管 理 运 筹 学 1
第十六章 决策分析
§ 1 不确定情况下的决策
§ 2 风险型情况下的决策
§ 3 效用理论在决策中的应用
§ 4 层次分析法管 理 运 筹 学 2
第十六章 决策分析
“决策,一词来源于英语 Decision
making，直译为,做出决定,。所谓决策，就是为了实现预定的目标在若干可供选择的方案中，选出一个最佳行动方案的过程，它是一门帮助人们科学地 决策的理论。
管 理 运 筹 学 3
第十六章 决策分析决策的分类：
按决策问题的重要性分类
按决策问题出现的重复程度分类
按决策问题的定量分析和定性分析分类
按决策问题的自然状态发生分类：
确 定 型 决 策 问 题
在决策环境完全确定的条件下进行。
不 确 定 型 决 策 问 题
在决策环境不确定的条件下进行，决策者对各自然状态发生的概率一无所知。
风 险 型 决 策 问 题
在决策环境不确定的条件下进行，决策者对各自然状态发生的概率可以预先估计或计算出来。
管 理 运 筹 学 4
构成决策问题的 四个要素,
决策目标、行动方案、自然状态、效益值行动方案集,A = { s1,s2,…,sm }
自然状态集,N = { n1,n2,…,nk }
效益 (函数 )值,v =?( si,nj )
自然状态发生的概率 P=P(sj) j =1,2,…,m
决策模型的基本结构,(A,N,P,V)
基本结构 (A,N,P,V)常用 决策表、决策树等表示。
第十六章 决策分析管 理 运 筹 学 5
特征,1、自然状态已知； 2、各方案在不同自然状态下的收益值已知； 3、自然状态发生不确定。
例：某公司需要对某新产品生产批量作出决策，各种批量在不同的自然状态下的收益情况如下表（ 收益矩阵 ）：
§ 1 不确定情况下的决策
N1(需求量大 ) N2(需求量小 )
S1(大批量生产 ) 30 -6
S2(中批量生产 ) 20 -2
S3(小批量生产 ) 10 5
自然状态行动方案
、自然状态已知；,各方案在不同自然状态下的收益值已知；,自然状态发生不确定。
例：某公司需要对某新产品生产批量作出决策，各种批量在不同的自然状态下的收益情况如下表（ 收益矩阵 ）：
需求量大 需求量小大批量生产中批量生产小批量生产管 理 运 筹 学 6
一、最大最小准则（悲观准则）
决策者从最不利的角度去考虑问题：
先选出每个方案在不同自然状态下的最小收益值（最保险），
然后从这些最小收益值中取最大的，从而确定行动方案。
用?(Si,Nj)表示收益值自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
N
2
（需求量小）
M in [? ( S
i
,N
j
)]
1? j? 2
S
1
（大批量生产） 30 -6 -6
S
2
（中批量生产） 20 -2 -2
S
3
（小批量生产） 10 5 5( m ax)
§ 1 不确定情况下的决策管 理 运 筹 学 7
二、最大最大准则（乐观准则）
决策者从最有利的角度去考虑问题：
先选出每个方案在不同自然状态下的最大收益值（最乐观），
然后从这些最大收益值中取最大的，从而确定行动方案。
用?(Si,Nj)表示收益值自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
N
2
（需求量小）
M ax [? ( S
i
,N
j
)]
1? j? 2
S
1
（大批量生产） 30 -6 30( m ax)
S
2
（中批量生产） 20 -2 20
S
3
（小批量生产） 10 5 10
§ 1 不确定情况下的决策管 理 运 筹 学 8
三、等可能性准则 ( Laplace准则 )
决策者把各自然状态发生的机会看成是等可能的：
设每个自然状态发生的概率为 1/事件数,然后计算各行动方案的收益期望值。
用 E(Si )表示第 I方案的收益期望值自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
p = 1/ 2
N
2
（需求量小）
p = 1/ 2
收益期望值
E ( S
i
)
S
1
（大批量生产） 30 -6 12 ( m ax )
S
2
（中批量生产） 20 -2 9
S
3
（小批量生产） 10 5 7,5
§ 1 不确定情况下的决策管 理 运 筹 学 9
四、乐观系数 (折衷 )准则 (Hurwicz胡魏兹准则 )
决策者取乐观准则和悲观准则的折衷：
先确定一个乐观系数?（ 01），然后计算：
CVi =? max [?(Si,Nj)] +（ 1-?） min [?(Si,Nj)]
从这些折衷标准收益值 CVi中选取最大的，从而确定行动方案。 取? = 0.7
自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
N
2
（需求量小）
CV
i
S
1
（大批量生产） 30 -6 19,2( m ax)
S
2
（中批量生产） 20 -2 13,4
S
3
（小批量生产） 10 5 8,5
§ 1 不确定情况下的决策管 理 运 筹 学 10
五、后悔值准则（ Savage 沙万奇准则）
决策者从后悔的角度去考虑问题：
把在不同自然状态下的最大收益值作为理想目标，把各方案的收益值与这个最大收益值的差称为未达到理想目标的后悔值，然后从各方案最大后悔值中取最小者，从而确定行动方案。
用 aij’表示后悔值，构造后悔值矩阵：
自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
N
2
（需求量小）
M ax a
ij
'
1? j? 2
S
1
（大批量生产） 0 ( 30,理想值 ) 11 [ 5- ( - 6) ] 11
S
2
（中批量生产） 10 ( 30- 20 ) 7 [ 5- ( - 2) ] 10 ( m i n)
S
3
（小批量生产） 20 ( 30- 10) 0 ( 5,理想值 ) 20
§ 1 不确定情况下的决策管 理 运 筹 学 11
特征,1、自然状态已知； 2、各方案在不同自然状态下的收益值已知； 3、自然状态发生的概率分布已知。
一、最大可能准则在一次或极少数几次的决策中，取概率最大的自然状态，按照确定型问题进行讨论。
自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
p( N
1
) = 0,3
N
2
（需求量小）
p( N
2
) = 0,7
概率最大的自然状态 N
2
S
1
（大批量生产） 30 -6 -6
S
2
（中批量生产） 20 -2 -2
S
3
（小批量生产） 10 5 5 ( m ax)
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 12
二、期望值准则
根据各自然状态发生的概率，求不同方案的期望收益值，取其中最大者为选择的方案。
E(Si) =? P(Nj)(Si,Nj)
自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
p( N
1
) = 0,3
N
2
（需求量小）
p( N
2
) = 0,7
E( S
i
)
S
1
（大批量生产） 30 -6 4,8
S
2
（中批量生产） 20 -2 4,6
S
3
（小批量生产） 10 5 6,5 (m ax)
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 13
三、决策树法具体步骤：
(1) 从左向右绘制决策树；
(2) 从右向左计算各方案的期望值，并将结果标在相应方案节点的上方；
(3) 选收益期望值最大 (损失期望值最小 )的方案为最优方案，并在其它方案分支上打 ∥ 记号。
主要符号决策点 方案节点 结果节点
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 14
前例 根据下图说明 S3是最优方案，收益期望值为 6.5。
决策
S1
S2
S3
大批量生产中批量生产小批量生产
N1( 需求量大 )； P(N1) = 0.3
N1( 需求量大 )； P(N1) = 0.3
N1( 需求量大 )； P(N1) = 0.3
N2( 需求量小 )； P(N2) = 0.7
N2( 需求量小 )； P(N2) = 0.7
N2( 需求量小 )； P(N2) = 0.7
30
-6
20
10
-2
5
4.8
4.6
6.5
6.5
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 15
四、灵敏度分析研究分析决策所用的数据在什么范围内变化时,原最优决策方案仍然有效,
前例 取 P(N1) = p,P(N2) = 1- p,那么
E(S1) = p?30 + (1-p)?(-6) = 36p - 6 p=0.35为转折概率
E(S2) = p?20 + (1-p)?(-2) = 22p - 2 实际的概率值距转
E(S3) = p?10 + (1-p)?(+5) = 5p + 5 折概率越远越稳定
E(S1)
E(S2)
E(S3)
0 10.35 p
取 S3 取 S1
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 16
§ 2 风险型情况下的决策在实际工作中，如果状态概率、收益值在其可能发生的变化的范围内变化时，最优方案保持不变，
则这个方案是比较稳定的。反之如果参数稍有变化时，最优方案就有变化，则这个方案就不稳定的，
需要我们作进一步的分析。就自然状态 N1的概率而言，当其概率值越远离转折概率，则其相应的最优方案就越稳定；反之，就越不稳定。
管 理 运 筹 学 17
五、全情报的价值（ EVPI）
全情报：关于自然状况的确切消息。
在前例，当我们不掌握全情报时得到 S3 是最优方案，数学期望最大值为 0.3*10 + 0.7*5 = 6.5万 记为 EVW0PI。
若得到全情报：当知道自然状态为 N1时，决策者必采取方案 S1，
可获得收益 30万，概率 0.3；当知道自然状态为 N2时，决策者必采取方案 S3，可获得收益 5万,概率 0.7。于是，全情报的期望收益为
EVWPI = 0.3*30 + 0.7*5 = 12.5万那么,EVPI = EVWPI - EVW0PI = 12.5 - 6.5 = 6万即这个全情报价值为 6万。当获得这个全情报需要的成本小于 6
万时，决策者应该对取得全情报投资，否则不应投资。
注：一般“全”情报仍然存在可靠性问题。
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 18
六、具有样本情报的决策分析（贝叶斯决策）
先验概率：由过去经验或专家估计的将发生事件的概率；
后验概率：利用样本情报对先验概率修正后得到的概率；
在贝叶斯决策法中，可以根据样本情报来修正先验概率，得到后验概率。如此用决策树方法，可得到更高期望值的决策方案。
在自然状态为 Nj的条件下咨询结果为 Ik的条件概率，可用全概率公式计算再用贝叶斯公式计算条件概率的定义,乘法公式
).(,2,1)()()(
1
kNPNIPIP m
j
jjkk
.2,1,,2,1)( )()( kmjIP INPINP
k
kj
kj?
