1
第三章 动量与能量
2
前言我们往往只关心过程中力的效果
——力对时间和空间的积累效应 。
力在时间上的积累 效应：
平动 冲量 动量的改变转动 冲量矩 角动量的改变力在空间上的积累 效应功 改变能量牛顿定律是瞬时的规律。
在有些问题中,如：碰撞（宏观）、
（微观） …
散射
3
§ 3.1 质点和质点系的动量定理定义,力的 冲量 （ impulse） —
2
1
dtt tFI
质点的 动量 （ momentum） — v mp?
t
p
t
mF
d
d
d
)d( v 质点动量定理：
ptFI ddd
（微分形式）
12d
2
1
pptFI t
t
（积分形式）
（ theorem of momentum of a particle）
一,冲量 质点的动量定理
4
*质点所受合力的冲量等于质点动量的增量
z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
ptFI
ptFI
ptFI
d
d
d
2
1
2
1
2
1分量式：
平均冲力
t
p
tt
tF
F
t
t
12
2
1
d
5
[例 ]已知,一篮球质量 m = 0.58kg，
求,篮球对地的平均冲力 F
解,篮球到达地面的速率
m / s26.6280.922 ghv
N1082.3
0 1 9.0
26.658.022 2
t
mF v
从 h=2.0m的高度下落,到达地面后，
接触地面时间?t = 0.019s。
F
F
to
t
速率反弹，
以同样冲量 是 对时间的累积效应，其效果在于改变物体的动量 。I
F?
6船行“八面风”
7
演示 逆风行舟 (KL011)
帆
v1
v2
v1
v2Δ v
风F
风对帆
F横
F进
F横F阻龙骨
F帆对风 Δ v
8
二 |质点系动量定理
（ theorem of momentum of particle system）
Fi
pi
fj i
fi j
为质点 i 受的 合外力,
iF
·
··
··
···
i
j
质点系为质点 i 受质点 j 的 内力,
ijf
ip?
为质点 i 的动量。
对质点 i,
i
ij
iji ptfF
dd
）（
对质点系：
i i
i
ij
iji ptfF
dd( ）
i ij
ijf 0
由牛顿第三定律有：
9
i i
ii ptF
dd( ）
所以有：
PpFF
i
i
i
i
,
外令
PtF dd?外则有：
t
PF
d
d
外或质点系动量定理
（微分形式）
1221 d PPtF
t
t
外
—质点系动量定理 （ 积分形式 ）
用质点系动量定理处理问题可避开内力 。
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
10
分量式,
z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
ptFI
ptFI
ptFI
2
1
2
1
2
1
d
d
d
外外外 0
1
N
i
iFF 内内
0d2
1
tFI t
t 内内
注意：
质点系总动量的变化与内力的冲量无关。
注意,牛顿第二定律反映了力的瞬时效应；而动量定理则反映力对时间的累积效应，即加速度与合外力对应，而动量变化与合外力的冲量对应。
内力的冲量起什么作用?
改变质点系总动量在系内各质点间的分配。
11
t时刻,系统总质量为系统总动量为 vmp
1
m m
v?
vv d?
ev?
mm d?
md?
tt d? 时刻：
)0d(d mmm
排出的燃气质量为 md?
火箭速度为
vv d?
排出的燃气速度为
)d( vvv e
火箭质量为解,火箭和燃气组成一个系统。
例 火箭的运动 火箭依靠排出其内部燃烧室中产生的气体来获得向前的推力。设火箭发射时的质量为 m0，速率为 v0，燃料烧尽时的质量为 m?，气体相对于火箭排出的速率为 ve。不计空气阻力，求火箭所能达到的最大速率。
12
vv d?
ev?
mm d?
md?
