管 理 运 筹 学 1
第十三章 存贮论 Inventory theory
§ 1 经济订购批量存贮模型
§ 2 经济生产批量模型
§ 3 允许缺货的经济订购批量模型
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型
§ 5 经济订购批量折扣模型
§ 6 需求为随机的单一周期的存贮模型
§ 7 需求为随机变量的订货批量、再订货点模型
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型
§ 9 物料需求计划 (MRP)与准时化生产方式 (JIT)简介管 理 运 筹 学 2
第十三章 存贮论存储论也称库存论,是研究物资最优存储策略及存储控制的理论 。 物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象 。 例如,
军事部门将武器弹药存储起来,以备战时急用；在生产过程中,
工厂为了保证正常生产,不可避免地要存储一些原材料和半成品,暂时不能销售时就会出现产品存储 。 又如商店存储的商品,
人们存储的食品和日常用品等等,都是物资存储现象 。
任何工商企业,如果物资存储过多,不但积压流动资金,
而且还占用仓储空间,增加保管费用 。 如果存储的物资是过时的或陈旧的,会给企业带来巨大经济损失；反之,若物资存储过少企业就会失去销售机会而减少利润,或由于缺少原材料而被迫停产,或由于缺货需要临时增加人力和费用 。 因而,寻求合理的存储量和订货时间就显得十分重要 。
由此提出什么时间供货 （ 简称期的问题 ）,每次供货多少
（ 简称量的问题 ） 的存储控制策略问题 。
管 理 运 筹 学 3
第十三章 存贮论企业从外部订货或自己生产,使物资存储增加,就是物资的供应或称为输入,企业销售产品使存储减少就是物资的需求或称为输出 。
物资从输入进入存储再到输出整个系统称为存储控制系统。
将物资保持在预期的一定水平,使生产过程或流通过程不间断并有效地进行,称为存储控制技术或存储策略 。
如果模型中期和量都是确定值,则称之为确定型模型,如果期或量是随机变量,则称之为随机性模型 。
供应 需求输入 输出存 储存储控制系统管 理 运 筹 学 4
第十三章 存贮论存贮是缓解供应与需求之间出现 的 供不应求或供过于求等不协调情况的必要和有效的方法和措施。
但是，要存贮就需要资金和维护，存贮的费用在企业经营的成本中占据非常大的部分。
存贮论主要解决存贮策略问题，即如下 两个问题,
1．补充存贮物资时，每次补充数量 (Q)是多少？
2．应该间隔多长时间 ( T )来补充这些存贮物资？
建立不同的存贮模型来解决上面两个问题，如果模型中的需求率、生产率等一些数据皆为确定的数值时，存贮模型被称为 确定性存贮模型 Deterministic Inventory Model；如果模型中含有随机变量则被称为 随机性存贮模型 Stochastic Inventory Model 。
管 理 运 筹 学 5
§ 1 经济订购批量存贮模型经济订购批量 (Economic ordering quantity，缩写为 EOQ)
存贮模型，又称不允许缺货，生产时间很短存贮模型，是一种最基本的确定性存贮模型。在这种模型里，需求率即单位时间从存贮中取走物资的数量是常量或近似乎常量；当存贮降为零时，可以立即得到补充并且所要补充的数量全部同时到位（包括生产时间很短的情况，我们可以把生产时间近似地看成零）。这种模型不允许缺货，并要求单位存贮费，每次订购费，每次订货量都是常数，分别为一些确定的、不变的数值。
主要参数：
需求率,d
单位货物单位时间的存贮费,c1
每次订购费,c3
每次订货量,Q
分别是一些确定的、不变的数值。
管 理 运 筹 学 6
例 1,益民食品批发部是个中型的批发公司，它为附近 200多家食品零售店提供货源。批发部的负责人为了减少存储的成本，他选择了某种品牌的方便面进行调查研究，制定正确的存储策略。下面为过去 12周的该品牌方便面的需求数据。 周 需求（箱）
1 3000
2 3080
3 2960
4 2950
5 2990
6 3000
7 3020
8 3000
9 2980
10 3030
11 3000
12 2990
总计 36000
平均每周 3000
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 7
过去 12周里每周的方便面需求量并不是一个常量，而以后时间里需求量也会出现一些变动，但由于其方差相对来说很小，我们可以近似地把它看成一个常量，即需求量每周为 3000箱，这样的处理是合理的和必要的。
计算存贮费：每箱存贮费由两部分组成，第一部分是购买方便面所占用资金的利息，如果资金是从银行贷款，则贷款利息就是第一部分的成本；
如果资金是自己的，则由于存贮方便面而不能把资金用于其他的投资，我们把此资金的利息称为机会成本，第一部分的成本也应该等于同期的银行贷款利息。方便面每箱 30元，而银行贷款年利息为 12%，所以每箱方便面存贮一年要支付的利息款为 3.6元。第二部分由贮存仓库的费用、保险费用、损耗费用、管理费用等构成，经计算每箱方便面贮存一年要支付费用
2.4元，这个费用占方便面进价 30元的 8%。把这两部分相加，可知每箱方便面存贮一年的存贮费为 6元，即 C1=6元 /年 ·箱，占每箱方便面进价的
20%。
计算订货费：订货费指订一次货所支付的手续费、电话费、交通费、
采购人员的劳务费等，订货费与所订货的数量无关。这里批发部计算得每次的订货费为 C3=25元 /次。
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 8
各参量之间的关系：
订货量 Q 总存贮费 总订购费越小 存贮费用越小 订购费用越大越大 存贮费用越大 订购费用越小存贮量 Q与时间 t 的关系时间
t
0 T1 T2 T3
Q/2
存贮量
Q
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 9
这种存贮模型的 特点,
1,需求率 （单位时间的需求量）为 d；
2,无限供货率（单位时间内入库的货物数量） ；
3,不允许缺货；
4,单位货物单位时间的存贮费 c1 ；
5,每次的订货费 c3 ；
6,每期初进行补充，即期初存贮量为 Q。
单位时间内总费用 =单位 时间内的存贮费用 +单位时间内的订货费用单位 时间内的存贮费用 =单位 时间内购买货物所占用资金的利息
+贮存仓库的费用 +保险费用 +损耗费用 +管理费用等设每次的订货量为 Q，由于补充的货物全部同时到位，故 0时刻的存贮量为 Q。 到 T时刻存贮量为 0，则 0到 T时间内的平均存贮量为
Q/2。又设单位 时间内的 总需求量为 D,(单位货物的进价成本即货物单价为 c),则
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 10
单位时间内的总费用求极值得使 总费用 最小的订购批量为这是存贮论中著名的经济 订购批量公式，也称哈里斯 -威尔逊公式。
单位时间内的存贮费用 =
单位时间内的订货费用 =
单位时间内的总费用 =
两次订货间隔时间 =
)(21 31 DccQDQcTC
1
32
c
DcQ
2
13cDc
2
13cDc
132 cDc
QDT /
3 6 5
0
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 11
§ 1 经济订购批量存贮模型
16 Q 3Q
2
一年的存贮费 每箱方便面一年的存贮费 平均存贮量
3
D
c
Q
30 00 52
25
Q
一年的订货费 每次的订货费 每年订货次数
3 0 0 0 5 2 3 9 0 0 0 0 0
3 Q 2 5 3 Q
QQ
一年的总费用 一年的存贮费+ 一年的订货费管 理 运 筹 学 12
§ 1 经济订购批量存贮模型
)(67.28.1 1 4 0/)523 0 0 0( 365 天
3
1
2 3 0 0 0 5 2 2 52 D cQ 1 1 4 0,1 8
c6
*最优订货量订货周期 T0=
一年的总费用
)(06.684118.1140390000018.1140339000003 ** 元 QQTC
管 理 运 筹 学 13
灵敏度分析：
批发部负责人在得到了最优方案存贮策略之后。他开始考虑这样一个问题：
这个最优存贮策略是在每次订货费为 25元，每年单位存贮费 6元，或占每箱方便面成本价格 30元的 20%（称之为存贮率）的情况下求得的。一旦每次订货费或存贮率预测值有误差，那么最优存贮策略会有多大的变化呢？这就是灵敏度分析。为此，我们用管理运筹学软件计算了当存贮率和订货费发生一些变动时，最优订货量及其最小的一年总费用以及取定订货量为 1140.18箱时相应的一年的总费用，如表 12-1所示。
§ 1 经济订购批量存贮模型可能的存贮率可能的每次订货费 (元 )
最优订货量 (Q*箱 )
一年总的费用 (元 )
当订货量为 Q* 当订货量 Q=1140.18
19% 23 1122.03 6395 6396.38
19% 27 1215.69 6929.2 6943.67
21% 23 1067.26 6723.75 6738.427
21% 27 1156.35 7285.00 7285.717
表 12-1
管 理 运 筹 学 14
从表 12-1中可以看到当存贮率和每次订货费起了一些变化时，最优订货量在 1067.26~1215.69箱之间变化，最少的一年总费用在 6395元 ~7285元之间变化。而我们取订货量为 1140.18是一个稳定的很好的存贮策略。即使当存贮率和每次订货费发生一些变化时，取订货量为 1140.18的一年总费用与取最优订货量为 Q*的一年总费用相差无几。在相差最大的情况中，
存贮率为 21%，每次订货费为 23元，最优订货量 Q*=1067.26箱；最少一年的总费用为 6723.75元。而取订货量为 1140.18箱的一年总费用为 6738.427
元，也仅比最少的一年总费用多支出 6738.427-6723.75≈15元。
从以上的分析，我们得到经济订购批量存贮模型的一个特性：一般来说，对于存贮率（单位存贮费和单位货物成本的比）和每次订货费的一些小的变化或者成本预测中的一些小错误，最优方案比较稳定。
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 15
益民批发部负责人在得到了经济订货批量模型的最优方案之后，根据批发部的具体情况进行了一些修改。
1,在经济订货模型中，最优订货量为 1140.18箱，两次补充方便面所间隔时间为 2.67天。为符合批发部的工作习惯，负责人决定把订货量扩大为 1282箱，以满足方便面 3天需求,3× 3000× 52/365=1282箱，这样便把两次补充方便面所间隔的时间改变为 3天。
2,经济订货批量模型是基于需求率为常量这个假设，而现实中需求率是有一些变化的。为了防止有时每周的需求超过 3000箱的情况，批发部负责人决定每天多存贮 200箱方便面以防万一，这样批发部第一次订货量为
1282+200=1482箱，以后每隔 3天补充 1282箱。
3,由于方便面厂要求批发部提前一天订货才能保证厂家按时把方便面送到批发部，也就是说当批发部只剩下一天的需求量 427箱时（不包括
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 16
以防万一的 200箱）就应该向厂家订货以保证第二天能及时得到货物，我们把这 427箱称为再订货点。如果需要提前两天订货，则再订货点为：
427× 2=854箱。
这样益民批发部在这种方便面的一年总的费用为：
§ 1 经济订购批量存贮模型
1 3 1
1
200
2
156000
0,5 * 1 2 8 2 * 6 * 2 5 2 0 0 * 6
1282
3 8 4 6 3 0 4 2,1 2 1 2 0 0
8 0 8 8,1 2
D
TC Q c c c
Q
元管 理 运 筹 学 17
§ 2 经济生产批量模型
【 例 】 某企业全年需某种材料 1000吨，单价为 500元 /吨，每吨年保管费为 50元，每次订货手续费为 170元，求最优存储策略。
【 解 】 计划期为一年，已知 D=1000,H=50,A=170,
C=500 。由式（ 10.23— 10.25）可得
)(8250 1701 0 0 02* 吨Q
)(30)(082.0501000 1702* 天年t
)(5 0 4 1 2 31 0 0 05 0 01 0 0 01 7 0502* 元f
最优存储策略为：每隔一个月进货 1次，全年进货 12次，每次进货 82吨，总成本为 504123元。
管 理 运 筹 学 18
经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间模型，
这也是一种确定型的存贮模型。它的存贮状态图为存贮量时间t
生产时间不生产时间平均 存贮量最高 存贮量
p-d d
§ 2 经济生产批量模型管 理 运 筹 学 19
这种存贮模型的特点：
1,需求率 （单位时间的需求量）为 d；
2,生产率（单位时间的产量）为 p — 有限供货率；
3,不允许缺货；
4,单位产品单位时间的存贮费 c1 ；
5,每次的生产准备费 c3 ；
6,每期初进行补充。
设每次生产量为 Q,生产率是 p，则每次的生产时间 t 为 Q/ p,
于是最高库存量为 (p-d) Q/ p。 到 T 时刻存贮量为 0，则 0到 T时间内的平均存贮量 为 (p-d) Q/2p 。故单位时间的存贮费为：
另一方面，设 D为产品的单位时间需求量，则单位时间的生产准备费为 c3 D /Q,进而，单位时间的总费用 TC为：
1)1(2
1 cQ
p
d?