)(
)()(
AP
ABPABP? )()()( ABPAPABP?
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 19
例 3、（在例 2基础上得来）
某公司现有三种备选行动方案。 S1：
大批量生产； S2,中批量生产； S3,
小批量生产。未来市场对这种产品需求情况有两种可能发生的自然状态。 N1,
需求量大； N2：需求量小，且 N1的发生概率即 P(N1)=0.3； N2的发生概率即
P(N2)=0.7 。经估计，采用某一行动方案而实际发生某一自然状态时，公司的收益下表所示,
§ 2 风险型情况下的决策
N1 N2
S1 30 -6
S2 20 -2
S3 10 5
现在该公司欲委托一个咨询公司作市场调查。咨询公司调查的结果也有两种,I1,需求量大； I2：需求量小。并且根据该咨询公司积累的资料统计得知，
当市场需求量已知时，咨询公司调查结论的条件概率如下表所示：
自然状态条件概率调 查 结论
N1 N2
I1 P(I1 /N1)=0.8 P(I1 /N2)=0.1
I2 P(I2 /N1)=0.2 P(I2 /N2)=0.9
我们该如何用样本情报进行决策呢?
如果样本情报要价 3万元，决策是否要使用这样的情报呢？
管 理 运 筹 学 20
图 16-3
当用决策树求解该问题时，首先将该问题的决策树绘制出来，如图 16-3。
为了利用决策树求解，由决策树可知，我们需要知道咨询公司调查结论的概率和在咨询公司调查结论已知时,作为自然状态的市场需求量的条件概率。
§ 2 风险型情况下的决策
1
4
5
6
7
8
9
2
3
△ 3 0
△ - 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
△ 3 0
△ 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 1 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 1 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 1 )
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 1 )
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 1 )
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 2 )
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 2 )
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 2 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 1 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 2 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 2 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 2 )
S 1,大 批量
S 2,中 批量
S 3,小 批量
S 1,大 批量
S 2,中 批量
S 3,小 批量
I 1 ( 调查 结论 需求 大 )
I 2 ( 调查 结论 需求 小 )
P ( I 1 )
P ( I 2 )
管 理 运 筹 学 21
首先，由全概率公式求得联合概率表：
§ 2 风险型情况下的决策联合概率 N1 N2 由全概率求得
I1 0.24 0.07 P(I1) =0.31
I2 0.06 0.63 P(I2) = 0.69
然后，由条件概率公式 P(N/I)=P(NI)/P(I)求得在调查结论已知时的条件概率表：
条件概率
P(N /I )
N1 N2
I1 0.7742 0.2258
I2 0.0870 0.9130
最后，在决策树上计算各个节点的期望值，结果如图 16-4，结论为：当调查结论表明需求量大时，采用大批量生产；当调查结论表明需求量小时，
采用小批量生产。
管 理 运 筹 学 22
1
4
5
6
7
8
9
2
3
△ 3 0
△ - 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
△ 3 0
△ 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
N 2 ； P ( N 2 / I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 1 ； P ( N 1 / I 1 ) = 0,7 7 4 2
N ； P ( N 1 / I 1 ) = 0,7 7 4 2
N 2 ； P ( N 2 / I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 2 ； P ( N 2 / I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 2 ； P ( N 2 / I 2 ) = 0,9 1 3
N 2 ； P ( N 2 / I 2 ) = 0,9 1 3
N 2 ； P ( N 2 / I 2 ) = 0,9 1 3
N 1 ； P ( N 1 / I 1 ) = 0,7 7 4 2
N 1 ； P ( N 1 / I 2 ) = 0,0 8 7
N 1 ； P ( N 1 / I 2 ) = 0,0 8 7
N 1 ； P ( N 1 / I 2 ) = 0,0 8 7
S 1,2 1,8 7 1 2
S 2,1 5,0 3 2 4
S 3,8,8 7 1
S 1,- 2,8 6 8
S 2,- 0,0 8 6
S 3,5,4 3 5
I 1 ; P ( I 1 ) = 0,3 1
( 调查 结论 需求 大 )
I 2 ; P ( I 2 ) = 0,6 9
小 )
10.5302
21.8712
5.435
图 16-4
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 23
§ 2 风险型情况下的决策由决策树上的计算可知，公司的期望收益可达到 10.5302万元，比不进行市场调查的公司收益 6.5万元要高，其差额就是样本情报的价值，记为 EVSI。
EVSI=10.5302-6.5=4.0302(万元 )
所以当咨询公司市场调查的要价低于 4.0302万元时，公司可考虑委托其进行市场调查，否则就不进行市场调查。在这里，因为公司要价 3万元，所以应该委托其进行市场调查。
进一步，我们可以利用样本情报的价值与前面的全情报的价值 (EVPI)的比值来定义样本情报的效率，作为样本情报的度量标准。
样本情报效率 =EVSI/EVPI*100%
上例中，样本情报价值的效率为 4.0302/6*100%=67.17%，也就是说，这个样本情报相当于全情报效果的 67.17%。
多级（两级）决策树问题如将前面两个决策树进行合并，可以得到一个两级决策问题：首先决策是否要进行市场调查；然后根据调查结果如何安排生产。决策树的求解结果如图 16-5。
管 理 运 筹 学 24
7.53
6.5
10.53-3
4
5
6
2
△ 3 0
△ - 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
N 2 ； P(N 2 /I 1 ) = 0,7
N 1 ； P(N 1 /I 1 ) = 0,3
N ； P(N 1 /I 1 ) ) = 0,3
N 2 ； P(N 2 /I 1 ) = 0,7
N ； P(N 2 /I 1 ) = 0,7
N ； P(N 1 /I 1 ) ) = 0,3
S 1,大批量
S 2,中批量
S 3,小批量
S4:不搞市场调查
S5:搞市场调查
3
9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
7
8
△ 3 0
△ - 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
△ 3 0
△ 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
N 2 ； P(N 2 /I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 1 ； P(N 1 /I 1 ) = 0,7 7 4 2
N ； P(N 1 /I 1 ) = 0,7 7 4 2
N 2 ； P(N 2 /I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 2 ； P(N 2 /I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 2 ； P(N 2 /I 2 ) = 0,9 1 3
N 2 ； P(N 2 /I 2 ) = 0,9 1 3
N 2 ； P(N 2 /I 2 ) = 0,9 1 3
N 1 ； P(N 1 / I 1 ) = 0,7 7 4 2
N 1 ； P(N 1 /I 2 ) = 0,0 8 7
N 1 ； P(N 1 /I 2 ) = 0,0 8 7
N 1 ； P(N 1 /I 2 ) = 0,0 8 7
S 1,2 1,8 7 1 2
S 2,1 5,0 3 2 4
S 3,8,8 7 1
S 1,- 2,8 6 8
S 2,- 0,0 8 6
S 3,5,4 3 5
I 1 ; P ( I 1 ) = 0,31
( 调查结论需求大 )
I 2 ; P ( I 2 ) = 0,6 9
小 )
1
图 16-5
管 理 运 筹 学 25
效用,衡量决策方案的总体指标，反映决策者对决策问题各种因素的总体看法。
使用效用值进行决策,首先把要考虑的因素折合成效用值，然后用决策准则下选出效用值最大的方案，作为最优方案。
例 3：求下表显示问题的最优方案（万元）,
某公司是一个小型的进出口公司，目前他面临着两笔进口生意，项目
A和 B，这两笔生意都需要现金支付。鉴于公司目前财务状况，公司至多做
A,B中的一笔生意，根据以往的经验，各自然状态商品需求量大、中、小的发生概率以及在各自然状况下做项目 A或项目 B以及不作任何项目的收益如下表：
自然状 态行动方案
N 1
（需求量大）
p( N 1 ) = 0,3
N 2
（需求量中）
p( N 2 ) = 0,5
N 3
（需求量小）
p( N 3 ) = 0,2
S 1 （作项目 A ） 60 40 -100
