第二章 流体静力学
研究任务：
流体静止包括两种情况：一是流体对绝对坐标系（地球）
整体是静止的；另一种情况是流体整体对绝对坐标系是运动的，但流体内部没有相对运动，称为相对静止。
研究绝对静止和相对静止液体的平衡状况，这是本章讨论的内容。
静止,是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。
① 绝对静止,流体整体相对于地球没有相对运动。
② 相对静止,流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。
重力压力重力压力直线惯性力重力压力离心惯性力共同点：不体现粘性，无切应力第一节 流体静压强及其特性一、静压力（压强）特性：
1．静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向特性。
(垂直并指向作用面）
证明,反证法证明之。
有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。
2．静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等。
在静止流体中，任取一四面体，则各面受力情况如图示：
d xd zpP yy 21?
d xd ypP zz 21?
dApSpP nA B Cnn
（ 1）表面力
（ 2）质量力四面体的质量,d xd yd zM?61?
设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为 X,Y,Z，则质量力 F在坐标轴方向的分量是：
Xd x d y d zF x61 Yd x d y d zF y61 Zd x d y d zF z61
四面体上诸力对 X轴的平衡方程式为：
0),c o s ( xnx FxnPP
061c o s21 Xd x d y d zdApd y d zp nx
其中,故：dzdydAc os 0
6
1
2
1
2
1 Xd x d y dzd y d zpd y d zp
nx?
031 Xdxpp nx?
dx,dy,dz趋于零时也就是四面体缩小到 o
成为一个质点时，有,
nx pp?
ny pp? nz pp?
同理：
nzyx pppp
即：
说明静止流体中任意一点的静压强在各个方向上都相等 。
说明：
以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。如：
一、方程式的建立
它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为零，可建立方程：
方法：微元分析法。在流场中取微小六面体，其边长为
dx,dy,dz，然后进行受力分析，列平衡方程。
第二节 流体平衡微分方程式
0 if
以 x轴方向为例，微元体中心,A(x,y,z)
（ 1）表面力设 A处压强,P(x,y,z)，
A1点压强 p1按泰勒级数展开，
略去二阶以上无穷小量，得到 A1,A2处的压强分别为：
nnn dxx pndxx pdxxpzyxpzydxxp 2!12212,,,,2 2221
21
dx
x
ppp
22
dx
x
ppp
＋
则表面力在 x方向的合力为：
（ 2）质量力微元体质量,M ＝ ρ dxdydz
设作用在单位质量流体的质量力在 x方向上的分量为 X。
则质量力在 x方向的合力为,X· ρ dxdydz
导出关系式，对微元体应用平衡条件：
dzdydxxpdzdydxxppdxxppdzdypp
2221
0 d x d y d zxpd x d y d zX?
，则结论,同理，在 y和 z方向可求得：
01 xpX?
01 ypY? 01 zpZ?
—— 欧拉平衡微分方程式说明：
（ 1）公式的物理意义：
平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为零。
（ 2）公式适用条件：
理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。
二、方程的积分（压强分布公式）
1、利用 Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将 Euler方程分别乘以 dx,dy,dz，然后相加，得：
压强增量的全微分方程：
2、势函数（力函数）
对于不可压缩流体,ρ ＝ const，方程式的右边括号三项应该是某个函数 U(x,y,z)的全微分：
)( Z dzY dyX dxdp
)( Z d zY d yX d xdzzpdyypdxxp
（ 1）
又因为：
dzzUdyyUdxxUdU
y
UY
z
UZ
则有
x
UX
—— 该函数 U (x,y,z) 称为 势函数则有：
（ 2）
（ 3）
由式（ 1）、（ 2）、（ 3）可得：
dUdp
积分得,CUp
当 p ＝ p0 时,U ＝ U0,则 C＝ p0－ ρ U0
00 UUpp
