作者,龚淑秋第五章 电路的时域分析
5.1 概述 换路定理
5.2 RC电路的时域分析
5.3 求解一阶电路的三要素法
5.4 脉冲激励下的 RC电路
C
电路处于旧稳态
S R
U+_ Cu
5.1 概述 换路定理电路处于新稳态
R
U
+
_ Cu
稳态,给定条件下，电路中的电压、电流物理量达到稳定状态暂态,电路参数从一个稳态转换到另一个稳态需要一个过渡时间此段时间内电路所产生的物理过程称为 过渡过程 。过渡过程状态又称为 暂态。
5.1.1,稳态,与,暂态,的概念开关 S 闭合后的 I？
无过渡过程
I
电阻电路
t = 0
U R
+
_
I
S
5.1.2 产生过渡过程的电路及原因结论,电阻电路 不存在过渡过程。
从一个稳态到另一个稳态，不需要过渡时间结论,电阻电路 不存在过渡过程。
U
S R
+
_ CuC
S 闭合后的 UC？
t
Cu
U
从一个稳态到另一个稳态，需要过渡时间
t0
经过 t0 时间后，电路达到新稳态结论,电容电路 存在过渡过程。
结论,电容电路 存在过渡过程。
2
0 2
1 cui d tuW t
C
K R
U +_
t=0
iL
t
Li
R
U
结论,电感电路 存在过渡过程。
结论,电感电路 存在过渡过程。
2
0 2
1 LidtuiW t
L
能量的存储和释放需要一个过程,所以有 电感的电路存在过渡过程能量的存储和释放需要一个过程,所以有 电容的电路存在过渡过程电容为储能元件,它储存的能量为电场能量,大小为：
电感为储能元件,它储存的能量为磁场能量,大小为：
电容电路电感电路
5.1.2,产生过渡过程的电路及原因含有电容和电感的电路当发生换路时 有暂态 ( 过渡过程 ) 产生什么是换路？电路状态的改变称为换路，如：
1.电路的接通、断开 2.电源的升高或降低 3,元件参数的改变产生过渡过程的原因？
CW
不能突变
Cu
不能突变电容 C存储的电场能量
）（ 221 CCuWc?
电感 L 储存的磁场能量
）（ 221 LL LiW?
LW
不能突变
Li
不能突变自然界物体所具有的能量不能突变，
能量的积累或 释放需要一定的时间。
换路定理,换路瞬间,电容上的电压、电感中的电流不能突变。
设 t=0 时换路?0
0
--- 换路前瞬间
--- 换路后瞬间
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
5.1.3,换路定律换路定理用换路定律可以求出 0+ 时刻的初始值，
初始值是电路时域分析的重要条件。
§ 5.1 概述
1.,稳态,与,暂态,的概念
2,产生过渡过程的电路及原因含有电容和电感的电路当发生换路时 有暂态 ( 过渡过程 ) 产生原因？ 能量的积累或 释放需要一定的时间
3,换路定律换路瞬间,电容上的电压、电感中的电流不能突变。
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
4,确定电路初值
C
换路前
S R
U+_ Cu
换路很久后
R
U
+
_ CuC
换路后瞬间
S R
U+_ Cu
i i i
0)0(
0)0(
u
i
0)0(
)0(
u
i RU
Uu
i
)(
0)(
求解依据,1,换路定律初始值,电路中 u,i 在 t=0+ 时 的大小。
)0()0( CC uu )0()0( LL ii
2,根据电路的基本定律和换路后的 等效电路,确定其它电量的初始值。
§ 5.1
等效电路中电容和电感的处理：
根据换路定律：
0
将电容用电压源替代，电压为 )0(?Cu
将电感用电流源替代，电流为 )0(?Li
依此建造 等效电路
0
求初值的步骤：
1,先求出 )0(?Cu )0(?Li
2,造出
0
等效电路
3,求出各初值例 1 K R
1
U
+
_
C
Cu
Ci
t=0
R2
U=12V
R1=4k?
R2=2k?
C=1?F
)0(cu V4
24
212
21
2?
RR
RU
V4)0()0( cc uu
)0(Ci mA2
2
4)0(
2
R
u C
0)(
0)(
C
C
i
u
原电路已稳定,t=0
时刻发生换路。求
)0()0( cc iu,
解：
1,先求出 )0(?Cu
2,造出
0
等效电路
3,求出各初值例 2
02210)0( ）（Lu
解,
求,
)0(
),0(
L
L
u
i
电路原已达到稳态，
设 时开关断开，0?t
1,先求出
)0(Li
mAi L 10)0( 220
2,造出
0
等效电路
3,求出各初值
)0()0( LL ii mA10?