S 2 （作项目 B ） 100 -40 -60
S 3 （不作项目） 0 0 0
§ 3 效用理论在决策中的应用管 理 运 筹 学 26
用收益期望值法：
E(S1) = 0.3?60 + 0.5?40 + 0.2?(-100) = 18万
E(S2) = 0.3?100 + 0.5?（ -40） + 0.2?(-60) = -2万
E(S3) = 0.3?0 + 0.5?0 + 0.2?0 = 0万得到 S1 是最优方案，最高期望收益 18万。
一种考虑：
由于财务情况不佳，公司无法承受 S1中亏损 100万的风险，也无法承受 S2中亏损 50万以上的风险，结果公司选择 S3，即不作任何项目。
用效用函数解释：
把上表中的最大收益值 100万元的效用定为 10，即 U(100) = 10；最小收益值 -100万元的效用定为 0，即 U(-100) = 0。
对收益 60万元确定其效用值：设经理认为使下两项等价的 p=0.95
(1)得到确定的收益 60万；
(2)以 p 的概率得到 100万，以 1- p 的概率损失 100万。
计算得,U（ 60） = p*U(100)+(1-p)*U(-100) = 0.95*10+0.05*0=9.5。
§ 3 效用理论在决策中的应用管 理 运 筹 学 27
类似地，设收益值为 40,0,- 40,- 60。相应等价的概率分别为 0.90,0.75、
0.55,0.40，可得到各效用值：
U(40) = 9.0； U(0) = 7.5； U(-40) = 5.5； U(-60) = 4.0
我们用效用值计算最大期望，如下表：
一般，若收益期望值能合理地反映决策者的看法和偏好，可以用收益期望值进行决策。否则，需要进行效用分析。
收益期望值决策是效用期望值决策的一种特殊情况。说明如下：
自然状态行动方案
N 1
（需求量大）
p ( N 1 ) = 0.3
N 2
（需求量中）
p ( N 2 ) = 0,5
N 3
（需求量小）
p ( N 3 ) = 0,2
E [U (S I )]
S 1 （作项目 A ） 9,5 9,0 0 7,35
S 2 （作项目 B ） 10 5,5 4,0 6,55
S 3 （不作项目） 7,5 7,5 7,5 7,5( m ax )
§ 3 效用理论在决策中的应用管 理 运 筹 学 28
§ 3 效用理论在决策中的应用以收益值作横轴，以效用值作纵轴，用 A,B两点作一直线，其中 A点的坐标为 (最大收益值,10),B点的坐标为 (最小收益值,0)，如果某问题的所有的收益值与其对应的效用值组成的点都在此直线上，那么用这样的效用值进行期望值决策是和用收益值进行期望值决策的结果完全一样。以上面的例子作图如下：
-100 1002020 6060
2
6
10
B
A
收益值效用值直线方程为,y=5/100*x+5,于是求得,U(-60)=2,U(-40)=3,U(0)=5,
U(40)=7,U(60)=8,用这样的效用值，进行期望值决策，见表 16-10。
管 理 运 筹 学 29
§ 3 效用理论在决策中的应用自然状态行动方案需求量大
N1(P=0.3)
需求量大
N2(P=0.5)
需求量大
N3 (P=0.2)
E[U(Si)]
做项目 A
S1
8 7 0 5.9←max
做项目 B
S2
10 3 2 4.9
不做任何项目
S3
5 5 5 5
表 16-10 单位：万元回顾一下，当我们对收益值进行期望值决策时，知,E(S1)=18,
E(S2)=-2,E(S3)=0,E[U(S1)]=5.9,E[U(S2)]=4.9,E[U(S3)]=5,实际上后面的值也是由直线方程 E[U(Si)]=5/100* [E(Si)]+5决定的，即有：
E[U(S1)]=5/100* [E(S1)]+5=5.9 ； E[U(S2)]=5/100* [E(S2)]+5=4.9
E[U(S3)]=5/100* [E(S3)]+5=5，所以用这两种方法决策是同解的。
管 理 运 筹 学 30
§ 4 层次分析法层次分析法是由美国运筹学家 T.L.沙旦于 20世纪 70年代提出的，
是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
一、问题的提出例：一位顾客决定要购买一套新住宅，经过初步调查研究确定了三套候选的房子 A,B,C，问题是如何在这三套房子里选择一套较为满意的房子呢？
为简化问题，我们将评判房子满意程度的 10个标准归纳为 4个：
1、住房的地理位置
2、住房的交通情况
3、住房的附近的商业、卫生、教育情况
4、住房小区的绿化、清洁、安静等自然环境
5、建筑结构
6、建筑材料
7、房子布局
8、房子设备
9、房子面积
10、房子每平方米建筑面积的价格
1、房子的地理位置与交通
2、房子的居住环境
3、房子的布局、结构与设施
4、房子的每平方米建筑面积的单价管 理 运 筹 学 31
§ 4 层次分析法二、层次结构图该问题的层次结构图如图 16-7所示：
满意的房子每平方米单价结构
、
布局
、
设施居住环境地理位置及交通购买房子 A 购买房子 B 购买房子 C
目 标 层标 准 层决策方案层图 16-7
管 理 运 筹 学 32
§ 4 层次分析法三、标度及两两比较矩阵相对重要性标度：各个标准或在某一标准下各方案两两比较求得的相对权重，如表 16-11所示。
标度 aij 定义
1 i因素与 j因素相同重要
3 i因素比 j因素略重要
5 i因素比 j因素较重要
7 i因素比 j因素非常重要
9 i因素比 j因素绝对重要
2,4,6,8 为以上两判断之间中间状态对应的标度值倒数 若 j因素与 i因素比较，得到的判断值为 aji=1/aij
表 16-11
管 理 运 筹 学 33
§ 4 层次分析法由标度 aij为元素构成的矩阵称为两两比较矩阵。如我们用单一标准
,房子的地理位置及交通状况,来评估三个方案，从两两比较的方法得出两两比较矩阵，如表 16-12所示。
房子的地理位置及交通房子 A 房子 B 房子 C
房子 A
房子 B
房子 C
1
1/2
1/8
2
1
1/6
8
6
1
表 16-12
四、求各因素权重的过程求各因素权重的方法有规范列平均法、方根法、幂乘法等，这里以选择房子的决策为例介绍规范列平均法。
第一步,先求出两两比较矩阵的每一元素每一列的总和，如表 16-13
所示。
管 理 运 筹 学 34
§ 4 层次分析法第二步,把两两比较矩阵的每一元素除以其相对应列的总和，所得商称为标准两两比较矩阵，如表 16-14所示。
第三步，计算标准两两比较矩阵的每一行的平均值，这些平均值就是各方案在地理位置及交通方面的权重，如表 16-15所示。
地理位置及交通状况房子 A 房子 B 房子 C
房子 A
房子 B
房子 C
1
1/2
1/8
2
1
1/6
8
6
1
列总和 13/8 19/6 15
地理位置及交通状况房子 A 房子 B 房子 C
房子 A
房子 B
房子 C
8/13
4/13
1/13
12/19
6/19
1/19
8/15
6/15
1/15
地理位置及交通状况房子 A 房子 B 房子 C 行平均值房子 A
房子 B
房子 C
0.615
0.308
0.077
0.631
0.316
0.053
0.533
0.400
0.067
0.593
0.341
0.066
表 16-15
表 16-13
表 16-14
我们称 [0.593,0.341,0.066]
为房子选择问题中地理位置及交通方面的特征向量。
管 理 运 筹 学 35
§ 4 层次分析法同样，我们可以求得在居住环境、房子结构布局和设施、房子每平方米单价方面的两两比较矩阵如表 16-16所示。
居住环境 结构布局设施 每平方米单价房子 A 房子 B 房子 C 房子 A 房子 B 房子 C 房子 A 房子 B 房子 C
房子 A
房子 B
房子 C
1
3
4
1/3
1
2
1/4
1/2
1
1
4
6
1/4
1
3
1/6
1/3
1
1
3
1/4
1/3
1
1/7
4
7
1
表 16-16
同样，我们可以从表 16-16的两两比较矩阵求得房子 A,B,C三个方案在居住环境、结构布局设施、每平方米单价等方面的得分（权重），
即这三个方面的特征向量，如表 16-17所示。
居住环境 结构布局设施 每平方米单价房子 A
房子 B
房子 C
0.123
0.320
0.557
0.087
0.274
0.639
0.265
0.655
0.080
表 16-17
管 理 运 筹 学 36
§ 4 层次分析法另外，我们还必须取得每个标准在总目标满意的房子里的相对重要程度，即要取得每个标准相对的权重，即标准的特征向量。四个标准的两两比较矩阵如表 16-18所示。
标 准地理位置及交通 居住环境 结构布局设施 每平米单价地理位置及交通居住环境结构布局设施每平米单价
1
1/2
1/3
1/2
2
1
1/2
2
3
4
1
4
2
1/2
1/4
1
表 16-18
通过两两比较矩阵，我们同样可以求出标准的特征向量如下所示：
[0.398,0.218,0.085,0.299]。即地理位置及交通相对权重为 0.398，
居住环境相对权重为 0.218，结构布局设施相对权重为 0.085，每平米单价相对权重为 0.299。
管 理 运 筹 学 37
§ 4 层次分析法五、两两比较矩阵一致性检验我们仍以购买房子的例子为例说明检验一致性的方法，检验表 16-12
中由,地理位置及交通,这一标准来评估房子 A,B,C三个方案所得的两两比较矩阵。
检验一致性由五个步骤组成：
第一步：由被检验的两两比较矩阵乘以其特征向量，所得的向量称之为赋权和向量，在此例中即：
1 2 8 0,5 9 3 1 2 8
1 / 2 1 6 0,3 4 1 0,5 9 3 1 / 2 0,3 4 1 1 0,0 6 6 6
1 / 8 1 / 6 1 0,0 6 6 1 / 8 1 / 6 1
0,5 9 3 0,6 8 2 0,5 2 8 1,8 0
0,2 9 7 0,3 4 1 0,3 9 6
0,0 7 4 0,0 5 7 0,0 6 6
3
1,0 3 4
0,1 9 7
管 理 运 筹 学 38
§ 4 层次分析法
max?
第二步：每个赋权和向量的分量分别除以对应的特征向量的分量，
即第 i个赋权和向量的分量除以第 i个特征向量的分量，在本例中有：
1,8 0 3 1,0 3 4 0,1 9 73,0 4 0 3,0 3 2 2,9 8 5
0,5 9 3 0,3 4 1 0,0 6 6
第三步：计算出第二步结果中的平均值，记为,在本例中有：
m a x
3,0 4 0 3,0 3 2 2,9 8 5 3.019
3?
第四步：计算一致性指标 CI:
n为比较因素的数目，在本例中也就是买房子方案的数目，即为 3.在本例中，我们得到：
m a x
1
nCI
n
3.019 3 0.010
31CI
第五步：计算一致性率 CR:
CICR
RI?
