1
第六节 函数的微分
习题 2-6
1,已知
3
yx x=?,计算在 2x = 处当 xΔ 分别等于 1,0,1,0,01 时的 yΔ 及 dy,
解
33223
()() 3 3()()yx x x xxxxxxx x xΔ= +Δ? +Δ= Δ+ Δ +Δ?Δ,
2
d3yxxx=Δ?Δ,
2,1 2,1
18,d 11
xx xx
yy
=Δ= =Δ=
Δ=,
2,0.1 2,0.1
1.161,d 1.1
xx xx
yy
=Δ= =Δ=
Δ=,
2,0.01 2,0.01
0.110601,d 0.11
xx xx=Δ= =Δ=
Δ= =,
2,设函数 ()yfx= 的图形如下图所示,试在下面的图 (a),(b),(c),(d)中分别标出在点
0
x 处的 d,yyΔ 及 dyyΔ?,并说明其正负,
图 2.1 (a) 图 2.1 (b)
图 2.1 (c) 图 2.1 (d)
O
y
0
x
0
x x+Δ
()yfx=
x
y
x
0
x
0
x x+Δ
()yfx=
O
()yfx=
y
x
0
x
0
x x+Δ
O
()yfx=
0
x
0
x x+Δ O x
y
2
解 (a) 如下图所示,d 0,0,d 0yyyy>Δ>Δ?>,
图 2.2 (a)
(b) 如下图所示,d 0,0,d 0yyyy>Δ>Δ?<,
图 2.2 (b)
(c) 如下图所示,d 0,0,d 0yyyy<Δ<Δ?<,
图 2.2 (c)
(d) 如图所示,d 0,0,d 0yyyy<Δ<Δ?>,
图 2.2 (d)
y
x
0
x
0
x x+Δ
()yfx=
O
dy
dyyΔ?
yΔ
dy
y
x
0
x
0
x x+Δ
()yfx=
O
dyy?Δ
yΔ
y
x
0
x
0
x x+Δ
()yfx=
O
dyy?Δ
dy?
y?Δ
()yfx=
y?Δ
0
x
0
x x+ΔO
x
y
dyyΔ?
dy?
3
3,求下列函数的微分,
(1)
2
1
x
y
x
=
+; (2) e cos(3 )
x
yx
=? ;
(3)
1
arctan
1
x
y
x
+
=; (4) sin( ) (,,)sA t Aω?ω?= + 是常数,
解 (1)
22
d1
dd()
11
x
yx
xx
=+
++
22323
d12 1
dd
2
1(1) (1)
xx
x xx
x
=? =
++ +
,
(2) d [ e cos(3 ) e sin(3 )]d e [sin(3 ) cos(3 )]d
xx x
yxx xx

= +? =,
(3)
22
2
111 1
dd
1
(1 ) 1
1( )
1
xx
x
x
++
==
+
+
,
(4) d cos( )ds Attω ω?=+,
4,求下列函数在指定点的微分,
(1)
2
ln
,1
x
yx
x
==; (2)
2
1sin π
,
sin 2 6
x
yx
x
+
= =,
解 (1)
33 1
12ln
d( )d,d d
x
x
yxyx
xx
=
=? =,
(2)
2
π
2
π
6
6
2sin cos sin 2 2(1 sin )cos2
dd
sin 2
x
x
xx x x x
x
=
=
+
=
22
2
π
6
sin 2 2(1 sin ) 2 2
dd
3sin 2
x
xxcosx
x x
x
=
+
==?,
5,求方程
1
sin( ) ln 1
x
xy
y
+
=所确定的隐函数 y 在点 0x = 处的微分 dy,
解 0x = 时,ey =,方程两边求微分,有
2
d(1)d
cos( )( d d ) 0
1
yyx x y
xy xy yx
x y
+
+?=
+
,
将 0x =,ey = 代入上式得
0
de(1e)d
x
yx
=
=?,
6,利用一阶微分的形式不变性,求下列函数的微分,
(1) ln(cos )yx= ; (2)
1
(arctan )yf
x
=,其中 ()f x 可导,
4
解 (1)
11
dd(cos)(sin)d
cos cos
yx x
xx
==?