Vu L 40)0(
K
,L
R
iL+
-
20V
k2
Lu
k2
R?k2
10mA
）（?0Lu
k2
C
C
C udt
duRCuRiU
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路
5.2 RC电路的时域分析
K R
U
+
_ C Cu
it=0
一阶电路过渡过程的求解方法
(一 ) 经典法,用数学方法求解微分方程；
(二 ) 三要素法,求 初始值稳态值时间常数
本节重点
0 CC udtduRC
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
Uu C )0( 0)(Cu
0 CR uu
0 CuRi
dt
duCi C?
列写回路方程：
5.2.1 一阶 RC电路的零输入响应方程通解为：
0 CC udtduRC
一阶常系数线性奇次微分方程
RC
t
C Aeu
UAeu C 0)0(即,
UA?得代入Uu
C )0(
将
RC
t
C Ueu
RC
称 为时间常数
t
C Ueu
Cu
t
U
uc
变化规律：
UudtduRC CC
一阶常系数线性微分方程方程的解由两部分组成：
CCC uutu "')(
5.2.2 一阶 RC电路的零状态响应
K R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
电压方程特解 通解
)(?Cu取换路后的新稳态值（ 稳态分量 或 强制分量 ） 作特解
0 CC udtduRC
通解即 的解 又称 自由分量 或 暂态分量
A为积分常数
Uutu' CC )()(
特解为：
通解为：
RC
t
C Aeu
"
又称 稳态分量 或 强制分量
RCtCCC AeUu"u'tu)(求 A 代入初始条件 0)0(
Cu
0)0( 0 AUAeUu C得,UA得
UA
)1()( / RCtRCtC eUUeUtu
UudtduRC CC
5.2.2 一阶 RC电路的零输入响应
K R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
电压方程
)1()( / RCtRCtC eUUeUtu
方程解
RC时间常数
002.63)( Uu C?
t当 时,
方程解可写为
Cu
t
U
当 t=5? 时，过渡过程基本结束,uC达到稳态值。
0.632U
)1()(?tC eUtu
t 02?3?4?5?6
Cu 0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
i
若 τ较小，则曲线是什么样的？
电流的曲线是什么样的？
若 τ较大，则曲线是什么样的？
τ较小 τ较大
越大，过渡过程曲线变化越慢，
uC达到稳态所需要的时间越长。
结论：
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
0)0( Uu C
0)0( Uu C
根据换路定理
Uu C )(
叠加方法状态为 0，即 U0=0
tC UeUu1
输入为 0，即 U=0
/
02
t
C eUu
/
021 )(
t
CCC eUUUuuu
5.2.3 完全响应及其两种分解形式时间常数
0)0( Uu C
Uu C )(
/0 )( tC eUUUu
/)()0()( tCCC euuu
初始值 稳态值稳态值一般形式：
/)()0()()( teffftf
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
teffftf )]()0([)()(
一阶电路微分方程解的通用表达式：
三要素
)(?f
------稳态值
------初始值
)0(?f
------时间常数?
)(tf 代表一阶电路中任一电压、电流函数。
式中
5.3 求解一阶电路 的三要素法电路中含有一种储能元件，其时域响应就可用一阶微分方程来描述，这种电路称为一阶电路。
三要素法求解过程分别求初始值、稳态值、时间常数将以上结果代入过渡过程通用表达式?
0)0()0( CC uu
V10)( Uu C
RC
“三要素法”例题
1 S R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
已知参数 R=2kΩ,U=10V,C=1μF,
且开关闭和前 uc(0-)=0。 开关 S在 t=0
时刻闭合，求 t >0时的 uc(t) 和 i(t)。
解,求初值求终值时间常数代入公式
teffftf )]()0([)()(
终值 初值 时间常数
63 101102 S102 3
)0(?Cu)(tuC )(?Cu )(?Cu10 0 10
-500t
Vetu tc )1(10)( 500
同理 mARUi 5/)0(
mAi 0)(
s3102
mA5?
teti 5005)(
得：
也可以这样算
dt
duCti c?)(
时间常数的求法？
时间常数的求法：
RC电路,时间常数为 τ=R0*C
R0为独立源失效后,从 C
两端看进去的等效电阻
R0
kR 5320本例中
RL电路,时间常数为 τ=L/R0
R0
s363 105101105
10550R
s210510/5.0
习题 5-3
kR 5.10
1230 101 0 0 0105.1 CR?
s6105.1
kR 20
1230 101 0 0 0102 CR?
s6102
求如下电路换路后的时间常数求如下电路换路后的时间常数
R0=? R
0=?
