同学们好
I
B?
上讲,一,磁场高斯定理 0d SB
S
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零,
磁场是无源场磁感应线闭合成环，或两端伸向不存在磁单极（？）
§ 7.6 磁场的安培环路定理
0dS SB
无源场
内qSES
0
1d
有源场高斯定理
0dL lE
保守场
dL lB
？
环路定理比较静电场稳恒磁场二,稳恒磁场的安培环路定理
1,导出,可由毕 — 沙定律出发严格推证采用,以无限长直电流的磁场为例验证推广到任意稳恒电流磁场 （从特殊到一般）
Il
r
I
l
r
I
lB
r
LL
0
2
0
0
0
d
2
c o s 0d
2
d
1) 选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交点 o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流成右旋关系。
B?
I
ro
L
若电流反向：
Il
r
I
l
r
I
lB
r
r
L
0
2
0
0
2
0
0
d
2
c o sd
2
d
B?
I
ro
L
与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为正，反之为负。
I
I
I
r
r
I
lBlB
LLL
0
0
2
0
0
0
d
2
d
2
dc o sd
若电流反向，则为
2) 在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
B?
d
l?d
r?
L
I
3) 空间存在多个长直电流时，由磁场叠加原理
)(
0
21
21
ddd
d)(d
内L
i
L nLL
nLL
I
lBlBlB
lBBBlB
2,推广：稳恒磁场的安培环路定理
)(0
d
L iL
IlB
穿过
稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径 L 的线积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与真空磁导率的乘积。
B?
稳恒磁场的安培环路定理：
)(0
d
L iL
IlB
穿过
成立条件：稳恒电流的磁场场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）:L
环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过,
不穿过 的所有电流的贡献）L
:B? L
穿过以 为边界的任意曲面的电流的代数和。,
)(
L
iI
穿过
L
L
与 绕向成右旋关系与 绕向成左旋关系
L 0?iI
0?iI规定：
1I
L
lBLd
4I
I L
例如：
321
)(
IIII
L
i
穿过
IIII
L
i 23
)(
穿过
)(0
d
L iL
IlB
穿过
的环流：只与穿过环路的电流代数和有关B?
与空间所有电流有关:B?
注意：
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）
穿过 的电流：对 和 均有贡献L B? lB
L
d
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献；
对 无贡献
B?LL
lBL d
0dS SB
无源场
内qSES
0
1d
有源场高斯定理
0dL lE
保守场、有势场
）（穿过 L
iL IlB 0d?
环路定理比较静电场稳恒磁场 非保守场、无势场
（涡旋场）
三,安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
)(0
d
L iL
IlB
穿过
适用条件,稳恒电流的磁场求解条件,电流分布 (磁场分布 )具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路 L，使 能积出，从而方便地求解 。
lBL d
B?
o r P?
I R
在 平面内，作以 为中心、半径 的圆环,
上各点等价,大小相等，方向沿切向 。
以 为安培环路，逆时针绕向为正,
B?
LroI?
L
L
+
[例一 ] 无限长均匀载流圆柱体 内外磁场,RI,
对称性分析：
'dB?
B?d
'dI
Id r
o P
L L
内IrBlBL 0 2d 'dB?
B?d
'dI
Id ro
PL L
rr
IB 1
2
0
外
:Rr?
II 内
:Rr?
2
2
2
2 R
Irr
R
II
内
rRIrB 202内
I方向与 指向满足右旋关系B?
B
o R r
r
1?r?
思考,无限长均匀载流直圆筒 曲线？r~B
0?内B r
IB
2
0?
外方向与 指向满足右旋关系外B
I
B
o R
r
I
h
RR
S
B
.
练习：
无限长均匀载流圆柱体（ ）如图，求通过
（ ）的磁通量,hR,2S
IR,
2 20RIrB内
2
0
r
IB
外解,磁场分布
SBSBs
S
m dd 内内
SB
S
d
外外
rhRIrR d2
0 2
0
)2ln21(
4d2
02 0
Ihrh
r
IR
R
Sd Sd
微元分析法：取 rhS dd?