31)1(2
1 c
Q
DcQ
p
dTC
§ 2 经济生产批量模型管 理 运 筹 学 20
使 TC达最小值的最佳生产量单位时间的最低总费用生产量为 Q＊ 时的最大存贮量为每个周期所需时间为显然,时，经济生产批量模型趋于经济订购批量模型。
1
3
)1(
2
c
p
d
DcQ
1
3 )1(2
c
p
dDc?
13 )1(2 cp
dDcTC
QD/
250
p
§ 2 经济生产批量模型管 理 运 筹 学 21
例 1,有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书馆专用书架，基于以往的销售记录和今后市场的预测，估计该书架今年一年的需求量为 4900个。存贮一个书架一年的费用为 1000元。这种书架的生产能力为每年 9800个，组织一次生产的费用为 500元。为了降低成本，该公司如何组织生产？要求求出最优的生产量，相应的周期，最少的年度费用，每年的生产次数。
解：
从题可知，年需求率 d=D=4900，年生产率 p=9800,c1=1000,c3=500
代入公式可得，
* 3
1
2 D c 2 4 9 0 0 5 0 0
Q 9 8 0 0 9 9
4900d
1 - 1 0 0 01 - c
9800p
个
§ 2 经济生产批量模型管 理 运 筹 学 22
*
*
13 *
D 490 0
49,5 50
Q 99
250
250 5
50
1 d D 1 490 0
1 Q c c 1 99 100 0 50 500 497 50
2 p Q 2 980 0
每 年 的 生 产 次 数 为计 每 年 的 工 作 日 为 天,则 相 应 周 期 为 天一 年 最 少 的 总 费 用 为 元
§ 2 经济生产批量模型管 理 运 筹 学 23
§ 2 经济生产批量模型
【 例 】 某公司每年需要招聘新的工作人员 60名（假定这 60名工作人员在一年内是均匀需要的）。被招聘的工作人员在上岗之前需要办班集中培训，公司每年最多可以培训 100人。开设一次培训班的成本是 1800元。每位应聘的工作人员在培训期间及上岗之前的年薪是 5400元。公司不愿意在不需要时招聘并训练这些人员，公司如何制定一年的培训计划，既保证不缺编而储备部分人员，又使得全年的总成本最小。
【 解 】 已知,D=d＝ 60,P＝ 100,A=c1＝ 1800,H=c3＝ 5400，
得
** 10 0,1 6 6 7 ( 6 1 ( )
60
Qt
D年 ） 天
2 2 1 8 0 0 6 0 1 0 0* 1 0 (
5 4 0 0 ( 1 0 0 6 0 )
A D PQ
H P D
人 ）
2 5 4 0 0 1 8 0 0 6 0 ( 1 0 0 6 0 )* 2 2 1 6 0 0 ( )
100
PDf H A D
P
元该公司的最优培训策略是：约 2个月举办一次培训班，全年共组织 6次，每次招聘 10人进行培训，全年总成本为 21600元。
管 理 运 筹 学 24
§ 3 允许缺货的 经济订购批量模型所谓 允许缺货是指企业在存贮量降至 0时，不急于补充等一段时间，然后订货。顾客遇到缺货也不受损失或损失很小，并假设顾客会耐心等待，直到新的补充到来。当新的补充一到，企业立即将所缺的货物交付给这些顾客，即缺货部分不进入库存。如果允许缺货，对企业来说除了支付少量的缺货费用外另无其他的损失，这样企业就可以利用,允许缺货,这个宽松条件,少付几次订货费用,
少付一些存贮费用,从经济观点出发这样的允许缺货现象对企业是有利的 。
管 理 运 筹 学 25
这种模型的 存贮状态图为,
时间存贮量
o
S
Q-S
最大缺货量最大存贮量
T
不缺货时间 t1
缺货时间 t2
§ 3 允许缺货的 经济订购批量模型管 理 运 筹 学 26
这种存贮模型的特点：
1,需求率 （单位时间的需求量）为 d；
2,无限供货率；
3,允许缺货，且最大缺货量为 S；
4,单位货物单位时间的存贮费 c1 ；
5,每次的订货费 c3 ；
6.单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费 c2 ；
7.当缺货量达到 S时进行补充，且很快补充到最大存贮量。
§ 3 允许缺货的 经济订购批量模型管 理 运 筹 学 27
设每次订货量为 Q,由于最大缺货量为 S，则最高库存量为 Q- S，故不缺货时期内的平均存贮量为 (Q- S)/2，于是，周期 T 内的平均存贮量 = (Q- S)t1/2T。由于 t1 = (Q- S)/d,T= Q/d，
则周期 T 内的平均存贮量 = (Q- S)2/2Q。
又周期 T内的平均 缺货 量 = (S t2 ) /2T。由于 t2 = S/d,T=
Q/d，故周期 T内的平均 缺货 量 = S2/2Q。故单位时间的总费用
TC为：
2
2
31
2
22
)( c
Q
Sc
Q
Dc
Q
SQTC
§ 3 允许缺货的 经济订购批量模型管 理 运 筹 学 28
使 TC达最小值的最佳订购量订购量为 Q＊ 时的最大缺货量单位时间的最低总费用订购量为 Q＊ 时的最大存贮量为每个周期 T所需时间显然,时,允许缺货 订购模型趋于经济订购批量模型。
21
213 )(2
cc
ccDcQ
)(
2
212
13
21
1
ccc
cDcQ
cc
cS
21
3212
cc
ccDcTC
)(
2
212
23
ccc
cDc
Dcc
ccc
d
QT
21
213 )(2
21
2
tTt
d
St
2c
§ 3 允许缺货的 经济订购批量模型管 理 运 筹 学 29
例子：假设 § 2例子中图书馆设备公司不生产书架，只销售书架。其销售的书架靠订货提供而且都能及时供货。该公司一年的需求量为 4900个，一个书架一年的存贮费用为 1000
元，每次订货费为 500元，每年的工作日为 250天。
问：
1,不允许缺货。求一年总费用最低的最优每次订货量及相应的周期，每年的订购次数，一年的总费用。
2,允许缺货。设一个书架缺货一年的缺货费为 2000元。
求一年总费用最低的最优每次订货量及相应的周期，相应的最大缺货量，同期中缺货的时间，不缺货的时间，每年的订购次数，一年的总费用。
§ 3 允许缺货的经济订购批量模型管 理 运 筹 学 30
解：
* 3
1
1
*
1
*
*
13 *
1
2Dc 2 490 0 500
Q 70
c 100 0
250 250
T 3,57
D / Q 490 0 / 70
D 490 0
70
Q 70
1 D 1 490 0
Q c c 70 100 0 500 =70000
2 Q 2 70
将 有 关 参 数 代 入 公 式 可 得天每 年 订 货 次 数 为 次一 年 的 总 费 用 为 元
§ 3 允许缺货的经济订购批量模型管 理 运 筹 学 31
3 1 2*
2
12
** 1
2
1
*
2
*
2
12
2
2D c c c 2 4900 500 1000+2000
Q 85
c c 1000 2000
c 1000
S Q 85 28
c c 2 3000
Q 85
T = 4,34
d 4900 / 250
S 28
t 1,43
d 19,6
t T - t 4,34- 1,43=2.91
4900
57.6
85
最 大 缺 货 量 为 个同 期 所 需 时 间 为 天同 期 中 缺 货 时 间 为 天同 期 中 不 缺 货 时 间 为 天每 年 订 购 次 数 为 次最 少 的 一 年 总 费
22
* * *
2
1 3 2* * *
2 2 2
22
Q S S
D
c c + c
2Q Q 2Q
85 28 284900
1000 500+ 2000=57158.82
2 85 85 2 85
用 为元
§ 3 允许缺货的经济订购批量模型管 理 运 筹 学 32
§ 3 允许缺货的经济订购批量模型
【 例 】 某工厂按照合同每月向外单位供货 100件，每次生产准备结束成本为 5 元，每件年存储费为 4.8元，每件生产成本为 20
元，若不能按期交货每件每月罚款 0.5元（不计其他损失），试求总成本最小的生产方案。
【 解 】 计划期为一个月,D=d=100,H=c3=4.8/12＝ 0.4，
B=c2=0.5,A=c1=5,C=20，利用式（ 10.16）～ (10.20）可得
)(20)(67.01 0 05.04.0 )5.04.0(52* 天月t
Q*=Dt*=100× 0.67=67(件 )
)(9.2 0 1 41 0 0205.04.0 1 0 055.04.02* 元f
)(37)5.04.04.0 5.010052*1 件（Q )(30*1** 件 QQS
即工厂每隔 20天组织一次生产，产量为 67件，最大存储量为 37
件，最大缺货量为 30件 。
管 理 运 筹 学 33
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型此模型与经济生产批量模型相比，放宽了假设条件：允许缺货。与允许缺货的经济订货批量模型相比，相差的只是：补充不是靠订货，而是靠生产逐步补充，因此，补充数量不能同时到位。开始生产时，一部分产品满足需要，剩余产品作为存贮。生产停止时，靠存贮量来满足需要。这种模型的 存贮状态图为,
存贮量时间O
S
V
最大缺货量最大存贮量
T
t1 t2 t
3
t4
p-d d
管 理 运 筹 学 34
这种存贮模型的特点：
1,需求率 （单位时间的需求量）为 d；
2,生产率（单位时间的产量）为 p — 有限供货率；
3,允许缺货，且最大缺货量为 S；
4,单位货物单位时间的存贮费 c1 ；
5,每次的订货费 c3 ；
6.单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费 c2 ；
7,当缺货量达到 S时进行补充，且逐步补充到最大存贮量。
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型管 理 运 筹 学 35
单位时间的总费用
TC =（单位时间的存贮费） +（单位时间的生产准备费）
+ （单位时间的缺货费）
=（平均存贮量） × c1 +（单位时间的生产次数） × c3
+ （平均缺货量） × c2
p
d
Q
cS
Q
Dc
p
d
Q
cS
p
d
Q
TC
1212
1
2
2
3
1
2
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型管 理 运 筹 学 36
使单位时间总费用 TC最小的最优生产量最优缺货量单位时间最少的总费用
p
dcc
ccDcQ
1
)(2
21
213
)(
121
212
31
21
1
ccc
p
d
cDc
Q
cc
p
d
c
S
21
321 12
cc
p
dccDc
TC
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型管 理 运 筹 学 37
例子：假设 § 2例子中图书馆设备公司在允许缺货的情况下，其总费用最少的最优经济生产批量和最优缺货量为何值？此外，一年的最少费用应该是多少？假定每年的书架需求量为 4900个，每年的生产能力为 9800个，
每次的生产准备费为 500元，每个书架一年存贮费用为 1000元，一个书架缺货一年的缺货费为 2000元。
解：
3 1 2*
12
1
*
1
3 1 2
12
2Dc c c 2 4900 500 1000+2000
Q 121,24 121
4900d
1 1000 20001 c c
9800p
d 4900
c1 1000 1
p 9800
S Q 121.24 20
c c 2 1000 2000
d
2Dc c c 1 2 4900 1000 500
p
cc
*
个最 优 缺 货 量 为 个一 年 的 最 少 费 用 为
4900
2000 1
9800
40414.52
1000 2000
元
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型管 理 运 筹 学 38
§ 5 经济订货批量折扣模型经济订货批量折扣模型是第一节的经济订货批量模型的一种发展 。
在前面四节中,单位货物的进价成本即货物单价都是固定的,而本节中的进价成本是随订货数量的变化而变化的 。
所谓货物单价有,折扣,是指供应方采取的一种鼓励用户多订货的优惠政策,即根据订货量的大小规定不同的货物单价 。 通常,订货越多购价越低 。 我们常见的所谓零售价,批发价,和出厂价,就是供应方根据货物的订货量而制订的不同的货物单价 。 因此,在订货批量的模型中总费用可以由三项构成,即有式中 c 为当 订货量为 Q时的单位货物的进价成本 。
DccQDQcTC 3121
管 理 运 筹 学 39
这种存贮模型的 特点,
1,需求率 （单位时间的需求量）为 d；
2,无限供货率（单位时间内入库的货物数量） ；
3,不允许缺货；
4,单位货物单位时间的存贮费为 c1 ；
5,每次的订货费为 c3 ；
6,单位货物的进价成本即货物单价为 c ；
7,每期初进行补充，即期初存贮量为 Q。
全量 折扣模型设 货物单价 c 为 订货量 Q 的分段函数，即
c(Q) = ki,Q∈ [Qi -1,Qi ),i = 1,2,…,n，
其中 k1 > k2 > … > kn,Q0< Q1< Q2< … < Qn,Q0 是最小订购数量，通常为 0； Qn 为最大批量，通常无限制。
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 40
下图是 n = 3时 c(Q) 和 TC 的图形表示：
当订货量为 Q∈ [Qi -1,Qi ) 时，由于 c(Q)= ki,则有由此可见，总费用 TC 也是 Q 的分段函数，具体表示如下：
O QQ
1 Q2
k3
k2
c(Q)
k1
O Q
1 Q
2
QQ
3
TC TC1
TC2
TC3
niDkcQDQcTC iii,,2,121 3)(1
Q3
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 41
TC(Q) = TCi,Q∈ [Qi -1,Qi ),i = 1,2,…,n。
由微积分的有关知识可知，分段函数 TC(Q)的最小值只可能在函数导数不存在的点、区间的端点和驻点达到。为此，
我们需要先找出这些点。由于 TCi 中的 Dki 是常数，求导数为 0，所以，类似于模型一，得 TCi 的驻点由 TC 的图形知，如果 TCi 的驻点 满足 Qi-1< < Qi,
则计算并比较 TCi( ),TCi+1(Qi),TCi+2(Qi+1),…,
TCn(Qn-1)的值，其中最小者所对应的 Q 即为最佳订货批量
Q＊,即 Q＊ 满足
.2 )(
1
3
ic
DcQ?