管 理 运 筹 学 39
§ 4 层次分析法在上式中,RI是自由度指标，作为修正值，见表 16-19。
维数 (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
RI 0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
表 16-19
在本例中可算得,CR=0.01/0.58=0.017。
一般规定当 CR≤0.1 时，认为两两比较矩阵的一致性可以接受，否则就认为两两比较矩阵一致性太差，必须重新进行两两比较判断。在本例中，
CR=0.017≤0.1,所以,地理位置及交通,两两比较矩阵满足一致性要求，
其相应求得的特征向量为有效。
同样，我们可以通过计算,居住环境,,,结构布局和设施,,,每平米单价,以及四个标准的两两比较矩阵的一致性检验率 CI值，可知他们都小于等于 0.10，这些比较矩阵满足一致性要求，即相应的特征向量都有效。
管 理 运 筹 学 40
§ 4 层次分析法六、利用权数或特征向量求出各方案的优劣次序在上面我们已经求出了四个标准的特征向量，以及在四个单一标准下的三个购房方案的特征向量，如表 16-20所示。
四个标准的特征向量 单一标准下的三个购房方案的特征向量地理位置及交通 …0.398
居住环境 …0.218
结构布局设施 …0.085
每平米单价 …0.299
地理位置及交通居住环境结构布局设施每平米单价房子 A 0.593 0.123 0.087 0.265
房子 B 0.341 0.320 0.274 0.655
房子 C 0.066 0.557 0.639 0.080
表 16-20
各方案的总得分为：
房子 A方案,0.398*0.593+0.218*0.123+0.085*0.087+0.299*0.265=0.349
房子 B方案,0.398*0.341+0.218*0.320+0.085*0.274+0.299*0.655=0.425
房子 C方案,0.398*0.066+0.218*0.557+0.085*0.639+0.299*0.080=0.226
管 理 运 筹 学 41
§ 4 层次分析法通过比较可知房子 B的得分（权重）最高，房子 A的得分次之，而房子 C的得分最少，故应该购买房子 B，通过权衡知道这是最优方案。
第十六章 决策分析
§ 1 不确定情况下的决策
§ 2 风险型情况下的决策
§ 3 效用理论在决策中的应用
§ 4 层次分析法管 理 运 筹 学 2
第十六章 决策分析
“决策,一词来源于英语 Decision
making，直译为,做出决定,。所谓决策，就是为了实现预定的目标在若干可供选择的方案中，选出一个最佳行动方案的过程，它是一门帮助人们科学地 决策的理论。
管 理 运 筹 学 3
第十六章 决策分析决策的分类：
按决策问题的重要性分类
按决策问题出现的重复程度分类
按决策问题的定量分析和定性分析分类
按决策问题的自然状态发生分类：
确 定 型 决 策 问 题
在决策环境完全确定的条件下进行。
不 确 定 型 决 策 问 题
在决策环境不确定的条件下进行，决策者对各自然状态发生的概率一无所知。
风 险 型 决 策 问 题
在决策环境不确定的条件下进行，决策者对各自然状态发生的概率可以预先估计或计算出来。
管 理 运 筹 学 4
构成决策问题的 四个要素,
决策目标、行动方案、自然状态、效益值行动方案集,A = { s1,s2,…,sm }
自然状态集,N = { n1,n2,…,nk }
效益 (函数 )值,v =?( si,nj )
自然状态发生的概率 P=P(sj) j =1,2,…,m
决策模型的基本结构,(A,N,P,V)
基本结构 (A,N,P,V)常用 决策表、决策树等表示。
第十六章 决策分析管 理 运 筹 学 5
特征,1、自然状态已知； 2、各方案在不同自然状态下的收益值已知； 3、自然状态发生不确定。
例：某公司需要对某新产品生产批量作出决策，各种批量在不同的自然状态下的收益情况如下表（ 收益矩阵 ）：
§ 1 不确定情况下的决策
N1(需求量大 ) N2(需求量小 )
S1(大批量生产 ) 30 -6
S2(中批量生产 ) 20 -2
S3(小批量生产 ) 10 5
自然状态行动方案
、自然状态已知；,各方案在不同自然状态下的收益值已知；,自然状态发生不确定。
例：某公司需要对某新产品生产批量作出决策，各种批量在不同的自然状态下的收益情况如下表（ 收益矩阵 ）：
需求量大 需求量小大批量生产中批量生产小批量生产管 理 运 筹 学 6
一、最大最小准则（悲观准则）
决策者从最不利的角度去考虑问题：
先选出每个方案在不同自然状态下的最小收益值（最保险），
然后从这些最小收益值中取最大的，从而确定行动方案。
用?(Si,Nj)表示收益值自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
N
2
（需求量小）
M in [? ( S
i
,N
j
)]
1? j? 2
S
1
（大批量生产） 30 -6 -6
S
2
（中批量生产） 20 -2 -2
S
3
（小批量生产） 10 5 5( m ax)
§ 1 不确定情况下的决策管 理 运 筹 学 7
二、最大最大准则（乐观准则）
决策者从最有利的角度去考虑问题：
先选出每个方案在不同自然状态下的最大收益值（最乐观），
然后从这些最大收益值中取最大的，从而确定行动方案。
用?(Si,Nj)表示收益值自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
N
2
（需求量小）
M ax [? ( S
i
,N
j
)]
1? j? 2
S
1
（大批量生产） 30 -6 30( m ax)
S
2
（中批量生产） 20 -2 20
S
3
（小批量生产） 10 5 10
§ 1 不确定情况下的决策管 理 运 筹 学 8
三、等可能性准则 ( Laplace准则 )
决策者把各自然状态发生的机会看成是等可能的：
设每个自然状态发生的概率为 1/事件数,然后计算各行动方案的收益期望值。
用 E(Si )表示第 I方案的收益期望值自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
p = 1/ 2
N
2
（需求量小）
p = 1/ 2
收益期望值
E ( S
i
)
S
1
（大批量生产） 30 -6 12 ( m ax )
S
2
（中批量生产） 20 -2 9
S
3
（小批量生产） 10 5 7,5
§ 1 不确定情况下的决策管 理 运 筹 学 9
四、乐观系数 (折衷 )准则 (Hurwicz胡魏兹准则 )
决策者取乐观准则和悲观准则的折衷：
先确定一个乐观系数?（ 01），然后计算：
