1
第二章总习题
1,填空题
(1) 已知 (3) 2f ′ =,则
0
(3 ) (3)
lim
2
x
fxf
x
→

= 1?,
(2) 设 () lnf xx=,则 (1) 1f ′ =,[ (1)]f ′= 0,
(3) 设
2
() ln( 1 )f xx x=++,则
3x
y
=
′′′ =
5
32
,
(4) ( )f x 在
0
x 处可导是 ()f x 在
0
x 处连续的 充分 条件,是 ()f x 在
0
x 处可
微的 充要 条件,
(5) 设方程
y
x y= 确定 y 是 x的函数,则 dy =
d
(1 ln )
x
xy+
,
(6) 曲线
2
sinyx x=+ 在点
ππ
(,1 )
22
+ 处的切线方程是 1yx= +,
(7) 曲线
esin2,
ecos
t
t
x t
yt
=
=?
在点 (0,1) 处的法线方程为 210xy+?=,
(8) 设
2
23,0,
()
,0,
xx x
fx
ax b x
++ ≤?
=
+>
在定义域内处处可微,则 a = 2,b = 3,
解 (1)
00
(3 ) (3) 1 (3 ) (3) 1
lim lim (3) 1
22 2
xx
fxf fxf
f
xx
→→

′=?=?=?
,
(2)
1
1
1
(1) ( ) 1
x
x
ff
x
=
=
′′= ==,[ (1)] 0f ′=,
(3)
1
2
2
222
121
() (1 ) (1 )
121 1
x
fx x
xx x x
′ =+==+
++ + +
,
33
22
1
( ) (1 ) 2 (1 )
2
fx x x x x

′′ =? + =? +,
2
35 3 5
22 222
3
()(1) (1)2 (1)3(1)
2
fx x x x x x x x

′′′ =? + + + =? + + +,
35
222
3
3
5
( ) (1 ) 3 (1 )
32
x
x
fx x x x

=
=
′′′ =? + + + =,
(4) 根据有关概念可知,
(5) 对方程
ln
e
yyy
xy== 两边求微分,得
ln
d
d e (ln 1)d (ln 1)d,d
(1 ln )
yy
x
xyyxyyy
x y
=+=+=
+
,
(6) π
2
12sincos 1sin2,1.
x
yxxxy
=
′′=+ =+ = 故而曲线
2
sinyx x=+ 在点
ππ
(,1 )
22
+ 处的切线方程是
ππ
1
22
yx =?,即 1yx= +,
(7) 点 (0,1) 对应的参数为 0t =,
0
0
decosesin1
d2esin2 2ecos2
tt
x
t
yt
x tt
=
=
= =
+
,曲线
esin2,
ecos2
t
t
x t
yt
=
=?
在点 (0,1) 处的法线方程为
12yx?=?,即 210xy+?=,
(8) 由 ()f x 在 0x = 处可微,可知
(0 0) (0) 3fbf+ == =,
2
00
() (0) 2
(0) lim lim 2
xx
fx f x x
f
xx

→→
+
===,
00
() (0) 3 3
(0) lim lim
xx
fx f ax
f a
xx
++
+
→→
+?
===,
(0) (0) 2faf
+?
= ==,
2,单项选择题
(1) 函数 ()f x 在
0
x x= 的左导数与右导数存在且相等,是 ()f x 在
0
x x= 处连续
的 (B),
(A) 必要非充分条件 ; (B) 充分非必要条件 ;
3
(C) 充分必要条件 ; (D) 既非充分条件,又非必要条件,
(2) 设 ()f x 对于任意 x 的都有 () ()f xfx? =?,且
0
()f xk′? =?,则
0
()(B)fx′ =,
(A) k ; (B) k? ; (C)
1
k; (D)
1
k
,
(3) 曲线
3
3yx x=? 上切线平行于 x轴的点是 (C),
(A) (0,0) ; (B) (1,2) ; (C) ( 1,2)? ; (D) (0,2),
(4) 设 ()f x 为可导函数,且满足
0
(1) (1 )
lim 1
2
x
ffx
x
→