Q Q
})(,)({m i n)( QQQTCQTCQTC jjji
Q
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 42
例 4,图书馆设备公司准备从生产厂家购进阅览桌用于销售，每个阅览桌的价格为 500元，每个阅览桌存贮一年的费用为阅览桌价格的 20%，每次的订货费为 200元，该公司预测这种阅览桌每年的需求为 300个。生产厂商为了促进销售规定：如果一次订购量达到或超过 50个，每个阅览桌将打九六折，即每个售价为 480元；如果一次订购量达到或超过 100个，每个阅览桌将打九五折，即每个售价为 475元。请决定为使其一年总费用最少的最优订货批量 Q＊,并求出这时一年的总费用为多少？
解：已知 D = 300个 /年,c3 = 200/次 。
Q < 50时,k1 = 500元,=500*20% =100（元 /个年）
50 ≤ Q < 100时,k2 = 480元,= 480*20% = 96（元 /个年）
100 ≤ Q时,k3 = 475元,= 475*20% = 95（元 /个年）
1c?
1c
1c
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 43
Q < 50时，
50 ≤ Q < 100时，
100 ≤ Q时，
其中只有 在其范围内。
)(35100 20030022
1
3
1 个?
c
DcQ
)(3596 20030022
1
3
2 个?
c
DcQ
)(36
95
20030022
1
3
3 个?
c
DcQ
1Q
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 44
计算得比较上面的数值，得一年的总费用最少为 147600元，因此，最佳订货批量为 Q＊ = 50。
1 5 3 4 6 4)35()( 111 TCQTC
1 4 7 6 0 0)50()( 212 TCQTC
1 4 7 8 6 0)1 0 0()( 323 TCQTC
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 45
§ 5 经济订货批量折扣模型
【 例 】 某商店计划从工厂购进一种产品,预测年销量为 500件,
每批订货手续为 50元,工厂制定的单价为 （ 元 /件 ）,
4 0,0 1 0 0
3 9,1 0 0 2 0 0
3 8,2 0 0 3 0 0
3 7,3 0 0
i
Q
Q
C
Q
Q
每件产品年存储费率为 0.5,求最优存储策略 。
【 解 】 D=500,H=0.5× 40＝ 20,A=50,经济订货批量
)(5020 5 0 0502* 件Q
管 理 运 筹 学 46
§ 5 经济订货批量折扣模型
Q*在 （ 0,100） 内,故 C*=40,则
2 1 0 0 05004050050202)50(f
分别算出 Q等于 100,200,300时的总费用：
f(100)最小,最优解为 Q=100。 即接受每批订货 100件的折扣批量,
全年分 5次订货,最小费用为 20750元,比没有折扣的费用少 250
元 。
2 0 7 2 55 0 0395 0 0501 0 011 0 0395.021)1 0 0(f
2 1 0 2 55003850050200 1200385.021)200(f
33.2 1 3 5 85 0 0375 0 0503 0 013 0 0375.021)3 0 0(f
管 理 运 筹 学 47
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型在前面讨论的模型中，我们把需求看成是固定不变的已知常量。但是，在现实世界中，更多的情况却是需求为一个随机变量。为此，在本节中我们将介绍需求是随机变量，特别是需求服从均匀分布和正态分布这两种简单情况的存贮模型。
所谓单一周期存贮是指在产品订货、生产、存贮、销售这一周期的最后阶段或者把产品按正常价格全部销售完毕，或者把按正常价格未能销售出去的产品削价销售出去，甚至扔掉。
总之，在这一周期内把产品全部处理完毕，而不能把产品放在下一周期里存贮和销售。季节性和易腐保鲜产品，例如季节性的服装、挂历、麦当劳店里的汉堡包等都是按单一周期的方法处理的。报摊销售报纸是需要每天订货的，但今天的报纸今天必须处理完，与明天的报纸无关。因此，我们也可以把它看成是一个单一周期的存贮问题，只不过每天都要作出每天的存贮决策。
管 理 运 筹 学 48
报童问题,报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，每日售出 d 份 报纸的概率 P(d )（根据以往的经验）是已知的。 报童每售出一份报纸赚 k 元，如果报纸未能 售出，每份赔 h 元，问 报童每日最好准备多少报纸？
这就是一个 需求量为随机 变量 的单一周期的存贮问题。在这个问题 中要解决最优订货量 Q 的问题。如果 订货量 Q 选得过大，那么报童就会因不能 售出报纸造成损失； 如果 订货量 Q 选得过小，
那么报童就要因缺货失去销售机会而 造成机会损失。如何适当地选择订货量 Q，才能使这两种 损失的期望值之和最小呢？
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 49
设售出 d 份 报纸的概率为 P(d )，从 概率论可知已知因报纸未能 售出而造成每份损失 h 元，因缺货而 造成机会损失每份 k 元，则满足下面不等式的 Q＊ 是这两种 损失的期望值之和最小的订报量例 5,某 报亭出售 某种报 纸，每售出一百 张可获利 15元，如果当天不能 售出，每一百 张赔 20元。每日售出该报纸份数的 概率 P(d )根据以往经验如下表所示。试问 报亭 每日 订购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大。
1)(0d dP
销售量
（百张） 5 6 7 8 9 10 11
概率 P(d ) 0.05 0.10 0.20 0.2 0.25 0.15 0.05
)42.12()()(
0
1
0
Q
d
Q
d
dPhk kdP
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 50
解：要使其赚钱的期望值最大，也就是使其因售不出报纸的损失和因缺货失去销售机会的损失的期望值之和为最小。已知 k =
15,h = 20，则有另有故 当 Q = 8时，不等式成立,因此,最优的订 报 量为每天 800张,此时其 赚钱的期望值最大。
.4286.02015 15 hk k
35.020.010.005.0)7()6()5()(
7
0
PPPdP
d
55.020.020.010.005.0)8()7()6()5()(8
0
PPPPdP
d
8
0
7
0
)()(
dd
dPhk kdP
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 51
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型表 10.1 500天售报量分布表
【 例 】 某报社为了扩大销售量，招聘了一大批固定零售售报员．为了鼓励他们多卖报纸，报社采取的销售策略是：售报员每天早上从报社设置的售报点现金买进报纸，每份 0.35元，零售价每份 0.5元，利润归售报人所有，如果当天没有售完第二天早上退还报社，报社按每份报纸 0.1元退款．如果某人一个月
（按 30天计算）累计订购 7千份，将获得 150元的奖金．
某人应聘当售报员，开始他不知道每天应买进多少份报纸，更不知道能否拿到奖金．报社发行部告诉他一个售报员以前 500
天的售报统计数据，见表 10.1．
售报量
xi (份 )
40～
80
81～
120
121～
160
161～
180
181～
200
201～
220
221～
240
240以上天数 20 50 60 70 80 100 70 50
管 理 运 筹 学 52
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型
【 解 】 计算最优服务水平．已知 C＝ 0.35,P＝ 0.5,S＝ 0.1．如果当天订货量小于需求量，除了机会成本外没有其它成本，因此 B＝ 0,H＝ 0，则有
Co＝ C－ S＋ H＝ 0.35－ 0.1=0.25,Cu=P－ C＋ B＝ 0.5－ 0.35=0.15
375.025.015.0 15.0 ＝
ou
u
CC
CSL
（ 1）售报员每天应准备多少份报纸最佳，一个月收益的期望值是多少．
（ 2）他能否得到奖金，如果一定要得到奖金，一个月收益期望值是多少．
（ 3）如果报社按每份报纸 0.15元退款，应订购多少份报纸，
解释订购量变动的原因．
计算频率和累计频率，售报量取各区间的中值，频率等于对应天数除以 500，见表 10.2．
管 理 运 筹 学 53
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型
（ 1）由表 10.2知当需求量等于 170时，这时的累计频率等于 0.4，
大于 SL，则最佳订购量是 170份报纸,
5.19)1.014.02.016.0(5.2514.0)5.421704.0(
12.0)5.421404.0(1.0)5.421004.0(04.0)5.42604.0(
5.255.424.0
170)35.05.0(170)1.035.0()1.05.0()(
8080
ii
ii
x
i
x
ii
xQ
i
Qx
ii
ppx
ppxQf
＝
表 10.2
需求量
xi(份 ) 60 100 140 170 190 210 230 240
天数 20 50 60 70 80 100 70 50
频率 0.04 0.1 0.12 0.14 0.16 0.2 0.14 0.1
累计频率 0.04 0.14 0.26 0.4 0.56 0.76 0.9 1
管 理 运 筹 学 54
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型则此售报员每天的收益期望值为 19.5元，一个月的收益期望值 585元．
（ 2）售报员每天订购 170份报纸，一个月也只有 5100份，显然得不到奖金．要想得到奖金，他必须每天至少订购 234份报纸．令 Q＝ 234代入式（ 10.38a），类似上面的计算，得到每天的收益期望值是 13.9元，一个月的收益期望值为 13.9× 30＋ 150
＝ 567（元），低于最佳订购量的期望收益，说明售报员不能为了得到奖金而增加报纸的订购量．
（ 3） C＝ 0.35,P＝ 0.5,S＝ 0.15，则有
Co＝ C－ S＝ 0.35－ 0.15=0.2,Cu=P－ C－ B＝ 0.5－ 0.35=0.15
4 2 8.02.015.0 15.0 ＝
ou
u
CC
CSL
这时应订 190份报纸，订购量增加了 20份．残值 S由 0.1增加到
0.15，不缺货的概率（即最优服务水平 SL）由 0.375提高到 0.428，
缺货的概率 Ps（ Ps＝ 1－ SL）由 0.625减少到 0.572，因此要增加订货量．
管 理 运 筹 学 55
我们可以把公式 （ 12,42）改写成公式 （ 12,43）既适用于离散型随机变量也适用于连续型随机变量。如果只考虑连续型随机变量,公式 （ 12,43）又可以改写为
)43.12()()( QdPhk kQdP
)44.12()( hk kQdP
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 56
例 6,某书店拟在年前出售一批新年挂历。每售出一本可盈利 20
元，如果年前不能售出，必须削价处理。由于削价，一定可以售完，
此时每本挂历要赔 16元。根据以往的经验，市场的需求量近似服从均匀分布，其最低需求为 550本，最高需求为 1100本，该书店应订购多少新年挂历，使其损失期望值为最小？
解：由题意知 挂历的需求量是服从区间 [550,1100]上的均匀分布的随机变量,k = 20,h = 16，则其需求量小于 Q＊ 的概率为则由公式 （ 12,44）得由此求得 Q＊ = 856（本），并从 5/9可知，这时有
5/9的概率挂历有剩余，有 1－ 5/9=4/9的概率挂历脱销。
550
550
5501100
550)(
QQQdP
9
5
1620
20
5 5 0
5 5 0?
