写出描述物理现象的无因次关系式。
0),,,( 21?nxxxf?
例 1：流体螺旋桨推力问题涉及的变量符号因次如下表，试利用因次分析方法建立变量间的无因次关系式。
解,a,n＝ 7 f（ P,D,V,n,g,ρ,ν ）＝ 0
b,选 ρ,V,D 为基本的物理量
c,建立 n－ m＝ 7－ 3＝ 4个 π 项
d,据因次齐次性求各指数 ai,bi,ci
对于 Π 1项：
444333
222111
43
21
cbacba
cbacba
DVDVg
DVnDVP
111 ][][]][[][ 132000 cba LLTMLM L TTLM
则等式两边对应指数相等。
对于 M,0＝ 1+a1
L,0＝ 1－ 3a1+b1+c1
T,0＝－ 2－ b1
所以,a1 ＝ － 1,b1 ＝ － 2,c1 ＝ － 2
则同理：
则
221 / DVP
VDVDgVnD /,/,/ 4232
0,,,222
VDV
Dg
V
nD
DV
PF?
二、相似原理
1、相似原理：研究模型与实物之间相似关系的基本原理。
2、相似运动：如两个流动相应点上所有表征流动状况的相应物理量都维持各自的固定比例关系，则这两个流动是相似的。
3、动力学相似理论包括,几何相似、运动相似、动力相似。
A 几何相似 n —— 原型 m —— 模型
（ 1）定义：原型与模型之间对应的几何尺寸成比例，
对应角度相等。
（ 2）长度比尺：
（ 3）面积比尺：
模型长度原型长度
m
n
l l
l?
2
2
2
l
m
n
m
n
A l
l
A
A
（ 4）体积比尺,3
3
3
l
m
n
m
n
V l
l
V
V
B 运动相似
（ 1）定义：原型与模型之间对应的运动参数的方向一致，
大小成比例。
（ 2）时间比尺：
m
n
t t
t
（ 3）速度比尺：
t
l
mm
nn
m
n
v tl
tl
v
v
（ 4）加速度比尺：
22
2
t
l
mm
nn
m
n
a tl
tl
a
a
C 动力相似
（ 1）原型与模型之间对应的受力方向一致，大小成比例。
（ 2）力的比尺：
（ 3）动力相似充要条件,Nen = Nem (牛顿数相等 )
22
2
3
23
23
vl
t
l
l
mmmm
nnnn
mmm
nnn
m
n
F tll
tll
aV
aV
F
F
无因次牛顿数：
22vl
FNe
（作用在流体质点上的力系与惯性力之比）
两个几何相似的流动，如果动力相似，则牛顿数必相等。
反之，牛顿数相等的两个几何相似的流动，必为动力相似。
（ 4）完全动力相似：所有外力均满足动力相似条件，即牛顿数相等。
（ 5）局部动力相似：部分外力满足动力相似条件。
4、相似准数：无因次数由于实际情况的限制，达到完全的动力相似困难。因此，进行模型实验时，常只考虑某些起主要作用的力，根据起主要作用外力种类，常用的相似准数有,雷诺数 Re 佛劳德数 Fr 欧拉数
Eu 韦伯数 We 柯西数 Ca。
（ 1）雷诺数 Re,作用在流体上的外力中,粘性力 起主导作用，
如低速有压管流，设计模型实验时，需 Re相等。
dy
duAF ][][][ 2 Vl
l
VlF
VlVlVl
Vl
F
FeN
i
22
Vl?Re
—— 物理意义：惯性力与粘性力之比。
粘性力：
则：
即：
（ 2）佛劳德数 Fr,以 重力 为主时,Fr 相等 —— 如明渠流。
因为 F＝ Mg 所以佛劳德数（惯性力与重力之比）
][][ 3 glF
222
3
V
gl
Vl
gl
F
F
i
gl
VFr 2?佛劳德数：
（ 3）欧拉数 Eu：以 压力 为主时,Eu 相等 —— 研究水中物体的受力因为 所以欧拉数 （压力与惯性力之比）
][][][ 2plpAF 222
2
V
p
Vl
lp
F
F
i
2V
pEu
（ 4）韦伯数 We,表面张力 相似时,We相等。
韦伯数：
（ 5）柯西数 Ca,弹性力 相似时,Ca相等。
柯西数：
222 VlVl
l
2VlWe?