—— 帕斯卡（ Pascal）定律在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体的所有各点。
三、等压面
1、定义同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面（ p＝ const）。
2、方程,dp＝ 0 即：
0 Z dzY dyX dx
说明：等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。
3、等压面性质
① 等压面就是等势面；
② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面；
③ 绝对静止流体的等压面是水平面；
④ 等压面不能相交；
⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面。
第三节 重力作用下的流体平衡一、静力学基本方程式
1、坐标系的原点选在某一水平面上,z 轴垂直向上，液面上的大气压强为 p0，则,
X＝ 0,Y＝ 0,Z＝－ g
代入公式,
)( Z dzY dyX dxdp
dzdzgdp )( 01 dpdz
得,
对于 不可压缩流体,γ ＝ const,积分上式得：
由 (1)得,
若基准面在液面上，则边界条件,z ＝ 0 时,P＝ P0,得
C ＝ P0,所以：
令,-z ＝ h（点在液面以下的深度 h）则,
Cpz 2211 pzpz
Czp
zpp 0
hpp 0
—— 静力学基本方程形式二
—— 静力学基本方程形式一说明,
a,静止流体中任一点的压强 p 由两部分组成，即液面压强 p0 与该点到液面间单位面积上的液柱重量。
b,静止流体中，压强随深度呈线性变化
c,同种连续静止流体中，深度相同的点压力相同。
应用：
已知某点压强求任一点压强。
二、几种压强的表示（基准不同）
压强的度量有两种标准：
一是 绝对压强 标准,它以真空为起点,真空情况下压强为零 。
另一个是 表压强,它是以大气压强为起点,把压强等于一个大气压作为零 。 正值叫表压强,负值则存在 真空度 。
压强单位达因每平方厘米巴千克力每平方厘米毫米水柱毫米汞柱托工程大气压标准大气压
dyn/cm2
bar
kgf/cm2
mmH2O
mmHg
Torr
at
atm
1 dyn/cm2 = 0.1 Pa
1 bar = 105 Pa
1 kgf/cm2 = 0.098 066 5 MPa
1 mmH2O = 9.806 65 Pa
1 mmHg = 133.322 Pa
1 Torr = 133.322 Pa
1 at = 98 066.5 Pa=98.066 5 kPa
1 atm = 101 325 Pa=101.325 kPa
三、静力学基本方程式的意义几何意义
Z —— 位置水头：该点到基准面的高度。
—— 压力水头,该点压强的液柱高度。
—— 测压管水头：为一常量物理意义静止流体中，单位重量流体的总势能是恒等的。
Cpz
p
pz?
四、测压计
1、分类根据适用范围、适用条件的不同，分为液式、金属式。
2、液式测压计原理,（ P,P0 的标准必须一致,表压 ）
方法,找等压面
（性质 5：两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面）
特点,结构简单、使用方便、制造简单，常用于实验室中。
hpp 0
a 测压管同一种液体 工作液：水银
b 差压计找等压面,a— a面,b－ b面，写出等压面压力表达式：
hhphp Hg 22111221 hhhpp Hg
c 金属压力表例,如 下图所示,A 点的表压是 10000 Pa，液体 A 的相对密度 SA = 1.4，试求压力计中液体 B 的相对密度。
第四节 几种质量力作用下的流体平衡
1o 研究对象,相对于坐标系静止的流体称为相对平衡流体。
本节讨论两种情况,等加速直线运动等角速旋转运动
2o 研究方法：
利用达朗贝尔原理将 的动力学问题变为的静力学问题。
maF
0F
3o 研究目的：
压强分布公式 等压面方程 自由液面方程一、等加速水平运动容器中流体的相对平衡把坐标固定在容器上，据达朗贝尔原理，把惯性力 加在液体质点上，容器内液体在重力 mg 和惯性力 F 的作用下，处于相对平衡。
取一点 m，作用在质点上的质量力为 mg( ↓),ma(←),合力 R 与 z
轴成 α 角。 X＝ -a Y＝ 0 Z＝ -g
代入公式,)( Z dzY dyX dxdp
)( gdzadxdp
maF
则,
1、等压面方程令 dp＝ 0，则 adx + gdz＝ 0 所以结论：
a,等压面是一簇平行斜平面
b,等压面与 x 轴夹角为：
（等压面与重力和惯性力的合力垂直）
2、自由液面 x＝ 0,z＝ 0 → C ＝ 0
则自由液面方程为：
Zs —— 水面高出 xoy平面的垂直距离
Cgzax
gatg 1?
0 sgzax xgaz s
3、静压强分布设 ρ ＝ const，对 dP 积分，得,
由边界条件：
x ＝ 0,z ＝ 0时,p ＝ Po
得,C ＝ Po
则
Cgzaxp )(?
