第三章 离散信号傅立叶分析介绍傅立叶分析定义了信号时域和频域之间的一种变换,这里时间和频率变量可以取连续值,
也可以取离散值,因而形成了几种形式的傅立叶变换对,
离散傅立叶变换是数字信号处理中最基本也是最重要的运算,特别是有了快速傅立叶算法，离散傅立叶变换得到了广泛应用。
3.1 周期序列的傅里叶级数
3.1 周期序列的傅里叶级数 (DFS)
1 离散周期序列以 N为周期的离散周期信号,N为整数,同样，
离散周期序列可以分解为无穷虚指数份量的和
nlNkjnjk NN ee 22 )(
)()( Nnfnf
...1,1,0}{ 2ke njk N?
是以基波频率 成谐波关系的复指数序列集
N?2
为 N的周期序列,所以展开式 只有有限项谐波图 1(a)周期序列 (b)直流分量 (c)余弦分量 (d)正弦分量
nnnx N 2s in212c o s2121)(
)(41)(4121)( 2222 njnjnjnjN eejeenx
值其余 k
NNkNe
Nn
njk N
0
2,,02?
特点,
1、基波和高次谐波在任一周期内的求和均为零。
值其余 k
NNkN
e
e
e
ee
NN
N
N
jk
jk
jk
NjkN
n
njk
0
2,,0
1
1
1
1
22
2
2 21
0
2、正交性
0
2)(
Nn
nkmj Ne?
lNkm
2 离散周期序列的傅里叶级数展开式展开式
Nk
njk
kN
Necnx
2
)(
Nn
njk
Nk NenxNc
2
)(1
Nk
njk
kN Necnx
2
)(
系数的确定
)(
)(
2
222
)(
交换求和顺序
Nn
nmkj
Nk
k
Nn Nk
njk
k
njm
Nn
njm
N
N
NNN
ec
eceenx
在上式右边对 求和时，只当 时为非零，所以有,n mk?
Ncenx m
Nn
njm
N N
2)(?
Nn
njk
Nk NenxNc
2
)(1
3 系数的性质性质一 )( 为整数lcc klNk
性质二 对实数序列，具有共轭对称性，即：
*kk cc
性质三 的模为 的偶函数,的相位 (幅角 )为的奇函数。
kc kck
k
说明离散周期序列的 DFS的系数仍然是一个周期序列
4 离散周期信号的频谱
kc以 ~ 画出的波形称为频谱图,w称为圆周角频率kNw?2?
例 1 求周期脉冲序列的傅里叶级数展开式 ( N=4)
求周期脉冲序列的傅里叶级数展开式例 1
解,
2
1)(
4
1)(1 3
0
0
n
N
Nn
N nxnxNc
3
4
1
4
1
20
1
4
1
4
1
4
1
4
1
)(
4
1
)(
1
2
4
22
3
0
kj
k
kj
e
enxenx
N
c
jk
njk
n
N
Nn
njk
Nk
N
njnj
N ejejnx 2
32 )
4
1
4
1()
4
1
4
1(
2
1)(
nnnx N 2s in212c o s2121)(
例 4.2 求周期对称脉冲序列的傅里叶级数系数
N
k
N
N
k
N
eee
eee
N
e
ee
N
e
N
enx
N
c
NNN
NNN
N
NN
N
N
jkjkjk
NjkNjkjk
jk
NjkNjk
N
Nn
njk
njk
N
Nn
Nk
2
2
s in
)
2
1
(
2
s in
1
)(
)(1
)1(
)1(1
1
)(
1
1
)()(
)12(
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
解,
N
Nc 12 1
0
图 3(a)离散周期方波序列 (b)离散周期方波序列频谱图
-N 1 0 N1 N
0
1
1,5
n
x
N
( n )
...,..
0 pi 2pi
-0,1
0
0,25
(?
1
= 2? / N )
c
k
(N
1
= 2 N = 20 )
频谱图以 为间隔,与 N有关 ;包络与 N1有关
N
2
12,s in 1 Nx x
(1)当 N1不变时,N增加,谱线间隔变小,幅度变小
(2)当 N不变时,N1变化时,包络形状发生变化周期序列的频谱是离散的,以 为周期的,只要将 N个复指数序列加起来,一定可以恢复原来的时间离散信号,不存在收敛问题
2
3.2离散时间傅立叶变换
3.2 非周期序列的傅里叶变换离散时间傅立叶变换 (DTFT)
1 正变换的定义
Nn
njk
Nk NenxNc
2)(1
Nn
njk
NN
j NenxeX?2)(lim)(
n
njj enxeX )()(
)()()()( )( jIjRjjj ejXeXeeXeX?
