1
第三节 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
习题 2-3
1,求由下列方程所确定的隐函数y的导数
d
d
y
x
,
(1) 1 e
y
yx=? ; (2)
yx
x y= ;
(3)
22
esin()
xy
x yy+=; (4)
22
arctan ln
x
x y
y
=+,
解 (1) 方程两边对x求导,得
ee
yy
yxy′ ′=,
从而
e
1e
y
y
y
x
′=?
+
,
(2) 方程两边对x求导,得
ln ln ln ln
(e ) e ( ln ) (e ) e (ln )
yx yx xy xy
yx
yx y y
x y
′′ ′ ′=+==+,
从而
(ln )
(ln )
yx y y
y
x yxx
′=
,
(3) 方程两边对x求导,得
22
e( ) cos( )(2 ) 2
xy
yxy xy xyxy y′ ′′++ + =,
2
22
e2cos()
ecos()2
xy
xy
yxyxy
y
x xxyy
+
′=?
+?
,
(4) 方程两边对x求导,得
2
22 22
2
112
2
1()
yxy x y
x
y
x yxy
y
′ ′? +
=
++
+
,
yx
y
yx
′=
+
,
2
2,用对数求导法求下列函数的导数,
(1) ()
1
x
x
y
x
=
+; (2) 5
5 2
5
2
x
y
x
=
+;
(3)
2 3
cos
(1) 2
x x
y
xx
=
++
,
解 (1) 方程两边取对数,得
ln [ln ln(1 )]yx x x=?+,
方程两边对x求导,得
11
ln ln(1 ) ( )
1
y
xxx
yxx
′
=?++?
+
,
1
()(ln )
111
x
xx
y
x xx
′=+
+ ++
,
(2) 方程两边5次方后取对数,得
2
1
5ln ln( 5) ln( 2)
5
yx x= +,
方程两边对x求导,得
2
51
5 5( 2)
yx
yx x
′
=?
+
,
5
2
5 2
151
[]
555( 2)
2
xx
yy
x x
x
′==?
+
+
,
(3) 方程两边取对数,得
2
11
ln ln ln cos ln( 1) ln( 2)
23
yx xx x=+?+?+,
方程两边对x求导,得
2
1sin 2 1
2 cos 3( 2)1
yxx
yx x xx
′
=
++
,
22 3
cos 1 2 1
[tan]
23(2)1
(1) 2
xx x
xxx
xx
′=
++
++
,
3,设sin( ) ln( )ts s t t+?=,求
0
d
d
t
s
t
=
的值,
解 由方程知
0
1
t
s
=
=,方程两边对t求导,得
3
1
cos( )( ) 1
s
ts s ts
st
′?
′+ +=
,
将
0
1
t
s
=
=代入,得
0
d
1
d
t
s
t
=
=,
4,求下列参数方程所确定的函数的导数
d
d
y
x
,
(1)
(1 sin ),
cos ;
x tt
yt t
=
=
(2)
2
ln(1 ),
1arctan.
xt
yt
=+?
=
解 (1)
d
d cos sin
d
d
d1sincos
d
y
ytt
t
x
x tt t
t
==
,
(2)
2
2
1d
d1
d1
d2
d 1
y
y
tt
xt
x t
t t
+
== =?
+
,
5,求曲线
esin,
ecos,
t
t
x t
yt
=
=?
在
π
3
t =对应点处的切线的斜率,
解
d
de(cossin)(cossin)
d
d
d(e(cos sin)
d
t
t
y
ytttt
t
x
x tttt
t
== =
++
,将
π
3
t =代入,得曲线在
π
3
t =对应点处的切线的斜率为32?,