方向相同与且 BSd
解,线密绕 0?外B? 对称性分析：
无限长,1,2 面上对应点等价，关于 M 镜像对称
B? 赝矢量,只有平行于轴线的分量B?
//? 轴任一直线上各点 大小相等，方向沿轴B?
B?21I M
[例二 ] 无限长直载流螺线管内磁场（ 线密绕）.,nI
单位长度上的匝数螺距为零
d
B?
c
ab
21I
addccbL ba lBlBlBlBlB ddddd
abBabB 000 co s?
abnII 内作矩形安培环路如图，
规定,+
d
B?
c
ab
21I
abnIabB 0
nIB 0
由 安培环路定律：
无限长直螺线管内为均匀磁场思考：
如果要计管外磁场 （ 非线密绕 ） 对以上结果有无影响？
B
I
n
//I
nIB 0内
r
IB
2
//0?
外详见思考题解：
R
练习,半径 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转R
,.R已知：
B?求,内部解,nIB
0等效于长直螺线管单位长度上电流nI
22 RnI
R0? nIB 0
[例三 ] 载流螺绕环的磁场分布（ ） I.N.R.R 21
内IrBlBL 0 2d r1?
r1Ro
B
2R
1R L
I
N L
2R
r
r
o
r
对称性分析：
环上各点 方向,切向B?
同心圆环大小相等的点的集合：B?
以中心,半径 的圆环为安培环路o r
+
0?外B:,
21 RrRr
0 内I
:21 RrR rNIB20?内
NII 内
rRRrhS )d(dd 12
练习,若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面的磁通量。
rRR
r
NI
SBm
)d(
2
dd
12
0
内
21 d)(2 d 120 RRmm rrRRNI
1
2
12
0 ln)(
2 R
RRRNI
II
Sd
12 RRh
1R2R
解：
练习,P,293 7-20无限大导体平板,电流沿 y方向，线密度 j(x方向、单位长上的电流 )。 B?求,分布解一,用叠加原理
xjI dd?
r
IB
2
dd 0?
由对称性：
0d zz BB
z
z
xoj?
Id
B?d
'dI
'dB?r'r?
xBB d
220 d2 zx xzj
z
x
z
zj a r c t g1
2
0
2
0 j
r
z
r
xjB
2
d c o sd 0
20j?
20
j x
B
o
解二,用安培环路定理思考,如果载流平面不是无限宽，能否用叠加原理求解？
能否用安培环路定理求解？
jllBlB
L 0
2d 2
0 jB得：由：
z
xj?
L
选如图安培环路?
在对称性分析的基础上例五半径 的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一个半径为 的圆柱形空腔：,电流 在截面内均匀分布，方向平行于轴线，求：
doo '?r
R
I
B
1,圆柱轴线上磁感应强度
2,空心部分中任一点的磁感应强度
OB
R
roo Pd
I?
解：
用补偿法,
即在空心部分中补上与实体具有相同的电流密度的电流 和这等价于原来的空心部分。
部分电流与原柱体部分的电流 构成实心圆柱电流,
方向：
1I?I
R
roo Pd
I?
原电流分布等效于：
实心圆柱电流空腔部分反向电流
1I
2I
原磁场为,21 BBB
1B
2B
电流密度 22 rR Ij 21 RjI
22 rjI
电流
d
IB
O?
2
20
2?
1) 由安培环路定理：
01?OB
)(2 22
2
0
21 rRd
IrBBB
ooo
2) 对空腔内任一点 P 设,1rOP? 2rPO '?
R
roo Pd
I?
1r
1B?
2r
2B?
x2L
1I
o 'o 2I1L
y
d?
P
由安培环路定理：
2
1011 2d1 rjrBlBL
2
10
1
jrB得：
2
20
2
jrB同理可得：
1r
1B?
2r
2B?
x2L
1I
o 'o 2I1L
y
d?