=?,则曲线 ()yfx= 在点
(1,(1))f 处的切线的斜率为 (D),
(A) 2 ; (B) 1? ; (C)
1
2; (D) 2?,
(5) 设函数 ()f x 在区间 (,)δ δ? 内有定义,若当 (,)x δ δ∈? 时,恒有
2
()f xx≤,
则 0x = 必是 ()f x 的 (C),
(A) 间断点 ; (B) 连续而不可导点 ;
(C) 可导,且 (0) 0f ′ = ; (D) 可导点,且 (0) 0f ′ ≠,
(6) 设函数
2
1
,1,
()
1
2,1,
x
x
fx
x
x
≠
=
=
则函数在 1x = 处 (A),
(A) 不连续 ; (B) 连续但不可导 ;
(C) 可导,但导函数不连续 ; (D) 可导且导函数连续,
(7) 设
2
e,0,
()
,0,
x
x
fx
ax bx c x
<
=
++ ≥
且 (0)f ′′ 存在,则 (C),
(A)
1
,1,1
2
abc===?; (B)
1
,1
2
abc=?==;
(C)
1
,1
2
abc===; (D)
1
,1,1
2
abc=?=?=,
(8) 设 ()f x 在 x a= 的某邻域内有定义,则 ()f x 在 x a= 处可导的一个充分条件是 (D),
(A)
1
lim [ ( ) ( )]
x
hfa fa
h
→+∞
+? 存在 ; (B)
0
(2) ( )
lim
h
f ahfah
h
→
+?+
存在 ;
(C)
0
()()
lim
2
h
f ah fah
h
→
+
存在 ; (D)
0
() ( )
lim
h
f afah
h
→

存在,
4
解 (1) 根据有关概念与定理,应选 B,
(2) 方程 () ()f xfx?=? 两边对 x求导,得
() ()f xfx′′=?,即 () ()f xfx′ ′? =,
所以
00
() ( )f xfx k′′=?=?,故应选 B,
(3) 由题意知,在切点处
2
330yx′=?=,从而 1x =±,切点为 (1,2)? 或 (1,2)?,
故应选 C,
(4)
00
(1)(1) (1)(1)
(1) lim 2 lim 2
2
xx
fxf f fx
f
xx
→→

′ = ==
,故应选 D,
(5)
2
0()f xx≤≤,所以 (0) 0f =,由夹逼准则知,
0
lim ( ) 0
x
fx
→
=,故而 ()f x 在
0x = 处连续,由于
2
() (0) ()
0
0
fx f fx x
x
xx
≤=≤=
,
由夹逼准则知,
0
() (0)
(0) lim 0
0
x
fx f
f
x
→
′ ==
,故应选 C,
(6)
2
1
1
(1 0) lim 2
1
x
x
f
x
+
→
+= =
,
2
1
(1)
(1 0) lim 2
1
x
x
f
x
→

= =?
,
所以 ()f x 在 1x = 处不连续,故应选 A,
(7) 由题意知,( )f x 在 0x = 处连续,有
(0) (0 0) 1cf f= =?=,
000
() (0) e 1
(0) lim lim lim 1
0
x
xxx
fx f x
f
xx

→→→

′ == =
,
2
00
() (0) 1 1
(0) lim lim
0
xx
fx f ax bx
f b
++
+
→→
++
′ == =
,
由于 (0)f ′′ 存在,所以 (0) (0)ff
+?
′′=,从而 1b =,
e,0,
()
21,0,
x
x
fx
ax x
≤?
′ =
+ >?
00
e1
(0) lim lim 1
x
xx
x
f
xx

→→
′′ = ==,
0
211
(0) lim 2
x
ax
f a
x
+
+
→
+?
′′ ==,
5
由于 (0)f ′′ 存在,因而 (0) (0)ff
+?
′′ ′′=,得
1
2
a =,故应选 C,
(8) 由于
00
()() ()()
() lim lim
hh
f a h fa fa fa h
fa
hh
→→

′ ==
,故应选 D,
3,设 ()f x 和 ()g x 是在 (,)?∞ +∞ 上有定义的函数,且具有如下性质,
(1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f xy fxgy fygx+= + ;
(2) ( )f x 和 ()g x 在点 0x = 处可导,且已知 (0) 0,(0) 1fg= =,
证明,( )f x 在 (,)?∞ +∞ 上可导,
证 对于任意的 (,)x∈?∞+∞,
00
( ) () ()() ()() ()
() lim lim
hh
f x h fx fxgh fhgx fx
fx
hh
→→
+? +?
′ ==
[ ]
0
() () (0) ()() (0)()
lim
h
f xgh g fhgx f gx
h
→
+?
=
0
lim ( ) (0) ( ) (0)
h
fxg gxf
→
′ ′=+,
所以 ()f x 在 (,)?∞ +∞ 上可导,
4,设 () 2
ax
fx
=,求 ()f x′,
解 (1) x a> 时,( ) (2 ) 2 ln 2
xa xa
fx