5kΩ 5kΩ
630 102105 CR? s01.0?
20R
0R
L
2
1? s5.0?
习题 5-9 图示电路换路前已处于稳态，试求换路后的
)(tuc
解：
630 102105 CR?
s01.0?
)(?cu
)(?cu 15? I10?
I
10515 5I mA5.2?
25?
Vu c 10)(
V10?
)0(?cu
换路前
)0(cu
)0(?cu 15? I10? 100?
Vu c 85)0(
V85?
Vuu cc 85)0()0(
teuuutu cccc )]()0([)()(
Ve t1 0 07510
习题 5-14 图示电路换路前已处于稳态，试求换路后的
)(1 ti )(2 ti )(tiL
解,Ai L 26/12)0(
求,电感电压 )(tu
L
例 3 已知,K在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
解：
1,先求出
)0(?Li
)0( Li
A2321 2)0(Li
Lu
t=03A
LS R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
2,造出
0
等效电路，求出电路初值。
2A
Lu
R1
R2
R3
V4
]//)[0()0( 321
RRRiu LL
3,求稳态值 )(?
Lu
t=?时等效电路
V0)(Lu
Lu
R1
R2
R3
Lu
t=03A
LK R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
4,求时间常数?
L
R2
R3R1
s)(5.021 RL?
321 || RRRR
5,将三要素代入通用表达式得过渡过程方程
V4)0(Lu
0)(Lu
s5.0
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
V4 2 te
6,画过渡过程曲线（由初始值?稳态值）
起始值-4V
t
Lu
稳态值
0V
习题 5-4 在图示电路中，，求当开关 S 在,1”和,2”位置时的时间常数。习题 5-5 求图示电路当开关 S 闭合时的时间常数。
习题 5-6 在图示电路中，求当开关 S 在,1”和,2”位置时的时间常数。
习题课第五章 线性电路的时域分析第五章 线性电路的时域分析习题课学习要点
1、暂态过程产生的原因及研究电路暂态过程的意义
2、确定暂态过程初始值的换路定则
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
3、一阶电路的三要素法三要素,)0(?f )(?f
CReq?
eqR
L
)e x p ()()0()()( tffftf4、暂态方程的一般式
5、微分电路与积分电路练习与思考
+
-
R1
L
S
US R
2
答案,( C )
1,下图所示电路在已稳定状态下断开开关 S，则该电（ ）。
a) 因为有储能元件 L，要产生过渡过程；
b) 因为电路有储能元件且发生换路，要产生过渡过程；
c) 因为换路时元件 L的电流储能不能发生变化，不产生过渡过程。
2,下图所示电路在达到稳定状态后移动 R1上的 滑动的触点，
该电路将产生过渡过程。这是因为（ ）。
a) 电路发生换路；
b) 电路中有储能元件 C ；
c) 电路有储能元件的能量发生变化。
答案,( b )
+
-
R2
US R1 C
3、下图所示电路在达到稳定状态后减小增加 R1,则该电路（ ）。
a) 因为发生换路，要产生过渡过程
b) 因为 C的储能值不变，不产生过渡过程
c) 因为有储能元件且发生换路，要发生过渡过程答案,( b )
+
-
US R1 C
R2
4、下图所示电路在稳定状态下闭合开关 S，该电路
（ ）。
a) 不产生过渡过程，因为换路未引起 L的电流发生变化
b) 要发生过渡过程，因为电路发生换路
c) 要发生过渡过程，因为电路有储能元件且发生换路答案,( a )
+
-
R1
L
S
US R
2
5,RL串联电路与电压为 8V的恒压源接通，如下图所示。在 t=0瞬间将开关 S闭合。当电感分别为 1H,3H,6H,4H时所收到的四根 uR(t)
曲线如下图所示。其中 1H电感所对应的 uR(t)
曲线是（ ）。
答案,( a )
+
-
R
L
S
uR(t)
t/s
uR(t)/V
0
4
8 a
b c
电路如图所示，已知开关闭合前电路已处于稳态。求 0?t 时的
)(tuC 。
0)0(Cu
例 1 P,110/例 5-4
1I
12I
A2
2I
4
1R
4
2R
F
C
01.0
Cu
S (t=0)
10eqRIU
I
U
sI
100
ss
CR qe
7
6
101.0
1001.010)3(
Vt
V
t
tu C