)(0 gzaxpp
hpzzpzx
g
agpp
s 000 )()(
例 1：如图，汽车上有一长方形水箱，高 H＝ 1.2 m，
长 L＝ 4 m，水箱顶盖中心有一供加水用的通大气压孔，
试计算当汽车以加速度为
3m/s2向前行驶时，水箱底面上前后两点 A,B的静压强
（装满水）。
PaLtgHhp AA 1 7 7 5 52
PaLtgHhp BB 57602
1,任意一点的压强设容器以等角速度绕 Z轴旋转,此时流体相对于容器没有相对运动,同时流体之间也没有相对运动,因此,作用于流体上的力有重力和水平面上离心力 。
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
xX 2 yY 2 gZ
)( 22 g d zy d yx d xdp
cgzyxp )22( 2222
cgzrp )21( 22
质量力：
则压强增量的全微分方程：
积分压强增量的全微分方程，得：
积分常数 C 这样确定：设 r=0 时,z=0,p=p0 。则：
0pc?
gzrpp 220 21
结论：在同一高度上，其静压强沿径向按二次方增长。
2,等压面方程当 p 为某一定值时,p - p0= C,则等压面为：
3,自由液面方程当 p = p0 时为自由界面,C=0 故：
0
22
2
1 ppgzr
021 2
2
zrg?0
2
1 22 gzr
Cgzr2221?
g
rz
s 2
22?
Zs —— 水面高出 xoy平面的垂直距离
hpzzpzg rpgzrpp s 00
2
0
22
0 )()2(2
1
例 1：
（ 1）装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡压强分布规律,
作用于顶盖上的压强,(表压 )
（ 2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡压强分布规律：
边缘 A,B处,r＝ R,z＝ 0时,P＝ Pa
作用于顶盖上的压强,(表压 )
Czgrp )2( 22
g
rp
2
22?
Czgrp )2( 22
2222 rRgp
例 2：
已知,r1,r2,Δ h
求,ωo
解：
02 1
2
1
2
0
szg
r? 0
2 2
2
2
2
0
szg
r?
hzz ss 12
2
1
2
2
0
2
rr
hg
因为所以第五节 静止液体作用在平面上的总压力工程上进行结构设计时,如果这些结构与液体相接触,
常常需要计算作用在面上的 总压力 及其位置,总压力的作用点在流体力学中称为 压力中心 。 现在通过下例来说明计算液体作用在平面上的总压力的一般原理 。
如图,一个垂直于纸面并与水平面倾斜 α 的斜面,其面积为 A,根据静压强的物理性质 。
① 某点的压强在各个方向上相等 ;
② 作用方向与作用面的内法线方向一致 。
故作用在平面上各点的力的方向是相同的,属于平行力系 。 因此可根据力学原理来求液体总压力的大小和作用点 。
一、平面与液体接触侧的总压力及其作用点
1 总压力的大小设液面上受到的大气压强为 p0,平面的一侧与液体接触,另侧与大气不接触 。 现在讨论与液体接触侧斜面上的压力 。 在点 (0,y)处,压强有：
00 s inp p g h p g y
0( s i n )S
AS
P p d p g y d S内
0 s i n
S
p S g y d S
其中,表示面积对 X轴的面积矩，根据图形形心求解原理，可知,故：
S
ydS
S
c yd SSy 0 sincP p S gy S内
0 cp S g h S
在 A上取微元面积 dA，
坐标为 y，其上所受总压力为 dP，则在面积 A上积分得平板受到的总压力：
2.总压力的作用点（压力中心）
总压力的作用点在流体力学上称为压力中心。设总压力 P
的作用点为 D点，对应坐标为 YD 。
根据力学上平行力系的力矩原理，诸分力对某轴的力矩之和等于合力对该轴的力矩。对 X 轴求力矩有：
0( s i n )D
S
P Y y p g y d S内 内 20 s i n
SS
p y d S g y d S
S
X dsyJ
2其中：
cxC
S
SX JSydyJ
22
2
0 s i n ( )
s i n
c c c x
D
ac
p y S g S y JY
p S g y S
内 0
si n
si n
cx
c
c
gJy
p S g y S
那么总压力的作用点：
Ah
Jhh
c
c
cD
若两边都受到大气压作用：；
当 α ＝ 90o，
当 α ＝ 0o,yD＝ yC
若 Po≠0,可折算成水柱高度：
则等效 Po＝ 0 （等效自由液面）
等效 yc=?