Q
)( QdP
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 57
例 7,某化工公司与一客户签订了一项供应一种独特的液体化工产品的合同。客户每隔六个月来购买一次，每次购买的数量是一个随机变量，通过对客户以往需求的统计分析，知道这个随机变量服从以均值? =1000（公斤），方差? =100 （公斤）的正态分布。
化工公司生产一公斤此种产品的成本为 15元，根据合同固定售价为
20元。合同要求化工公司必须按时提供客户的需求。一旦化工公司由于低估了需求产量不能满足需要，那么化工公司就到别的公司以每公斤 19元的价格购买更高质量的替代品来满足客户的需要。一旦化工公司由于高估了需求，供大于求，由于这种产品在两个月内要老化，不能存贮至六个月后再供应给客户，只能以每公斤 5元的价格处理掉。化工公司应该每次生产多少公斤的产品才使该公司获利的期望值最大呢？
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 58
解：根据 题意得 k =5－ 1= 4,h = 15－ 5= 10，利用公式（ 12,44）得由于需求 服从均值? =1000，方差? =100 的正态分布，上式即为通过查阅标准正态表，得把? =1000,?=100 代入，得从 可知，当产量为 945公斤时，有 0.29的概率产品有剩余，有 1－ 0.29 = 0.71的概率产品将不满足需求。
.29.0
Q
.)(945100010055.0 公斤Q
29.0104 4)( hk kQdP
,55.0
Q
29.0)(QdP
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 59
本节介绍需求为随机变量的多周期存贮模型。在这种模型里，
由于需求为随机变量，我们无法求得周期（即两次订货时间间隔）
的确切时间，也无法求得再次订货点确切来到的时间。
下面我们给出求订货量和再订货点的最优解的近似方法，而精确的数学公式太复杂，这里不作介绍。具体求解步骤如下：
1,设全年的需求量 近似为 D，利用 经济订货批量存贮模型求出
（每次的）最优订货量 Q＊ 。
2,根据具体情况制定出服务水平，即制定在 m天里出现缺货的概率?，也即不 出现缺货的概率为 1。利用下式求出 r
P( m 天里需求量?r ) = 1，
其中 r 为 再订货点，即当库存量下降到 r 时订货,m 天后货到。
存贮的 ( r,Q ) 策略 r 为最低存贮量，即订货点，对 库存量随时进行检查,当 H >r 时不补充；当 H ≤ r 时进行补充，每次补充的数量为 Q。
§ 7 需求为随机变量的订货批量、再订货点模型管 理 运 筹 学 60
例 8.某装修材料公司经营某品牌的地砖，公司直接从厂家进这种产品。由于公司与厂家距离较远，双方合同规定，在公司填写订货单后一个星期厂家把地砖运到公司。公司根据以往的数据统计分析知道，在一个星期里此种地砖的需求量服从以均值? =850箱，
方差? =120箱的正态分布，又知道 每次订货费为 250元，每箱地砖的成本为 48元，存贮一年的存贮费用为成本的 20%，即 每箱地砖一年的存贮费用为 48× 20% = 9.6元。 公司规定的服务水平为允许由于存贮量不够造成的缺货情况为 5%。 公司应如何制定存贮策略，
使得一年的订货费和存贮费的总和为最少？
解：首先按经济订货批量存贮模型求出最优订货批量 Q＊ 。已知每年的平均需求量 D =8 50 × 52 = 44200 箱 /年,c1 = 9.6 元 /箱年，
c3 = 250元，得
§ 7 需求为随机变量的订货批量、再订货点模型服务水平 （ Service level） =1－ Ps,一个时期内不缺货的概率 (% of no shortage)
管 理 运 筹 学 61
于是，每年平均约订货 44200/1517≈29次。由服务水平，得
P (一个星期的需求量? r ) = 1 =1? 0.05=0.95
进一步，有查标准正态分布表，得进一步，有 r = 1047，安全存贮量为 r? d m =1047?850 =197箱。
在这样的存贮策略下，在订货期有 95%的概率不会出现缺货，
有 5%的概率会出现缺货。
。箱 )(1 5 1 76.9 2 5 04 4 2 0 022
1
3
c
DcQ
.95.0r
.6 4 5.1r
§ 7 需求为随机变量的订货批量、再订货点模型管 理 运 筹 学 62
需求为随机变量的定期检查存贮量模型是另一种处理多周期的存贮问题的模型。在这个模型里，管理者要定期例如每隔一周、一个月等检查产品的库存量，根据现有的库存量来确定订货量，在这个模型中管理者所要做的决策是：依照规定的服务水平制定出产品的存贮补充水平 M。一旦确定了 M,也就确定了订货量 Q 如下所示：
Q = M? H，
式中 H 为检查时的库存量。
这个模型很适合于经营多种产品并进行定期清盘的企业，公司只要制定了各种产品的存贮补充水平，根据清盘的各种产品的库存量，马上可以确定各产品的订货量，同时进行各种产品的订货。
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型管 理 运 筹 学 63
需求为随机变量的定期检查库存量的存贮模型处理存贮问题的典型方式如图 12-10所示。
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型存贮水平
0
Q Q
Q
Q
时间检查周期 检查周期订货期 订货期缺货
M单位产品维持时间 存货补充水平图 12-10
管 理 运 筹 学 64
在图 12-10中，我们看到在检查了存贮水平 H之后，我们立即订货 Q=M-H，这时库房里的实际库存量加上订货量正好为存贮补充水平 M（订货的 Q单位产品在过了订货期才能到达）。从图上可知这 M单位的产品要维持一个检查周期再加上一个订货期的消耗，所以我们可以从一个检查周期加上一个订货期的需求的概率分布情况，结合规定的服务水平来制定存贮水平 M，
以下我们举例说明。
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型管 理 运 筹 学 65
例 9 某百货商店经营几百种商品，该商店每隔两周清盘一次，根据清盘情况同时对几百种商品进行订货，这样便于管理。又因为其中很多商品可以从同一个厂家或批发公司进货，这样也节约了订货费用。现在商店管理者要求对这几百种商品根据各自的需求情况和服务水平制定出各自的存贮水平。现要求对其中两种商品制定出各自的存贮水平。
商品 A是一种名牌香烟。一旦缺货，顾客不会在商店里购买另一种品牌的烟，而去另外的商店购买，故商店规定其缺货的概率为 2.5%。商品 B是一种普通品牌的饼干，一旦商店缺货，一般情况下，顾客会在商店里购买其他品牌的饼干或其他儿童食品，故商店规定其缺货概率为 15%。根据以往的数据，通过统计分析，商品 A每 14天需求服从均值 μ A=550条，均方差 σ A=85
条的正态分布，商品 B每 14天需求服从均值 μ B=5300包，均方差 σ B=780包的正态分布。
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型管 理 运 筹 学 66
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型
,97,5 %,
1,96
1,96 55 0 1,96 85 71 7
,85 %,
AA
A
AA
A
A A A
BB
B
BB
B
M
M
M
M
M
AB
AA
BB
解,设 商 品 A 的 存 贮 补 充 水 平 为 M,商 品 B 的 存 贮 补 充 水 平 为 M,从统 计 知 识 可 知,
P( 商 品 A 的 需 求 d M )= 1-
查 标 准 正 态 分 布 表,得,,
（ 条 ）
P( 商 品 B 的 需 求 d M )= 1-
查 标 准 正 态 分 布 表,得,1,03 4
1,03 4 53 00 1,03 4 78 0 61 07
B B B
M
，
（ 包 ）
管 理 运 筹 学 67
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型也就是说，商店在每隔两周的清货盘点时，发现 A商品还剩 HA,B商品还剩 HB时，
马上向厂家订货,A商品为 717-HA条,B商品为 6107-HB包，使当时 A商品的库存量加上订货量正好达到存贮补充水平 717条,B商品的库存量加上订货量正好达到存贮水平 6107包。图 12-11（ a）显示了缺货概率为 2.5%时的存贮补充水平 MA，图 12-11（ b）
显示了缺货概率为 15%时的存贮补充水平 MB。
( ) 85%P d M
不 缺 货图 12-11
（ a） （ b）
550 650 750450350 4300 5300 6300
( ) 9 7,5 %P d M不 缺 货 ( ) 2,5 %P d M
缺 货 ( ) 1 5 %P d M
缺 货管 理 运 筹 学 68
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型在上述模型里只考虑了保证一定服务水平的存贮补充水平 M的问题，并没考虑到订货费与存贮费之和最小化的问题，要解决这类问题，我们还必须把再订货点 r作为另一个决策变量，把这称之为 （ t,r,M）混合模型,每隔 t时间检查库存量 H，当 H>r时不补充；
当 H≤ r时补充存贮量使之达到 M，补充量为 M? H。
这种模型需要更多的数学知识，在本书中不作介绍。
管 理 运 筹 学 69
§ 9 物料需求计划 (MRP)与准时化生产方式 (JIT)简介在存贮管理与控制中有两个重要的技术：物料需求计划（ MRP）和准时化生产方式（ JIT），我们对它们作一个简单的介绍。
一、物料需求计划（ MRP）
物料需求计划（ MRP） 是一种用于管理与控制需求有依赖关系的产品的生产与存贮的技术。
MRP是基于计算机的生产与存贮计划和控制系统，它有 三个目标,1）
确认装配最终产品所需要的原料、零件与部件； 2）使存贮水平最小化； 3）
制定制造、购买和运输的时间表。
MRP系统需要三个主要输入,1）主生产计划，所谓主生产计划是指最终产品的生产计划； 2）产品结构记录，它包括生产每一件最终产品所需的原材料、零部件的清单和所需的生产（订购）时间等信息； 3）原材料、零部件的库存记录。
管 理 运 筹 学 70
§ 9 物料需求计划 (MRP)与准时化生产方式 (JIT)简介
MRP的技术不断地得到发展 。 MRP引入资源计划与保证、安排生产、执行监控与反馈等功能，形成闭环的 MRP系统。当闭环的 MRP进一步扩展，将经营、财务与生产管理子系统相结合，形成制造资源计划（ MRPⅡ ）。当
MRPⅡ 融合了其他现代管理思想与技术，形成了面向更广泛市场的企业资源计划,ERP（ Enterprise Resource Planning）。
二、准时化生产方式（ JIT）
准时化生产方式（ JIT） 是近年来日本人创造的一种引人注目的物料管理与控制的新方法，它的哲学目标是彻底消除包括不必要存贮在内的所有浪费。
它的 基本原则 是在正确的时间，生产正确数量的零件或产品，即准时生产。存贮要极小化，甚至不需要。
JIT的生产的活动是由后续工序来加以协调的，这 与传统的生产过程是不一样的,例如 MRP是按主生产计划的要求，在需要的时间、地点生产需要的零部件，在生产过程中由前道工序向后道工序送货，这是一种“推动式”的生产方式。而 JIT的零部件仅在后续工序提出要求时才生产，这是一种“拉动式”生产，协调整个生产活动的关键部分是称为管 理 运 筹 学 71
§ 9 物料需求计划 (MRP)与准时化生产方式 (JIT)简介
,看板”的信息系统，它动态地提供了各生产过程所需的原材料，零部件的数量、规格，后道工序根据“看板”向前道工序取货，前道工序根据后道工序的需要在正确的时间，生产正确数量的零部件或产品，零件或产品一生产出来就被下道工序取走，防止了不必要的存贮，达到了库存量最低（零库存），同时也就要求生产的准备时间最短（零准备时间），这样才有可能采用极小批量。
保证质量是 JIT中的一个关键问题,在 JIT中，生产的数量和存贮水平都是最小化的，没什么安全存贮，任何质量问题都将打乱整个计划的物流运行，危及整个 JIT系统。故要求废品量最低（零废品）。
最后,协调好从供应商到制造商的物流是 JIT中的另一个关键问题,
JIT不允许供应商把原材料、零部件大批量的运给制造商，因而造成大量的存贮和提高成本，要求供应商根据制造商的每日需要，每日平衡地、
及时地把原材料和零部件送到制造商的手里,JIT需要制造商与供应商之间有着紧密的伙伴关系，以保证制造商及时地获得无缺陷的所需物资。
执行 JIT生产方式可以通过减少存贮成本和提高质量而获得更多的利润，从存贮管理来看,JIT可以减少存贮水平，增加存贮流动量，使存贮管 理 运 筹 学 72
§ 9 物料需求计划 (MRP)与准时化生产方式 (JIT)简介总费用最低。尽管 JIT在存贮管理上有明显的效果，但是由于在文化与行为上的差别，现在还不清楚是否能把这种日本的生产方式成功地推广到中国、美国等其他国家，目前大部分的中国和美国企业仍然使用传统的存贮管理办法。
第十三章 存贮论 Inventory theory
§ 1 经济订购批量存贮模型
§ 2 经济生产批量模型
§ 3 允许缺货的经济订购批量模型