′′==,
(2) x a< 时,( ) (2 ) 2 ln 2
ax ax
fx

′′==?,
(3) x a= 时,
()ln2
21 1 1()ln21
( ) lim lim lim ln 2
xa xa
xa xa xa
exa
fa
xa xa xa
++ +

+
→→ →

′ == = =,
()ln2
21 1 1()ln21
() lim lim lim ln2
ax ax
xa xa xa
eax
fa
xa xa xa

→→ →

′ == = =?,
所以 ()f x 在 x a= 处不可导,
5,求下列函数的导数,
(1)
1
tan
1
esin
x
y
x
= ; (2)
2
ln(e 1 e )
x x
y =++;
(3)
1
2
3
1
5
2
(5)(4)
(2)(4)
xx
y
xx
+?
=
++; (4)
2
3cos
(1 )
x
yx=+ ;
解 (1)
11
tan tan
2
22
11 1 11
e sec ( )sin e cos ( )
xx
y
xx xx x
′=?+?
6
11
tan tan
22
111 11
sec tan e cos e
x x
xx x
=
1
tan
2
111 1
(sec tan cos )e
x
xx xx
=? +,
(2)
2
22
12e
(e )
e1e 21e
x
x
x xx
y′=+
++ +
2
e
1e
x
x
=
+
,
(3) 两边取绝对值后取对数,得
11
ln 2ln 5 ln 4 5ln 2 ln 4
32
yx x x x=+++?+,
两边对 x求导,得
12 1 5 1
53( 4) 22( 4)
y
yx x x x
′=+
+?+ +
,
1
2
3
1
5
2
(5)(4) 2 1 5 1
53( 4) 22( 4)
(2)(4)
xx
y
xxxx
xx
+?
′=+?

+?++

++
,
(4)
23
cos ln(1 )
e
xx
y
+
′

′=

23
2
cos ln(1 ) 2 3 2
3
3
e2sinln(1)cos
1
xx
x
xx x x
x
+
=?++

+
2
22
3cos 3 2
3
3cos
(1 ) 2 ln(1 ) sin
1
x
xx
x xxx
x

=+? +

+

,
6,设函数 ()x? 在点 x a= 处连续,且 () 0x? ≡/,又设 () ( )()f xxax?=?,
() ()Fx x a x?=?,试讨论 ()f x 与 ()Fx在点 x a= 处的可导性,
解
() () ( )()
() lim lim ()
xa xa
fx fa x a x
f aa
xa xa
→→

′ ===,
() () ( )()
() lim lim ()
xa xa
Fx Fa x a x
Fa a
xa xa
++
+
→→

′ ===

,
() () ( )()
() lim lim ()
xa xa
Fx Fa a x x
Fa a
xa xa

→→

′ ===?

,
若 () 0a? =,( )Fx在 x a= 处可导,且 () 0Fa′ = ; 若 () 0a? ≠,( )Fx在 x a= 处不可导,
7,设函数
1
2
[( )]
x
yfx=,其中 f 为可微的正值函数,求 dy,
解 由于
2
1
ln ( )
e
f x
x
y =,
7
2
1
2
ln ( )
2
22
11()
de ln() 2d
()
fx
x
fx
yfxx
xxf
′
=? +?


1
22
2
22
2() ln()
() d
()
x
fx fx
f xx
fx x
′

=?



,
8,求下列函数的 n阶导数,
(1)
2
ln(1 )yx x=+,在 0x = 处 ; (2)
3
2
32
x
xx? +
,
解 (1)
2
2ln(1 )
1
x
yx x
x
′=++
+
,
22
22(1) 4
2ln(1 ) 2ln(1 )
11(1 ) (1 )
xxxx x x
yx x
x x
+?
′′ =+++ =++?
++
,
[] [] []
() ( 1) ( 2)
() 2 2 2
(1)
ln(1 ) ( ) ln(1 ) ( ) ln(1 )
2
nn n
n
nn
yx x nx x x x

′′′=++ ++ +
2(1) (2) (3)
11 1
() 2() (1)()
nn n
xnxn
xx x

=+ +?
++ +
12 2 3
12
( 1) ( 1)! ( 1) 2 ( 2)! ( 1) ( 1)( 3)!
(1 ) (1 ) (1 )
nn n
nn n
nx nn x nnn
xx x



=+ +
++ +
,
1
()
0
(1) !
,3,
2
0,1,2.
n
n
x
n
n
y
n
n
=
≥?
=

=
(2)
22
(32)3(32)7(1)1
(1)(2)
xx x x x x
y
xx
++?++?+
=

81
3
21
x
x x
=++?