CVi =? max [?(Si,Nj)] +（ 1-?） min [?(Si,Nj)]
从这些折衷标准收益值 CVi中选取最大的，从而确定行动方案。 取? = 0.7
自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
N
2
（需求量小）
CV
i
S
1
（大批量生产） 30 -6 19,2( m ax)
S
2
（中批量生产） 20 -2 13,4
S
3
（小批量生产） 10 5 8,5
§ 1 不确定情况下的决策管 理 运 筹 学 10
五、后悔值准则（ Savage 沙万奇准则）
决策者从后悔的角度去考虑问题：
把在不同自然状态下的最大收益值作为理想目标，把各方案的收益值与这个最大收益值的差称为未达到理想目标的后悔值，然后从各方案最大后悔值中取最小者，从而确定行动方案。
用 aij’表示后悔值，构造后悔值矩阵：
自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
N
2
（需求量小）
M ax a
ij
'
1? j? 2
S
1
（大批量生产） 0 ( 30,理想值 ) 11 [ 5- ( - 6) ] 11
S
2
（中批量生产） 10 ( 30- 20 ) 7 [ 5- ( - 2) ] 10 ( m i n)
S
3
（小批量生产） 20 ( 30- 10) 0 ( 5,理想值 ) 20
§ 1 不确定情况下的决策管 理 运 筹 学 11
特征,1、自然状态已知； 2、各方案在不同自然状态下的收益值已知； 3、自然状态发生的概率分布已知。
一、最大可能准则在一次或极少数几次的决策中，取概率最大的自然状态，按照确定型问题进行讨论。
自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
p( N
1
) = 0,3
N
2
（需求量小）
p( N
2
) = 0,7
概率最大的自然状态 N
2
S
1
（大批量生产） 30 -6 -6
S
2
（中批量生产） 20 -2 -2
S
3
（小批量生产） 10 5 5 ( m ax)
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 12
二、期望值准则
根据各自然状态发生的概率，求不同方案的期望收益值，取其中最大者为选择的方案。
E(Si) =? P(Nj)(Si,Nj)
自然状 态行动方案
N
1
（需求量大）
p( N
1
) = 0,3
N
2
（需求量小）
p( N
2
) = 0,7
E( S
i
)
S
1
（大批量生产） 30 -6 4,8
S
2
（中批量生产） 20 -2 4,6
S
3
（小批量生产） 10 5 6,5 (m ax)
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 13
三、决策树法具体步骤：
(1) 从左向右绘制决策树；
(2) 从右向左计算各方案的期望值，并将结果标在相应方案节点的上方；
(3) 选收益期望值最大 (损失期望值最小 )的方案为最优方案，并在其它方案分支上打 ∥ 记号。
主要符号决策点 方案节点 结果节点
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 14
前例 根据下图说明 S3是最优方案，收益期望值为 6.5。
决策
S1
S2
S3
大批量生产中批量生产小批量生产
N1( 需求量大 )； P(N1) = 0.3
N1( 需求量大 )； P(N1) = 0.3
N1( 需求量大 )； P(N1) = 0.3
N2( 需求量小 )； P(N2) = 0.7
N2( 需求量小 )； P(N2) = 0.7
N2( 需求量小 )； P(N2) = 0.7
30
-6
20
10
-2
5
4.8
4.6
6.5
6.5
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 15
四、灵敏度分析研究分析决策所用的数据在什么范围内变化时,原最优决策方案仍然有效,
前例 取 P(N1) = p,P(N2) = 1- p,那么
E(S1) = p?30 + (1-p)?(-6) = 36p - 6 p=0.35为转折概率
E(S2) = p?20 + (1-p)?(-2) = 22p - 2 实际的概率值距转
E(S3) = p?10 + (1-p)?(+5) = 5p + 5 折概率越远越稳定
E(S1)
E(S2)
E(S3)
0 10.35 p
取 S3 取 S1
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 16
§ 2 风险型情况下的决策在实际工作中，如果状态概率、收益值在其可能发生的变化的范围内变化时，最优方案保持不变，
则这个方案是比较稳定的。反之如果参数稍有变化时，最优方案就有变化，则这个方案就不稳定的，
需要我们作进一步的分析。就自然状态 N1的概率而言，当其概率值越远离转折概率，则其相应的最优方案就越稳定；反之，就越不稳定。
管 理 运 筹 学 17
五、全情报的价值（ EVPI）
全情报：关于自然状况的确切消息。
在前例，当我们不掌握全情报时得到 S3 是最优方案，数学期望最大值为 0.3*10 + 0.7*5 = 6.5万 记为 EVW0PI。
若得到全情报：当知道自然状态为 N1时，决策者必采取方案 S1，
可获得收益 30万，概率 0.3；当知道自然状态为 N2时，决策者必采取方案 S3，可获得收益 5万,概率 0.7。于是，全情报的期望收益为
EVWPI = 0.3*30 + 0.7*5 = 12.5万那么,EVPI = EVWPI - EVW0PI = 12.5 - 6.5 = 6万即这个全情报价值为 6万。当获得这个全情报需要的成本小于 6
万时，决策者应该对取得全情报投资，否则不应投资。
注：一般“全”情报仍然存在可靠性问题。
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 18
六、具有样本情报的决策分析（贝叶斯决策）
先验概率：由过去经验或专家估计的将发生事件的概率；
后验概率：利用样本情报对先验概率修正后得到的概率；
在贝叶斯决策法中，可以根据样本情报来修正先验概率，得到后验概率。如此用决策树方法，可得到更高期望值的决策方案。
在自然状态为 Nj的条件下咨询结果为 Ik的条件概率，可用全概率公式计算再用贝叶斯公式计算条件概率的定义,乘法公式
).(,2,1)()()(
1
kNPNIPIP m
j
jjkk
.2,1,,2,1)( )()( kmjIP INPINP
k
kj
kj?