P 1
110
1 2 r
rkjrB
2
220
2 2 r
rkjrB
21 BBB
10
2 rk
j
2
20
2 rk
jr
)(2 210 rrkj dkj 20?
d?空腔内为垂直于 的均匀磁场：
)(2 22
0
rR
IdB
B?
小结,形成均匀磁场的方法长直载流螺线管亥姆霍兹圈圆柱载流导体内平行于轴线的空腔无限大载流平面上、下
……
小结：
1.熟悉典型问题结果运动点电荷，无限长直电流，圆电流轴线上，
长直载流螺线管，螺绕环,..
2.总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路
由 求 。
内IlBL 0 d
B?
对称性分析
选环路 L并规定绕向
I
B?
上讲,一,磁场高斯定理 0d SB
S
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零,
磁场是无源场磁感应线闭合成环，或两端伸向不存在磁单极（？）
§ 7.6 磁场的安培环路定理
0dS SB
无源场
内qSES
0
1d
有源场高斯定理
0dL lE
保守场
dL lB
？
环路定理比较静电场稳恒磁场二,稳恒磁场的安培环路定理
1,导出,可由毕 — 沙定律出发严格推证采用,以无限长直电流的磁场为例验证推广到任意稳恒电流磁场 （从特殊到一般）
Il
r
I
l
r
I
lB
r
LL
0
2
0
0
0
d
2
c o s 0d
2
d
1) 选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交点 o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流成右旋关系。
B?
I
ro
L
若电流反向：
Il
r
I
l
r
I
lB
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r
L
0
2
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0
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d
2
c o sd
2
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B?
I
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与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为正，反之为负。
I
I
I
r
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0
0
2
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2
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若电流反向，则为
2) 在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
B?
d
l?d
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L
I
3) 空间存在多个长直电流时，由磁场叠加原理
)(
0
21
21
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i
L nLL
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I
lBlBlB
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2,推广：稳恒磁场的安培环路定理
)(0
d
L iL
IlB
穿过
稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径 L 的线积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与真空磁导率的乘积。
B?
稳恒磁场的安培环路定理：
)(0
d
L iL
IlB
穿过
成立条件：稳恒电流的磁场场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）:L
环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过,
不穿过 的所有电流的贡献）L
:B? L
穿过以 为边界的任意曲面的电流的代数和。,
)(
L
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穿过
L
L
与 绕向成右旋关系与 绕向成左旋关系
L 0?iI
0?iI规定：
1I
L
lBLd
4I
I L
例如：
321
)(
IIII
L
i
穿过
IIII
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)(
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)(0
d
L iL
IlB
穿过
的环流：只与穿过环路的电流代数和有关B?
与空间所有电流有关:B?
注意：
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）
穿过 的电流：对 和 均有贡献L B? lB
L
d
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献；
对 无贡献
B?LL
lBL d
0dS SB
无源场
内qSES
0
1d
有源场高斯定理
0dL lE
保守场、有势场
）（穿过 L
iL IlB 0d?
环路定理比较静电场稳恒磁场 非保守场、无势场
（涡旋场）
三,安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
)(0
d
L iL
IlB
穿过
适用条件,稳恒电流的磁场求解条件,电流分布 (磁场分布 )具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路 L，使 能积出，从而方便地求解 。
lBL d
B?
o r P?
I R
在 平面内，作以 为中心、半径 的圆环,
上各点等价,大小相等，方向沿切向 。
以 为安培环路，逆时针绕向为正,
B?
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+
[例一 ] 无限长均匀载流圆柱体 内外磁场,RI,
对称性分析：
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思考,无限长均匀载流直圆筒 曲线？r~B
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外方向与 指向满足右旋关系外B
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B
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.
练习：
无限长均匀载流圆柱体（ ）如图，求通过
（ ）的磁通量,hR,2S
IR,
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2
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外解,磁场分布
SBSBs
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SB
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4d2
02 0
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微元分析法：取 rhS dd?
方向相同与且 BSd
解,线密绕 0?外B? 对称性分析：
无限长,1,2 面上对应点等价，关于 M 镜像对称
B? 赝矢量,只有平行于轴线的分量B?