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型
§ 5 经济订购批量折扣模型
§ 6 需求为随机的单一周期的存贮模型
§ 7 需求为随机变量的订货批量、再订货点模型
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型
§ 9 物料需求计划 (MRP)与准时化生产方式 (JIT)简介管 理 运 筹 学 2
第十三章 存贮论存储论也称库存论,是研究物资最优存储策略及存储控制的理论 。 物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象 。 例如,
军事部门将武器弹药存储起来,以备战时急用；在生产过程中,
工厂为了保证正常生产,不可避免地要存储一些原材料和半成品,暂时不能销售时就会出现产品存储 。 又如商店存储的商品,
人们存储的食品和日常用品等等,都是物资存储现象 。
任何工商企业,如果物资存储过多,不但积压流动资金,
而且还占用仓储空间,增加保管费用 。 如果存储的物资是过时的或陈旧的,会给企业带来巨大经济损失；反之,若物资存储过少企业就会失去销售机会而减少利润,或由于缺少原材料而被迫停产,或由于缺货需要临时增加人力和费用 。 因而,寻求合理的存储量和订货时间就显得十分重要 。
由此提出什么时间供货 （ 简称期的问题 ）,每次供货多少
（ 简称量的问题 ） 的存储控制策略问题 。
管 理 运 筹 学 3
第十三章 存贮论企业从外部订货或自己生产,使物资存储增加,就是物资的供应或称为输入,企业销售产品使存储减少就是物资的需求或称为输出 。
物资从输入进入存储再到输出整个系统称为存储控制系统。
将物资保持在预期的一定水平,使生产过程或流通过程不间断并有效地进行,称为存储控制技术或存储策略 。
如果模型中期和量都是确定值,则称之为确定型模型,如果期或量是随机变量,则称之为随机性模型 。
供应 需求输入 输出存 储存储控制系统管 理 运 筹 学 4
第十三章 存贮论存贮是缓解供应与需求之间出现 的 供不应求或供过于求等不协调情况的必要和有效的方法和措施。
但是，要存贮就需要资金和维护，存贮的费用在企业经营的成本中占据非常大的部分。
存贮论主要解决存贮策略问题，即如下 两个问题,
1．补充存贮物资时，每次补充数量 (Q)是多少？
2．应该间隔多长时间 ( T )来补充这些存贮物资？
建立不同的存贮模型来解决上面两个问题，如果模型中的需求率、生产率等一些数据皆为确定的数值时，存贮模型被称为 确定性存贮模型 Deterministic Inventory Model；如果模型中含有随机变量则被称为 随机性存贮模型 Stochastic Inventory Model 。
管 理 运 筹 学 5
§ 1 经济订购批量存贮模型经济订购批量 (Economic ordering quantity，缩写为 EOQ)
存贮模型，又称不允许缺货，生产时间很短存贮模型，是一种最基本的确定性存贮模型。在这种模型里，需求率即单位时间从存贮中取走物资的数量是常量或近似乎常量；当存贮降为零时，可以立即得到补充并且所要补充的数量全部同时到位（包括生产时间很短的情况，我们可以把生产时间近似地看成零）。这种模型不允许缺货，并要求单位存贮费，每次订购费，每次订货量都是常数，分别为一些确定的、不变的数值。
主要参数：
需求率,d
单位货物单位时间的存贮费,c1
每次订购费,c3
每次订货量,Q
分别是一些确定的、不变的数值。
管 理 运 筹 学 6
例 1,益民食品批发部是个中型的批发公司，它为附近 200多家食品零售店提供货源。批发部的负责人为了减少存储的成本，他选择了某种品牌的方便面进行调查研究，制定正确的存储策略。下面为过去 12周的该品牌方便面的需求数据。 周 需求（箱）
1 3000
2 3080
3 2960
4 2950
5 2990
6 3000
7 3020
8 3000
9 2980
10 3030
11 3000
12 2990
总计 36000
平均每周 3000
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 7
过去 12周里每周的方便面需求量并不是一个常量，而以后时间里需求量也会出现一些变动，但由于其方差相对来说很小，我们可以近似地把它看成一个常量，即需求量每周为 3000箱，这样的处理是合理的和必要的。
计算存贮费：每箱存贮费由两部分组成，第一部分是购买方便面所占用资金的利息，如果资金是从银行贷款，则贷款利息就是第一部分的成本；
如果资金是自己的，则由于存贮方便面而不能把资金用于其他的投资，我们把此资金的利息称为机会成本，第一部分的成本也应该等于同期的银行贷款利息。方便面每箱 30元，而银行贷款年利息为 12%，所以每箱方便面存贮一年要支付的利息款为 3.6元。第二部分由贮存仓库的费用、保险费用、损耗费用、管理费用等构成，经计算每箱方便面贮存一年要支付费用
2.4元，这个费用占方便面进价 30元的 8%。把这两部分相加，可知每箱方便面存贮一年的存贮费为 6元，即 C1=6元 /年 ·箱，占每箱方便面进价的
20%。
计算订货费：订货费指订一次货所支付的手续费、电话费、交通费、
采购人员的劳务费等，订货费与所订货的数量无关。这里批发部计算得每次的订货费为 C3=25元 /次。
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 8
各参量之间的关系：
订货量 Q 总存贮费 总订购费越小 存贮费用越小 订购费用越大越大 存贮费用越大 订购费用越小存贮量 Q与时间 t 的关系时间
t
0 T1 T2 T3
Q/2
存贮量
Q
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 9
这种存贮模型的 特点,
1,需求率 （单位时间的需求量）为 d；
2,无限供货率（单位时间内入库的货物数量） ；
3,不允许缺货；
4,单位货物单位时间的存贮费 c1 ；
5,每次的订货费 c3 ；
6,每期初进行补充，即期初存贮量为 Q。
单位时间内总费用 =单位 时间内的存贮费用 +单位时间内的订货费用单位 时间内的存贮费用 =单位 时间内购买货物所占用资金的利息
+贮存仓库的费用 +保险费用 +损耗费用 +管理费用等设每次的订货量为 Q，由于补充的货物全部同时到位，故 0时刻的存贮量为 Q。 到 T时刻存贮量为 0，则 0到 T时间内的平均存贮量为
Q/2。又设单位 时间内的 总需求量为 D,(单位货物的进价成本即货物单价为 c),则
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 10
单位时间内的总费用求极值得使 总费用 最小的订购批量为这是存贮论中著名的经济 订购批量公式，也称哈里斯 -威尔逊公式。
单位时间内的存贮费用 =
单位时间内的订货费用 =
单位时间内的总费用 =
两次订货间隔时间 =
)(21 31 DccQDQcTC
1
32
c
DcQ
2
13cDc
2
13cDc
132 cDc
QDT /
3 6 5
0
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 11
§ 1 经济订购批量存贮模型
16 Q 3Q
2
一年的存贮费 每箱方便面一年的存贮费 平均存贮量
3
D
c
Q
30 00 52
25
Q
一年的订货费 每次的订货费 每年订货次数
3 0 0 0 5 2 3 9 0 0 0 0 0
3 Q 2 5 3 Q
一年的总费用 一年的存贮费+ 一年的订货费管 理 运 筹 学 12
§ 1 经济订购批量存贮模型
)(67.28.1 1 4 0/)523 0 0 0( 365 天
3
1
2 3 0 0 0 5 2 2 52 D cQ 1 1 4 0,1 8
c6
*最优订货量订货周期 T0=
一年的总费用
)(06.684118.1140390000018.1140339000003 ** 元 QQTC
管 理 运 筹 学 13
灵敏度分析：
批发部负责人在得到了最优方案存贮策略之后。他开始考虑这样一个问题：
这个最优存贮策略是在每次订货费为 25元，每年单位存贮费 6元，或占每箱方便面成本价格 30元的 20%（称之为存贮率）的情况下求得的。一旦每次订货费或存贮率预测值有误差，那么最优存贮策略会有多大的变化呢？这就是灵敏度分析。为此，我们用管理运筹学软件计算了当存贮率和订货费发生一些变动时，最优订货量及其最小的一年总费用以及取定订货量为 1140.18箱时相应的一年的总费用，如表 12-1所示。
§ 1 经济订购批量存贮模型可能的存贮率可能的每次订货费 (元 )
最优订货量 (Q*箱 )
一年总的费用 (元 )
当订货量为 Q* 当订货量 Q=1140.18
19% 23 1122.03 6395 6396.38
19% 27 1215.69 6929.2 6943.67
21% 23 1067.26 6723.75 6738.427
21% 27 1156.35 7285.00 7285.717
表 12-1
管 理 运 筹 学 14
从表 12-1中可以看到当存贮率和每次订货费起了一些变化时，最优订货量在 1067.26~1215.69箱之间变化，最少的一年总费用在 6395元 ~7285元之间变化。而我们取订货量为 1140.18是一个稳定的很好的存贮策略。即使当存贮率和每次订货费发生一些变化时，取订货量为 1140.18的一年总费用与取最优订货量为 Q*的一年总费用相差无几。在相差最大的情况中，
存贮率为 21%，每次订货费为 23元，最优订货量 Q*=1067.26箱；最少一年的总费用为 6723.75元。而取订货量为 1140.18箱的一年总费用为 6738.427
元，也仅比最少的一年总费用多支出 6738.427-6723.75≈15元。
从以上的分析，我们得到经济订购批量存贮模型的一个特性：一般来说，对于存贮率（单位存贮费和单位货物成本的比）和每次订货费的一些小的变化或者成本预测中的一些小错误，最优方案比较稳定。
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 15
益民批发部负责人在得到了经济订货批量模型的最优方案之后，根据批发部的具体情况进行了一些修改。
1,在经济订货模型中，最优订货量为 1140.18箱，两次补充方便面所间隔时间为 2.67天。为符合批发部的工作习惯，负责人决定把订货量扩大为 1282箱，以满足方便面 3天需求,3× 3000× 52/365=1282箱，这样便把两次补充方便面所间隔的时间改变为 3天。
2,经济订货批量模型是基于需求率为常量这个假设，而现实中需求率是有一些变化的。为了防止有时每周的需求超过 3000箱的情况，批发部负责人决定每天多存贮 200箱方便面以防万一，这样批发部第一次订货量为
1282+200=1482箱，以后每隔 3天补充 1282箱。
3,由于方便面厂要求批发部提前一天订货才能保证厂家按时把方便面送到批发部，也就是说当批发部只剩下一天的需求量 427箱时（不包括
§ 1 经济订购批量存贮模型管 理 运 筹 学 16
以防万一的 200箱）就应该向厂家订货以保证第二天能及时得到货物，我们把这 427箱称为再订货点。如果需要提前两天订货，则再订货点为：
427× 2=854箱。
这样益民批发部在这种方便面的一年总的费用为：
§ 1 经济订购批量存贮模型
1 3 1
1
200
2
156000
0,5 * 1 2 8 2 * 6 * 2 5 2 0 0 * 6
1282
3 8 4 6 3 0 4 2,1 2 1 2 0 0
8 0 8 8,1 2
D
TC Q c c c
Q
元管 理 运 筹 学 17
§ 2 经济生产批量模型
【 例 】 某企业全年需某种材料 1000吨，单价为 500元 /吨，每吨年保管费为 50元，每次订货手续费为 170元，求最优存储策略。
【 解 】 计划期为一年，已知 D=1000,H=50,A=170,
C=500 。由式（ 10.23— 10.25）可得
)(8250 1701 0 0 02* 吨Q
)(30)(082.0501000 1702* 天年t
)(5 0 4 1 2 31 0 0 05 0 01 0 0 01 7 0502* 元f
最优存储策略为：每隔一个月进货 1次，全年进货 12次，每次进货 82吨，总成本为 504123元。
管 理 运 筹 学 18
经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间模型，
这也是一种确定型的存贮模型。它的存贮状态图为存贮量时间t
生产时间不生产时间平均 存贮量最高 存贮量
p-d d
§ 2 经济生产批量模型管 理 运 筹 学 19
这种存贮模型的特点：
1,需求率 （单位时间的需求量）为 d；
2,生产率（单位时间的产量）为 p — 有限供货率；
3,不允许缺货；
4,单位产品单位时间的存贮费 c1 ；
5,每次的生产准备费 c3 ；
6,每期初进行补充。
设每次生产量为 Q,生产率是 p，则每次的生产时间 t 为 Q/ p,
于是最高库存量为 (p-d) Q/ p。 到 T 时刻存贮量为 0，则 0到 T时间内的平均存贮量 为 (p-d) Q/2p 。故单位时间的存贮费为：
另一方面，设 D为产品的单位时间需求量，则单位时间的生产准备费为 c3 D /Q,进而，单位时间的总费用 TC为：
1)1(2
1 cQ
p
d?