模和相角或实部和虚部,
考虑到 时，,N )2(1 Nkk )()( nxnx N
kNj NceX lim)(
2 逆变换定义
)2(2 1)( 11
22
NeNcecnx Nk
njk
k
Nk
njk
kN NN
根据序列的傅里叶级数展开式：
2
)(21)( deeXnx njj
，
。由于 k的取值周期为 N,则 的周期为,
考虑到 时，,N )2(1 Nkk
)()( nxnx N?
d1 )( jk eXNc
Nk?2
)2( Nk?
2
的周期也为,则可得?2
DTFT正反变换定义式
n
njj enxeX )()(
2
)(21)( deeXnx njj
DTFT和 Z变换的关系为
n
nj
eZ
n
n
eZ
j
enxZnx
ZXeX
j
j
)()(
)()(
所以 DTFT就是单位圆上的 Z变换，变换的性质均可由 Z 变换特性得到 。
3 从频域中看非周期序列
0 )(co s)(1)( dneXnx j
离散序列的最高角频率是,且其频谱是周期为 的周期函数。离散序列频谱在 [,]区间上的变化规律就已描述了该序列的全部频域特性，而连续信号的全部频域特性是在 (,)区间上描述的。
2?
时间连续的周期信号 频率离散的傅立叶级数时间连续的非周期信号 频率连续的傅立叶变换时间离散的周期序列 频率离散的周期级数时间离散的非周期序列 频率连续的周期变换
4 常见序列的离散时间傅里叶变换例 1 方波序列
1
1
1 0
1
)(
Nn
Nn
nx
n
njj enxeX )()(
11
2
s in
)
2
1
(s in 11
1
N
e
N
Nn
nj
解,
若取,则 如图 所示。21?N )(1?jeX
图 5(a)方波序列 (b)方波序列的离散傅里叶变换
-2p i -pi 0 pi 2pi
-1
0
5
X
1
( e
j?
)
-N 1 0 N1
0
1
n
x
1
( n )
例 2 求单位样值序列 的傅里叶变换；
)(nanx n
n?
1)()()(
n
nj
n
njj enenxeX?解
1)( Fn?
例 3 求 的傅里叶变换；
1
1
1
)()(
0
a
ae
aeeaeX
j
n
n
j
n
njnj
例 4 求频域周期单位冲激函数的傅里逆叶变换。
l
l )2()(2
解
2 )(21)( deeXnx njj
2 2 )(21 de nj?2
1?
)(21 2F
例 5 求符号函数的傅里叶变换。
01
01)(
n
nnSgn
解 )(lim)(
41 nxnSg n a
)(lim)(lim)( 4141 nxFnxFnS g nF aa
jja aeae 1 11 11lim 1
)2,1,0(
21
2
1
1
1
11
l
l
l
ee jj
)2,1,0(
21
2
1
2
)(
l
l
l
enSgnF j
所以,
例 6 求单位阶跃序列的傅里叶变换。
00
01)(
n
nn?
解
)(2121)( nSgnn
j
l e
lnSgnFFnF
1
1)2()(
2
1)(
5 离散序列频谱的性质性质一 周期性,)()( )2( jj eXeX?
性质二 对实数序列,有 共轭对称性,
)()(* jj eXeX )()( * jj eXeX或性质三 对实数序列,有,
)()(* jj eXeX )()(
)()( jRjR eXeX )()( jIjI eXe
性质四 实偶序列的频谱为实偶函数,
)()( jj eXeX
性质五 对虚奇序列有,
)()(* jj eXeX
)()(
)()( jRjR eXeX )()( jIjI eXeX
表 4.1
频移性质的说明
6 序列的内插和抽取（时间尺度变换）
),4(),2(),0()2( xxxnx?
（ 1） 序列内插和抽取的定义内插 )2,1,0(
0
)()(
l
lMn
lMnMnxnx
i
抽取 采样率缩 M倍)()( nMxnx d?