)10ex p (112
)
10
ex p (1212)()4(
7
7
VAAu C 122242)()2(
0)0()0()1( CC uu
三要素法：解即
i1
uL
us
iC
i2
0)0(Cu
S(t=0)
P.118/题 5-1
已知图 5-28所示电路在换路前已处于稳态 。 若,
试求换路后的瞬间各支路中的电流和各储能元件上的电压 。 设 。
课堂练习 1
解（ 答 案 ）
Vu
Ai
Aii
i
L
C
6)0(
15.0)0(
15.0)0()0(
0)0(
22
1
0)0()0( CC uu
学生自行完成
P.119/题 5-7
已知图 5-34所示电路原已处于稳态，
,4 0 0,2 0 0 21 RR
0,25,05.0,1.0 21 tVUFCFC
时电路换路。求换路后的
。和,)()()( 21 titutu CC
U
R1
R2
S (t=0)
例 2
)(ti
1Cu
2Cu
解
V
uu
CC
7.16
3
2
25
400200
400
25
)0()0()1(
11
Vu C 25)()2( 1
s
CR
20
101.0200)3( 6111
Ve
t
etu
t
C
4
105
1
1
3.825
)257.16(25)(
Vu C 3.8
3
125
400200
20025)0()1(
2
Vu C 25)()2( 2
s
CR
20
1005.040 0)3( 6222
已知 5-35中
P.119/题 5-8
,4,5,10 2!21 kRRVEVE
,100,23 FCkR
开关 S在位置 a时电路已处于稳态。 求开关 S由
a合同 b后的
)(tu C
和
)(0 ti
Ve
t
etu
t
C
4
105
62
7.1625
1020
)253.8(25)(
例 3
1）求开关 S由 a合至 b后的 uC(t)
Vuu CC 5)0()0(
E1 10V E2 5V
a b
S (t=0)
R1=4k R2=2k
R3=4k
C=100μ u
C(t)
i0(t)
SCR eq 4.0101 0 010)22( 63
)5.2e x p ()5.25(5.2)( ttu C
Vu C 5.2)(
解画 t=0+ 的等效电路如下
E1 10V E2 5V
a b
R1=4k R2=2k
R3=4k
C 5V
i0(0+)
由迭加原理得
2
1
22
5
6
84
5)0(
0
i
mA1625851615
2）求开关 S由 a合至 b后的 i0(t)
P.120/题 5-17
mAi 8544 5)(0
mAtti )5.2e x p ()851625(85)(0
mA)5.2e x p (161585
图 5-44a所示电路中，设输入信号电压波形如图 5-44b所示，
已知：
,1 00,1 pFCMR
试求 st 4102
时使输出电压
00?u
的负脉冲的幅值。设
0)0(Cu
例 4
解
sRC 4126 101010010
R
Cui uo u i/V
t/S
6.32
10
U
0 10-4 2?10-4
a) b)
图 5-44
则 st 410 时,Vu
C 32.6)(
由
t e t uC) 10 0 ( 10 ) (
电路时间常数为
st 44 10210
时，
teUUtu
C )32.6()(
st 41022
时，
0)32.6()2( 1 eUUu C
设使输出电压
00?u
的负脉冲的幅值为 U-，即当
Uu C )(
则当
Vee
e
U 68.310
1
32.6 11
1
解得
P.119/题 5-2
在图 5-29所示电路中，已知
,60,20,16 21 kRkRVU
,5.1,1,3043 mHLFCkRR
且换路前电路已处于稳态。试求换路后瞬间各支路电流和各储能元件两端的电压。
课堂练习 2
Cu L
C
Lu
U
1i
2i
3i 4i
Ci
1R
2R
3R
4R
)0(?t
S
C
Vu C 8.4)0(
mAii 224.0)())0( 31
mA
iii C
064.0
)0()0()0( 43
Vu L 0)0(
mAi L 16.0)0(4
解（ 答 案 ） 学生自行完成
P.119/题 5-4
。
S
mHLkRkR 5.2,3,2 21
在,1”和,2”位置 时的时间常数。已知求图 5-31所示电路中开关课堂练习 3
U
1R
S (t=0)
2R
L
1
2
S61 1083.0
S62 105.0
(P.120/题 5-11) 图 5-38所示电路中，已知且
0,25.0,2)0( tSgVu mC
时电路换路，求
0?t 时的 )(1 ti )(tiC、
和
)(tuC 。
,1,2,1,10 21 FCRRAI s
解（ 答 案 ） 学生自行完成
*课堂练习 4
Vttu C )104.2e x p ()42(4)( 6
