第二章 连续信号傅立叶分析
2.1信号的正交分解概念
信号与多维矢量之间的相似关系
空间感念数学定义,把具有某种特性的集合称为“空间”
线性矢量空间：引入线性运算的矢量空间范数,矢量长度类似线性赋范空间内积空间
信号能量与矢量长度的相似信号相关性类似于矢量之间的夹角内积空间的正交性内积空间信号的正交展开帕塞瓦尔公式揭示了信号正交分解能量不变性的物理本质,
相当于矢量范数不变性 (内积不变性 )的体现一,信号矢量空间
1.线性空间其中任意两元素相加构成集合内的另一个元素,任一元素与任一数相趁乘后得到集合内的另一元素,
n维实数空间连续时间信号空间 L
离散时间信号空间在线性空间利用线性运算研究线性相关、基、维数等线性结构
n维实数空间为有限维空间，连续、离散时间信号空间为无穷维空间
NR
l
2.范数、赋范空间范数是矢量长度的度量方法，也用于表示信号能量
a) 的范数常见的有,,。 称为欧氏距离
NR
px
px
x
iNi
pN
p
i
p
1
/1
1
m a x
1
1,2,?,2.
a) L和 范数l
ptx
pdttx
x
pp
p )(s u p
1)(
.
/1
pnx
pnx
x
p
p
p
)(s u p
1)(
.
/1
dttxx )(,1 2/12
2 )(,
dttxx
dttxx 222 )(.
二阶范数的平方表示信号能量,表示信号可测得的蜂值给出了范数的概念可构成线性赋范空间，如 等
x
1L 2L?L?l
3.内积,内积空间范数与信号自身的能量、强度等特征相对应，而内积与信号之间的相关密切相连。
三维矢量内积运算,当夹角为 90度时，
结果为零；夹角为 0时，结果最大。
L空间两信号的内积：
),(),,( 2121 yyyxxx
两矢量夹角 21
)c o s ( 21222211 yxyxyx
332211 yxyxyx
2
2
2)(,
)()(,
xdttxxx
dttytxyx
Zn
nynxyx )(*)(,
二,信号的正交分解
1、矢量正交与正交分解矢量 Vx = ( vx1,vx2,vx3)与 Vy = ( vy1,vy2,vy3)正交的定义：
其内积为 0。即
03
1
i
yixi
T
yx vvVV
由两两正交的矢量组成的矢量集合 ---称为 正交矢量集例如对于一个三维空间的矢量 A =(2,5,8)，可以用一个三维正交矢量集 { vx,vy,vz}分量的线性组合表示。即
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz
矢量空间正交分解的概念可推广到 信号 空间，在信号空间找到若干个 相互正交的信号 作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
定义在 (t1,t2)区间的两个函数?1(t)和?2(t),若满足
21 0d)()( *21tt ttt
21,0,0d)()( *tt iji jiK jittt
则称?1(t)和?2(t) 在区间 (t1,t2)内 正交 。
若 n个函数? 1(t),? 2(t),…,? n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间 (t1,t2)内满足则称此函数集为在区间 (t1,t2)的 正交函数集 。
iii
ji
Ktt
tt
)(),(
0)(),(
如果在正交函数集 {?1(t),? 2(t),…,? n(t)}之外，不存在函数 φ(t)(≠0）满足?
2
1
0d)()(tt i ttt
则称此函数集为 完备正交函数集 。
2、正交函数集例 3:沃尔什函数 (walah)是区间（ 0,1）的完备正交函数集例 1,三角函数集 {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…}
例 2:虚指数函数集 {ejnΩt,n=0,± 1,± 2,…}
是两组典型的在区间 (t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
10)2c o s (),( 1
0
ttkS g ntkW a l p
r
r
r?
),1(),6(),1(),2(),4(),7(
),2(),4(),6(
),1(),4(),5(
4c o s),4(
),2(),1(c o s2c o s),3(
2c o s),2(
c o s0c o sc o s),1(
10c o s),0(
tW a ltW a ltW a ltW a ltW a ltW a l
tW a ltW a ltW a l
tW a ltW a ltW a l
tS g ntW a l
tW a ltW a ltS g ntS g ntW a l
tS g ntW a l
tS g ntS g ntS g ntW a l
tS g ntW a l
3、正交函数集实例
上述波形也称为“小波”。小：具有衰减性、局部非零的的函数 ;
波,指具有波动性,振幅呈正负之间的震荡形式
利用所给的小波能否派生更多 \更适用的小波函数?