31)1(2
1 c
Q
DcQ
p
dTC
§ 2 经济生产批量模型管 理 运 筹 学 20
使 TC达最小值的最佳生产量单位时间的最低总费用生产量为 Q＊ 时的最大存贮量为每个周期所需时间为显然,时，经济生产批量模型趋于经济订购批量模型。
1
3
)1(
2
c
p
d
DcQ
1
3 )1(2
c
p
dDc?
13 )1(2 cp
dDcTC
QD/
250
p
§ 2 经济生产批量模型管 理 运 筹 学 21
例 1,有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书馆专用书架，基于以往的销售记录和今后市场的预测，估计该书架今年一年的需求量为 4900个。存贮一个书架一年的费用为 1000元。这种书架的生产能力为每年 9800个，组织一次生产的费用为 500元。为了降低成本，该公司如何组织生产？要求求出最优的生产量，相应的周期，最少的年度费用，每年的生产次数。
解：
从题可知，年需求率 d=D=4900，年生产率 p=9800,c1=1000,c3=500
代入公式可得，
* 3
1
2 D c 2 4 9 0 0 5 0 0
Q 9 8 0 0 9 9
4900d
1 - 1 0 0 01 - c
9800p
个
§ 2 经济生产批量模型管 理 运 筹 学 22
*
*
13 *
D 490 0
49,5 50
Q 99
250
250 5
50
1 d D 1 490 0
1 Q c c 1 99 100 0 50 500 497 50
2 p Q 2 980 0
每 年 的 生 产 次 数 为计 每 年 的 工 作 日 为 天,则 相 应 周 期 为 天一 年 最 少 的 总 费 用 为 元
§ 2 经济生产批量模型管 理 运 筹 学 23
§ 2 经济生产批量模型
【 例 】 某公司每年需要招聘新的工作人员 60名（假定这 60名工作人员在一年内是均匀需要的）。被招聘的工作人员在上岗之前需要办班集中培训，公司每年最多可以培训 100人。开设一次培训班的成本是 1800元。每位应聘的工作人员在培训期间及上岗之前的年薪是 5400元。公司不愿意在不需要时招聘并训练这些人员，公司如何制定一年的培训计划，既保证不缺编而储备部分人员，又使得全年的总成本最小。
【 解 】 已知,D=d＝ 60,P＝ 100,A=c1＝ 1800,H=c3＝ 5400，
得
** 10 0,1 6 6 7 ( 6 1 ( )
60
Qt
D年 ） 天
2 2 1 8 0 0 6 0 1 0 0* 1 0 (
5 4 0 0 ( 1 0 0 6 0 )
A D PQ
H P D
人 ）
2 5 4 0 0 1 8 0 0 6 0 ( 1 0 0 6 0 )* 2 2 1 6 0 0 ( )
100
PDf H A D
P
元该公司的最优培训策略是：约 2个月举办一次培训班，全年共组织 6次，每次招聘 10人进行培训，全年总成本为 21600元。
管 理 运 筹 学 24
§ 3 允许缺货的 经济订购批量模型所谓 允许缺货是指企业在存贮量降至 0时，不急于补充等一段时间，然后订货。顾客遇到缺货也不受损失或损失很小，并假设顾客会耐心等待，直到新的补充到来。当新的补充一到，企业立即将所缺的货物交付给这些顾客，即缺货部分不进入库存。如果允许缺货，对企业来说除了支付少量的缺货费用外另无其他的损失，这样企业就可以利用,允许缺货,这个宽松条件,少付几次订货费用,
少付一些存贮费用,从经济观点出发这样的允许缺货现象对企业是有利的 。
管 理 运 筹 学 25
这种模型的 存贮状态图为,
时间存贮量
o
S
Q-S
最大缺货量最大存贮量
T
不缺货时间 t1
缺货时间 t2
§ 3 允许缺货的 经济订购批量模型管 理 运 筹 学 26
这种存贮模型的特点：
1,需求率 （单位时间的需求量）为 d；
2,无限供货率；
3,允许缺货，且最大缺货量为 S；
4,单位货物单位时间的存贮费 c1 ；
5,每次的订货费 c3 ；
6.单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费 c2 ；
7.当缺货量达到 S时进行补充，且很快补充到最大存贮量。
§ 3 允许缺货的 经济订购批量模型管 理 运 筹 学 27
设每次订货量为 Q,由于最大缺货量为 S，则最高库存量为 Q- S，故不缺货时期内的平均存贮量为 (Q- S)/2，于是，周期 T 内的平均存贮量 = (Q- S)t1/2T。由于 t1 = (Q- S)/d,T= Q/d，
则周期 T 内的平均存贮量 = (Q- S)2/2Q。
又周期 T内的平均 缺货 量 = (S t2 ) /2T。由于 t2 = S/d,T=
Q/d，故周期 T内的平均 缺货 量 = S2/2Q。故单位时间的总费用
TC为：
2
2
31
2
22
)( c
Q
Sc
Q
Dc
Q
SQTC
§ 3 允许缺货的 经济订购批量模型管 理 运 筹 学 28
使 TC达最小值的最佳订购量订购量为 Q＊ 时的最大缺货量单位时间的最低总费用订购量为 Q＊ 时的最大存贮量为每个周期 T所需时间显然,时,允许缺货 订购模型趋于经济订购批量模型。
21
213 )(2
cc
ccDcQ
)(
2
212
13
21
1
ccc
cDcQ
cc
cS
21
3212
cc
ccDcTC
)(
2
212
23
ccc
cDc
Dcc
ccc
d
QT
21
213 )(2
21
2
tTt
d
St
2c
§ 3 允许缺货的 经济订购批量模型管 理 运 筹 学 29
例子：假设 § 2例子中图书馆设备公司不生产书架，只销售书架。其销售的书架靠订货提供而且都能及时供货。该公司一年的需求量为 4900个，一个书架一年的存贮费用为 1000
元，每次订货费为 500元，每年的工作日为 250天。
问：
1,不允许缺货。求一年总费用最低的最优每次订货量及相应的周期，每年的订购次数，一年的总费用。
2,允许缺货。设一个书架缺货一年的缺货费为 2000元。
求一年总费用最低的最优每次订货量及相应的周期，相应的最大缺货量，同期中缺货的时间，不缺货的时间，每年的订购次数，一年的总费用。
§ 3 允许缺货的经济订购批量模型管 理 运 筹 学 30
解：
* 3
1
1
*
1
*
*
13 *
1
2Dc 2 490 0 500
Q 70
c 100 0
250 250
T 3,57
D / Q 490 0 / 70
D 490 0
70
Q 70
1 D 1 490 0
Q c c 70 100 0 500 =70000
2 Q 2 70
将 有 关 参 数 代 入 公 式 可 得天每 年 订 货 次 数 为 次一 年 的 总 费 用 为 元
§ 3 允许缺货的经济订购批量模型管 理 运 筹 学 31
3 1 2*
2
12
** 1
2
1
*
2
*
2
12
2
2D c c c 2 4900 500 1000+2000
Q 85
c c 1000 2000
c 1000
S Q 85 28
c c 2 3000
Q 85
T = 4,34
d 4900 / 250
S 28
t 1,43
d 19,6
t T - t 4,34- 1,43=2.91
4900
57.6
85
最 大 缺 货 量 为 个同 期 所 需 时 间 为 天同 期 中 缺 货 时 间 为 天同 期 中 不 缺 货 时 间 为 天每 年 订 购 次 数 为 次最 少 的 一 年 总 费
22
* * *
2
1 3 2* * *
2 2 2
22
Q S S
D
c c + c
2Q Q 2Q
85 28 284900
1000 500+ 2000=57158.82
2 85 85 2 85
用 为元
§ 3 允许缺货的经济订购批量模型管 理 运 筹 学 32
§ 3 允许缺货的经济订购批量模型
【 例 】 某工厂按照合同每月向外单位供货 100件，每次生产准备结束成本为 5 元，每件年存储费为 4.8元，每件生产成本为 20
元，若不能按期交货每件每月罚款 0.5元（不计其他损失），试求总成本最小的生产方案。
【 解 】 计划期为一个月,D=d=100,H=c3=4.8/12＝ 0.4，
B=c2=0.5,A=c1=5,C=20，利用式（ 10.16）～ (10.20）可得
)(20)(67.01 0 05.04.0 )5.04.0(52* 天月t
Q*=Dt*=100× 0.67=67(件 )
)(9.2 0 1 41 0 0205.04.0 1 0 055.04.02* 元f
)(37)5.04.04.0 5.010052*1 件（Q )(30*1** 件 QQS
即工厂每隔 20天组织一次生产，产量为 67件，最大存储量为 37
件，最大缺货量为 30件 。
管 理 运 筹 学 33
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型此模型与经济生产批量模型相比，放宽了假设条件：允许缺货。与允许缺货的经济订货批量模型相比，相差的只是：补充不是靠订货，而是靠生产逐步补充，因此，补充数量不能同时到位。开始生产时，一部分产品满足需要，剩余产品作为存贮。生产停止时，靠存贮量来满足需要。这种模型的 存贮状态图为,
存贮量时间O
S
V
最大缺货量最大存贮量
T
t1 t2 t
3
t4
p-d d
管 理 运 筹 学 34
这种存贮模型的特点：
1,需求率 （单位时间的需求量）为 d；
2,生产率（单位时间的产量）为 p — 有限供货率；
3,允许缺货，且最大缺货量为 S；
4,单位货物单位时间的存贮费 c1 ；
5,每次的订货费 c3 ；
6.单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费 c2 ；
7,当缺货量达到 S时进行补充，且逐步补充到最大存贮量。
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型管 理 运 筹 学 35
单位时间的总费用
TC =（单位时间的存贮费） +（单位时间的生产准备费）
+ （单位时间的缺货费）
=（平均存贮量） × c1 +（单位时间的生产次数） × c3
+ （平均缺货量） × c2
p
d
Q
cS
Q
Dc
p
d
Q
cS
p
d
Q
TC
1212
1
2
2
3
1
2
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型管 理 运 筹 学 36
使单位时间总费用 TC最小的最优生产量最优缺货量单位时间最少的总费用
p
dcc
ccDcQ
1
)(2
21
213
)(
121
212
31
21
1
ccc
p
d
cDc
Q
cc
p
d
c
S
21
321 12
cc
p
dccDc
TC
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型管 理 运 筹 学 37
例子：假设 § 2例子中图书馆设备公司在允许缺货的情况下，其总费用最少的最优经济生产批量和最优缺货量为何值？此外，一年的最少费用应该是多少？假定每年的书架需求量为 4900个，每年的生产能力为 9800个，
每次的生产准备费为 500元，每个书架一年存贮费用为 1000元，一个书架缺货一年的缺货费为 2000元。
解：
3 1 2*
12
1
*
1
3 1 2
12
2Dc c c 2 4900 500 1000+2000
Q 121,24 121
4900d
1 1000 20001 c c
9800p
d 4900
c1 1000 1
p 9800
S Q 121.24 20
c c 2 1000 2000
d
2Dc c c 1 2 4900 1000 500
p
cc
*
个最 优 缺 货 量 为 个一 年 的 最 少 费 用 为
4900
2000 1
9800
40414.52
1000 2000
元
§ 4 允许缺货的经济生产批量模型管 理 运 筹 学 38
§ 5 经济订货批量折扣模型经济订货批量折扣模型是第一节的经济订货批量模型的一种发展 。
在前面四节中,单位货物的进价成本即货物单价都是固定的,而本节中的进价成本是随订货数量的变化而变化的 。
所谓货物单价有,折扣,是指供应方采取的一种鼓励用户多订货的优惠政策,即根据订货量的大小规定不同的货物单价 。 通常,订货越多购价越低 。 我们常见的所谓零售价,批发价,和出厂价,就是供应方根据货物的订货量而制订的不同的货物单价 。 因此,在订货批量的模型中总费用可以由三项构成,即有式中 c 为当 订货量为 Q时的单位货物的进价成本 。
DccQDQcTC 3121
管 理 运 筹 学 39
这种存贮模型的 特点,
1,需求率 （单位时间的需求量）为 d；
2,无限供货率（单位时间内入库的货物数量） ；
3,不允许缺货；
4,单位货物单位时间的存贮费为 c1 ；
5,每次的订货费为 c3 ；
6,单位货物的进价成本即货物单价为 c ；
7,每期初进行补充，即期初存贮量为 Q。
全量 折扣模型设 货物单价 c 为 订货量 Q 的分段函数，即
c(Q) = ki,Q∈ [Qi -1,Qi ),i = 1,2,…,n，
其中 k1 > k2 > … > kn,Q0< Q1< Q2< … < Qn,Q0 是最小订购数量，通常为 0； Qn 为最大批量，通常无限制。
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 40
下图是 n = 3时 c(Q) 和 TC 的图形表示：
当订货量为 Q∈ [Qi -1,Qi ) 时，由于 c(Q)= ki,则有由此可见，总费用 TC 也是 Q 的分段函数，具体表示如下：
O QQ
1 Q2
k3
k2
c(Q)
k1
O Q
1 Q
2
3
TC TC1
TC2
TC3
niDkcQDQcTC iii,,2,121 3)(1
Q3
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 41
TC(Q) = TCi,Q∈ [Qi -1,Qi ),i = 1,2,…,n。
由微积分的有关知识可知，分段函数 TC(Q)的最小值只可能在函数导数不存在的点、区间的端点和驻点达到。为此，
我们需要先找出这些点。由于 TCi 中的 Dki 是常数，求导数为 0，所以，类似于模型一，得 TCi 的驻点由 TC 的图形知，如果 TCi 的驻点 满足 Qi-1< < Qi,
则计算并比较 TCi( ),TCi+1(Qi),TCi+2(Qi+1),…,
TCn(Qn-1)的值，其中最小者所对应的 Q 即为最佳订货批量
Q＊,即 Q＊ 满足
.2 )(
1
3
ic
DcQ?