5m? 10m? 2.5m? 7.5m?
说明：
Ay
Jyy
c
c
cD
例题,闸门宽 1.2m，铰在 A点，压力表 G的读数为－ 14700Pa，在右侧箱中装有油，其重度 γ 0＝ 8.33KN/m3，问在 B点加多大的水平力才能使闸门 AB平衡？
第六节 曲面上的液体总压力在平面上由于各点的压强方向相互平行且成线性变化，因此，求解总压力是比较容易的。而在曲面上，由于各点随深度的变化不是直线变化，且方向也不相同，这样就增加了分析问题的复杂性。这里仅研究液体与曲面接触侧的压力。
ghgzp ghdSdP
如图所示，曲面上某点处有：
显然,dP的压力方向随积分位置的不同而不同，故 dP可分解为 dPz 和 dPx,这样有：
xcxcA xx ApAhhdAP
xx hdAhdAdP co s zz hdAhdAdP s in
压VhdAP A zz
1、水平分力
2、垂直分力根据合力求解法,有：
反映了总压在 X 方向的分量,等于曲面在 YOZ平面上的投影面积所受到的平面总压力 。
22 zx PPP
X
ZPPtg
SZ
zh d sV
xcxcA xx ApAhhdAP
压VhdAP A zz
反映了总压在竖直方向的分量,相当于从曲面算起向上引至液面的若干小柱体的液体重量之总和 。
令,在流体力学中,称 V 为压力体 。
现在我们进一步讨论压力体的求法：
（ a） 表示的压力体充满流体,我们称为实压力体,用 （ +）
表示,在 Z方向的压力向下 。
（ b） 表示曲面引至液面的柱体中,无流体,这样的压力体称为虚压力体,用 （ -） 号表示,在 Z方向的压力向上 。
（ c）表示一种比较复杂的情况，压力体 abf 和 aedg 用 (+)
表示。 bc 和 cd 段液体在曲面以下，相应压力体为 (-)。
把压力体中 (+)号和 (-)号重叠部分除去，只剩下两块压力体，
一块是 abc 是 (-) ；另一块是
cde 是 (+) 。
然后求出这两个 Z方向的力，
一个向上，一个向下，各自通过其体积的形心。再进一步按照力矩原理求总的 。
例：贮水容器上有三个半球形的盖，设 D = 0.5 m,h = 1.5
m,H = 2.5 m。试求作用在每个盖上的总压力的大小。
第七节 物体在液体中的潜浮原理一、静止流体的浮力
1、潜体：完全潜没在流体当中的物体。
2、浮体：当物体当中的部分浸没在流体中，另一部分露出在自由表面之上时，称为浮体。
3、浮力：浮体或潜体表面所受到流体对它的作用力的合力成为浮力。
4、浮心：浮力的作用点，为 V的几何中心。
—— 阿基米德原理二、潜体的稳定与平衡
1、受力分析：
重力,mg＝ G 作用点在重心；
浮力,F 作用点在浸水部分的几何中心。
2、潜体平衡的条件：
（ 1） 重力和浮力大小相等,G＝ F
（ 2） 重心和浮心要在一条垂直线上
3、潜体稳定分析潜体的稳定性是指平衡物体受某种外力作用发生倾斜后不依靠外力而恢复原来平衡状态的能力。
2、稳定性分析重心在浮心之下 —— 稳定平衡重心与浮心重合 —— 随遇平衡重心在浮心之上 —— 复杂，分别说明,
浮轴：物体平衡时，重心与浮心连成的垂直线。
(a) 稳定平衡 (b) 不稳定平衡 (c) 随遇平衡定倾中心：浮体发生倾斜时,C → C’,此时浮力 P’ 的作用线与浮体原来平衡时的浮轴的交点，以 m 表示。
则,m 在重心之上 —— 稳定平衡
m 在重心之下 —— 不稳定平衡
m 与 D 重合 —— 随遇平衡三、浮力的稳定与平衡
研究任务：
流体静止包括两种情况：一是流体对绝对坐标系（地球）
整体是静止的；另一种情况是流体整体对绝对坐标系是运动的，但流体内部没有相对运动，称为相对静止。
研究绝对静止和相对静止液体的平衡状况，这是本章讨论的内容。
静止,是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。
① 绝对静止,流体整体相对于地球没有相对运动。
② 相对静止,流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。
重力压力重力压力直线惯性力重力压力离心惯性力共同点：不体现粘性，无切应力第一节 流体静压强及其特性一、静压力（压强）特性：
1．静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向特性。
(垂直并指向作用面）
证明,反证法证明之。
有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。
2．静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等。
在静止流体中，任取一四面体，则各面受力情况如图示：
d xd zpP yy 21?
