管 理 运 筹 学 1
第四章 线性规划在工商管理中的应用
§ 1 人力资源分配的问题
§ 2 生产计划的问题
§ 3 套裁下料问题
§ 4 配料问题
§ 5 投资问题管 理 运 筹 学 2
§ 1 人力资源分配的问题例 1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，
既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
班次 时间 所需人数
1 6,00 —— 10,00 60
2 10,00 —— 14,00 70
3 14,00 —— 18,00 60
4 18,00 —— 22,00 50
5 22,0 0 —— 2,00 20
6 2,00 —— 6,00 30
管 理 运 筹 学 3
§ 1 人力资源分配的问题解：设 xi 表示第 i班次时开始上班的司机和乘务人员数,
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
约束条件,s.t,x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70
x2 + x3 ≥ 60
x3 + x4 ≥ 50
x4 + x5 ≥ 20
x5 + x6 ≥ 30
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
管 理 运 筹 学 4
§ 1 人力资源分配的问题例 2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作 5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？
时间 所需售货员人数星期日 28
星期一 15
星期二 24
星期三 25
星期四 19
星期五 31
星期六 28
管 理 运 筹 学 5
§ 1 人力资源分配的问题解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
约束条件,s.t,x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24
x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25
x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19
x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31
x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
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§ 2 生产计划的问题例 3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，
亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。
数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲 乙 丙 资源限制铸造工时 ( 小时 / 件 ) 5 10 7 8000
机加工工时 ( 小时 / 件 ) 6 4 8 12000
装配工时 ( 小时 / 件 ) 3 2 2 10000
自产铸件成本 ( 元 / 件 ) 3 5 4
外协铸件成本 ( 元 / 件 ) 5 6 --
机加工成本 ( 元 / 件 ) 2 1 3
装配成本 ( 元 / 件 ) 3 2 2
产品售价 ( 元 / 件 ) 23 18 16
管 理 运 筹 学 7
§ 2 生产计划的问题解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数,x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15
产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13
产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10
产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9
产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7
可得到 xi （ i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15,10,7,13,9
元。
管 理 运 筹 学 8
§ 2 生产计划的问题通过以上分析,可建立如下的数学模型,
目标函数,Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5
约束条件,5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000
3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
管 理 运 筹 学 9
§ 2 生产计划的问题例 4．永久机械厂生产 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 三种产品，均要经过 A,B两道工序加工。设有两种规格的设备 A1,A2能完成 A 工序；
有三种规格的设备 B1,B2,B3能完成 B 工序。 Ⅰ 可在 A,B
的任何规格的设备上加工； Ⅱ 可在任意规格的 A设备上加工，但对 B工序，只能在 B1设备上加工； Ⅲ 只能在 A2与 B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？
产品单件工时设备 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
设备的有效台时满负荷时的设备费用
A 1 5 10 6000 300
A 2 7 9 12 10000 321
B 1 6 8 4000 2 50
B 2 4 11 7000 783
B 3 7 4000 200
原料（元 / 件） 0,2 5 0,3 5 0,5 0
售价（元 / 件） 1,2 5 2,0 0 2,8 0
管 理 运 筹 学 10
§ 2 生产计划的问题解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型,
s.t,5x111 + 10x211 ≤ 6000 （ 设备 A1 ）
7x112 + 9x212 + 12x312 ≤ 10000 （ 设备 A2 ）
6x121 + 8x221 ≤ 4000 （ 设备 B1 ）
4x122 + 11x322 ≤ 7000 （ 设备 B2 ）
7x123 ≤ 4000 （ 设备 B3 ）
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （ Ⅰ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
x211+ x212- x221 = 0 （ Ⅱ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
x312 - x322 = 0 （ Ⅲ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
xijk ≥ 0,i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
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§ 2 生产计划的问题目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：
利润 = [（销售单价 - 原料单价） * 产品件数 ]之和 -
（每台时的设备费用 *设备实际使用的总台时数）之和。
这样得到目标函数：
Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 –
300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-
250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).