系统的总动量为：
mvvmvm
vvvmvvmmp
e
e
dd
)d)(d()d)(d(2
mvvmppp e dd12
时间内系统的动量增量为：td
火箭竖直向上运动时，忽略空气阻力，外力为重力
mg 。取向上为正，由质点系动量定理得
mvvmtmg e ddd
设 时刻燃料烧尽，对上式两边积分得t?
m
me
v
v
t
m
mvvtg
0
m
0
ddd
0
13
tg
m
m
vvv
tg
m
m
vvv
e
e
0
0m
0
0m
ln
ln
火箭水平飞行时：
m
mvvv
e
0
0m ln
用增大喷气 速度 和增大 质量比 的方法可以提高火箭末速度。
多级火箭：
nenee NvNvNvvv lnlnln 22110m
设：
。足以发射人造地球 卫星
1-3
m
321
-1
321
sm1 3 4 4 0l n 62 5 0 0
6sm2 5 0 0
v
NNNvvv eee
14
§ 3.2动量守恒定律这就是 质点系的动量守恒定律。
即几点说明：
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论 。
2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系 。
质点系所受合外力为零时,质点系的总动量不随时间改变。
（ law of conservation of momentum）
常矢量时，外 PF 0
15
4.若某个方向上合外力为零,
5.当外力 <<内力
6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本则该方向上动尽管总动量可能并不守恒。量守恒，
且作用时间极短时 （如碰撞），
可认为动量近似守恒。
的定律,它在宏观和微观领域均适用。
7.用守恒定律作题,应注意分析 过程,系统切惯性系中均守恒。
3,动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一和条件。
16
动量守恒定律的应用解：,碰撞”：相互靠近，由于斥力而分离的过程 ——散射 。
例题,? 粒子散射中，质量为 m的? 粒子与质量为 M
的静止氧原子核发生“碰撞”。实验测出碰撞后,?
粒子沿与入射方向成? =72? 角方向运动，而氧原子核沿与? 粒子入射方向成? = 41? 角反冲，如图示，
求,碰撞”前后? 粒子速率之比。
M
m
1v?
2v?
v?
对?粒子和氧原子核系统，
碰撞过程总动量守恒。
碰后,?粒子动量为 氧原子核动量为 vM?
2vm
碰前,?粒子动量为 氧原子核动量为 0
1vm
17
由动量守恒定律得 vMvmvm
21
解得“碰撞”前后,? 粒子速率之比为
71.04172s i n
41s i n
s i n
s i n
1
2?
v
v
直角坐标系中
s i ns i n0
c o sc o s
2
21
Mvmv
Mvmvmv
x
y
1vm
2vm
o
vM?
碰后,?粒子动量为 氧原子核动量为 vM?
2vm
碰前,?粒子动量为 氧原子核动量为 0
1vm
18
微元分析法：
取微元过程以直代曲以不变代变再求和一,功
a
b
o
F?
r?d
sd
r?
r
F?
3-4:动能定理元功：
sF
rF
rF
dc o s
c o sd
ddW
直角坐标系：
kFjFiFF zyx
kzjyixr dddd
19
zFyFxFrFW zyx ddddd
总功：
rFsFAW
b
a
b
a
b
a
ddc o sd?
b
a
zyx zFyFxF ddd
1.功的说明
① 功是标量（代数量）
W总 =W1+W2+…….
W> 0 力对物体做功
W < 0 物体反抗阻力做功
W = 0 力作用点无位移力与位移相互垂直
20
② 功是过程量与作用点的 位移 相关一个力所做的功与参考系的选择相关，是相对量
③ 一对 作用力 与 反作用力 做功的代数和不一定为零力作用点的位移不一定相同地面系
WG≠0
电梯系
WG=0
h v
mg
质点系内力做功的代数和不一定为零
一对作用力与反作用力做功的代数和与参考系的选择无关。
21
质点系内力做功的代数和不一定为零
0ff WW 0NN WW
N
c
N?
v
v m
c ff?
s
s?
M
什么条件下,一对内力做功为零?
作用点无相对位移
相互作用力与相对位移垂直
0 内对刚体,W
22
例：一人从 10m深的井中提水。起始时桶中装有 10kg的水，
桶的质量为 1kg，由于水桶漏水，每升高 1m要漏去 0.2kg
的水。求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。
解,选铅直向上为坐标 y轴的正方向，井中水面出为原点。 由题意知，人匀速提水，故人的拉力 F等于水桶的重力 G，即：
)(96.18.1 0 70 NykyGGF
人得拉力所作的功为：
JF d ydwW
H
9 8 0
0
23
二 动能定理 （ kinetic energy theorem）
▲ 对质点,由牛顿第二定律，有 动能定理：
1212 kk EEW
2
2
1 vmE
k?