d xd ypP zz 21?
dApSpP nA B Cnn
（ 1）表面力
（ 2）质量力四面体的质量,d xd yd zM?61?
设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为 X,Y,Z，则质量力 F在坐标轴方向的分量是：
Xd x d y d zF x61 Yd x d y d zF y61 Zd x d y d zF z61
四面体上诸力对 X轴的平衡方程式为：
0),c o s ( xnx FxnPP
061c o s21 Xd x d y d zdApd y d zp nx
其中,故：dzdydAc os 0
6
1
2
1
2
1 Xd x d y dzd y d zpd y d zp
nx?
031 Xdxpp nx?
dx,dy,dz趋于零时也就是四面体缩小到 o
成为一个质点时，有,
nx pp?
ny pp? nz pp?
同理：
nzyx pppp
即：
说明静止流体中任意一点的静压强在各个方向上都相等 。
说明：
以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。如：
一、方程式的建立
它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为零，可建立方程：
方法：微元分析法。在流场中取微小六面体，其边长为
dx,dy,dz，然后进行受力分析，列平衡方程。
第二节 流体平衡微分方程式
0 if
以 x轴方向为例，微元体中心,A(x,y,z)
（ 1）表面力设 A处压强,P(x,y,z)，
A1点压强 p1按泰勒级数展开，
略去二阶以上无穷小量，得到 A1,A2处的压强分别为：
nnn dxx pndxx pdxxpzyxpzydxxp 2!12212,,,,2 2221
21
dx
x
ppp
22
dx
x
ppp
＋
则表面力在 x方向的合力为：
（ 2）质量力微元体质量,M ＝ ρ dxdydz
设作用在单位质量流体的质量力在 x方向上的分量为 X。
则质量力在 x方向的合力为,X· ρ dxdydz
导出关系式，对微元体应用平衡条件：
dzdydxxpdzdydxxppdxxppdzdypp
2221
0 d x d y d zxpd x d y d zX?
，则结论,同理，在 y和 z方向可求得：
01 xpX?
01 ypY? 01 zpZ?
—— 欧拉平衡微分方程式说明：
（ 1）公式的物理意义：
平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为零。
（ 2）公式适用条件：
理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。
二、方程的积分（压强分布公式）
1、利用 Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将 Euler方程分别乘以 dx,dy,dz，然后相加，得：
压强增量的全微分方程：
2、势函数（力函数）
对于不可压缩流体,ρ ＝ const，方程式的右边括号三项应该是某个函数 U(x,y,z)的全微分：
)( Z dzY dyX dxdp
)( Z d zY d yX d xdzzpdyypdxxp
（ 1）
又因为：
dzzUdyyUdxxUdU
y
UY
z
UZ
则有
x
UX
—— 该函数 U (x,y,z) 称为 势函数则有：
（ 2）
（ 3）
由式（ 1）、（ 2）、（ 3）可得：
dUdp
积分得,CUp
当 p ＝ p0 时,U ＝ U0,则 C＝ p0－ ρ U0
00 UUpp
—— 帕斯卡（ Pascal）定律在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体的所有各点。
三、等压面
1、定义同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面（ p＝ const）。
2、方程,dp＝ 0 即：
0 Z dzY dyX dx
说明：等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。
3、等压面性质
① 等压面就是等势面；
② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面；