经整理可得：
Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-
0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123
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§ 3 套裁下料问题例 5．某工厂要做 100套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长 7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
解,共可设计下列 5 种下料方案，见下表设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5
约束条件,s.t,x1 + 2x2 + x4 ≥ 100
2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100
3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 ≥ 100
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5
2.9 m 1 2 0 1 0
2.1 m 0 0 2 2 1
1.5 m 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
剩余料头 0 0.1 0.2 0.3 0.8
管 理 运 筹 学 13
用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案 1下料 30根；按方案 2下料 10根；按方案 4下料 50根。
即 x1=30;
x2=10；
x3=0；
x4=50；
x5=0；
只需 90根原材料就可制造出 100套钢架。
注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。
§ 3 套裁下料问题管 理 运 筹 学 14
§ 4 配料问题例 6．某工厂要用三种原料 1、
2,3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。
问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？
产品名称 规格要求 单价 （元 / k g ）
甲 原材料 1 不少于 50%,原材料 2 不超过 25% 50
乙 原材料 1 不少于 25%,原材料 2 不超过 50% 35
丙 不限 25
原材料名称 每天最多供应量 单价 （元 / k g ）
1 100 65
2 100 25
3 60 35
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：
对于甲,x11,x12,x13；
对于乙,x21,x22,x23；
对于丙,x31,x32,x33；
对于原料 1,x11,x21,x31；
对于原料 2,x12,x22,x32；
对于原料 3,x13,x23,x33；
目标函数,利润最大，利润 = 收入 - 原料支出约束条件,规格要求 4 个；
供应量限制 3 个。
管 理 运 筹 学 15
§ 4 配料问题
利润 =总收入 -总成本 =甲乙丙三种产品的销售单价 *产品数量 -甲乙丙使用的原料单价 *原料数量，故有目标函数
Max 50（ x11+x12+x13） +35（ x21+x22+x23） +25（ x31+x32+x33） -
65（ x11+x21+x31） -25（ x12+x22+x32） -35（ x13+x23+x33）
= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
约束条件：
从第 1个表中有：
x11≥0.5( x11+x12+x13)
x12≤0.25( x11+x12+x13)
x21≥0.25( x21+x22+x23)
x22≤0.5( x21+x22+x23)
管 理 运 筹 学 16
§ 4 配料问题从第 2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有
(x11+x21+x31)≤100
(x12+x22+x32)≤100
(x13+x23+x33)≤60
通过整理，得到以下模型：
管 理 运 筹 学 17
§ 4 配料问题例 6．（续）
目标函数,Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
约束条件：
s.t,0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料 1不少于 50%）
-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料 2不超过 25%）
0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料 1不少于 25%）
-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料 2不超过 50%）
x11+ x21 + x31 ≤ 100 ( 供应量限制）
x12+ x22 + x32 ≤ 100 ( 供应量限制）
x13+ x23 + x33 ≤ 60 ( 供应量限制）
xij ≥ 0,i = 1,2,3; j = 1,2,3
管 理 运 筹 学 18
§ 4 配料问题标准汽油 辛烷数 蒸汽压力 (g/cm2) 库存量 (L)
1 107.5 7.11× 10-2 380000
2 93.0 11.38 × 10-2 265200
3 87.0 5.69× 10-2 408100
4 108.0 28.45 × 10-2 130100
例 7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有
1,2,3,4种标准汽油，其特性和库存量列于表 4-6中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为 1,2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表 4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使 2号汽油满足需求，并使得 1号汽油产量最高？
飞机汽油 辛烷数 蒸汽压力 (g/cm2) 产量需求
1 不小于 91 不大于 9.96 × 10-2 越多越好
2 不小于 100 不大于 9.96 × 10-2 不少于 250000
表
4---
6
表
4---
7
管 理 运 筹 学 19
§ 4 配料问题
1 1 1 2 1 3 1 4x x x x
解：设 xij为飞机汽油 i中所用标准汽油 j的数量 (L)。
目标函数为飞机汽油 1的总产量：
库存量约束为：
1 1 2 1
1 2 2 2
1 3 2 3
1 4 2 4
380000
265200
408100
130100
xx
xx
xx
xx
产量约束为飞机汽油 2的产量：
2 1 2 2 2 3 2 4 250000x x x x