1tan
tan d d
22
x
x xx=? =?,
(2)
2
11 111
d (arctan )d(arctan ) (arctan ) d( )
1
1()
yf f
x xxx
x
′′==
+
22
2
11 1 1 1
(arctan ) ( )d (arctan )d
1
1
1()
f xf x
xx
x
=?=?
+
+
,
7,将适当的函数填入下列括号内,使等式成立,
(1) d( )
2
ed
x
x
= ; (2) d( )
2
sec 3 dx x=,
解 (1)
2
1
d( e )
2
x
C
+
2
ed
x
x
=,
(2)
1
d( tan3 )
3
x C+
2
sec 3 dx x=,
8,求下列导数,
(1)
642
2
d( )
d( )
x xx
x
+; (2)
dsin
dcos
x
x
,
解 (1)
642 642 5 3
42
22
d( ) d( ) 1 6 4 2
321
d2d( ) d( )
d
xxx xxx x x x
xx
xx
x
+?+? +
===?+,
(2)
dsin dsin 1 cos
cot
dcos
dcos d sin
d
xx x
x
x
xx x
x
===?
,
9,证明当 x 很小时,下列近似式成立,
(1) 11
n
x
x
n
+≈+; (2) ln(1 )x x+ ≈,
证 若 ()yfx= 在 0x = 处的导数 (0) 0f ′ ≠,则当 x 很小时,
( ) (0) d (0) (0)yfx f yf xf x′ ′Δ=? ≈ = Δ=,
从而
() (0) (0)f xf f x′≈ +,
(1) 取 () 1
n
f xx=+,当 x 很小时,由式子 () (0) (0)f xf f x′≈ + 可知,
5
11
n
x
x
n
+ ≈+,
(2) 取 () ln(1 )f xx=+,当 x 很小时,由式子 () (0) (0)f xf f x′≈ + 知,
ln(1 )x x+ ≈,
10,设圆扇形的圆心角 60α =
D
,半径 100cmR =,如果 R 不变,α 减少 30′,问扇形面积大约改变了多少? 又如果 α 不变,R 增加 1cm,问扇形面积大约改变了多少?
解 扇形面积公式为
2
π
360
SR
α
=,如果 R 不变,则
2
π
dd
360
R
S α=,所以 60α =,
100cmR =,
30 1
d
60 2
α = = 时,相应的
22
1
d π100 43.63cm
720
S =≈,
如果 α 不变,则
2π
dd
360
R
SR
α
=,所以 60α =,100cmR =,d 1R = 时,相应的
2
100π
d104.72cm
3
S =≈,
11,计算下列函数值的近似值,
(1) tan136
D; (2) 1.05,
解 (1)
2
π
tan136 tan(135 1 ) tan135 sec 135 1 0.96509
180
=+≈+≈?
DDD D D
,
(2)
1
1.05 1 0.05 1 0.05 1.025
21
=+ ≈+ =,
12,计算球形体积时,要求精确度在 2% 以内,问这时测量直径 D 的相对误差不能超过多少?
解 球体积公式为
3
1
π
6
VD=,所以
2
1
d π d
2
VDD=,
dd
3
VD
VD
=,
从而
d
2%
V
V
= 时,
d2
%
3
D
D
=,
13,某厂生产如图 2.4 所示的扇形板,半径
200mmR =,要求中心角 α 为 55
D
,产品检验时,一般用测量弦长 l 的方法来间接测量中心角 α,如果测量弦长 l 时的误差 0.1mm
l
δ =,问由此而引起的中心角测量误差
a
δ 是多少?
l
α
R
图 2.4
6
解 中心角 α 与弦长 l 之间的关系为,sin
22
l
R
α
=,方程两边求微分,得
1d
cos d
22 2
l
R
α
α =,即
d
d
cos
2
l
R
α
α
=,
将
55
200,π,d 0.1
180
l
Rlαδ==?==代入,得 d 0.00056(rad)
α
δα=≈,