③ 绝对静止流体的等压面是水平面；
④ 等压面不能相交；
⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面。
第三节 重力作用下的流体平衡一、静力学基本方程式
1、坐标系的原点选在某一水平面上,z 轴垂直向上，液面上的大气压强为 p0，则,
X＝ 0,Y＝ 0,Z＝－ g
代入公式,
)( Z dzY dyX dxdp
dzdzgdp )( 01 dpdz
得,
对于 不可压缩流体,γ ＝ const,积分上式得：
由 (1)得,
若基准面在液面上，则边界条件,z ＝ 0 时,P＝ P0,得
C ＝ P0,所以：
令,-z ＝ h（点在液面以下的深度 h）则,
Cpz 2211 pzpz
Czp
zpp 0
hpp 0
—— 静力学基本方程形式二
—— 静力学基本方程形式一说明,
a,静止流体中任一点的压强 p 由两部分组成，即液面压强 p0 与该点到液面间单位面积上的液柱重量。
b,静止流体中，压强随深度呈线性变化
c,同种连续静止流体中，深度相同的点压力相同。
应用：
已知某点压强求任一点压强。
二、几种压强的表示（基准不同）
压强的度量有两种标准：
一是 绝对压强 标准,它以真空为起点,真空情况下压强为零 。
另一个是 表压强,它是以大气压强为起点,把压强等于一个大气压作为零 。 正值叫表压强,负值则存在 真空度 。
压强单位达因每平方厘米巴千克力每平方厘米毫米水柱毫米汞柱托工程大气压标准大气压
dyn/cm2
bar
kgf/cm2
mmH2O
mmHg
Torr
at
atm
1 dyn/cm2 = 0.1 Pa
1 bar = 105 Pa
1 kgf/cm2 = 0.098 066 5 MPa
1 mmH2O = 9.806 65 Pa
1 mmHg = 133.322 Pa
1 Torr = 133.322 Pa
1 at = 98 066.5 Pa=98.066 5 kPa
1 atm = 101 325 Pa=101.325 kPa
三、静力学基本方程式的意义几何意义
Z —— 位置水头：该点到基准面的高度。
—— 压力水头,该点压强的液柱高度。
—— 测压管水头：为一常量物理意义静止流体中，单位重量流体的总势能是恒等的。
Cpz
p
pz?
四、测压计
1、分类根据适用范围、适用条件的不同，分为液式、金属式。
2、液式测压计原理,（ P,P0 的标准必须一致,表压 ）
方法,找等压面
（性质 5：两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面）
特点,结构简单、使用方便、制造简单，常用于实验室中。
hpp 0
a 测压管同一种液体 工作液：水银
b 差压计找等压面,a— a面,b－ b面，写出等压面压力表达式：
hhphp Hg 22111221 hhhpp Hg
c 金属压力表例,如 下图所示,A 点的表压是 10000 Pa，液体 A 的相对密度 SA = 1.4，试求压力计中液体 B 的相对密度。
第四节 几种质量力作用下的流体平衡
1o 研究对象,相对于坐标系静止的流体称为相对平衡流体。
本节讨论两种情况,等加速直线运动等角速旋转运动
2o 研究方法：
利用达朗贝尔原理将 的动力学问题变为的静力学问题。
maF
0F
3o 研究目的：
压强分布公式 等压面方程 自由液面方程一、等加速水平运动容器中流体的相对平衡把坐标固定在容器上，据达朗贝尔原理，把惯性力 加在液体质点上，容器内液体在重力 mg 和惯性力 F 的作用下，处于相对平衡。
取一点 m，作用在质点上的质量力为 mg( ↓),ma(←),合力 R 与 z
轴成 α 角。 X＝ -a Y＝ 0 Z＝ -g
代入公式,)( Z dzY dyX dxdp
)( gdzadxdp
maF
则,
1、等压面方程令 dp＝ 0，则 adx + gdz＝ 0 所以结论：
a,等压面是一簇平行斜平面
b,等压面与 x 轴夹角为：
（等压面与重力和惯性力的合力垂直）
2、自由液面 x＝ 0,z＝ 0 → C ＝ 0
则自由液面方程为：
Zs —— 水面高出 xoy平面的垂直距离
Cgzax
gatg 1?
0 sgzax xgaz s
3、静压强分布设 ρ ＝ const，对 dP 积分，得,
由边界条件：
x ＝ 0,z ＝ 0时,p ＝ Po
得,C ＝ Po
则
Cgzaxp )(?