由物理中的分压定律,可得有关蒸汽压力的约束条件：
1
n
jj
j
P V p v
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
2,8 5 1,4 2 4,2 7 1 8,4 9 0
2,8 5 1,4 2 4,2 7 1 8,4 9 0
x x x x
x x x x
同样可得有关辛烷数的约束条件为,1 1 1 2 1 3 1 4
1 1 1 2 1 3 1 4
1 6,5 2,0 4,0 1 7,0 0
7,5 7,0 1 3,0 8,0 0
x x x x
x x x x
管 理 运 筹 学 20
§ 4 配料问题综上所述，得该问题的数学模型为：
11 12 13 14
21 22 23 24
11 21
12 22
13 23
14 24
11 12 13 14
21 22 23 24
11 12 13 14
21 22
m a x
250000
380000
265200
408100
130100
2.85 1.42 4.27 18.49 0
2.85 1.42 4.27 18.49 0
16.5 2 4 17 0
7.5 7
x x x x
x x x x
xx
xx
xx
xx
x x x x
x x x x
x x x x
xx
23 24
13 8 0
0,( 1,2 ; 1,2,3,4)
ij
xx
x i j
管 理 运 筹 学 21
§ 4 配料问题由管理运筹学软件求解得：
11 12 13 14
11
12
13
14
21
22
23
24
m a x ( ) 9 3 3 3 9 9,9 3 8
2 6 1 9 6 6,0 7 8
265200
3 1 5 6 7 2,2 1 9
9 0 5 6 1,6 8 8
1 1 8 0 3 3,9 0 6
0
9 2 4 2 7,7 5 8
3 9 5 3 8,3 0 9
x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
管 理 运 筹 学 22
§ 5 投资问题例 8．某部门现有资金 200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目 A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利 110%；项目 B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利 125%，但规定每年最大投资额不能超过 30万元；项目 C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利 140%，但规定最大投资额不能超过 80万元；项目 D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利 155%，但规定最大投资额不能超过 100万元。
据测定每万元每次投资的风险指数如右表：
问：
a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？
b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在 330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
项目 风险指数 （次 / 万元）
A 1
B 3
C 4
D 5,5
解,1） 确定决策变量：连续投资问题设 xij ( i = 1～ 5,j = 1～ 4)表示第 i 年初投资于 A(j=1),B(j=2),C(j=3)、
D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C x33
D x24
管 理 运 筹 学 23
2）约束条件：
第一年,A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12
= 200；
第二年,B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金 1.1 x11，于是 x21 + x22+
x24 = 1.1x11；
第三年：年初有资金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
第四年：年初有资金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
第五年：年初有资金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
B,C,D的投资限制,xi2 ≤ 30 ( i =1,2,3,4 ),x33 ≤ 80,x24 ≤ 100
3）目标函数及模型：
a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24
s.t,x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
xi2 ≤ 30 ( i =1,2,3,4 ),x33 ≤ 80,x24 ≤ 100
xij ≥ 0 ( i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3,4）
§ 5 投资问题管 理 运 筹 学 24
b)所设变量与问题 a相同，目标函数为风险最小，有
Min f =x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24
在问题 a的约束条件中加上,第五年末拥有资金本利在 330万元,的条件，
于是模型如下：
Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24
s.t,x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
xi2 ≤ 30 ( i =1,2,3,4 ),x33 ≤ 80,x24 ≤ 100
1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 ≥ 330
xij ≥ 0 ( i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3,4）
§ 5 投资问题
第四章 线性规划在工商管理中的应用
§ 1 人力资源分配的问题
§ 2 生产计划的问题
§ 3 套裁下料问题
§ 4 配料问题
§ 5 投资问题管 理 运 筹 学 2
§ 1 人力资源分配的问题例 1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，
既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
班次 时间 所需人数
1 6,00 —— 10,00 60
2 10,00 —— 14,00 70
3 14,00 —— 18,00 60
4 18,00 —— 22,00 50
5 22,0 0 —— 2,00 20
6 2,00 —— 6,00 30
管 理 运 筹 学 3
§ 1 人力资源分配的问题解：设 xi 表示第 i班次时开始上班的司机和乘务人员数,
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