,0),2(,0),1(,0),0()2/( xxxnx?零内插阶跃内插：等于前一采样点的值线性内插：邻近两采样值得平均值问题实际上先内插后抽取，才能准确还原信号
8,4,6,2,18,8,4,4,6,6,2,2,1,18,4,6,2,1
8,8,6,6,1,18,6,18,4,6,2,1
8,4,6,2,1)(
nx
)(22)(2/()(
)(22)(2()(
nxnxnx
nxnxnx
个单位）（抽取个单位）内插个单位）（内插个单位）抽取
结论：
（ 1）以 M 因子内插，再以 M因子抽取，可以恢复原信号
（ 2）以 M 因子抽取，再以 M因子内插，不能恢复原信号
（ 3）若同时需要内插与抽取，最好先进行内插
（ 4）插值与抽取意味着抽样率的转换，要将抽样率做 L/M倍转换，
先做 L倍内插，再做 M倍抽取。
（ 2） 序列零内插后的频谱
Mnj
n
nj
n
nj
n
i
j
i
enxeMnx
enxeX
)()/(
)()(
Mj
i
Mj
i
jM
i
j
ii
eMxeMx
eMxexx
2)1( )2()1(
)()1()0(
)( jMeX
图 4.15
（ 3） 序列丢弃零后的频谱
)()(1 Mjj eXeX
)()(1 Mnxnx? (当 时,) Mnl? 0)(?lx
图
4.17
（ 4） 序列“采样”后的频谱
2 )())((2 1)( djPjXjX s
1
0
)2(2)( M
k M
kMjP
dMkjjXMjX
M
k
s
2
1
0
)2()(1)(
1
0 2
)2()(1 M
k
dMkjjXM
1
0 2
)2())2((1 M
k
dMkMkjXM
1
0
))2((1 M
k M
kjXM?
写成 形式的符号即为：
（ 5） 序列抽取后的频谱
1
0
)2( )(1)( M
k
Mkjjs eX
MeX
1
0
)2( )(1)()( M
k
MkMjMj
sd eXMeXjX
)(?jeX
1
0
)2( )(1)( M
k
Mkjjs eX
MeX
从滤波的角度理解连续系统频率响应和离散系统频率响应之间的关系
（ 6） 连续时间与离散时间系统的频率响应
sTs
j jHeH
/)()(
sT
n
s
s
jnjH
T?
)(1
(1)若用 采样点上的样值构成一个离散序列,则经频率变换 后,的频谱中含有一个不失真的频谱的信息 (忽略幅度因子 );
(2) 是 经频率变换 后的周期延拓 ;
(3)由冲激响应不变法 [即由 采样点上的样值构成 ]
可以由模拟系统 获得对应的离散系统 。
)(tx )(nx
sT )(nx )(tx
ST
1
)(?jeH )(?H sT
)(th
)(?jH )(?jeH
)(nh
图 (4.23)连续信号频谱和对应的离散序列频谱之间的关系图连续时间系统频率响应和离散时间系统频率响应之间的关系采样后信号的频谱
)/2()(1)( ss
n
s
s
s TjnjXTjX
s
s
T
n
s
sT
s
j jnjX
T
jXeX
)(1)()(
n
njj enxnxFeX )()]([)(
sTs
j jXeX
/)()(
理想采样后信号 的频谱是 频谱的周期延拓)(txs )(tx
3.3周期序列 DTFT
3.3 周期序列的傅里叶变换
1 周期复指数序列 的傅里叶变换nje 0?
l
lF )2(2]1[
l
nj leF )2(2][
00
])1([)2()()()( 1112110 Nccccg N
2 一般周期序列的傅里叶变换
3 傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系
Nn
nNjk
Nk enxNc
2
)(1
n
njj enxeX )()(
Nk
j
k eXNc?2)(
1
周期序列 的傅里叶级数系数为,)(nxN
非周期序列 的傅里叶变换为,)(nx
比较上面两式知,
图 ((a)非周期序列 (b)延拓后构成的周期序列图 (a)周期单位样值序列
(b)周期单位样值序列的傅里叶变换例 1 求周期单位样值序列的傅里叶变换。
l
nj leF )2(2][
00
l
N lNnn )()(
解?