Atdt tduCti CC )104.2e x p (8 33.0)()( 6
Ati t )10ex p ()833.7(8)( 64.21
iS R1
R2
Cgmu1u1 uC
iCi1
解（ 答 案 ） 学生自行完成
S (t=0)
5.1 概述 换路定理
5.2 RC电路的时域分析
5.3 求解一阶电路的三要素法
5.4 脉冲激励下的 RC电路
C
电路处于旧稳态
S R
U+_ Cu
5.1 概述 换路定理电路处于新稳态
R
U
+
_ Cu
稳态,给定条件下，电路中的电压、电流物理量达到稳定状态暂态,电路参数从一个稳态转换到另一个稳态需要一个过渡时间此段时间内电路所产生的物理过程称为 过渡过程 。过渡过程状态又称为 暂态。
5.1.1,稳态,与,暂态,的概念开关 S 闭合后的 I？
无过渡过程
I
电阻电路
t = 0
U R
+
_
I
S
5.1.2 产生过渡过程的电路及原因结论,电阻电路 不存在过渡过程。
从一个稳态到另一个稳态，不需要过渡时间结论,电阻电路 不存在过渡过程。
U
S R
+
_ CuC
S 闭合后的 UC？
t
Cu
U
从一个稳态到另一个稳态，需要过渡时间
t0
经过 t0 时间后，电路达到新稳态结论,电容电路 存在过渡过程。
结论,电容电路 存在过渡过程。
2
0 2
1 cui d tuW t
C
K R
U +_
t=0
iL
t
Li
R
U
结论,电感电路 存在过渡过程。
结论,电感电路 存在过渡过程。
2
0 2
1 LidtuiW t
L
能量的存储和释放需要一个过程,所以有 电感的电路存在过渡过程能量的存储和释放需要一个过程,所以有 电容的电路存在过渡过程电容为储能元件,它储存的能量为电场能量,大小为：
电感为储能元件,它储存的能量为磁场能量,大小为：
电容电路电感电路
5.1.2,产生过渡过程的电路及原因含有电容和电感的电路当发生换路时 有暂态 ( 过渡过程 ) 产生什么是换路？电路状态的改变称为换路，如：
1.电路的接通、断开 2.电源的升高或降低 3,元件参数的改变产生过渡过程的原因？
CW
不能突变
Cu
不能突变电容 C存储的电场能量
）（ 221 CCuWc?
电感 L 储存的磁场能量
）（ 221 LL LiW?
LW
不能突变
Li
不能突变自然界物体所具有的能量不能突变，
能量的积累或 释放需要一定的时间。
换路定理,换路瞬间,电容上的电压、电感中的电流不能突变。
设 t=0 时换路?0
0
--- 换路前瞬间
--- 换路后瞬间
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
5.1.3,换路定律换路定理用换路定律可以求出 0+ 时刻的初始值，
初始值是电路时域分析的重要条件。
§ 5.1 概述
1.,稳态,与,暂态,的概念
2,产生过渡过程的电路及原因含有电容和电感的电路当发生换路时 有暂态 ( 过渡过程 ) 产生原因？ 能量的积累或 释放需要一定的时间
3,换路定律换路瞬间,电容上的电压、电感中的电流不能突变。
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
4,确定电路初值
C
换路前
S R
U+_ Cu
换路很久后
R
U
+
_ CuC
换路后瞬间
S R
U+_ Cu
i i i
0)0(
0)0(
u
i
0)0(
)0(
u
i RU
Uu
i
)(
0)(
求解依据,1,换路定律初始值,电路中 u,i 在 t=0+ 时 的大小。
)0()0( CC uu )0()0( LL ii
2,根据电路的基本定律和换路后的 等效电路,确定其它电量的初始值。
§ 5.1
等效电路中电容和电感的处理：
根据换路定律：
0
将电容用电压源替代，电压为 )0(?Cu
将电感用电流源替代，电流为 )0(?Li
依此建造 等效电路
0
求初值的步骤：
1,先求出 )0(?Cu )0(?Li
2,造出
0
等效电路
3,求出各初值例 1 K R
1
U
+
_
C
Cu
Ci
t=0
R2
U=12V
R1=4k?
R2=2k?
C=1?F
)0(cu V4
24
212
21
2?
RR
RU
V4)0()0( cc uu
)0(Ci mA2
2
4)0(
2
R
u C
0)(
0)(
C
C
i
u
原电路已稳定,t=0
时刻发生换路。求
)0()0( cc iu,
解：
1,先求出 )0(?Cu
2,造出
0
等效电路
3,求出各初值例 2
02210)0( ）（Lu
解,
求,
)0(
),0(
L
L
u
i
电路原已达到稳态，
设 时开关断开，0?t
1,先求出
)0(Li
mAi L 10)0( 220
2,造出
0
等效电路
3,求出各初值
)0()0( LL ii mA10?