约束条件,s.t,x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70
x2 + x3 ≥ 60
x3 + x4 ≥ 50
x4 + x5 ≥ 20
x5 + x6 ≥ 30
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
管 理 运 筹 学 4
§ 1 人力资源分配的问题例 2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作 5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？
时间 所需售货员人数星期日 28
星期一 15
星期二 24
星期三 25
星期四 19
星期五 31
星期六 28
管 理 运 筹 学 5
§ 1 人力资源分配的问题解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
约束条件,s.t,x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24
x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25
x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19
x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31
x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
管 理 运 筹 学 6
§ 2 生产计划的问题例 3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，
亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。
数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲 乙 丙 资源限制铸造工时 ( 小时 / 件 ) 5 10 7 8000
机加工工时 ( 小时 / 件 ) 6 4 8 12000
装配工时 ( 小时 / 件 ) 3 2 2 10000
自产铸件成本 ( 元 / 件 ) 3 5 4
外协铸件成本 ( 元 / 件 ) 5 6 --
机加工成本 ( 元 / 件 ) 2 1 3
装配成本 ( 元 / 件 ) 3 2 2
产品售价 ( 元 / 件 ) 23 18 16
管 理 运 筹 学 7
§ 2 生产计划的问题解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数,x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15
产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13
产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10
产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9
产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7
可得到 xi （ i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15,10,7,13,9
元。
管 理 运 筹 学 8
§ 2 生产计划的问题通过以上分析,可建立如下的数学模型,
目标函数,Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5
约束条件,5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000
3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
管 理 运 筹 学 9
§ 2 生产计划的问题例 4．永久机械厂生产 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 三种产品，均要经过 A,B两道工序加工。设有两种规格的设备 A1,A2能完成 A 工序；
有三种规格的设备 B1,B2,B3能完成 B 工序。 Ⅰ 可在 A,B
的任何规格的设备上加工； Ⅱ 可在任意规格的 A设备上加工，但对 B工序，只能在 B1设备上加工； Ⅲ 只能在 A2与 B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？
产品单件工时设备 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
设备的有效台时满负荷时的设备费用
A 1 5 10 6000 300
A 2 7 9 12 10000 321
B 1 6 8 4000 2 50
B 2 4 11 7000 783
B 3 7 4000 200
原料（元 / 件） 0,2 5 0,3 5 0,5 0
售价（元 / 件） 1,2 5 2,0 0 2,8 0
管 理 运 筹 学 10
§ 2 生产计划的问题解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型,
s.t,5x111 + 10x211 ≤ 6000 （ 设备 A1 ）
7x112 + 9x212 + 12x312 ≤ 10000 （ 设备 A2 ）
6x121 + 8x221 ≤ 4000 （ 设备 B1 ）
4x122 + 11x322 ≤ 7000 （ 设备 B2 ）
7x123 ≤ 4000 （ 设备 B3 ）
x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （ Ⅰ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
x211+ x212- x221 = 0 （ Ⅱ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
x312 - x322 = 0 （ Ⅲ 产品在 A,B工序加工的数量相等）
xijk ≥ 0,i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3
管 理 运 筹 学 11
§ 2 生产计划的问题目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：
利润 = [（销售单价 - 原料单价） * 产品件数 ]之和 -
（每台时的设备费用 *设备实际使用的总台时数）之和。
这样得到目标函数：
Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 –
300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-
250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).