—— 动能
（对惯性系）
▲ 对质点系,有 动能定理：
12 kk EEWW 内外
（?各质点位移不一定相同）。
注意,内力虽成对出现,但内力功的和不一定为零
24
一,计算重力、弹力、引力的功
x
k m
o m
o
o
m
x
k
k x1
x2
xF?
F?
h
h2
h1m
mg
o
§ 3.5 保守力与非保守力 势能
25
万有引力
re
r
G M m
r
d
2
)2(
)1(
r
r
G M mr
r d
2
1 2
12 r
G M m
r
G M m
任何中心力 都是保守力 。
rerf?)(
m·
r
M
f·
)2( )1(12 d rfW对
d r
(2)
×
×
(1)
r2
r1
re?
rer r dd
26
共同特点：
① 做功与路径无关，只与起、末点位置有关
② 做功等于与相互作用物体的相对位置有关的某函数在始末位置的值之差
27
二、保守力与非保守力
1,保守力
对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
0d
L
rF
否则为非保守力（耗散力）
（四种基本相互作用力均是保守力）
做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
b
a
b
a
rFrFA dd
（路径 L1） （路径 L2）
a
m
b
L1
L2
F?
28
三,势能：
凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我们将该函数定义为此物体系的势能。
x
E p
0
r
E p
保守力重 力弹 力引 力势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
2
21 kx
r
mMG?
h = 0
x = 0
r= ∞
h
E p
0
0
29
保守力与相关势能的关系：
① 凡保守力都有其相关势能,势能属于物体系,保守力为该势能系统的内力。势能是状态的函数
②保守力的功等于其相关势能增量的负值
W保 = -ΔEp
势能的相对性,物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势点过程中保守力做的功,
30
③ 保守力为其相关势能梯度的负值,
pl ElFlFA dddd
ppg r a d EEF保
kji zEyExE ppp
l
E
F
l d
d
p
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向空间变化率
m
lF
lθ
F?
l?d
31
例：
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，
（ v ＜＜ c） 离开地面的高度等于地球半径的二倍
（即 2R）。 试以 m,R、引力恒量 G,地球质量 M
表示出：
(1) 卫星的动能；
(2) 卫星在地球引力场中的引力势能；
(3) 卫星的总机械能。
O
r
F
2R
R
M
m
32
解：,cv 非相对论问题
R
G m M
mvE
R
v
m
R
mM
G
62
1
33
2
k
2
2
①
②
R
mM
Gr
r
mM
GE
R 3
d
3
2p
③
R
G M mEEE
6pk
约束于引力场中，未摆脱地球影响
O
r
F
2R
R
M
m
33
例：
均匀链 m,长 l 置于光滑桌面上,下垂部分长
0.2 l,施力将其缓慢拉回桌面。
用两种方法求出此过程中外力所做的功。
0.8 l
0.2 l
0 m
x
34
解一,用变力做功计算光滑平面,缓慢拉回,则拉力与链下垂部分重力平衡,
设下重部长为 x,质量以向下为正,l
xm?
glmxG?
50
dd
0
2.0
m g lxx
l
mgxFW
l
G
50
m glWW
GF
0.8 l
0.2 l
0 m
x
35
解二,
用保守力做功与势能变化的关系计算令桌面初态,
末态,
重力做功,
外力功,
0p?E
5010551p m g llmgcmg hE
02p?E
501p2pp
m g lEEEW
G
50
m g lWW
G
0.8 l
0.2 l
0 m
质心 c
0p?E
36
§ 3.6功能原理，机械能守恒定律一,功能原理 （ work-energy theorem）
对质点系动能定理,
12 kk EEWW 内外内非内保内 WWW
）（）（内非外 1122 pkpk EEEEWW
引入系统的 机械能
pk EEE
功能原理
12 EEWW 内非外
（积分形式）
EWW ddd 内非外
（微分形式）
内非WEE pp )( 12
37
二,机械能守恒定律
（ law of conservation of mechanical energy）
在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。
常量，则且若 内非外 EWW 0d0d
即
——机械能守恒定律显然,孤立的保守系统机械能守恒 。
内保时，当 WEEE pk 0
W保内 < 0
即 Ep EkW保内 > 0
38
三,普遍的能量守恒定律如果考虑各种物理现象,计及各种能量,
则 一个孤立系统不管经历何种变化,
系统所有能量的总和保持不变 。
——普遍的能量守恒定律机械运动范围内的体现。
机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在保守内力作功 是系统 势能 与 动能 相互 转化的手段和度量。
39
守恒定律联合应用举例
[例 ] 已知,m = 0.2kg,M=2kg,v = 4.9m/s 。
求,hmax =?