Vu L 40)0(
K
,L
R
iL+
-
20V
k2
Lu
k2
R?k2
10mA
）（?0Lu
k2
C
C
C udt
duRCuRiU
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路
5.2 RC电路的时域分析
K R
U
+
_ C Cu
it=0
一阶电路过渡过程的求解方法
(一 ) 经典法,用数学方法求解微分方程；
(二 ) 三要素法,求 初始值稳态值时间常数
本节重点
0 CC udtduRC
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
Uu C )0( 0)(Cu
0 CR uu
0 CuRi
dt
duCi C?
列写回路方程：
5.2.1 一阶 RC电路的零输入响应方程通解为：
0 CC udtduRC
一阶常系数线性奇次微分方程
RC
t
C Aeu
UAeu C 0)0(即,
UA?得代入Uu
C )0(
将
RC
t
C Ueu
RC
称 为时间常数
t
C Ueu
Cu
t
U
uc
变化规律：
UudtduRC CC
一阶常系数线性微分方程方程的解由两部分组成：
CCC uutu "')(
5.2.2 一阶 RC电路的零状态响应
K R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
电压方程特解 通解
)(?Cu取换路后的新稳态值（ 稳态分量 或 强制分量 ） 作特解
0 CC udtduRC
通解即 的解 又称 自由分量 或 暂态分量
A为积分常数
Uutu' CC )()(
特解为：
通解为：
RC
t
C Aeu
"
又称 稳态分量 或 强制分量
RCtCCC AeUu"u'tu)(求 A 代入初始条件 0)0(
Cu
0)0( 0 AUAeUu C得,UA得
UA
)1()( / RCtRCtC eUUeUtu
UudtduRC CC
5.2.2 一阶 RC电路的零输入响应
K R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
电压方程
)1()( / RCtRCtC eUUeUtu
方程解
RC时间常数
002.63)( Uu C?
t当 时,
方程解可写为
Cu
t
U
当 t=5? 时，过渡过程基本结束,uC达到稳态值。
0.632U
)1()(?tC eUtu
t 02?3?4?5?6
Cu 0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
i
若 τ较小，则曲线是什么样的？
电流的曲线是什么样的？
若 τ较大，则曲线是什么样的？
τ较小 τ较大
越大，过渡过程曲线变化越慢，
uC达到稳态所需要的时间越长。
结论：
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
0)0( Uu C
0)0( Uu C
根据换路定理
Uu C )(
叠加方法状态为 0，即 U0=0
tC UeUu1
输入为 0，即 U=0
/
02
t
C eUu
/
021 )(
t
CCC eUUUuuu
5.2.3 完全响应及其两种分解形式时间常数
0)0( Uu C
Uu C )(
/0 )( tC eUUUu
/)()0()( tCCC euuu
初始值 稳态值稳态值一般形式：
/)()0()()( teffftf
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
teffftf )]()0([)()(
一阶电路微分方程解的通用表达式：
三要素
)(?f
------稳态值
------初始值
)0(?f
------时间常数?
)(tf 代表一阶电路中任一电压、电流函数。
式中
5.3 求解一阶电路 的三要素法电路中含有一种储能元件，其时域响应就可用一阶微分方程来描述，这种电路称为一阶电路。
三要素法求解过程分别求初始值、稳态值、时间常数将以上结果代入过渡过程通用表达式?
0)0()0( CC uu
V10)( Uu C
RC
“三要素法”例题
1 S R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
已知参数 R=2kΩ,U=10V,C=1μF,
且开关闭和前 uc(0-)=0。 开关 S在 t=0
时刻闭合，求 t >0时的 uc(t) 和 i(t)。
解,求初值求终值时间常数代入公式
teffftf )]()0([)()(
终值 初值 时间常数
63 101102 S102 3
)0(?Cu)(tuC )(?Cu )(?Cu10 0 10
-500t
Vetu tc )1(10)( 500
同理 mARUi 5/)0(
mAi 0)(
s3102
mA5?
teti 5005)(
得：
也可以这样算
dt
duCti c?)(
时间常数的求法？
时间常数的求法：
RC电路,时间常数为 τ=R0*C
R0为独立源失效后,从 C
两端看进去的等效电阻
R0
kR 5320本例中
RL电路,时间常数为 τ=L/R0
R0
s363 105101105
10550R
s210510/5.0
习题 5-3
kR 5.10
1230 101 0 0 0105.1 CR?
s6105.1
kR 20
1230 101 0 0 0102 CR?
s6102
求如下电路换路后的时间常数求如下电路换路后的时间常数
R0=? R
0=?