经整理可得：
Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-
0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123
管 理 运 筹 学 12
§ 3 套裁下料问题例 5．某工厂要做 100套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长 7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
解,共可设计下列 5 种下料方案，见下表设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。
目标函数,Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5
约束条件,s.t,x1 + 2x2 + x4 ≥ 100
2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100
3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 ≥ 100
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5
2.9 m 1 2 0 1 0
2.1 m 0 0 2 2 1
1.5 m 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
剩余料头 0 0.1 0.2 0.3 0.8
管 理 运 筹 学 13
用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案 1下料 30根；按方案 2下料 10根；按方案 4下料 50根。
即 x1=30;
x2=10；
x3=0；
x4=50；
x5=0；
只需 90根原材料就可制造出 100套钢架。
注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。
§ 3 套裁下料问题管 理 运 筹 学 14
§ 4 配料问题例 6．某工厂要用三种原料 1、
2,3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。
问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？
产品名称 规格要求 单价 （元 / k g ）
甲 原材料 1 不少于 50%,原材料 2 不超过 25% 50
乙 原材料 1 不少于 25%,原材料 2 不超过 50% 35
丙 不限 25
原材料名称 每天最多供应量 单价 （元 / k g ）
1 100 65
2 100 25
3 60 35
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：
对于甲,x11,x12,x13；
对于乙,x21,x22,x23；
对于丙,x31,x32,x33；
对于原料 1,x11,x21,x31；
对于原料 2,x12,x22,x32；
对于原料 3,x13,x23,x33；
目标函数,利润最大，利润 = 收入 - 原料支出约束条件,规格要求 4 个；
供应量限制 3 个。
管 理 运 筹 学 15
§ 4 配料问题
利润 =总收入 -总成本 =甲乙丙三种产品的销售单价 *产品数量 -甲乙丙使用的原料单价 *原料数量，故有目标函数
Max 50（ x11+x12+x13） +35（ x21+x22+x23） +25（ x31+x32+x33） -
65（ x11+x21+x31） -25（ x12+x22+x32） -35（ x13+x23+x33）
= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
约束条件：
从第 1个表中有：
x11≥0.5( x11+x12+x13)
x12≤0.25( x11+x12+x13)
x21≥0.25( x21+x22+x23)
x22≤0.5( x21+x22+x23)
管 理 运 筹 学 16
§ 4 配料问题从第 2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有
(x11+x21+x31)≤100
(x12+x22+x32)≤100
(x13+x23+x33)≤60
通过整理，得到以下模型：
管 理 运 筹 学 17
§ 4 配料问题例 6．（续）
目标函数,Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
约束条件：
s.t,0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料 1不少于 50%）
-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料 2不超过 25%）
0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料 1不少于 25%）
-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料 2不超过 50%）
x11+ x21 + x31 ≤ 100 ( 供应量限制）
x12+ x22 + x32 ≤ 100 ( 供应量限制）
x13+ x23 + x33 ≤ 60 ( 供应量限制）
xij ≥ 0,i = 1,2,3; j = 1,2,3
管 理 运 筹 学 18
§ 4 配料问题标准汽油 辛烷数 蒸汽压力 (g/cm2) 库存量 (L)
1 107.5 7.11× 10-2 380000
2 93.0 11.38 × 10-2 265200
3 87.0 5.69× 10-2 408100
4 108.0 28.45 × 10-2 130100
例 7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有
1,2,3,4种标准汽油，其特性和库存量列于表 4-6中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为 1,2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表 4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使 2号汽油满足需求，并使得 1号汽油产量最高？
飞机汽油 辛烷数 蒸汽压力 (g/cm2) 产量需求
1 不小于 91 不大于 9.96 × 10-2 越多越好
2 不小于 100 不大于 9.96 × 10-2 不少于 250000
表
4---
6
表
4---
7
管 理 运 筹 学 19
§ 4 配料问题
1 1 1 2 1 3 1 4x x x x
解：设 xij为飞机汽油 i中所用标准汽油 j的数量 (L)。