解,m + M + 地球：
W外 = 0,W内非 = 0,
当 h= h max 时,M 与 m有相同的水平速度 。V?
取地面 Ep = 0，有：
)1()(2121 m a x22 m g hEVMmEm pMpMv
故机械能守恒。
mvM
光滑光滑
hmax
40
g
M
m
h
21
1
m a x
2v
分析结果的合理性,● 量纲对。
gh 2
2
ma x
v?
代入数据：
m11.1
8.92
9.4
2
2.0
1
1 2
m a x
h
,0?Mm
● 正确。
，2m a x 21 vmm g h?
由 (1),(2) 得：
m + M,水平方向 F外 = 0，故水平方向动量守恒
mv =（ m+M） V (2)
41
伯努利方程
1.推导：
（ 1）作用力作功故内力作功为零对于理想流体 内,0,?f
tvSPA 1111:推力作正功
tvSPA 2222:阻力作负功
tvSPvSPAAA )(
22211121
则外力所作的总功为
VtvStvS 211 2:液体不可压缩
VPPA )(,21可得
42
(2)机械能的改变情况
)
2
1
()
2
1
(
)
2
1
()
2
1
(
1
2
12
2
2
1
2
12
2
2
12
ghvghvV
m g hmvm g hmv
EE
43
::)3( 12 得由功能定理 EEA
2
2
221
2
11
1
2
12
2
221
2
1
2
1
:
)
2
1
()
2
1
()
ghvPghvP
ghvghvVVPP
即
（
即理想流体作定常流动时，在流管中同一流线上，单位体积流体的动能，势能和压强能三者的和是一个恒量。
故伯努利方程是 能量守恒 在理想流体定常流动的体现。
伯努利方程
44
rc
§ 3-9质心运动 （ center of mass）
一,质心的概念和质心位置的确定
×C ·
·
·
·
·
· mi·
z
·r
i
y
x
0
定义 质心 C 的位矢为：
m
mr r ii
C
）（ imm
m
xmx ii
C
m
ymy ii
C
m
zmz ii
C
质心位置是 质点位置以质量为 权重 的平均值。
为便于研究质点系总体运动，引入 质心 概念。
45
二,几种系统的质心
● 两质点系统
m2m1· ·×
r1 r2
C m
1 r1 = m2 r2
● 连续体
×r
rc
dm
C
0
m
z
x
y
m
mr
r C
d
m
mx
x C
d
……
46
R
●,小线度,物体的质心和重心是重合的 。
[例 ]如图示，
C
xC
O″r O′
r
d d
x
y
O
均质圆盘求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。
由对称性分析，质心 C应在 x轴上。解：
令 为质量的面密度,则质心坐标为：
22
20
rR
rdx
C
）（
1/ 2?
rR
d
挖空
·
● 均匀杆,圆盘,圆环、球，质心为其几何中心。
47
xxo? y
x
R
ld
例,求半径为 R的匀质半薄球壳的质心解,由对称性可知质心在 y轴上面,取如图所示微元圆环,则圆环的面积为,
RdR
dlRdS
s in2
s in2
则其质心为,
2
s inc o s
2
s in2
2
0
2
2
`
R
dR
R
dRy
m
y d m
y
c
48
二,质心运动定理
（ theorem of motion of center of mass）
一,质心运动定理
rc
C v
c
× ·
·
·
·
·
· mi·
z
·r
i
y
x
0
vi
i iiC
mm vv质心动量
CmP v
即质点系的总动量
t
r C
C d
dv
m
t
r
m ii?
d
d
m
m ii v?
是质点系的“平均”速度
Cv
P? 总动量?