Q Q
})(,)({m i n)( QQQTCQTCQTC jjji
Q
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 42
例 4,图书馆设备公司准备从生产厂家购进阅览桌用于销售，每个阅览桌的价格为 500元，每个阅览桌存贮一年的费用为阅览桌价格的 20%，每次的订货费为 200元，该公司预测这种阅览桌每年的需求为 300个。生产厂商为了促进销售规定：如果一次订购量达到或超过 50个，每个阅览桌将打九六折，即每个售价为 480元；如果一次订购量达到或超过 100个，每个阅览桌将打九五折，即每个售价为 475元。请决定为使其一年总费用最少的最优订货批量 Q＊,并求出这时一年的总费用为多少？
解：已知 D = 300个 /年,c3 = 200/次 。
Q < 50时,k1 = 500元,=500*20% =100（元 /个年）
50 ≤ Q < 100时,k2 = 480元,= 480*20% = 96（元 /个年）
100 ≤ Q时,k3 = 475元,= 475*20% = 95（元 /个年）
1c?
1c
1c
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 43
Q < 50时，
50 ≤ Q < 100时，
100 ≤ Q时，
其中只有 在其范围内。
)(35100 20030022
1
3
1 个?
c
DcQ
)(3596 20030022
1
3
2 个?
c
DcQ
)(36
95
20030022
1
3
3 个?
c
DcQ
1Q
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 44
计算得比较上面的数值，得一年的总费用最少为 147600元，因此，最佳订货批量为 Q＊ = 50。
1 5 3 4 6 4)35()( 111 TCQTC
1 4 7 6 0 0)50()( 212 TCQTC
1 4 7 8 6 0)1 0 0()( 323 TCQTC
§ 5 经济订货批量折扣模型管 理 运 筹 学 45
§ 5 经济订货批量折扣模型
【 例 】 某商店计划从工厂购进一种产品,预测年销量为 500件,
每批订货手续为 50元,工厂制定的单价为 （ 元 /件 ）,
4 0,0 1 0 0
3 9,1 0 0 2 0 0
3 8,2 0 0 3 0 0
3 7,3 0 0
i
Q
Q
C
Q
Q
每件产品年存储费率为 0.5,求最优存储策略 。
【 解 】 D=500,H=0.5× 40＝ 20,A=50,经济订货批量
)(5020 5 0 0502* 件Q
管 理 运 筹 学 46
§ 5 经济订货批量折扣模型
Q*在 （ 0,100） 内,故 C*=40,则
2 1 0 0 05004050050202)50(f
分别算出 Q等于 100,200,300时的总费用：
f(100)最小,最优解为 Q=100。 即接受每批订货 100件的折扣批量,
全年分 5次订货,最小费用为 20750元,比没有折扣的费用少 250
元 。
2 0 7 2 55 0 0395 0 0501 0 011 0 0395.021)1 0 0(f
2 1 0 2 55003850050200 1200385.021)200(f
33.2 1 3 5 85 0 0375 0 0503 0 013 0 0375.021)3 0 0(f
管 理 运 筹 学 47
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型在前面讨论的模型中，我们把需求看成是固定不变的已知常量。但是，在现实世界中，更多的情况却是需求为一个随机变量。为此，在本节中我们将介绍需求是随机变量，特别是需求服从均匀分布和正态分布这两种简单情况的存贮模型。
所谓单一周期存贮是指在产品订货、生产、存贮、销售这一周期的最后阶段或者把产品按正常价格全部销售完毕，或者把按正常价格未能销售出去的产品削价销售出去，甚至扔掉。
总之，在这一周期内把产品全部处理完毕，而不能把产品放在下一周期里存贮和销售。季节性和易腐保鲜产品，例如季节性的服装、挂历、麦当劳店里的汉堡包等都是按单一周期的方法处理的。报摊销售报纸是需要每天订货的，但今天的报纸今天必须处理完，与明天的报纸无关。因此，我们也可以把它看成是一个单一周期的存贮问题，只不过每天都要作出每天的存贮决策。
管 理 运 筹 学 48
报童问题,报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，每日售出 d 份 报纸的概率 P(d )（根据以往的经验）是已知的。 报童每售出一份报纸赚 k 元，如果报纸未能 售出，每份赔 h 元，问 报童每日最好准备多少报纸？
这就是一个 需求量为随机 变量 的单一周期的存贮问题。在这个问题 中要解决最优订货量 Q 的问题。如果 订货量 Q 选得过大，那么报童就会因不能 售出报纸造成损失； 如果 订货量 Q 选得过小，
那么报童就要因缺货失去销售机会而 造成机会损失。如何适当地选择订货量 Q，才能使这两种 损失的期望值之和最小呢？
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 49
设售出 d 份 报纸的概率为 P(d )，从 概率论可知已知因报纸未能 售出而造成每份损失 h 元，因缺货而 造成机会损失每份 k 元，则满足下面不等式的 Q＊ 是这两种 损失的期望值之和最小的订报量例 5,某 报亭出售 某种报 纸，每售出一百 张可获利 15元，如果当天不能 售出，每一百 张赔 20元。每日售出该报纸份数的 概率 P(d )根据以往经验如下表所示。试问 报亭 每日 订购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大。
1)(0d dP
销售量
（百张） 5 6 7 8 9 10 11
概率 P(d ) 0.05 0.10 0.20 0.2 0.25 0.15 0.05
)42.12()()(
0
1
0
Q
d
Q
d
dPhk kdP
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 50
解：要使其赚钱的期望值最大，也就是使其因售不出报纸的损失和因缺货失去销售机会的损失的期望值之和为最小。已知 k =
15,h = 20，则有另有故 当 Q = 8时，不等式成立,因此,最优的订 报 量为每天 800张,此时其 赚钱的期望值最大。
.4286.02015 15 hk k
35.020.010.005.0)7()6()5()(
7
0
PPPdP
d
55.020.020.010.005.0)8()7()6()5()(8
0
PPPPdP
d
8
0
7
0
)()(
dd
dPhk kdP
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 51
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型表 10.1 500天售报量分布表
【 例 】 某报社为了扩大销售量，招聘了一大批固定零售售报员．为了鼓励他们多卖报纸，报社采取的销售策略是：售报员每天早上从报社设置的售报点现金买进报纸，每份 0.35元，零售价每份 0.5元，利润归售报人所有，如果当天没有售完第二天早上退还报社，报社按每份报纸 0.1元退款．如果某人一个月
（按 30天计算）累计订购 7千份，将获得 150元的奖金．
某人应聘当售报员，开始他不知道每天应买进多少份报纸，更不知道能否拿到奖金．报社发行部告诉他一个售报员以前 500
天的售报统计数据，见表 10.1．
售报量
xi (份 )
40～
80
81～
120
121～
160
161～
180
181～
200
201～
220
221～
240
240以上天数 20 50 60 70 80 100 70 50
管 理 运 筹 学 52
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型
【 解 】 计算最优服务水平．已知 C＝ 0.35,P＝ 0.5,S＝ 0.1．如果当天订货量小于需求量，除了机会成本外没有其它成本，因此 B＝ 0,H＝ 0，则有
Co＝ C－ S＋ H＝ 0.35－ 0.1=0.25,Cu=P－ C＋ B＝ 0.5－ 0.35=0.15
375.025.015.0 15.0 ＝
ou
u
CC
CSL
（ 1）售报员每天应准备多少份报纸最佳，一个月收益的期望值是多少．
（ 2）他能否得到奖金，如果一定要得到奖金，一个月收益期望值是多少．
（ 3）如果报社按每份报纸 0.15元退款，应订购多少份报纸，
解释订购量变动的原因．
计算频率和累计频率，售报量取各区间的中值，频率等于对应天数除以 500，见表 10.2．
管 理 运 筹 学 53
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型
（ 1）由表 10.2知当需求量等于 170时，这时的累计频率等于 0.4，
大于 SL，则最佳订购量是 170份报纸,
5.19)1.014.02.016.0(5.2514.0)5.421704.0(
12.0)5.421404.0(1.0)5.421004.0(04.0)5.42604.0(
5.255.424.0
170)35.05.0(170)1.035.0()1.05.0()(
8080
ii
ii
x
i
x
ii
xQ
i
Qx
ii
ppx
ppxQf
＝
表 10.2
需求量
xi(份 ) 60 100 140 170 190 210 230 240
天数 20 50 60 70 80 100 70 50
频率 0.04 0.1 0.12 0.14 0.16 0.2 0.14 0.1
累计频率 0.04 0.14 0.26 0.4 0.56 0.76 0.9 1
管 理 运 筹 学 54
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型则此售报员每天的收益期望值为 19.5元，一个月的收益期望值 585元．
（ 2）售报员每天订购 170份报纸，一个月也只有 5100份，显然得不到奖金．要想得到奖金，他必须每天至少订购 234份报纸．令 Q＝ 234代入式（ 10.38a），类似上面的计算，得到每天的收益期望值是 13.9元，一个月的收益期望值为 13.9× 30＋ 150
＝ 567（元），低于最佳订购量的期望收益，说明售报员不能为了得到奖金而增加报纸的订购量．
（ 3） C＝ 0.35,P＝ 0.5,S＝ 0.15，则有
Co＝ C－ S＝ 0.35－ 0.15=0.2,Cu=P－ C－ B＝ 0.5－ 0.35=0.15
4 2 8.02.015.0 15.0 ＝
ou
u
CC
CSL
这时应订 190份报纸，订购量增加了 20份．残值 S由 0.1增加到
0.15，不缺货的概率（即最优服务水平 SL）由 0.375提高到 0.428，
缺货的概率 Ps（ Ps＝ 1－ SL）由 0.625减少到 0.572，因此要增加订货量．
管 理 运 筹 学 55
我们可以把公式 （ 12,42）改写成公式 （ 12,43）既适用于离散型随机变量也适用于连续型随机变量。如果只考虑连续型随机变量,公式 （ 12,43）又可以改写为
)43.12()()( QdPhk kQdP
)44.12()( hk kQdP
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 56
例 6,某书店拟在年前出售一批新年挂历。每售出一本可盈利 20
元，如果年前不能售出，必须削价处理。由于削价，一定可以售完，
此时每本挂历要赔 16元。根据以往的经验，市场的需求量近似服从均匀分布，其最低需求为 550本，最高需求为 1100本，该书店应订购多少新年挂历，使其损失期望值为最小？
解：由题意知 挂历的需求量是服从区间 [550,1100]上的均匀分布的随机变量,k = 20,h = 16，则其需求量小于 Q＊ 的概率为则由公式 （ 12,44）得由此求得 Q＊ = 856（本），并从 5/9可知，这时有
5/9的概率挂历有剩余，有 1－ 5/9=4/9的概率挂历脱销。
550
550
5501100
550)(
QQQdP
9
5
1620
20
5 5 0
5 5 0?