目标函数为飞机汽油 1的总产量：
库存量约束为：
1 1 2 1
1 2 2 2
1 3 2 3
1 4 2 4
380000
265200
408100
130100
xx
xx
xx
xx
产量约束为飞机汽油 2的产量：
2 1 2 2 2 3 2 4 250000x x x x
由物理中的分压定律,可得有关蒸汽压力的约束条件：
1
n
jj
j
P V p v
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
2,8 5 1,4 2 4,2 7 1 8,4 9 0
2,8 5 1,4 2 4,2 7 1 8,4 9 0
x x x x
x x x x
同样可得有关辛烷数的约束条件为,1 1 1 2 1 3 1 4
1 1 1 2 1 3 1 4
1 6,5 2,0 4,0 1 7,0 0
7,5 7,0 1 3,0 8,0 0
x x x x
x x x x
管 理 运 筹 学 20
§ 4 配料问题综上所述，得该问题的数学模型为：
11 12 13 14
21 22 23 24
11 21
12 22
13 23
14 24
11 12 13 14
21 22 23 24
11 12 13 14
21 22
m a x
250000
380000
265200
408100
130100
2.85 1.42 4.27 18.49 0
2.85 1.42 4.27 18.49 0
16.5 2 4 17 0
7.5 7
x x x x
x x x x
xx
xx
xx
xx
x x x x
x x x x
x x x x
xx
23 24
13 8 0
0,( 1,2 ; 1,2,3,4)
ij
xx
x i j
管 理 运 筹 学 21
§ 4 配料问题由管理运筹学软件求解得：
11 12 13 14
11
12
13
14
21
22
23
24
m a x ( ) 9 3 3 3 9 9,9 3 8
2 6 1 9 6 6,0 7 8
265200
3 1 5 6 7 2,2 1 9
9 0 5 6 1,6 8 8
1 1 8 0 3 3,9 0 6
0
9 2 4 2 7,7 5 8
3 9 5 3 8,3 0 9
x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
管 理 运 筹 学 22
§ 5 投资问题例 8．某部门现有资金 200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目 A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利 110%；项目 B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利 125%，但规定每年最大投资额不能超过 30万元；项目 C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利 140%，但规定最大投资额不能超过 80万元；项目 D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利 155%，但规定最大投资额不能超过 100万元。
据测定每万元每次投资的风险指数如右表：
问：
a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？
b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在 330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
项目 风险指数 （次 / 万元）
A 1
B 3
C 4
D 5,5
解,1） 确定决策变量：连续投资问题设 xij ( i = 1～ 5,j = 1～ 4)表示第 i 年初投资于 A(j=1),B(j=2),C(j=3)、
D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C x33
D x24
管 理 运 筹 学 23
2）约束条件：
第一年,A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12
= 200；
第二年,B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金 1.1 x11，于是 x21 + x22+
x24 = 1.1x11；
第三年：年初有资金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
第四年：年初有资金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
第五年：年初有资金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
B,C,D的投资限制,xi2 ≤ 30 ( i =1,2,3,4 ),x33 ≤ 80,x24 ≤ 100
3）目标函数及模型：
a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24
s.t,x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
xi2 ≤ 30 ( i =1,2,3,4 ),x33 ≤ 80,x24 ≤ 100
xij ≥ 0 ( i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3,4）
§ 5 投资问题管 理 运 筹 学 24
b)所设变量与问题 a相同，目标函数为风险最小，有
Min f =x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24
在问题 a的约束条件中加上,第五年末拥有资金本利在 330万元,的条件，
于是模型如下：
Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24
s.t,x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11；
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；
x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；
x51 = 1.1x41+ 1.25x32；
xi2 ≤ 30 ( i =1,2,3,4 ),x33 ≤ 80,x24 ≤ 100
1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 ≥ 330
xij ≥ 0 ( i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3,4）
§ 5 投资问题