//? 轴任一直线上各点 大小相等，方向沿轴B?
B?21I M
[例二 ] 无限长直载流螺线管内磁场（ 线密绕）.,nI
单位长度上的匝数螺距为零
d
B?
c
ab
21I
addccbL ba lBlBlBlBlB ddddd
abBabB 000 co s?
abnII 内作矩形安培环路如图，
规定,+
d
B?
c
ab
21I
abnIabB 0
nIB 0
由 安培环路定律：
无限长直螺线管内为均匀磁场思考：
如果要计管外磁场 （ 非线密绕 ） 对以上结果有无影响？
B
I
n
//I
nIB 0内
r
IB
2
//0?
外详见思考题解：
R
练习,半径 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转R
,.R已知：
B?求,内部解,nIB
0等效于长直螺线管单位长度上电流nI
22 RnI
R0? nIB 0
[例三 ] 载流螺绕环的磁场分布（ ） I.N.R.R 21
内IrBlBL 0 2d r1?
r1Ro
B
2R
1R L
I
N L
2R
r
r
o
r
对称性分析：
环上各点 方向,切向B?
同心圆环大小相等的点的集合：B?
以中心,半径 的圆环为安培环路o r
+
0?外B:,
21 RrRr
0 内I
:21 RrR rNIB20?内
NII 内
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练习,若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面的磁通量。
rRR
r
NI
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2
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12
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内
21 d)(2 d 120 RRmm rrRRNI
1
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II
Sd
12 RRh
1R2R
解：
练习,P,293 7-20无限大导体平板,电流沿 y方向，线密度 j(x方向、单位长上的电流 )。 B?求,分布解一,用叠加原理
xjI dd?
r
IB
2
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由对称性：
0d zz BB
z
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'dB?r'r?
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220 d2 zx xzj
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2
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20
j x
B
o
解二,用安培环路定理思考,如果载流平面不是无限宽，能否用叠加原理求解？
能否用安培环路定理求解？
jllBlB
L 0
2d 2
0 jB得：由：
z
xj?
L
选如图安培环路?
在对称性分析的基础上例五半径 的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一个半径为 的圆柱形空腔：,电流 在截面内均匀分布，方向平行于轴线，求：
doo '?r
R
I
B
1,圆柱轴线上磁感应强度
2,空心部分中任一点的磁感应强度
OB
R
roo Pd
I?
解：
用补偿法,
即在空心部分中补上与实体具有相同的电流密度的电流 和这等价于原来的空心部分。
部分电流与原柱体部分的电流 构成实心圆柱电流,
方向：
1I?I
R
roo Pd
I?
原电流分布等效于：
实心圆柱电流空腔部分反向电流
1I
2I
原磁场为,21 BBB
1B
2B
电流密度 22 rR Ij 21 RjI
22 rjI
电流
d
IB
O?
2
20
2?
1) 由安培环路定理：
01?OB
)(2 22
2
0
21 rRd
IrBBB
ooo
2) 对空腔内任一点 P 设,1rOP? 2rPO '?
R
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I?
1r
1B?
2r
2B?
x2L
1I
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y
d?
P
由安培环路定理：
2
1011 2d1 rjrBlBL
2
10
1
jrB得：
2
20
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jrB同理可得：
1r
1B?
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2B?
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P 1
110
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21 BBB
10
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2
20
2 rk
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)(2 210 rrkj dkj 20?
d?空腔内为垂直于 的均匀磁场：
)(2 22
0
rR
IdB
B?
小结,形成均匀磁场的方法长直载流螺线管亥姆霍兹圈圆柱载流导体内平行于轴线的空腔无限大载流平面上、下
……
小结：
1.熟悉典型问题结果运动点电荷，无限长直电流，圆电流轴线上，
长直载流螺线管，螺绕环,..
2.总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路
由 求 。
内IlBL 0 d
B?
对称性分析
选环路 L并规定绕向