)(0 gzaxpp
hpzzpzx
g
agpp
s 000 )()(
例 1：如图，汽车上有一长方形水箱，高 H＝ 1.2 m，
长 L＝ 4 m，水箱顶盖中心有一供加水用的通大气压孔，
试计算当汽车以加速度为
3m/s2向前行驶时，水箱底面上前后两点 A,B的静压强
（装满水）。
PaLtgHhp AA 1 7 7 5 52
PaLtgHhp BB 57602
1,任意一点的压强设容器以等角速度绕 Z轴旋转,此时流体相对于容器没有相对运动,同时流体之间也没有相对运动,因此,作用于流体上的力有重力和水平面上离心力 。
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
xX 2 yY 2 gZ
)( 22 g d zy d yx d xdp
cgzyxp )22( 2222
cgzrp )21( 22
质量力：
则压强增量的全微分方程：
积分压强增量的全微分方程，得：
积分常数 C 这样确定：设 r=0 时,z=0,p=p0 。则：
0pc?
gzrpp 220 21
结论：在同一高度上，其静压强沿径向按二次方增长。
2,等压面方程当 p 为某一定值时,p - p0= C,则等压面为：
3,自由液面方程当 p = p0 时为自由界面,C=0 故：
0
22
2
1 ppgzr
021 2
2
zrg?0
2
1 22 gzr
Cgzr2221?
g
rz
s 2
22?
Zs —— 水面高出 xoy平面的垂直距离
hpzzpzg rpgzrpp s 00
2
0
22
0 )()2(2
1
例 1：
（ 1）装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡压强分布规律,
作用于顶盖上的压强,(表压 )
（ 2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡压强分布规律：
边缘 A,B处,r＝ R,z＝ 0时,P＝ Pa
作用于顶盖上的压强,(表压 )
Czgrp )2( 22
g
rp
2
22?
Czgrp )2( 22
2222 rRgp
例 2：
已知,r1,r2,Δ h
求,ωo
解：
02 1
2
1
2
0
szg
r? 0
2 2
2
2
2
0
szg
r?
hzz ss 12
2
1
2
2
0
2
rr
hg
因为所以第五节 静止液体作用在平面上的总压力工程上进行结构设计时,如果这些结构与液体相接触,
常常需要计算作用在面上的 总压力 及其位置,总压力的作用点在流体力学中称为 压力中心 。 现在通过下例来说明计算液体作用在平面上的总压力的一般原理 。
如图,一个垂直于纸面并与水平面倾斜 α 的斜面,其面积为 A,根据静压强的物理性质 。
① 某点的压强在各个方向上相等 ;
② 作用方向与作用面的内法线方向一致 。
故作用在平面上各点的力的方向是相同的,属于平行力系 。 因此可根据力学原理来求液体总压力的大小和作用点 。
一、平面与液体接触侧的总压力及其作用点
1 总压力的大小设液面上受到的大气压强为 p0,平面的一侧与液体接触,另侧与大气不接触 。 现在讨论与液体接触侧斜面上的压力 。 在点 (0,y)处,压强有：
00 s inp p g h p g y
0( s i n )S
AS
P p d p g y d S内
0 s i n
S
p S g y d S
其中,表示面积对 X轴的面积矩，根据图形形心求解原理，可知,故：
S
ydS
S
c yd SSy 0 sincP p S gy S内
0 cp S g h S
在 A上取微元面积 dA，
坐标为 y，其上所受总压力为 dP，则在面积 A上积分得平板受到的总压力：
2.总压力的作用点（压力中心）
总压力的作用点在流体力学上称为压力中心。设总压力 P
的作用点为 D点，对应坐标为 YD 。
根据力学上平行力系的力矩原理，诸分力对某轴的力矩之和等于合力对该轴的力矩。对 X 轴求力矩有：
0( s i n )D
S
P Y y p g y d S内 内 20 s i n
SS
p y d S g y d S
S
X dsyJ
2其中：
cxC
S
SX JSydyJ
22
2
0 s i n ( )
s i n
c c c x
D
ac
p y S g S y JY
p S g y S
内 0
si n
si n
cx
c
c
gJy
p S g y S
那么总压力的作用点：
Ah
Jhh
c
c
cD
若两边都受到大气压作用：；
当 α ＝ 90o，
当 α ＝ 0o,yD＝ yC
若 Po≠0,可折算成水柱高度：
则等效 Po＝ 0 （等效自由液面）
等效 yc=?