5kΩ 5kΩ
630 102105 CR? s01.0?
20R
0R
L
2
1? s5.0?
习题 5-9 图示电路换路前已处于稳态，试求换路后的
)(tuc
解：
630 102105 CR?
s01.0?
)(?cu
)(?cu 15? I10?
I
10515 5I mA5.2?
25?
Vu c 10)(
V10?
)0(?cu
换路前
)0(cu
)0(?cu 15? I10? 100?
Vu c 85)0(
V85?
Vuu cc 85)0()0(
teuuutu cccc )]()0([)()(
Ve t1 0 07510
习题 5-14 图示电路换路前已处于稳态，试求换路后的
)(1 ti )(2 ti )(tiL
解,Ai L 26/12)0(
求,电感电压 )(tu
L
例 3 已知,K在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
解：
1,先求出
)0(?Li
)0( Li
A2321 2)0(Li
Lu
t=03A
LS R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
2,造出
0
等效电路，求出电路初值。
2A
Lu
R1
R2
R3
V4
]//)[0()0( 321
RRRiu LL
3,求稳态值 )(?
Lu
t=?时等效电路
V0)(Lu
Lu
R1
R2
R3
Lu
t=03A
LK R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
4,求时间常数?
L
R2
R3R1
s)(5.021 RL?
321 || RRRR
5,将三要素代入通用表达式得过渡过程方程
V4)0(Lu
0)(Lu
s5.0
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
V4 2 te
6,画过渡过程曲线（由初始值?稳态值）
起始值-4V
t
Lu
稳态值
0V
习题 5-4 在图示电路中，，求当开关 S 在,1”和,2”位置时的时间常数。习题 5-5 求图示电路当开关 S 闭合时的时间常数。
习题 5-6 在图示电路中，求当开关 S 在,1”和,2”位置时的时间常数。
习题课第五章 线性电路的时域分析第五章 线性电路的时域分析习题课学习要点
1、暂态过程产生的原因及研究电路暂态过程的意义
2、确定暂态过程初始值的换路定则
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
3、一阶电路的三要素法三要素,)0(?f )(?f
CReq?
eqR
L
)e x p ()()0()()( tffftf4、暂态方程的一般式
5、微分电路与积分电路练习与思考
+
-
R1
L
S
US R
2
答案,( C )
1,下图所示电路在已稳定状态下断开开关 S，则该电（ ）。
a) 因为有储能元件 L，要产生过渡过程；
b) 因为电路有储能元件且发生换路，要产生过渡过程；
c) 因为换路时元件 L的电流储能不能发生变化，不产生过渡过程。
2,下图所示电路在达到稳定状态后移动 R1上的 滑动的触点，
该电路将产生过渡过程。这是因为（ ）。
a) 电路发生换路；
b) 电路中有储能元件 C ；
c) 电路有储能元件的能量发生变化。
答案,( b )
+
-
R2
US R1 C
3、下图所示电路在达到稳定状态后减小增加 R1,则该电路（ ）。
a) 因为发生换路，要产生过渡过程
b) 因为 C的储能值不变，不产生过渡过程
c) 因为有储能元件且发生换路，要发生过渡过程答案,( b )
+
-
US R1 C
R2
4、下图所示电路在稳定状态下闭合开关 S，该电路
（ ）。
a) 不产生过渡过程，因为换路未引起 L的电流发生变化
b) 要发生过渡过程，因为电路发生换路
c) 要发生过渡过程，因为电路有储能元件且发生换路答案,( a )
+
-
R1
L
S
US R
2
5,RL串联电路与电压为 8V的恒压源接通，如下图所示。在 t=0瞬间将开关 S闭合。当电感分别为 1H,3H,6H,4H时所收到的四根 uR(t)
曲线如下图所示。其中 1H电感所对应的 uR(t)
曲线是（ ）。
答案,( a )
+
-
R
L
S
uR(t)
t/s
uR(t)/V
0
4
8 a
b c
电路如图所示，已知开关闭合前电路已处于稳态。求 0?t 时的
)(tuC 。
0)0(Cu
例 1 P,110/例 5-4
1I
12I
A2
2I
4
1R
4
2R
F
C
01.0
Cu
S (t=0)
10eqRIU
I
U
sI
100
ss
CR qe
7
6
101.0
1001.010)3(
Vt
V
t
tu C
)10ex p (112
)
10
ex p (1212)()4(
7
7
VAAu C 122242)()2(
0)0()0()1( CC uu