Q
)( QdP
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 57
例 7,某化工公司与一客户签订了一项供应一种独特的液体化工产品的合同。客户每隔六个月来购买一次，每次购买的数量是一个随机变量，通过对客户以往需求的统计分析，知道这个随机变量服从以均值? =1000（公斤），方差? =100 （公斤）的正态分布。
化工公司生产一公斤此种产品的成本为 15元，根据合同固定售价为
20元。合同要求化工公司必须按时提供客户的需求。一旦化工公司由于低估了需求产量不能满足需要，那么化工公司就到别的公司以每公斤 19元的价格购买更高质量的替代品来满足客户的需要。一旦化工公司由于高估了需求，供大于求，由于这种产品在两个月内要老化，不能存贮至六个月后再供应给客户，只能以每公斤 5元的价格处理掉。化工公司应该每次生产多少公斤的产品才使该公司获利的期望值最大呢？
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 58
解：根据 题意得 k =5－ 1= 4,h = 15－ 5= 10，利用公式（ 12,44）得由于需求 服从均值? =1000，方差? =100 的正态分布，上式即为通过查阅标准正态表，得把? =1000,?=100 代入，得从 可知，当产量为 945公斤时，有 0.29的概率产品有剩余，有 1－ 0.29 = 0.71的概率产品将不满足需求。
.29.0
Q
.)(945100010055.0 公斤Q
29.0104 4)( hk kQdP
,55.0
Q
29.0)(QdP
§ 6 需求为随机的单一周期存贮模型管 理 运 筹 学 59
本节介绍需求为随机变量的多周期存贮模型。在这种模型里，
由于需求为随机变量，我们无法求得周期（即两次订货时间间隔）
的确切时间，也无法求得再次订货点确切来到的时间。
下面我们给出求订货量和再订货点的最优解的近似方法，而精确的数学公式太复杂，这里不作介绍。具体求解步骤如下：
1,设全年的需求量 近似为 D，利用 经济订货批量存贮模型求出
（每次的）最优订货量 Q＊ 。
2,根据具体情况制定出服务水平，即制定在 m天里出现缺货的概率?，也即不 出现缺货的概率为 1。利用下式求出 r
P( m 天里需求量?r ) = 1，
其中 r 为 再订货点，即当库存量下降到 r 时订货,m 天后货到。
存贮的 ( r,Q ) 策略 r 为最低存贮量，即订货点，对 库存量随时进行检查,当 H >r 时不补充；当 H ≤ r 时进行补充，每次补充的数量为 Q。
§ 7 需求为随机变量的订货批量、再订货点模型管 理 运 筹 学 60
例 8.某装修材料公司经营某品牌的地砖，公司直接从厂家进这种产品。由于公司与厂家距离较远，双方合同规定，在公司填写订货单后一个星期厂家把地砖运到公司。公司根据以往的数据统计分析知道，在一个星期里此种地砖的需求量服从以均值? =850箱，
方差? =120箱的正态分布，又知道 每次订货费为 250元，每箱地砖的成本为 48元，存贮一年的存贮费用为成本的 20%，即 每箱地砖一年的存贮费用为 48× 20% = 9.6元。 公司规定的服务水平为允许由于存贮量不够造成的缺货情况为 5%。 公司应如何制定存贮策略，
使得一年的订货费和存贮费的总和为最少？
解：首先按经济订货批量存贮模型求出最优订货批量 Q＊ 。已知每年的平均需求量 D =8 50 × 52 = 44200 箱 /年,c1 = 9.6 元 /箱年，
c3 = 250元，得
§ 7 需求为随机变量的订货批量、再订货点模型服务水平 （ Service level） =1－ Ps,一个时期内不缺货的概率 (% of no shortage)
管 理 运 筹 学 61
于是，每年平均约订货 44200/1517≈29次。由服务水平，得
P (一个星期的需求量? r ) = 1 =1? 0.05=0.95
进一步，有查标准正态分布表，得进一步，有 r = 1047，安全存贮量为 r? d m =1047?850 =197箱。
在这样的存贮策略下，在订货期有 95%的概率不会出现缺货，
有 5%的概率会出现缺货。
。箱 )(1 5 1 76.9 2 5 04 4 2 0 022
1
3
c
DcQ
.95.0r
.6 4 5.1r
§ 7 需求为随机变量的订货批量、再订货点模型管 理 运 筹 学 62
需求为随机变量的定期检查存贮量模型是另一种处理多周期的存贮问题的模型。在这个模型里，管理者要定期例如每隔一周、一个月等检查产品的库存量，根据现有的库存量来确定订货量，在这个模型中管理者所要做的决策是：依照规定的服务水平制定出产品的存贮补充水平 M。一旦确定了 M,也就确定了订货量 Q 如下所示：
Q = M? H，
式中 H 为检查时的库存量。
这个模型很适合于经营多种产品并进行定期清盘的企业，公司只要制定了各种产品的存贮补充水平，根据清盘的各种产品的库存量，马上可以确定各产品的订货量，同时进行各种产品的订货。
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型管 理 运 筹 学 63
需求为随机变量的定期检查库存量的存贮模型处理存贮问题的典型方式如图 12-10所示。
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型存贮水平
0
Q Q
Q
Q
时间检查周期 检查周期订货期 订货期缺货
M单位产品维持时间 存货补充水平图 12-10
管 理 运 筹 学 64
在图 12-10中，我们看到在检查了存贮水平 H之后，我们立即订货 Q=M-H，这时库房里的实际库存量加上订货量正好为存贮补充水平 M（订货的 Q单位产品在过了订货期才能到达）。从图上可知这 M单位的产品要维持一个检查周期再加上一个订货期的消耗，所以我们可以从一个检查周期加上一个订货期的需求的概率分布情况，结合规定的服务水平来制定存贮水平 M，
以下我们举例说明。
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型管 理 运 筹 学 65
例 9 某百货商店经营几百种商品，该商店每隔两周清盘一次，根据清盘情况同时对几百种商品进行订货，这样便于管理。又因为其中很多商品可以从同一个厂家或批发公司进货，这样也节约了订货费用。现在商店管理者要求对这几百种商品根据各自的需求情况和服务水平制定出各自的存贮水平。现要求对其中两种商品制定出各自的存贮水平。
商品 A是一种名牌香烟。一旦缺货，顾客不会在商店里购买另一种品牌的烟，而去另外的商店购买，故商店规定其缺货的概率为 2.5%。商品 B是一种普通品牌的饼干，一旦商店缺货，一般情况下，顾客会在商店里购买其他品牌的饼干或其他儿童食品，故商店规定其缺货概率为 15%。根据以往的数据，通过统计分析，商品 A每 14天需求服从均值 μ A=550条，均方差 σ A=85
条的正态分布，商品 B每 14天需求服从均值 μ B=5300包，均方差 σ B=780包的正态分布。
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型管 理 运 筹 学 66
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型
,97,5 %,
1,96
1,96 55 0 1,96 85 71 7
,85 %,
AA
A
AA
A
A A A
BB
B
BB
B
M
M
M
M
M
AB
AA
BB
解,设 商 品 A 的 存 贮 补 充 水 平 为 M,商 品 B 的 存 贮 补 充 水 平 为 M,从统 计 知 识 可 知,
P( 商 品 A 的 需 求 d M )= 1-
查 标 准 正 态 分 布 表,得,,
（ 条 ）
P( 商 品 B 的 需 求 d M )= 1-
查 标 准 正 态 分 布 表,得,1,03 4
1,03 4 53 00 1,03 4 78 0 61 07
B B B
M
，
（ 包 ）
管 理 运 筹 学 67
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型也就是说，商店在每隔两周的清货盘点时，发现 A商品还剩 HA,B商品还剩 HB时，
马上向厂家订货,A商品为 717-HA条,B商品为 6107-HB包，使当时 A商品的库存量加上订货量正好达到存贮补充水平 717条,B商品的库存量加上订货量正好达到存贮水平 6107包。图 12-11（ a）显示了缺货概率为 2.5%时的存贮补充水平 MA，图 12-11（ b）
显示了缺货概率为 15%时的存贮补充水平 MB。
( ) 85%P d M
不 缺 货图 12-11
（ a） （ b）
550 650 750450350 4300 5300 6300
( ) 9 7,5 %P d M不 缺 货 ( ) 2,5 %P d M
缺 货 ( ) 1 5 %P d M
缺 货管 理 运 筹 学 68
§ 8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型在上述模型里只考虑了保证一定服务水平的存贮补充水平 M的问题，并没考虑到订货费与存贮费之和最小化的问题，要解决这类问题，我们还必须把再订货点 r作为另一个决策变量，把这称之为 （ t,r,M）混合模型,每隔 t时间检查库存量 H，当 H>r时不补充；
当 H≤ r时补充存贮量使之达到 M，补充量为 M? H。
这种模型需要更多的数学知识，在本书中不作介绍。
管 理 运 筹 学 69
§ 9 物料需求计划 (MRP)与准时化生产方式 (JIT)简介在存贮管理与控制中有两个重要的技术：物料需求计划（ MRP）和准时化生产方式（ JIT），我们对它们作一个简单的介绍。
一、物料需求计划（ MRP）
物料需求计划（ MRP） 是一种用于管理与控制需求有依赖关系的产品的生产与存贮的技术。
MRP是基于计算机的生产与存贮计划和控制系统，它有 三个目标,1）
确认装配最终产品所需要的原料、零件与部件； 2）使存贮水平最小化； 3）
制定制造、购买和运输的时间表。
MRP系统需要三个主要输入,1）主生产计划，所谓主生产计划是指最终产品的生产计划； 2）产品结构记录，它包括生产每一件最终产品所需的原材料、零部件的清单和所需的生产（订购）时间等信息； 3）原材料、零部件的库存记录。
管 理 运 筹 学 70
§ 9 物料需求计划 (MRP)与准时化生产方式 (JIT)简介
MRP的技术不断地得到发展 。 MRP引入资源计划与保证、安排生产、执行监控与反馈等功能，形成闭环的 MRP系统。当闭环的 MRP进一步扩展，将经营、财务与生产管理子系统相结合，形成制造资源计划（ MRPⅡ ）。当
MRPⅡ 融合了其他现代管理思想与技术，形成了面向更广泛市场的企业资源计划,ERP（ Enterprise Resource Planning）。
二、准时化生产方式（ JIT）
准时化生产方式（ JIT） 是近年来日本人创造的一种引人注目的物料管理与控制的新方法，它的哲学目标是彻底消除包括不必要存贮在内的所有浪费。
它的 基本原则 是在正确的时间，生产正确数量的零件或产品，即准时生产。存贮要极小化，甚至不需要。
JIT的生产的活动是由后续工序来加以协调的，这 与传统的生产过程是不一样的,例如 MRP是按主生产计划的要求，在需要的时间、地点生产需要的零部件，在生产过程中由前道工序向后道工序送货，这是一种“推动式”的生产方式。而 JIT的零部件仅在后续工序提出要求时才生产，这是一种“拉动式”生产，协调整个生产活动的关键部分是称为管 理 运 筹 学 71
§ 9 物料需求计划 (MRP)与准时化生产方式 (JIT)简介
,看板”的信息系统，它动态地提供了各生产过程所需的原材料，零部件的数量、规格，后道工序根据“看板”向前道工序取货，前道工序根据后道工序的需要在正确的时间，生产正确数量的零部件或产品，零件或产品一生产出来就被下道工序取走，防止了不必要的存贮，达到了库存量最低（零库存），同时也就要求生产的准备时间最短（零准备时间），这样才有可能采用极小批量。
保证质量是 JIT中的一个关键问题,在 JIT中，生产的数量和存贮水平都是最小化的，没什么安全存贮，任何质量问题都将打乱整个计划的物流运行，危及整个 JIT系统。故要求废品量最低（零废品）。
最后,协调好从供应商到制造商的物流是 JIT中的另一个关键问题,
JIT不允许供应商把原材料、零部件大批量的运给制造商，因而造成大量的存贮和提高成本，要求供应商根据制造商的每日需要，每日平衡地、
及时地把原材料和零部件送到制造商的手里,JIT需要制造商与供应商之间有着紧密的伙伴关系，以保证制造商及时地获得无缺陷的所需物资。
执行 JIT生产方式可以通过减少存贮成本和提高质量而获得更多的利润，从存贮管理来看,JIT可以减少存贮水平，增加存贮流动量，使存贮管 理 运 筹 学 72
§ 9 物料需求计划 (MRP)与准时化生产方式 (JIT)简介总费用最低。尽管 JIT在存贮管理上有明显的效果，但是由于在文化与行为上的差别，现在还不清楚是否能把这种日本的生产方式成功地推广到中国、美国等其他国家，目前大部分的中国和美国企业仍然使用传统的存贮管理办法。