222
2
V
K
lV
Kl
/
2
K
VC
a?
K —— 流体弹性系数例：油泵抽贮油池中的石油，为保证不发生漩涡及吸入空气，
必须用实验方法确定最小油位 h，已知原型设备中吸入管直径 dn=250mm,ν n=0.75× 10-4 m2/s,Qn=140L/s，实验在 1,5
的模型中进行，试确定：
(1) 模型中 ν m =？,Qm =？,Vm =？
(2) 若模型中出现漩涡的最小液柱高度 hm = 60mm，求 hn=？
分析：重力、惯性力、粘性力，特征长度为 d
第五节 圆管层流分析当 Re ≤ 2000 时，为层流：常发生在粘度较高或速度较低的情况下。
主要内容：
流速分布流量计算公式切应力分布规律沿程水头损失的计算由雷诺试验发现,层流时液体质点互不干扰,分层向前运动 。 因此,流体在圆管中作层流流动时仅存在轴向流速,且轴对称,如图示 。
一、圆管层流分析 —— 不可压缩流体的定常层流运动
1、流速分布（由实际不可压流体的运动微分方程求 出 ）
Navier— Stokes方程：
dt
du
z
u
y
u
x
u
x
pX xxxx?
2
2
2
2
2
21
dt
du
z
u
y
u
x
u
y
pY yyyy?
2
2
2
2
2
21
dt
du
z
u
y
u
x
u
z
pZ zzzz?
2
2
2
2
2
21
以下根据圆管层流的运动特点对 N－ S方程进行简化。
（ 1）液流沿水平等径管运动,ux＝ u,uy＝ uz＝ 0；
（ 2）水平运动且为稳定流,X＝ Y＝ 0,Z＝－ g；
（ 3）对于稳定流动：
0 xux 0yuy 0 zuz 022 xux
0?dtdux 0?dtduy 0?dtduz
则 N— S方程变成：
01 2
2
2
2
z
u
y
u
x
p xx?
01 yp?
01 zpg?
（ 4） 对于等径管，压强沿轴向变化率为定值,
（ 5）由于管道的对称性,ux（ y,z） ＝ ux（ r），
由圆柱坐标可得：
将（ 4）（ 5）代入：
01 2
2
2
2
z
u
y
u
x
p xx?
L
p
L
pp
L
pp
x
p
2112
2
2
2
2
2
2
2
2
dr
ud
r
u
z
u
y
u xxxx?
2
2
2 dr udLp x
可得：
2
2
2 dr udLp x
对 积分：
边界条件,r = 0 时,du/dr = 0；
r = R 时,u = 0。
)(4 22 rRLpu积分得：
左式表明：圆管中层流过水断面速度沿半径方向呈抛物线分布。
当 r=0 时：
L
pDR
L
pur
m 164,0
2
2
过流断面上的流量 Q 等于,
平均流速 V：
2
m a x2
1
82
QpV R u
Rl
222 ( )
2
RR
oo
pQ u rd r R r rd r
l
4
8
p R
l
rLprr uudrdudrdudydu 20
12
12
牛顿内摩擦定律,切应力：
当 r＝ R 时,τ ＝ τ 0
RLp20
R
r
0
故,有效断面上，切应力随 r 成线性关系。
rLprr uudrdudrdudy 20
12
12
牛顿内摩擦定律：
2、沿程损失
g
V
D
l
g
V
D
l
DVgD
lV
gR
lVh
f 2Re
64
2
64328 22
22
Re
64
g
V
D
lh
f 2
2
对于水平等径直管：
ph
f
l
pDV
32
2?