)(
)()(
AP
ABPABP? )()()( ABPAPABP?
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 19
例 3、（在例 2基础上得来）
某公司现有三种备选行动方案。 S1：
大批量生产； S2,中批量生产； S3,
小批量生产。未来市场对这种产品需求情况有两种可能发生的自然状态。 N1,
需求量大； N2：需求量小，且 N1的发生概率即 P(N1)=0.3； N2的发生概率即
P(N2)=0.7 。经估计，采用某一行动方案而实际发生某一自然状态时，公司的收益下表所示,
§ 2 风险型情况下的决策
N1 N2
S1 30 -6
S2 20 -2
S3 10 5
现在该公司欲委托一个咨询公司作市场调查。咨询公司调查的结果也有两种,I1,需求量大； I2：需求量小。并且根据该咨询公司积累的资料统计得知，
当市场需求量已知时，咨询公司调查结论的条件概率如下表所示：
自然状态条件概率调 查 结论
N1 N2
I1 P(I1 /N1)=0.8 P(I1 /N2)=0.1
I2 P(I2 /N1)=0.2 P(I2 /N2)=0.9
我们该如何用样本情报进行决策呢?
如果样本情报要价 3万元，决策是否要使用这样的情报呢？
管 理 运 筹 学 20
图 16-3
当用决策树求解该问题时，首先将该问题的决策树绘制出来，如图 16-3。
为了利用决策树求解，由决策树可知，我们需要知道咨询公司调查结论的概率和在咨询公司调查结论已知时,作为自然状态的市场需求量的条件概率。
§ 2 风险型情况下的决策
1
4
5
6
7
8
9
2
3
△ 3 0
△ - 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
△ 3 0
△ 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 1 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 1 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 1 )
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 1 )
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 1 )
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 2 )
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 2 )
N 2,市场 需求 小 ； P ( N 2 / I 2 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 1 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 2 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 2 )
N 1,市场 需求 大 ； P ( N 1 / I 2 )
S 1,大 批量
S 2,中 批量
S 3,小 批量
S 1,大 批量
S 2,中 批量
S 3,小 批量
I 1 ( 调查 结论 需求 大 )
I 2 ( 调查 结论 需求 小 )
P ( I 1 )
P ( I 2 )
管 理 运 筹 学 21
首先，由全概率公式求得联合概率表：
§ 2 风险型情况下的决策联合概率 N1 N2 由全概率求得
I1 0.24 0.07 P(I1) =0.31
I2 0.06 0.63 P(I2) = 0.69
然后，由条件概率公式 P(N/I)=P(NI)/P(I)求得在调查结论已知时的条件概率表：
条件概率
P(N /I )
N1 N2
I1 0.7742 0.2258
I2 0.0870 0.9130
最后，在决策树上计算各个节点的期望值，结果如图 16-4，结论为：当调查结论表明需求量大时，采用大批量生产；当调查结论表明需求量小时，
采用小批量生产。
管 理 运 筹 学 22
1
4
5
6
7
8
9
2
3
△ 3 0
△ - 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
△ 3 0
△ 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
N 2 ； P ( N 2 / I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 1 ； P ( N 1 / I 1 ) = 0,7 7 4 2
N ； P ( N 1 / I 1 ) = 0,7 7 4 2
N 2 ； P ( N 2 / I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 2 ； P ( N 2 / I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 2 ； P ( N 2 / I 2 ) = 0,9 1 3
N 2 ； P ( N 2 / I 2 ) = 0,9 1 3
N 2 ； P ( N 2 / I 2 ) = 0,9 1 3
N 1 ； P ( N 1 / I 1 ) = 0,7 7 4 2
N 1 ； P ( N 1 / I 2 ) = 0,0 8 7
N 1 ； P ( N 1 / I 2 ) = 0,0 8 7
N 1 ； P ( N 1 / I 2 ) = 0,0 8 7
S 1,2 1,8 7 1 2
S 2,1 5,0 3 2 4
S 3,8,8 7 1
S 1,- 2,8 6 8
S 2,- 0,0 8 6
S 3,5,4 3 5
I 1 ; P ( I 1 ) = 0,3 1
( 调查 结论 需求 大 )
I 2 ; P ( I 2 ) = 0,6 9
小 )
10.5302
21.8712
5.435
图 16-4
§ 2 风险型情况下的决策管 理 运 筹 学 23
§ 2 风险型情况下的决策由决策树上的计算可知，公司的期望收益可达到 10.5302万元，比不进行市场调查的公司收益 6.5万元要高，其差额就是样本情报的价值，记为 EVSI。
EVSI=10.5302-6.5=4.0302(万元 )
所以当咨询公司市场调查的要价低于 4.0302万元时，公司可考虑委托其进行市场调查，否则就不进行市场调查。在这里，因为公司要价 3万元，所以应该委托其进行市场调查。
进一步，我们可以利用样本情报的价值与前面的全情报的价值 (EVPI)的比值来定义样本情报的效率，作为样本情报的度量标准。
样本情报效率 =EVSI/EVPI*100%
上例中，样本情报价值的效率为 4.0302/6*100%=67.17%，也就是说，这个样本情报相当于全情报效果的 67.17%。
多级（两级）决策树问题如将前面两个决策树进行合并，可以得到一个两级决策问题：首先决策是否要进行市场调查；然后根据调查结果如何安排生产。决策树的求解结果如图 16-5。
管 理 运 筹 学 24
7.53
6.5
10.53-3
4
5
6
2
△ 3 0
△ - 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
N 2 ； P(N 2 /I 1 ) = 0,7
N 1 ； P(N 1 /I 1 ) = 0,3
N ； P(N 1 /I 1 ) ) = 0,3
N 2 ； P(N 2 /I 1 ) = 0,7
N ； P(N 2 /I 1 ) = 0,7
N ； P(N 1 /I 1 ) ) = 0,3
S 1,大批量
S 2,中批量
S 3,小批量
S4:不搞市场调查