Nn
nNjk
k enxNc
2
)(1
Nn
nNjken
N
2
)(1 N1?
k
j
NkNeX )
2(2)(
Nk
njk
N
Ne
Nn
21)(
也可以取离散值,因而形成了几种形式的傅立叶变换对,
离散傅立叶变换是数字信号处理中最基本也是最重要的运算,特别是有了快速傅立叶算法，离散傅立叶变换得到了广泛应用。
3.1 周期序列的傅里叶级数
3.1 周期序列的傅里叶级数 (DFS)
1 离散周期序列以 N为周期的离散周期信号,N为整数,同样，
离散周期序列可以分解为无穷虚指数份量的和
nlNkjnjk NN ee 22 )(
)()( Nnfnf
...1,1,0}{ 2ke njk N?
是以基波频率 成谐波关系的复指数序列集
N?2
为 N的周期序列,所以展开式 只有有限项谐波图 1(a)周期序列 (b)直流分量 (c)余弦分量 (d)正弦分量
nnnx N 2s in212c o s2121)(
)(41)(4121)( 2222 njnjnjnjN eejeenx
值其余 k
NNkNe
Nn
njk N
0
2,,02?
特点,
1、基波和高次谐波在任一周期内的求和均为零。
值其余 k
NNkN
e
e
e
ee
NN
N
N
jk
jk
jk
NjkN
n
njk
0
2,,0
1
1
1
1
22
2
2 21
0
2、正交性
0
2)(
Nn
nkmj Ne?
lNkm
2 离散周期序列的傅里叶级数展开式展开式
Nk
njk
kN
Necnx
2
)(
Nn
njk
Nk NenxNc
2
)(1
Nk
njk
kN Necnx
2
)(
系数的确定
)(
)(
2
222
)(
交换求和顺序
Nn
nmkj
Nk
k
Nn Nk
njk
k
njm
Nn
njm
N
N
NNN
ec
eceenx
在上式右边对 求和时，只当 时为非零，所以有,n mk?
Ncenx m
Nn
njm
N N
2)(?
Nn
njk
Nk NenxNc
2
)(1
3 系数的性质性质一 )( 为整数lcc klNk
性质二 对实数序列，具有共轭对称性，即：
*kk cc
性质三 的模为 的偶函数,的相位 (幅角 )为的奇函数。
kc kck
k
说明离散周期序列的 DFS的系数仍然是一个周期序列
4 离散周期信号的频谱
kc以 ~ 画出的波形称为频谱图,w称为圆周角频率kNw?2?
例 1 求周期脉冲序列的傅里叶级数展开式 ( N=4)
求周期脉冲序列的傅里叶级数展开式例 1
解,
2
1)(
4
1)(1 3
0
0
n
N
Nn
N nxnxNc
3
4
1
4
1
20
1
4
1
4
1
4
1
4
1
)(
4
1
)(
1
2
4
22
3
0
kj
k
kj
e
enxenx
N
c
jk
njk
n
N
Nn
njk
Nk
N
njnj
N ejejnx 2
32 )
4
1
4
1()
4
1
4
1(
2
1)(
nnnx N 2s in212c o s2121)(
例 4.2 求周期对称脉冲序列的傅里叶级数系数
N
k
N
N
k
N
eee
eee
N
e
ee
N
e
N
enx
N
c
NNN
NNN
N
NN
N
N
jkjkjk
NjkNjkjk
jk
NjkNjk
N
Nn
njk
njk
N
Nn
Nk
2
2
s in
)
2
1
(
2
s in
1
)(
)(1
)1(
)1(1
1
)(
1
1
)()(
)12(
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
解,
N
Nc 12 1
0
图 3(a)离散周期方波序列 (b)离散周期方波序列频谱图
-N 1 0 N1 N
0
1
1,5
n
x
N
( n )
...,..
0 pi 2pi
-0,1
0
0,25
(?
1
= 2? / N )
c
k
(N
1
= 2 N = 20 )
频谱图以 为间隔,与 N有关 ;包络与 N1有关
N
2
12,s in 1 Nx x
(1)当 N1不变时,N增加,谱线间隔变小,幅度变小
(2)当 N不变时,N1变化时,包络形状发生变化周期序列的频谱是离散的,以 为周期的,只要将 N个复指数序列加起来,一定可以恢复原来的时间离散信号,不存在收敛问题
2
3.2离散时间傅立叶变换
3.2 非周期序列的傅里叶变换离散时间傅立叶变换 (DTFT)
1 正变换的定义
Nn
njk
Nk NenxNc
2)(1
Nn
njk
NN
j NenxeX?2)(lim)(
n
njj enxeX )()(
)()()()( )( jIjRjjj ejXeXeeXeX?