232 D lVp
又所以：
其中,为层流沿程水力摩阻系数。
即：
层流状态，水头损失与速度呈线性关系。
g
V
D
l
g
V
D
l
DVgD
lV
gR
lVh
f 2Re
64
2
64328 22
22
对于非水平放置的等径直管：
公式仍然适用，仅需将 用 代替即可。
)()()()( 22112
2
1
1
zpzppzpzh
f
**
2
*
1 ppp
p? *p?
一、紊流的产生由于粘性的存在，限制了流体质点的扰动，从而在一定雷诺数限度内能维持层流状态。
1 两层流体有速度差别是造成不稳定的主要原因。
2 粘滞性对漩涡的产生、存在和发展具有决定性的作用。
3 在剪切流动中，横向压力梯度的存在导致漩涡的产生。
第六节 紊流理论分析二、紊流的脉动紊流状况下，流体质点运动非常紊乱，其运动速度的大小和方向随时改变。表现为各点速度和压力的 脉动现象 —— 紊流的随机性。
tt?
x
v
xi
v
x
v?
o
xi
v
三、紊流的一种研究方法 时均法时均法 —— 在紊流流场中某一固定点上，在不同时刻测量该处的速度。
图中两条曲线为两次实验结果，由图，每次实验的速度变化都极不规则，在相当长的时段内的平均却是相同的。
时均速度
t0 dt1 xix vtv
脉动速度瞬时速度
xv?
,xxxi vvv
同理时均参数不随时间改变的紊流流动称为准定常流动 或 时均定常流 。
tt?
x
v
xi
v
x
v?
o
xi
v
瞬时轴向速度与时均速度图
,ppp i
VVNNVNV N
K
K
11
1
BABA
0 VVVVVVVV?
0VV
BABAAB
平均值的平均仍为原平均值：
瞬时量之和的平均等于各量平均值之和：
脉动值的平均值等于零：
脉动值与任一平均值乘积的平均等于零：
两瞬时量积的平均等于两瞬时量平均的积加上脉动量积的平均：
脉动值与平均值的性质我们知道,紊流运动极不规则,极不稳定,每一点的速度随时间和空间随机地变化着 。 对于这类随机现象,人们对每点每一瞬时的真实速度并不感兴趣,而把注意力集中在时均运动上 。
连续性方程瞬时脉动的连续性方程
0yx zuu ux y z
0yx zuu ux y z
对于不可压缩流体准稳定流：
时均运动微分方程 对 N-S 方程取时均,
以 X方向为例,
z
uu
y
uu
x
uu
t
uu
x
pX iiii
i
x
z
x
y
x
x
x
x
i
i?
21?
x
Tt
t x
Tt
t
Tt
t ux
pXdtu
Tdtx
p
TX d tT
22 11111 0
0
0
0
0
0
等号左边取时均,等号右边第一项取时均,tudttuT xTt
t
x
0
0
1
xzxyxx
z
xxz
y
xyx
x
xxx
x
z
x
y
x
x
uu
z
uu
y
uu
x
z
u
uuu
zy
u
uuu
yx
u
uuu
xz
u
u
y
u
u
x
u
u
等号右边后三项可化为,
xzxzxyxyxxx
xzxyxx
x
z
x
y
x
x
uuuu
z
uuuu
y
uuu
x
uu
z
uu
y
uu
xz
u
u
y
u
u
x
u
u
2
所以则整理可得
xzxyxxx
xz
x
xy
x
x
x
uu
z
uu
y
uu
xt
u
uu
z
u
z
uu
y
u
y
u
x
u
xx
p
X
2
同理
yzzyyxy
yz
y
y
y
yx
y
uu
z
uu
y
uu
xt
u
uu
z
u
z
u
y
u
y
uu
x
u
xy
p
Y
2
zzzyzxz
z
z
zy
z
zx
z
uu
z
uu
y
uu
xt
u
u
z
u
z
uu
y
u
y
uu
x
u
xx
p
Z
2
222,,
zyx uuu
xzzyyx uuuuuu,,
统称为：雷诺应力