,
22
81
1
(2)(1)
y
xx
′=? +

,
()
11
(1)8! (1) !
(2) (1)
nn
n
y
xx
++

=?
11
81
(1) !,( 2)
(2) (1)
n
nn
nn
xx
++

=≥



,
9,设函数 ()yyx= 是由方程 ee
y
xy+ = 所确定,求 (0)y′′,
解 由方程 ee
y
xy+=知,
0
1
x
y
=
=,方程两边对 x求导,得
e0
y
yyxy′ ′+ +=,
8
将
0
1
x
y
=
= 代入,得
0
1
e
x
y
=
′ =?,继续对上式两边对 x求导,得
2
e( ) e 2 0
yy
yxy′ ′′ ′ ′′+ ++=,
将
0
1
x
y
=
=,
0
1
e
x
y
=
′ =? 代入,得
20
1
e
x
y
=
′′ =,
10,设函数 ()yyx= 是由方程
2
323,
esin 1 0,
y
xt t
ty
=++
+=
所确定的隐函数,求
2
2
0
d
d
t
y
x
=
,
解 0t = 时,3,1x y==,
d
62
d
x
t
t
= +,
2
2
d
6
d
x
t
=,
从而
0
d
2
d
t
x
t
=
=,
2
2
0
d
6
d
t
x
t
=
=,方程 esin 1 0
y
ty? +=两边对 t 求导,得
dd
esin ecos 0
yy
yy
tt+?=,
从而
0
d
e
d
t
y
t
=
=,继续对上式两边对 t 求导,得
22
dddd d
(e sin e cos ) e sin e cos e sin 0
dd
yy y yy
yyy y
tt t tt
ttt
+++=,
从而
2
2
2
0
d
2e
d
t
y
t
=
=,
22
2
22
2
3
0
dddd
d
dddd
d
d
()
d
t
yx xy
y
tttt
x
t
t
=
=
ii
2
3
2e 2 6e
2

=
2
2e 3e
4
=,
11,设某商品平均单位成本 C /公斤为月产量 x公斤的函数
100
() 2CCx
x
= =+,
如果每公斤售价 p (单位为元 )与需求量 x满足
800 100x p=?,
求需求量为 250 公斤时的边际成本及边际收益,
解 设需求量为 x时,成本为 y,收益为 z,则有
100
(2)102yxx
x
= +=+,
9
2
800
8
100 100
x x
zpx x x
== =?,
250 250 250
dd
2,8 3
50
xxx
yz
===
= =? =,
所以需求量为 250 公斤时的边际成本为 2 元 /公斤,边际收益为 3 元 /公斤,
12,甲船以 6km/h 的速率向东行驶,乙船以 8km/h 的速率向南行驶,在中午十二点正,乙船位于甲船之北 16km 处,问下午一点正两船相离的速率为多少?
解 以中午十二点正,甲船所在位置为坐标原点,向东方向为 x轴正方向,向南的方向为 y 轴的正方向,建立平面直角坐标系,同时以正午十二点作为计量时间的起点,t 时刻甲船位置为 (6,0)t,乙船的位置为 (0,16 8 )t? +,此时甲乙两船的距离为
22
(6 ) (8 16)stt=+?,
2222
d 2(6 )6 2(8 16)8 100 128
d
2 (6 ) (8 16) (6 ) (8 16)
st t t
t
tt tt
+
==
+? +?
,
1
d
2.8(km/h)
d
t
s
t
=
=?,
13,求
10
1000 的近似值,
解 函数
10
x 的增量为
11 1 9
10 10 10 10
1
() d()
10
yxx x yx x x x
′Δ= +Δ? ≈ = Δ= Δ,
11 9
10 10 10
1
()
10
x xx xx
+Δ≈+ Δ,
在上式中,取
10
2,24xx= Δ=?,得
10 10
10
10 910
24
1000 2 24 2 1.9953
10 (2 )
=?≈? ≈,
14,已知单摆的振动周期 2π
l
T
g
=,其中
2
980cm/s,g l= 为摆长 （单位为 cm）,
设原摆长 20cm,为使周期 T 增大 0.05s,摆长约需加长多少?
10
解
2
2
4π
gT
l =,方程两边求微分得
2
dd d
π2π
glgT
lTT==,20,d 0.05lT= = 时,
d2.23(cm)l ≈,