模和相角或实部和虚部,
考虑到 时，,N )2(1 Nkk )()( nxnx N
kNj NceX lim)(
2 逆变换定义
)2(2 1)( 11
22
NeNcecnx Nk
njk
k
Nk
njk
kN NN
根据序列的傅里叶级数展开式：
2
)(21)( deeXnx njj
，
。由于 k的取值周期为 N,则 的周期为,
考虑到 时，,N )2(1 Nkk
)()( nxnx N?
d1 )( jk eXNc
Nk?2
)2( Nk?
2
的周期也为,则可得?2
DTFT正反变换定义式
n
njj enxeX )()(
2
)(21)( deeXnx njj
DTFT和 Z变换的关系为
n
nj
eZ
n
n
eZ
j
enxZnx
ZXeX
j
j
)()(
)()(
所以 DTFT就是单位圆上的 Z变换，变换的性质均可由 Z 变换特性得到 。
3 从频域中看非周期序列
0 )(co s)(1)( dneXnx j
离散序列的最高角频率是,且其频谱是周期为 的周期函数。离散序列频谱在 [,]区间上的变化规律就已描述了该序列的全部频域特性，而连续信号的全部频域特性是在 (,)区间上描述的。
2?
时间连续的周期信号 频率离散的傅立叶级数时间连续的非周期信号 频率连续的傅立叶变换时间离散的周期序列 频率离散的周期级数时间离散的非周期序列 频率连续的周期变换
4 常见序列的离散时间傅里叶变换例 1 方波序列
1
1
1 0
1
)(
Nn
Nn
nx
n
njj enxeX )()(
11
2
s in
)
2
1
(s in 11
1
N
e
N
Nn
nj
解,
若取,则 如图 所示。21?N )(1?jeX
图 5(a)方波序列 (b)方波序列的离散傅里叶变换
-2p i -pi 0 pi 2pi
-1
0
5
X
1
( e
j?
)
-N 1 0 N1
0
1
n
x
1
( n )
例 2 求单位样值序列 的傅里叶变换；
)(nanx n
n?
1)()()(
n
nj
n
njj enenxeX?解
1)( Fn?
例 3 求 的傅里叶变换；
1
1
1
)()(
0
a
ae
aeeaeX
j
n
n
j
n
njnj
例 4 求频域周期单位冲激函数的傅里逆叶变换。
l
l )2()(2
解
2 )(21)( deeXnx njj
2 2 )(21 de nj?2
1?
)(21 2F
例 5 求符号函数的傅里叶变换。
01
01)(
n
nnSgn
解 )(lim)(
41 nxnSg n a
)(lim)(lim)( 4141 nxFnxFnS g nF aa
jja aeae 1 11 11lim 1
)2,1,0(
21
2
1
1
1
11
l
l
l
ee jj
)2,1,0(
21
2
1
2
)(
l
l
l
enSgnF j
所以,
例 6 求单位阶跃序列的傅里叶变换。
00
01)(
n
nn?
解
)(2121)( nSgnn
j
l e
lnSgnFFnF
1
1)2()(
2
1)(
5 离散序列频谱的性质性质一 周期性,)()( )2( jj eXeX?
性质二 对实数序列,有 共轭对称性,
)()(* jj eXeX )()( * jj eXeX或性质三 对实数序列,有,
)()(* jj eXeX )()(
)()( jRjR eXeX )()( jIjI eXe
性质四 实偶序列的频谱为实偶函数,
)()( jj eXeX
性质五 对虚奇序列有,
)()(* jj eXeX
)()(
)()( jRjR eXeX )()( jIjI eXeX
表 4.1
频移性质的说明
6 序列的内插和抽取（时间尺度变换）
),4(),2(),0()2( xxxnx?
（ 1） 序列内插和抽取的定义内插 )2,1,0(
0
)()(
l
lMn
lMnMnxnx
i
抽取 采样率缩 M倍)()( nMxnx d?