—— 雷诺方程由于脉动而产生的附加法向应力与 N－ S 方程相比，它多了以下六项：
由于脉动而产生的切向应力显然，除了流体分子的粘性应力外，还多了由脉动所引起的应力，这种新型应力称为 紊流应力 或 雷诺应力,时均流动所满足的方程称为 雷诺方程。 应当指出，上述方程组是不封闭的，方程的个数只有四个，而未知数却有十个，即三个速度分量，一个压强分量和六个雷诺应力分量。为了使方程组封闭，必须在雷诺应力与时均速度间建立补充关系 —— 紊流模型 。
四、普朗特混合长理论及无界固壁上的紊流运动为了求解雷诺方程,核心问题是建立雷诺应力与时均速度之间的关系 （ 紊流模型 ）,从而使雷诺方程封闭,这里介绍一种最主要的半经验理论,它是普朗特提出的,称为普朗特混合长理论 。
混合长度当流体质点在 y方向脉动，由一层跳入另一层时，要经过一段不与其它任何流体质点相碰的距离 l，以自己原来的动量和新位置周围的质点相混，完成动量交换。流体质点从一层跳入另一层所经过的这一段距离 l 称为混合长度，它是流体质点在横向混杂运动中，其自由行程的平均值。
Prandtl混合长度假说
（ 1） 流体质点的纵向脉动速度 近似等于两层流体的时均速度之差 。
dy
udlu x
x
xu?
yu? xu?
（ 2）横向脉动速度 和纵向脉动速度 成比例
dy
udlCuCu x
xy
（ 3） l∝y,即 l正比于距离壁面的距离。
五、圆管内速度分布为水力摩阻系数层,Re30 d?1、概念：
（ 1） 层流边层,当流动是紊流状态时，在贴近管壁的地方仍有一层流体底层 δ 层。
（ 2） 水力光滑,当 δ 层 > 绝对粗糙度 Δ 时,Δ 对流动阻力影响不计，称为水力光滑。
（ 3） 水力粗糙,当 δ 层 < Δ 时,Δ 对流动阻力有很大影响，
称为水力粗糙。
2 速度分布壁面附近流动情况分成三个区域研究,近壁层流底层区、
过渡区、紊流核心区。
圆管紊流速度分布近似指数表达式实验证明,n
m r
yuu
0
um —— 轴心处最大流速； y —— 坐标值；
ro —— 半径； n —— 指数。
对于水力光滑管：
对于水力粗糙管：
10
1?n
第七节 圆管紊流沿程水力摩阻的实验分析一、圆管沿程水头损失计算通式由于紊流运动的复杂性，水力摩阻系数的计算无精确公式，它的计算一般借助于经验公式。
公式推导方法（因次分析法）：
（ 1）找出影响水力摩阻的各种因素
（ 2）利用因次分析方法找出其函数关系式
（ 3）实验处理
（ 4）导出公式
1 影响能耗因素
Δ P d ρ μ V L Δ
ML-1T-2 L ML-3 ML-1T-1 LT-1 L L
2 选基本物理量,ρ,V,d
3 组成 4个 π 项：
444333
222111
43
21
zyxzyx
zyxzyx
dVdVL
dVdVP
4 据因次齐次性求各 π 项：
dd
L
VdV
P
43221,,,
g
V
dd
LfPh
dd
L
Vdf
VPh
dd
L
VdfV
P
f
f
2,R e,2
,,
,,
2
2
2
5 列出关系式：
实验证明,hf ∝ L/D 则：
g
V
dd
LfPh
dd
L
Vdf
VPh
dd
L
VdfV
P
f
f
2,R e,2
,,
,,
2
2
2
g
V
dd
LfPh
dd
L
Vd
fVPh
dd
L
Vd
f
V
P
f
f
2
,R e,2
,,
,,
2
2
2
g
V
dd
LfPh
dd
L
Vd
fVPh
dd
L
Vd
f
V
P
f
f
2
,R e,2
,,
,,
2
2
2
g
V
d
L
dfh f 2R e,2
2
df R e,2?令则
g
V
d
Lh
f 2
2
—— 沿程水头损失计算公式（达西公式）
二、计算沿程水力摩阻系数 λ的经验公式
1、确定 的实验方法?
df R e,2?