49
t
mm
tt
PF C
C d
d)(
d
d
d
d vv
外由
CamF
外
—质心运动定理有该质点集中了整个质点系的质量和所受质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，
的外力。
实际上是物体质心的运动。
在质点力学中所谓“物体”的运动，
第三章 动量与能量
2
前言我们往往只关心过程中力的效果
——力对时间和空间的积累效应 。
力在时间上的积累 效应：
平动 冲量 动量的改变转动 冲量矩 角动量的改变力在空间上的积累 效应功 改变能量牛顿定律是瞬时的规律。
在有些问题中,如：碰撞（宏观）、
（微观） …
散射
3
§ 3.1 质点和质点系的动量定理定义,力的 冲量 （ impulse） —
2
1
dtt tFI
质点的 动量 （ momentum） — v mp?
t
p
t
mF
d
d
d
)d( v 质点动量定理：
ptFI ddd
（微分形式）
12d
2
1
pptFI t
t
（积分形式）
（ theorem of momentum of a particle）
一,冲量 质点的动量定理
4
*质点所受合力的冲量等于质点动量的增量
z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
ptFI
ptFI
ptFI
d
d
d
2
1
2
1
2
1分量式：
平均冲力
t
p
tt
tF
F
t
t
12
2
1
d
5
[例 ]已知,一篮球质量 m = 0.58kg，
求,篮球对地的平均冲力 F
解,篮球到达地面的速率
m / s26.6280.922 ghv
N1082.3
0 1 9.0
26.658.022 2
t
mF v
从 h=2.0m的高度下落,到达地面后，
接触地面时间?t = 0.019s。
F
F
to
t
速率反弹，
以同样冲量 是 对时间的累积效应，其效果在于改变物体的动量 。I
F?
6船行“八面风”
7
演示 逆风行舟 (KL011)
帆
v1
v2
v1
v2Δ v
风F
风对帆
F横
F进
F横F阻龙骨
F帆对风 Δ v
8
二 |质点系动量定理
（ theorem of momentum of particle system）
Fi
pi
fj i
fi j
为质点 i 受的 合外力,
iF
·
··
··
···
i
j
质点系为质点 i 受质点 j 的 内力,
ijf
ip?
为质点 i 的动量。
对质点 i,
i
ij
iji ptfF
dd
）（
对质点系：
i i
i
ij
iji ptfF
dd( ）
i ij
ijf 0
由牛顿第三定律有：
9
i i
ii ptF
dd( ）
所以有：
PpFF
i
i
i
i
,
外令
PtF dd?外则有：
t
PF
d
d
外或质点系动量定理
（微分形式）
1221 d PPtF
t
t
外
—质点系动量定理 （ 积分形式 ）
用质点系动量定理处理问题可避开内力 。
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
10
分量式,
z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
ptFI
ptFI
ptFI
2
1
2
1
2
1
d
d
d
外外外 0
1
N
i
iFF 内内
0d2
1
tFI t
t 内内
注意：
质点系总动量的变化与内力的冲量无关。
注意,牛顿第二定律反映了力的瞬时效应；而动量定理则反映力对时间的累积效应，即加速度与合外力对应，而动量变化与合外力的冲量对应。
内力的冲量起什么作用?
改变质点系总动量在系内各质点间的分配。
11
t时刻,系统总质量为系统总动量为 vmp
1
m m
v?
vv d?
ev?
mm d?
md?
tt d? 时刻：
)0d(d mmm
排出的燃气质量为 md?
火箭速度为
vv d?
排出的燃气速度为
)d( vvv e
火箭质量为解,火箭和燃气组成一个系统。
例 火箭的运动 火箭依靠排出其内部燃烧室中产生的气体来获得向前的推力。设火箭发射时的质量为 m0，速率为 v0，燃料烧尽时的质量为 m?，气体相对于火箭排出的速率为 ve。不计空气阻力，求火箭所能达到的最大速率。
12
vv d?
ev?
mm d?
md?