,0),2(,0),1(,0),0()2/( xxxnx?零内插阶跃内插：等于前一采样点的值线性内插：邻近两采样值得平均值问题实际上先内插后抽取，才能准确还原信号
8,4,6,2,18,8,4,4,6,6,2,2,1,18,4,6,2,1
8,8,6,6,1,18,6,18,4,6,2,1
8,4,6,2,1)(
nx
)(22)(2/()(
)(22)(2()(
nxnxnx
nxnxnx
个单位）（抽取个单位）内插个单位）（内插个单位）抽取
结论：
（ 1）以 M 因子内插，再以 M因子抽取，可以恢复原信号
（ 2）以 M 因子抽取，再以 M因子内插，不能恢复原信号
（ 3）若同时需要内插与抽取，最好先进行内插
（ 4）插值与抽取意味着抽样率的转换，要将抽样率做 L/M倍转换，
先做 L倍内插，再做 M倍抽取。
（ 2） 序列零内插后的频谱
Mnj
n
nj
n
nj
n
i
j
i
enxeMnx
enxeX
)()/(
)()(
Mj
i
Mj
i
jM
i
j
ii
eMxeMx
eMxexx
2)1( )2()1(
)()1()0(
)( jMeX
图 4.15
（ 3） 序列丢弃零后的频谱
)()(1 Mjj eXeX
)()(1 Mnxnx? (当 时,) Mnl? 0)(?lx
图
4.17
（ 4） 序列“采样”后的频谱
2 )())((2 1)( djPjXjX s
1
0
)2(2)( M
k M
kMjP
dMkjjXMjX
M
k
s
2
1
0
)2()(1)(
1
0 2
)2()(1 M
k
dMkjjXM
1
0 2
)2())2((1 M
k
dMkMkjXM
1
0
))2((1 M
k M
kjXM?
写成 形式的符号即为：
（ 5） 序列抽取后的频谱
1
0
)2( )(1)( M
k
Mkjjs eX
MeX
1
0
)2( )(1)()( M
k
MkMjMj
sd eXMeXjX
)(?jeX
1
0
)2( )(1)( M
k
Mkjjs eX
MeX
从滤波的角度理解连续系统频率响应和离散系统频率响应之间的关系
（ 6） 连续时间与离散时间系统的频率响应
sTs
j jHeH
/)()(
sT
n
s
s
jnjH
T?
)(1
(1)若用 采样点上的样值构成一个离散序列,则经频率变换 后,的频谱中含有一个不失真的频谱的信息 (忽略幅度因子 );
(2) 是 经频率变换 后的周期延拓 ;
(3)由冲激响应不变法 [即由 采样点上的样值构成 ]
可以由模拟系统 获得对应的离散系统 。
)(tx )(nx
sT )(nx )(tx
ST
1
)(?jeH )(?H sT
)(th
)(?jH )(?jeH
)(nh
图 (4.23)连续信号频谱和对应的离散序列频谱之间的关系图连续时间系统频率响应和离散时间系统频率响应之间的关系采样后信号的频谱
)/2()(1)( ss
n
s
s
s TjnjXTjX
s
s
T
n
s
sT
s
j jnjX
T
jXeX
)(1)()(
n
njj enxnxFeX )()]([)(
sTs
j jXeX
/)()(
理想采样后信号 的频谱是 频谱的周期延拓)(txs )(tx
3.3周期序列 DTFT
3.3 周期序列的傅里叶变换
1 周期复指数序列 的傅里叶变换nje 0?
l
lF )2(2]1[
l
nj leF )2(2][
00
])1([)2()()()( 1112110 Nccccg N
2 一般周期序列的傅里叶变换
3 傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系
Nn
nNjk
Nk enxNc
2
)(1
n
njj enxeX )()(
Nk
j
k eXNc?2)(
1
周期序列 的傅里叶级数系数为,)(nxN
非周期序列 的傅里叶变换为,)(nx
比较上面两式知,
图 ((a)非周期序列 (b)延拓后构成的周期序列图 (a)周期单位样值序列
(b)周期单位样值序列的傅里叶变换例 1 求周期单位样值序列的傅里叶变换。
l
nj leF )2(2][
00
l
N lNnn )()(
解?
Nn
nNjk
k enxNc
2
)(1
Nn
nNjken
N
2
)(1 N1?
k
j
NkNeX )
2(2)(
Nk
njk
N
Ne
Nn
21)(