三要素法：解即
i1
uL
us
iC
i2
0)0(Cu
S(t=0)
P.118/题 5-1
已知图 5-28所示电路在换路前已处于稳态 。 若,
试求换路后的瞬间各支路中的电流和各储能元件上的电压 。 设 。
课堂练习 1
解（ 答 案 ）
Vu
Ai
Aii
i
L
C
6)0(
15.0)0(
15.0)0()0(
0)0(
22
1
0)0()0( CC uu
学生自行完成
P.119/题 5-7
已知图 5-34所示电路原已处于稳态，
,4 0 0,2 0 0 21 RR
0,25,05.0,1.0 21 tVUFCFC
时电路换路。求换路后的
。和,)()()( 21 titutu CC
U
R1
R2
S (t=0)
例 2
)(ti
1Cu
2Cu
解
V
uu
CC
7.16
3
2
25
400200
400
25
)0()0()1(
11
Vu C 25)()2( 1
s
CR
20
101.0200)3( 6111
Ve
t
etu
t
C
4
105
1
1
3.825
)257.16(25)(
Vu C 3.8
3
125
400200
20025)0()1(
2
Vu C 25)()2( 2
s
CR
20
1005.040 0)3( 6222
已知 5-35中
P.119/题 5-8
,4,5,10 2!21 kRRVEVE
,100,23 FCkR
开关 S在位置 a时电路已处于稳态。 求开关 S由
a合同 b后的
)(tu C
和
)(0 ti
Ve
t
etu
t
C
4
105
62
7.1625
1020
)253.8(25)(
例 3
1）求开关 S由 a合至 b后的 uC(t)
Vuu CC 5)0()0(
E1 10V E2 5V
a b
S (t=0)
R1=4k R2=2k
R3=4k
C=100μ u
C(t)
i0(t)
SCR eq 4.0101 0 010)22( 63
)5.2e x p ()5.25(5.2)( ttu C
Vu C 5.2)(
解画 t=0+ 的等效电路如下
E1 10V E2 5V
a b
R1=4k R2=2k
R3=4k
C 5V
i0(0+)
由迭加原理得
2
1
22
5
6
84
5)0(
0
i
mA1625851615
2）求开关 S由 a合至 b后的 i0(t)
P.120/题 5-17
mAi 8544 5)(0
mAtti )5.2e x p ()851625(85)(0
mA)5.2e x p (161585
图 5-44a所示电路中，设输入信号电压波形如图 5-44b所示，
已知：
,1 00,1 pFCMR
试求 st 4102
时使输出电压
00?u
的负脉冲的幅值。设
0)0(Cu
例 4
解
sRC 4126 101010010
R
Cui uo u i/V
t/S
6.32
10
U
0 10-4 2?10-4
a) b)
图 5-44
则 st 410 时,Vu
C 32.6)(
由
t e t uC) 10 0 ( 10 ) (
电路时间常数为
st 44 10210
时，
teUUtu
C )32.6()(
st 41022
时，
0)32.6()2( 1 eUUu C
设使输出电压
00?u
的负脉冲的幅值为 U-，即当
Uu C )(
则当
Vee
e
U 68.310
1
32.6 11
1
解得
P.119/题 5-2
在图 5-29所示电路中，已知
,60,20,16 21 kRkRVU
,5.1,1,3043 mHLFCkRR
且换路前电路已处于稳态。试求换路后瞬间各支路电流和各储能元件两端的电压。
课堂练习 2
Cu L
C
Lu
U
1i
2i
3i 4i
Ci
1R
2R
3R
4R
)0(?t
S
C
Vu C 8.4)0(
mAii 224.0)())0( 31
mA
iii C
064.0
)0()0()0( 43
Vu L 0)0(
mAi L 16.0)0(4
解（ 答 案 ） 学生自行完成
P.119/题 5-4
。
S
mHLkRkR 5.2,3,2 21
在,1”和,2”位置 时的时间常数。已知求图 5-31所示电路中开关课堂练习 3
U
1R
S (t=0)
2R
L
1
2
S61 1083.0
S62 105.0
(P.120/题 5-11) 图 5-38所示电路中，已知且
0,25.0,2)0( tSgVu mC
时电路换路，求
0?t 时的 )(1 ti )(tiC、
和
)(tuC 。
,1,2,1,10 21 FCRRAI s
解（ 答 案 ） 学生自行完成
*课堂练习 4
Vttu C )104.2e x p ()42(4)( 6
Atdt tduCti CC )104.2e x p (8 33.0)()( 6
Ati t )10ex p ()833.7(8)( 64.21
iS R1
R2
Cgmu1u1 uC
iCi1
解（ 答 案 ） 学生自行完成
S (t=0)