系统的总动量为：
mvvmvm
vvvmvvmmp
e
e
dd
)d)(d()d)(d(2
mvvmppp e dd12
时间内系统的动量增量为：td
火箭竖直向上运动时，忽略空气阻力，外力为重力
mg 。取向上为正，由质点系动量定理得
mvvmtmg e ddd
设 时刻燃料烧尽，对上式两边积分得t?
m
me
v
v
t
m
mvvtg
0
m
0
ddd
0
13
tg
m
m
vvv
tg
m
m
vvv
e
e
0
0m
0
0m
ln
ln
火箭水平飞行时：
m
mvvv
e
0
0m ln
用增大喷气 速度 和增大 质量比 的方法可以提高火箭末速度。
多级火箭：
nenee NvNvNvvv lnlnln 22110m
设：
。足以发射人造地球 卫星
1-3
m
321
-1
321
sm1 3 4 4 0l n 62 5 0 0
6sm2 5 0 0
v
NNNvvv eee
14
§ 3.2动量守恒定律这就是 质点系的动量守恒定律。
即几点说明：
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论 。
2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系 。
质点系所受合外力为零时,质点系的总动量不随时间改变。
（ law of conservation of momentum）
常矢量时，外 PF 0
15
4.若某个方向上合外力为零,
5.当外力 <<内力
6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本则该方向上动尽管总动量可能并不守恒。量守恒，
且作用时间极短时 （如碰撞），
可认为动量近似守恒。
的定律,它在宏观和微观领域均适用。
7.用守恒定律作题,应注意分析 过程,系统切惯性系中均守恒。
3,动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一和条件。
16
动量守恒定律的应用解：,碰撞”：相互靠近，由于斥力而分离的过程 ——散射 。
例题,? 粒子散射中，质量为 m的? 粒子与质量为 M
的静止氧原子核发生“碰撞”。实验测出碰撞后,?
粒子沿与入射方向成? =72? 角方向运动，而氧原子核沿与? 粒子入射方向成? = 41? 角反冲，如图示，
求,碰撞”前后? 粒子速率之比。
M
m
1v?
2v?
v?
对?粒子和氧原子核系统，
碰撞过程总动量守恒。
碰后,?粒子动量为 氧原子核动量为 vM?
2vm
碰前,?粒子动量为 氧原子核动量为 0
1vm
17
由动量守恒定律得 vMvmvm
21
解得“碰撞”前后,? 粒子速率之比为
71.04172s i n
41s i n
s i n
s i n
1
2?
v
v
直角坐标系中
s i ns i n0
c o sc o s
2
21
Mvmv
Mvmvmv
x
y
1vm
2vm
o
vM?
碰后,?粒子动量为 氧原子核动量为 vM?
2vm
碰前,?粒子动量为 氧原子核动量为 0
1vm
18
微元分析法：
取微元过程以直代曲以不变代变再求和一,功
a
b
o
F?
r?d
sd
r?
r
F?
3-4:动能定理元功：
sF
rF
rF
dc o s
c o sd
ddW
直角坐标系：
kFjFiFF zyx
kzjyixr dddd
19
zFyFxFrFW zyx ddddd
总功：
rFsFAW
b
a
b
a
b
a
ddc o sd?
b
a
zyx zFyFxF ddd
1.功的说明
① 功是标量（代数量）
W总 =W1+W2+…….
W> 0 力对物体做功
W < 0 物体反抗阻力做功
W = 0 力作用点无位移力与位移相互垂直
20
② 功是过程量与作用点的 位移 相关一个力所做的功与参考系的选择相关，是相对量
③ 一对 作用力 与 反作用力 做功的代数和不一定为零力作用点的位移不一定相同地面系
WG≠0
电梯系
WG=0
h v
mg
质点系内力做功的代数和不一定为零
一对作用力与反作用力做功的代数和与参考系的选择无关。
21
质点系内力做功的代数和不一定为零
0ff WW 0NN WW
N
c
N?
v
v m
c ff?
s
s?
M
什么条件下,一对内力做功为零?
作用点无相对位移
相互作用力与相对位移垂直
0 内对刚体,W
22
例：一人从 10m深的井中提水。起始时桶中装有 10kg的水，
桶的质量为 1kg，由于水桶漏水，每升高 1m要漏去 0.2kg
的水。求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。
解,选铅直向上为坐标 y轴的正方向，井中水面出为原点。 由题意知，人匀速提水，故人的拉力 F等于水桶的重力 G，即：
)(96.18.1 0 70 NykyGGF
人得拉力所作的功为：
JF d ydwW
H
9 8 0
0
23
二 动能定理 （ kinetic energy theorem）
▲ 对质点,由牛顿第二定律，有 动能定理：
1212 kk EEW
2
2
1 vmE
k?