S5:搞市场调查
3
9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
7
8
△ 3 0
△ - 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
△ 3 0
△ 6
△ 2 0
△ - 2
△ 1 0
△ 5
N 2 ； P(N 2 /I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 1 ； P(N 1 /I 1 ) = 0,7 7 4 2
N ； P(N 1 /I 1 ) = 0,7 7 4 2
N 2 ； P(N 2 /I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 2 ； P(N 2 /I 1 ) = 0,2 2 5 8
N 2 ； P(N 2 /I 2 ) = 0,9 1 3
N 2 ； P(N 2 /I 2 ) = 0,9 1 3
N 2 ； P(N 2 /I 2 ) = 0,9 1 3
N 1 ； P(N 1 / I 1 ) = 0,7 7 4 2
N 1 ； P(N 1 /I 2 ) = 0,0 8 7
N 1 ； P(N 1 /I 2 ) = 0,0 8 7
N 1 ； P(N 1 /I 2 ) = 0,0 8 7
S 1,2 1,8 7 1 2
S 2,1 5,0 3 2 4
S 3,8,8 7 1
S 1,- 2,8 6 8
S 2,- 0,0 8 6
S 3,5,4 3 5
I 1 ; P ( I 1 ) = 0,31
( 调查结论需求大 )
I 2 ; P ( I 2 ) = 0,6 9
小 )
1
图 16-5
管 理 运 筹 学 25
效用,衡量决策方案的总体指标，反映决策者对决策问题各种因素的总体看法。
使用效用值进行决策,首先把要考虑的因素折合成效用值，然后用决策准则下选出效用值最大的方案，作为最优方案。
例 3：求下表显示问题的最优方案（万元）,
某公司是一个小型的进出口公司，目前他面临着两笔进口生意，项目
A和 B，这两笔生意都需要现金支付。鉴于公司目前财务状况，公司至多做
A,B中的一笔生意，根据以往的经验，各自然状态商品需求量大、中、小的发生概率以及在各自然状况下做项目 A或项目 B以及不作任何项目的收益如下表：
自然状 态行动方案
N 1
（需求量大）
p( N 1 ) = 0,3
N 2
（需求量中）
p( N 2 ) = 0,5
N 3
（需求量小）
p( N 3 ) = 0,2
S 1 （作项目 A ） 60 40 -100
S 2 （作项目 B ） 100 -40 -60
S 3 （不作项目） 0 0 0
§ 3 效用理论在决策中的应用管 理 运 筹 学 26
用收益期望值法：
E(S1) = 0.3?60 + 0.5?40 + 0.2?(-100) = 18万
E(S2) = 0.3?100 + 0.5?（ -40） + 0.2?(-60) = -2万
E(S3) = 0.3?0 + 0.5?0 + 0.2?0 = 0万得到 S1 是最优方案，最高期望收益 18万。
一种考虑：
由于财务情况不佳，公司无法承受 S1中亏损 100万的风险，也无法承受 S2中亏损 50万以上的风险，结果公司选择 S3，即不作任何项目。
用效用函数解释：
把上表中的最大收益值 100万元的效用定为 10，即 U(100) = 10；最小收益值 -100万元的效用定为 0，即 U(-100) = 0。
对收益 60万元确定其效用值：设经理认为使下两项等价的 p=0.95
(1)得到确定的收益 60万；
(2)以 p 的概率得到 100万，以 1- p 的概率损失 100万。
计算得,U（ 60） = p*U(100)+(1-p)*U(-100) = 0.95*10+0.05*0=9.5。
§ 3 效用理论在决策中的应用管 理 运 筹 学 27
类似地，设收益值为 40,0,- 40,- 60。相应等价的概率分别为 0.90,0.75、
0.55,0.40，可得到各效用值：
U(40) = 9.0； U(0) = 7.5； U(-40) = 5.5； U(-60) = 4.0
我们用效用值计算最大期望，如下表：
一般，若收益期望值能合理地反映决策者的看法和偏好，可以用收益期望值进行决策。否则，需要进行效用分析。
收益期望值决策是效用期望值决策的一种特殊情况。说明如下：
自然状态行动方案
N 1
（需求量大）
p ( N 1 ) = 0.3
N 2
（需求量中）
p ( N 2 ) = 0,5
N 3
（需求量小）
p ( N 3 ) = 0,2
E [U (S I )]
S 1 （作项目 A ） 9,5 9,0 0 7,35
S 2 （作项目 B ） 10 5,5 4,0 6,55
S 3 （不作项目） 7,5 7,5 7,5 7,5( m ax )
§ 3 效用理论在决策中的应用管 理 运 筹 学 28
§ 3 效用理论在决策中的应用以收益值作横轴，以效用值作纵轴，用 A,B两点作一直线，其中 A点的坐标为 (最大收益值,10),B点的坐标为 (最小收益值,0)，如果某问题的所有的收益值与其对应的效用值组成的点都在此直线上，那么用这样的效用值进行期望值决策是和用收益值进行期望值决策的结果完全一样。以上面的例子作图如下：
-100 1002020 6060
2
6
10
B
A
收益值效用值直线方程为,y=5/100*x+5,于是求得,U(-60)=2,U(-40)=3,U(0)=5,
U(40)=7,U(60)=8,用这样的效用值，进行期望值决策，见表 16-10。
管 理 运 筹 学 29
§ 3 效用理论在决策中的应用自然状态行动方案需求量大
N1(P=0.3)
需求量大
N2(P=0.5)
需求量大
N3 (P=0.2)
E[U(Si)]
做项目 A
S1
8 7 0 5.9←max
做项目 B
S2
10 3 2 4.9
不做任何项目
S3
5 5 5 5
表 16-10 单位：万元回顾一下，当我们对收益值进行期望值决策时，知,E(S1)=18,
E(S2)=-2,E(S3)=0,E[U(S1)]=5.9,E[U(S2)]=4.9,E[U(S3)]=5,实际上后面的值也是由直线方程 E[U(Si)]=5/100* [E(Si)]+5决定的，即有：
E[U(S1)]=5/100* [E(S1)]+5=5.9 ； E[U(S2)]=5/100* [E(S2)]+5=4.9
E[U(S3)]=5/100* [E(S3)]+5=5，所以用这两种方法决策是同解的。
管 理 运 筹 学 30
§ 4 层次分析法层次分析法是由美国运筹学家 T.L.沙旦于 20世纪 70年代提出的，
是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
一、问题的提出例：一位顾客决定要购买一套新住宅，经过初步调查研究确定了三套候选的房子 A,B,C，问题是如何在这三套房子里选择一套较为满意的房子呢？
为简化问题，我们将评判房子满意程度的 10个标准归纳为 4个：
1、住房的地理位置
2、住房的交通情况
3、住房的附近的商业、卫生、教育情况
4、住房小区的绿化、清洁、安静等自然环境
5、建筑结构
6、建筑材料
7、房子布局
8、房子设备
9、房子面积
10、房子每平方米建筑面积的价格
1、房子的地理位置与交通
2、房子的居住环境
3、房子的布局、结构与设施
4、房子的每平方米建筑面积的单价管 理 运 筹 学 31
§ 4 层次分析法二、层次结构图该问题的层次结构图如图 16-7所示：
满意的房子每平方米单价结构
、
布局
、
设施居住环境地理位置及交通购买房子 A 购买房子 B 购买房子 C
目 标 层标 准 层决策方案层图 16-7
管 理 运 筹 学 32
§ 4 层次分析法三、标度及两两比较矩阵相对重要性标度：各个标准或在某一标准下各方案两两比较求得的相对权重，如表 16-11所示。