λ 与 Re 和 Δ /D 有关,实验步骤：
选定 Δ/D为定值的管子，变更不同的流量，通过测量一定管长的压差，作 λ -f1（ Re）关系曲线；
一个管子测定完后，变更不同相对粗糙度的管子，用同样方法实验，就得出不同相对粗糙度情况下的多条曲线。
对于水平管：
g
V
d
Lph
f 2
2?
22
22
VL
gpd
VL
gdh f
Vd?Re
层流区过渡区水力光滑管区
Re
光滑至粗糙过渡区 水力粗糙管区尼库拉兹实验曲线图由尼库拉兹实验曲线可知：
(1)对于层流状态,圆管内沿程阻力损失系数与粗糙度无关；
(2)对于层流向紊流的过渡,圆管内沿程阻力损失系数受粗糙度的影响较小；
(3)对于紊流状态,粗糙度对沿程阻力系数有显著影响 。
2 计算水力摩阻的莫迪图
0.05
0.04
0.03
0.02
0.015
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0.001
0.000 8
0.000 6
0.000 4
0.000 2
0.000 1
0.000,05
0.000,01
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.009
0.008
层流区临界区过渡区完全紊流粗糙管区光滑管区
3
10
4
10
5
10
2 3 8654 2 3 4 5 6 8 2 3 4 5 6 8 2 3 4 5 6 8 2
3 4 5 6 8
6
10
7
10
8
10
d
Re 0 0 0 0 0 1.0?
d
000005.0?
d
（用于计算工业管道）
3 常用计算水力摩阻的经验公式常用公式见教材 125 表 4-7
输油用特殊橡胶软管，其水力摩阻的参考经验公式：
（ 1）装有钢丝圈的橡胶软管
（ 2）平滑橡胶软管教材 126
教材 126
一般来说，常用管道水力摩阻的计算，都可查阅相关的经验公式或计算图表。
[例 ] 沿程损失：已知管道和流量求沿程损失求：冬天和夏天的沿程损失 hf
解,30 0 2 7 7 8
3600
mQ,m s
smd
QV 884.0
2.0
4278.04
22
冬天 2 3 0 01 6 1 9
100 9 2.1
2.08 8 5.0Re
41
Vd 层流夏天 2 3 0 04 9 8 0
10355.0
2.0884.0Re
42
Vd 湍流冬天 (油柱 ) m
g
V
d
l
g
V
d
lh
f 6.2381.92
885.0
2.0
3 0 0 0
1 6 1 9
64
2Re
64
2
222
1
1
1
夏天 m
g
V
d
lh
f 0.2381.92
884.0
2.0
30000385.0
2
22
22
(油柱 )
已知,d＝ 200mm,l＝ 3000m 的旧无缝钢管,ρ ＝ 900 kg/m3,Q＝ 90T/h,
在冬天为 1.092× 10-4 m2/s,夏天为 0.355× 10-4 m2/s
在夏天，查旧无缝钢管等效粗糙度 ε =0.2mm,ε /d=0.001
查穆迪图 λ 2=0.0385
[例 ] 沿程损失：已知沿程损失和流量求管径求,管径 d 应选多大解：
22
04.040 3 1 4.0
ddA
QV
由达西公式
5
22
2
2 1
086.0)4(2 12 dlQdQgdlgVdlh f
42
2
5 1069.3
61.900318.04000826.00826.0
fh
lQd
ddd
dVd 4 0 0 0
10
04.004.0Re
52
aKPp 8 0 0
已知,l＝ 400m 的旧无缝钢管输送比重 0.9,=10 -5 m2/s 的油
Q = 0.0314 m3/s
[例 ] 沿程损失：已知沿程损失和流量求管径
41 1006.40 9 8 4.0/4 0 0 0Re
由 ε / d = 0.2 / 98.4 = 0.002，查 Moody 图得 λ 2 = 0.027
d 2 = (3.69× 10– 4 × 0.027) 1 / 5 = 0.0996 (m)