—— 动能
（对惯性系）
▲ 对质点系,有 动能定理：
12 kk EEWW 内外
（?各质点位移不一定相同）。
注意,内力虽成对出现,但内力功的和不一定为零
24
一,计算重力、弹力、引力的功
x
k m
o m
o
o
m
x
k
k x1
x2
xF?
F?
h
h2
h1m
mg
o
§ 3.5 保守力与非保守力 势能
25
万有引力
re
r
G M m
r
d
2
)2(
)1(
r
r
G M mr
r d
2
1 2
12 r
G M m
r
G M m
任何中心力 都是保守力 。
rerf?)(
m·
r
M
f·
)2( )1(12 d rfW对
d r
(2)
×
×
(1)
r2
r1
re?
rer r dd
26
共同特点：
① 做功与路径无关，只与起、末点位置有关
② 做功等于与相互作用物体的相对位置有关的某函数在始末位置的值之差
27
二、保守力与非保守力
1,保守力
对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
0d
L
rF
否则为非保守力（耗散力）
（四种基本相互作用力均是保守力）
做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
b
a
b
a
rFrFA dd
（路径 L1） （路径 L2）
a
m
b
L1
L2
F?
28
三,势能：
凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我们将该函数定义为此物体系的势能。
x
E p
0
r
E p
保守力重 力弹 力引 力势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
2
21 kx
r
mMG?
h = 0
x = 0
r= ∞
h
E p
0
0
29
保守力与相关势能的关系：
① 凡保守力都有其相关势能,势能属于物体系,保守力为该势能系统的内力。势能是状态的函数
②保守力的功等于其相关势能增量的负值
W保 = -ΔEp
势能的相对性,物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到零势点过程中保守力做的功,
30
③ 保守力为其相关势能梯度的负值,
pl ElFlFA dddd
ppg r a d EEF保
kji zEyExE ppp
l
E
F
l d
d
p
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向空间变化率
m
lF
lθ
F?
l?d
31
例：
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，
（ v ＜＜ c） 离开地面的高度等于地球半径的二倍
（即 2R）。 试以 m,R、引力恒量 G,地球质量 M
表示出：
(1) 卫星的动能；
(2) 卫星在地球引力场中的引力势能；
(3) 卫星的总机械能。
O
r
F
2R
R
M
m
32
解：,cv 非相对论问题
R
G m M
mvE
R
v
m
R
mM
G
62
1
33
2
k
2
2
①
②
R
mM
Gr
r
mM
GE
R 3
d
3
2p
③
R
G M mEEE
6pk
约束于引力场中，未摆脱地球影响
O
r
F
2R
R
M
m
33
例：
均匀链 m,长 l 置于光滑桌面上,下垂部分长
0.2 l,施力将其缓慢拉回桌面。
用两种方法求出此过程中外力所做的功。
0.8 l
0.2 l
0 m
x
34
解一,用变力做功计算光滑平面,缓慢拉回,则拉力与链下垂部分重力平衡,
设下重部长为 x,质量以向下为正,l
xm?
glmxG?
50
dd
0
2.0
m g lxx
l
mgxFW
l
G
50
m glWW
GF
0.8 l
0.2 l
0 m
x
35
解二,
用保守力做功与势能变化的关系计算令桌面初态,
末态,
重力做功,
外力功,
0p?E
5010551p m g llmgcmg hE
02p?E
501p2pp
m g lEEEW
G
50
m g lWW
G
0.8 l
0.2 l
0 m
质心 c
0p?E
36
§ 3.6功能原理，机械能守恒定律一,功能原理 （ work-energy theorem）
对质点系动能定理,
12 kk EEWW 内外内非内保内 WWW
）（）（内非外 1122 pkpk EEEEWW
引入系统的 机械能
pk EEE
功能原理
12 EEWW 内非外
（积分形式）
EWW ddd 内非外
（微分形式）
内非WEE pp )( 12
37
二,机械能守恒定律
（ law of conservation of mechanical energy）
在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。
常量，则且若 内非外 EWW 0d0d
即
——机械能守恒定律显然,孤立的保守系统机械能守恒 。
内保时，当 WEEE pk 0
W保内 < 0
即 Ep EkW保内 > 0
38
三,普遍的能量守恒定律如果考虑各种物理现象,计及各种能量,
则 一个孤立系统不管经历何种变化,
系统所有能量的总和保持不变 。
——普遍的能量守恒定律机械运动范围内的体现。
机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在保守内力作功 是系统 势能 与 动能 相互 转化的手段和度量。
39
守恒定律联合应用举例
[例 ] 已知,m = 0.2kg,M=2kg,v = 4.9m/s 。
求,hmax =?