标度 aij 定义
1 i因素与 j因素相同重要
3 i因素比 j因素略重要
5 i因素比 j因素较重要
7 i因素比 j因素非常重要
9 i因素比 j因素绝对重要
2,4,6,8 为以上两判断之间中间状态对应的标度值倒数 若 j因素与 i因素比较，得到的判断值为 aji=1/aij
表 16-11
管 理 运 筹 学 33
§ 4 层次分析法由标度 aij为元素构成的矩阵称为两两比较矩阵。如我们用单一标准
,房子的地理位置及交通状况,来评估三个方案，从两两比较的方法得出两两比较矩阵，如表 16-12所示。
房子的地理位置及交通房子 A 房子 B 房子 C
房子 A
房子 B
房子 C
1
1/2
1/8
2
1
1/6
8
6
1
表 16-12
四、求各因素权重的过程求各因素权重的方法有规范列平均法、方根法、幂乘法等，这里以选择房子的决策为例介绍规范列平均法。
第一步,先求出两两比较矩阵的每一元素每一列的总和，如表 16-13
所示。
管 理 运 筹 学 34
§ 4 层次分析法第二步,把两两比较矩阵的每一元素除以其相对应列的总和，所得商称为标准两两比较矩阵，如表 16-14所示。
第三步，计算标准两两比较矩阵的每一行的平均值，这些平均值就是各方案在地理位置及交通方面的权重，如表 16-15所示。
地理位置及交通状况房子 A 房子 B 房子 C
房子 A
房子 B
房子 C
1
1/2
1/8
2
1
1/6
8
6
1
列总和 13/8 19/6 15
地理位置及交通状况房子 A 房子 B 房子 C
房子 A
房子 B
房子 C
8/13
4/13
1/13
12/19
6/19
1/19
8/15
6/15
1/15
地理位置及交通状况房子 A 房子 B 房子 C 行平均值房子 A
房子 B
房子 C
0.615
0.308
0.077
0.631
0.316
0.053
0.533
0.400
0.067
0.593
0.341
0.066
表 16-15
表 16-13
表 16-14
我们称 [0.593,0.341,0.066]
为房子选择问题中地理位置及交通方面的特征向量。
管 理 运 筹 学 35
§ 4 层次分析法同样，我们可以求得在居住环境、房子结构布局和设施、房子每平方米单价方面的两两比较矩阵如表 16-16所示。
居住环境 结构布局设施 每平方米单价房子 A 房子 B 房子 C 房子 A 房子 B 房子 C 房子 A 房子 B 房子 C
房子 A
房子 B
房子 C
1
3
4
1/3
1
2
1/4
1/2
1
1
4
6
1/4
1
3
1/6
1/3
1
1
3
1/4
1/3
1
1/7
4
7
1
表 16-16
同样，我们可以从表 16-16的两两比较矩阵求得房子 A,B,C三个方案在居住环境、结构布局设施、每平方米单价等方面的得分（权重），
即这三个方面的特征向量，如表 16-17所示。
居住环境 结构布局设施 每平方米单价房子 A
房子 B
房子 C
0.123
0.320
0.557
0.087
0.274
0.639
0.265
0.655
0.080
表 16-17
管 理 运 筹 学 36
§ 4 层次分析法另外，我们还必须取得每个标准在总目标满意的房子里的相对重要程度，即要取得每个标准相对的权重，即标准的特征向量。四个标准的两两比较矩阵如表 16-18所示。
标 准地理位置及交通 居住环境 结构布局设施 每平米单价地理位置及交通居住环境结构布局设施每平米单价
1
1/2
1/3
1/2
2
1
1/2
2
3
4
1
4
2
1/2
1/4
1
表 16-18
通过两两比较矩阵，我们同样可以求出标准的特征向量如下所示：
[0.398,0.218,0.085,0.299]。即地理位置及交通相对权重为 0.398，
居住环境相对权重为 0.218，结构布局设施相对权重为 0.085，每平米单价相对权重为 0.299。
管 理 运 筹 学 37
§ 4 层次分析法五、两两比较矩阵一致性检验我们仍以购买房子的例子为例说明检验一致性的方法，检验表 16-12
中由,地理位置及交通,这一标准来评估房子 A,B,C三个方案所得的两两比较矩阵。
检验一致性由五个步骤组成：
第一步：由被检验的两两比较矩阵乘以其特征向量，所得的向量称之为赋权和向量，在此例中即：
1 2 8 0,5 9 3 1 2 8
1 / 2 1 6 0,3 4 1 0,5 9 3 1 / 2 0,3 4 1 1 0,0 6 6 6
1 / 8 1 / 6 1 0,0 6 6 1 / 8 1 / 6 1
0,5 9 3 0,6 8 2 0,5 2 8 1,8 0
0,2 9 7 0,3 4 1 0,3 9 6
0,0 7 4 0,0 5 7 0,0 6 6
3
1,0 3 4
0,1 9 7
管 理 运 筹 学 38
§ 4 层次分析法
max?
第二步：每个赋权和向量的分量分别除以对应的特征向量的分量，
即第 i个赋权和向量的分量除以第 i个特征向量的分量，在本例中有：
1,8 0 3 1,0 3 4 0,1 9 73,0 4 0 3,0 3 2 2,9 8 5
0,5 9 3 0,3 4 1 0,0 6 6
第三步：计算出第二步结果中的平均值，记为,在本例中有：
m a x
3,0 4 0 3,0 3 2 2,9 8 5 3.019
3?
第四步：计算一致性指标 CI:
n为比较因素的数目，在本例中也就是买房子方案的数目，即为 3.在本例中，我们得到：
m a x
1
nCI
n
3.019 3 0.010
31CI
第五步：计算一致性率 CR:
CICR
RI?
管 理 运 筹 学 39
§ 4 层次分析法在上式中,RI是自由度指标，作为修正值，见表 16-19。
维数 (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
RI 0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
表 16-19
在本例中可算得,CR=0.01/0.58=0.017。
一般规定当 CR≤0.1 时，认为两两比较矩阵的一致性可以接受，否则就认为两两比较矩阵一致性太差，必须重新进行两两比较判断。在本例中，
CR=0.017≤0.1,所以,地理位置及交通,两两比较矩阵满足一致性要求，
其相应求得的特征向量为有效。
同样，我们可以通过计算,居住环境,,,结构布局和设施,,,每平米单价,以及四个标准的两两比较矩阵的一致性检验率 CI值，可知他们都小于等于 0.10，这些比较矩阵满足一致性要求，即相应的特征向量都有效。
管 理 运 筹 学 40
§ 4 层次分析法六、利用权数或特征向量求出各方案的优劣次序在上面我们已经求出了四个标准的特征向量，以及在四个单一标准下的三个购房方案的特征向量，如表 16-20所示。
四个标准的特征向量 单一标准下的三个购房方案的特征向量地理位置及交通 …0.398
居住环境 …0.218
结构布局设施 …0.085
每平米单价 …0.299
地理位置及交通居住环境结构布局设施每平米单价房子 A 0.593 0.123 0.087 0.265
房子 B 0.341 0.320 0.274 0.655
房子 C 0.066 0.557 0.639 0.080
表 16-20
各方案的总得分为：
房子 A方案,0.398*0.593+0.218*0.123+0.085*0.087+0.299*0.265=0.349
房子 B方案,0.398*0.341+0.218*0.320+0.085*0.274+0.299*0.655=0.425
房子 C方案,0.398*0.066+0.218*0.557+0.085*0.639+0.299*0.080=0.226
管 理 运 筹 学 41
§ 4 层次分析法通过比较可知房子 B的得分（权重）最高，房子 A的得分次之，而房子 C的得分最少，故应该购买房子 B，通过权衡知道这是最优方案。