5m? 10m? 2.5m? 7.5m?
说明：
Ay
Jyy
c
c
cD
例题,闸门宽 1.2m，铰在 A点，压力表 G的读数为－ 14700Pa，在右侧箱中装有油，其重度 γ 0＝ 8.33KN/m3，问在 B点加多大的水平力才能使闸门 AB平衡？
第六节 曲面上的液体总压力在平面上由于各点的压强方向相互平行且成线性变化，因此，求解总压力是比较容易的。而在曲面上，由于各点随深度的变化不是直线变化，且方向也不相同，这样就增加了分析问题的复杂性。这里仅研究液体与曲面接触侧的压力。
ghgzp ghdSdP
如图所示，曲面上某点处有：
显然,dP的压力方向随积分位置的不同而不同，故 dP可分解为 dPz 和 dPx,这样有：
xcxcA xx ApAhhdAP
xx hdAhdAdP co s zz hdAhdAdP s in
压VhdAP A zz
1、水平分力
2、垂直分力根据合力求解法,有：
反映了总压在 X 方向的分量,等于曲面在 YOZ平面上的投影面积所受到的平面总压力 。
22 zx PPP
X
ZPPtg
SZ
zh d sV
xcxcA xx ApAhhdAP
压VhdAP A zz
反映了总压在竖直方向的分量,相当于从曲面算起向上引至液面的若干小柱体的液体重量之总和 。
令,在流体力学中,称 V 为压力体 。
现在我们进一步讨论压力体的求法：
（ a） 表示的压力体充满流体,我们称为实压力体,用 （ +）
表示,在 Z方向的压力向下 。
（ b） 表示曲面引至液面的柱体中,无流体,这样的压力体称为虚压力体,用 （ -） 号表示,在 Z方向的压力向上 。
（ c）表示一种比较复杂的情况，压力体 abf 和 aedg 用 (+)
表示。 bc 和 cd 段液体在曲面以下，相应压力体为 (-)。
把压力体中 (+)号和 (-)号重叠部分除去，只剩下两块压力体，
一块是 abc 是 (-) ；另一块是
cde 是 (+) 。
然后求出这两个 Z方向的力，
一个向上，一个向下，各自通过其体积的形心。再进一步按照力矩原理求总的 。
例：贮水容器上有三个半球形的盖，设 D = 0.5 m,h = 1.5
m,H = 2.5 m。试求作用在每个盖上的总压力的大小。
第七节 物体在液体中的潜浮原理一、静止流体的浮力
1、潜体：完全潜没在流体当中的物体。
2、浮体：当物体当中的部分浸没在流体中，另一部分露出在自由表面之上时，称为浮体。
3、浮力：浮体或潜体表面所受到流体对它的作用力的合力成为浮力。
4、浮心：浮力的作用点，为 V的几何中心。
—— 阿基米德原理二、潜体的稳定与平衡
1、受力分析：
重力,mg＝ G 作用点在重心；
浮力,F 作用点在浸水部分的几何中心。
2、潜体平衡的条件：
（ 1） 重力和浮力大小相等,G＝ F
（ 2） 重心和浮心要在一条垂直线上
3、潜体稳定分析潜体的稳定性是指平衡物体受某种外力作用发生倾斜后不依靠外力而恢复原来平衡状态的能力。
2、稳定性分析重心在浮心之下 —— 稳定平衡重心与浮心重合 —— 随遇平衡重心在浮心之上 —— 复杂，分别说明,
浮轴：物体平衡时，重心与浮心连成的垂直线。
(a) 稳定平衡 (b) 不稳定平衡 (c) 随遇平衡定倾中心：浮体发生倾斜时,C → C’,此时浮力 P’ 的作用线与浮体原来平衡时的浮轴的交点，以 m 表示。
则,m 在重心之上 —— 稳定平衡
m 在重心之下 —— 不稳定平衡
m 与 D 重合 —— 随遇平衡三、浮力的稳定与平衡