解,m + M + 地球：
W外 = 0,W内非 = 0,
当 h= h max 时,M 与 m有相同的水平速度 。V?
取地面 Ep = 0，有：
)1()(2121 m a x22 m g hEVMmEm pMpMv
故机械能守恒。
mvM
光滑光滑
hmax
40
g
M
m
h
21
1
m a x
2v
分析结果的合理性,● 量纲对。
gh 2
2
ma x
v?
代入数据：
m11.1
8.92
9.4
2
2.0
1
1 2
m a x
h
,0?Mm
● 正确。
，2m a x 21 vmm g h?
由 (1),(2) 得：
m + M,水平方向 F外 = 0，故水平方向动量守恒
mv =（ m+M） V (2)
41
伯努利方程
1.推导：
（ 1）作用力作功故内力作功为零对于理想流体 内,0,?f
tvSPA 1111:推力作正功
tvSPA 2222:阻力作负功
tvSPvSPAAA )(
22211121
则外力所作的总功为
VtvStvS 211 2:液体不可压缩
VPPA )(,21可得
42
(2)机械能的改变情况
)
2
1
()
2
1
(
)
2
1
()
2
1
(
1
2
12
2
2
1
2
12
2
2
12
ghvghvV
m g hmvm g hmv
EE
43
::)3( 12 得由功能定理 EEA
2
2
221
2
11
1
2
12
2
221
2
1
2
1
:
)
2
1
()
2
1
()
ghvPghvP
ghvghvVVPP
即
（
即理想流体作定常流动时，在流管中同一流线上，单位体积流体的动能，势能和压强能三者的和是一个恒量。
故伯努利方程是 能量守恒 在理想流体定常流动的体现。
伯努利方程
44
rc
§ 3-9质心运动 （ center of mass）
一,质心的概念和质心位置的确定
×C ·
·
·
·
·
· mi·
z
·r
i
y
x
0
定义 质心 C 的位矢为：
m
mr r ii
C
）（ imm
m
xmx ii
C
m
ymy ii
C
m
zmz ii
C
质心位置是 质点位置以质量为 权重 的平均值。
为便于研究质点系总体运动，引入 质心 概念。
45
二,几种系统的质心
● 两质点系统
m2m1· ·×
r1 r2
C m
1 r1 = m2 r2
● 连续体
×r
rc
dm
C
0
m
z
x
y
m
mr
r C
d
m
mx
x C
d
……
46
R
●,小线度,物体的质心和重心是重合的 。
[例 ]如图示，
C
xC
O″r O′
r
d d
x
y
O
均质圆盘求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。
由对称性分析，质心 C应在 x轴上。解：
令 为质量的面密度,则质心坐标为：
22
20
rR
rdx
C
）（
1/ 2?
rR
d
挖空
·
● 均匀杆,圆盘,圆环、球，质心为其几何中心。
47
xxo? y
x
R
ld
例,求半径为 R的匀质半薄球壳的质心解,由对称性可知质心在 y轴上面,取如图所示微元圆环,则圆环的面积为,
RdR
dlRdS
s in2
s in2
则其质心为,
2
s inc o s
2
s in2
2
0
2
2
`
R
dR
R
dRy
m
y d m
y
c
48
二,质心运动定理
（ theorem of motion of center of mass）
一,质心运动定理
rc
C v
c
× ·
·
·
·
·
· mi·
z
·r
i
y
x
0
vi
i iiC
mm vv质心动量
CmP v
即质点系的总动量
t
r C
C d
dv
m
t
r
m ii?
d
d
m
m ii v?
是质点系的“平均”速度
Cv
P? 总动量?
49
t
mm
tt
PF C
C d
d)(
d
d
d
d vv
外由
CamF
外
—质心运动定理有该质点集中了整个质点系的质量和所受质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，
的外力。
实际上是物体质心的运动。
在质点力学中所谓“物体”的运动，