Re2 = 4000 / 0.0996 = 4.01× 104
由 ε / d = 0.2 / 99.6 = 0.002，查 Moody 图得 λ 3 = 0.027
取 d =0.1m。
用迭代法 设 λ 1=0.025
)(104.98)025.01069.3( 35/141 md
第七节 局部水力摩阻
1、局部阻力的产生在工业生产过程中，出于各种净化、输送、控制、计量等原因，经常遇到转弯、加速、减速、分流、合流、调节等环节，因此必须安装各种管道附件。
常用的管件有 弯头、三通、变径段、短接、活接、进出口、过滤器、节流测量元件、各种阀件 等。
流体在这些管件中流动时受到扰动，在局部装置处出现旋涡区和速度重新分布。这使得流体产生不规则地旋转和撞击运动，消耗能量造成能量损失。
(1) 局部阻力的产生条件
A、管道断面发生变化，例如过流断面突然扩大、缩小；
B、流动方向有改变，例如弯管；
C、管道中有局部装置，例如安装阀门。
(2) 产生局部损失的物理原因
A、液流中流速重新分布任何断面形状的改变，都必将引起流速的重新分布，因而附加了流体间的相对运动和流体质点的急剧变形，结果导致质点间附加摩擦和相互撞击，使流体能量受到损失。
B、在旋涡中粘性力作功流速的重新分布，总是伴随有流动分离和旋涡的形成，在旋涡区由于粘性的存在，便有摩擦的能量损失。
C、流体质点的混掺引起的动量变化在旋涡区中，又有质点被主流所带走，即有动量交换，因而消耗运动流体的能量。
2、局部水头损失计算公式（用实验方法确定）
为局部阻力系数在工程实际中，为了便于合并局部和沿程水头损失，
局部水头损失也常写成：
其中：
那么当量长度：
g
V
d
lh
j 2
2
当
d
l当＝
dl?
当
0? 022.00
022.00
对教材表 4－ 8查说明：
是在局部水头损失从理论上推导一般是很困难的。仅有极少数的局部阻力可用理论分析方法进行计算，而绝大多数的局部阻力都需用实验方法来确定。 通过实验确定局部阻力系数。
局部阻力的形式繁多，而且绝大多数处于紊流状态。各种手册或文献通过实验或实践经验，列出了常用的局部阻力系数，
应用时只需 查表 即可。
的紊流过程确定的。
如果实际管路中的水力摩阻系数为，则局部阻力系数需按比例换算成：
对于层流,修正系数 见教材表 4-9。?
0Re0Re0Re
A、突然扩大管水头损失取 1－ 1,2－ 2断面列方程得
g
VVpzzh
j 2
p 222121
21
(忽略沿程水力损失 hf)
几种水力摩阻的理论分析取 1－ 1,2－ 2为控制体，列动量方程：
p为涡流区环形面积 (A2-A1)上的平均压力。
实验发现 p ≈p 1，于是上式变为：
)()( 12122211 VVQAApApAp
)()( 12221 VVQApp
)( 12
2
21 VVA
Qpp
)( 122 VVV
g
VV
VVVV
g
g
VV
g
VVV
g
VVVVV
h
j
2
)2(
2
1
2
2
)(
2
21
2
112
2
2
2
2
2
112
2
2
2
2
2
1122
g
V
g
V
A
A
g
V
g
V
A
A
h
j
22
1
22
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
g
VVpzzh
j 2
p 222121
21
代入 得：
当管道与大面积的水池相连时
11
管道入口的能量损失
5.02
例,流速由 V1 变为 V3 的突然扩大管，为了减小阻力，可分两次扩大，问中间级 V2 取多大时，所产生的局部阻力最小？比一次扩大的阻力小多少？
例,如图所示，水在压强作用下从密封的下水箱沿竖直管道流入上水箱中，已知 h
＝ 50cm,H＝ 3m，管道直径 D
＝ 25mm,λ ＝ 0.02，各局部阻力系数分别为 ζ 1＝ 0.5，
ζ 2＝ 5.0,ζ 3＝ 1.0，管中流速 V ＝ 1m/s，求：下水箱的液面压强。（设稳定流动）