)12()2()(
)12()2()(
ttt
ttt
)(2RL? 小波函数的重要价值在于通过平移和伸缩生成 中的一组正交基
nk
kk
n
k
ntdtf
Nnknt
,
2()(
,,2(
MATLAB有各种小波基函数库,信号分解为正交函数和是信号分析的一个重要内容,傅立叶级数、傅立叶变换、离散傅立叶变换、离散余弦变换、
小波变换等。
0, PE
4、正交分解设有 n个函数?1(t),? 2(t),…,? n(t)在区间 (t1,t2)构成一个正交函数空间。将任一函数 f(t)用这 n个正交函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C1?1+ C2?2+…+ C n?n
如何选择各系数 Cj使 f(t)与近似函数之间误差在区间 (t1,t2)
内为最小。
通常使误差的方均值 (称为 均方误差 )最小。均方误差为
ttCtftt tt n
j
jj d])()([
1 2
1
2
112
2
为使上式最小
0d)]()([2
1 1
22
tt n
j
jj
ii
ttCtfCC
21 0d)]()()(2[ 22tt iiii
i
ttCttfCC
2121 0d)(2d)()(2 2tt iitt i ttCtttf
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为 0，写为所以系数
2
12
1
2
1 d)()(1
d)(
d)()(
2
t
t i
i
t
t i
t
t i
i tttfK
tt
tttf
C?
最小均方误差
0]d)([1
1
22
12
2 2
1
n
j
jj
t
t KCttftt?
正交函数近似 f(t)时,n越大，均方误差越小。当 n→∞ 时（为完备正交函数集），均方误差为零。
1
222
1
d)(
j
jj
t
t
KCttf
称为 (Parseval)巴塞瓦尔公式,表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于 f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
1
)()(
j
jj tCtf?
函数 f(t)可分解为无穷多项正交函数之和三,正交基
1、正交变换是空间 H的一组向量,它们线性无关且构成完备函数集,
为 H 的一组正交基分解系数 是唯一的将信号经正交变换后得到一组离散系数,具有减少各分量的相关性的作用,即将信号能量集中于少数系数上,相关性去处的程度及能量集中的程度取决于选择的基函数的性质,
n?
N nnx
1
N,,21
N,,21
2、正交基选择在一个 N维空间中,如同有无数组 N个线性无关的向量一样,也可以找到无穷多个正交基,如何选择一组好的正交基?
一般考虑如下几个因素,
具有所希望的物理意义或实际含义,有些物理解释虽然不甚明朗,但有较强的实际价值
正交基应尽量简单,尽量减少正反变换时的计算量
为了研究局部频率或局部时间性质,希望基函数有频域和时域的定位 功能,既 频域和时域最好是紧支撑的
具有好的去相关性和能量集中的性能正交小波正是朝这一目标努力得出的可喜成果,
2.2信号的傅立叶分析一,周期信号的傅立叶级数：
1
0
1
0
0 )s in ()c o s (
2)( n nn n tnbtna
atx
1
0
0 )c o s (
2)( n nn tnA
Atx?
表明,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
其中,A0/2为 直流分量 ；
A1cos(?0t+?1)称为 基波,它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2?0t+?2)称为 二次谐波,它的频率是基波的 2倍；
一般而言,Ancos(n?0t+?n)称为 n次谐波 。
An~n?0,?n~ n?0 绘成的波形称为幅度谱和相位谱,
1.三角型傅立叶级数：
2.指数型傅立叶级数：
n
tjn
n
tjnj
n
jnX
Atx n
0e)(
ee
2
1
)(
0
1
)()(0 ]e[e
22
00
n
tnjtnjn nnAA
11
0 00 ee
2
1ee
2
1
2 n
tjnj
n
n
tjnj
n
nn AAA
1
0
0 )c o s (
2)( n nn tnA
Atx?
)()(
()(
0
)(
00
0
jnXtx
ejnXjnX nj?
提取了反映信号全貌的三个基本特征,即基波频率、各谐波的幅度和相位 ——频谱图
频谱图与时域波形的变化规律有着密切的关系：频率的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映了时域波形幅值得大小；相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻
)( 0?jnX任意波形的周期信号都可以用反映信号频率特性的复函数描述
3.傅里叶级数的性质
)()()()( 2221112211
21
jXajXatxatxa F
)()()()( 0220112211
021
jXajXatxatxa F
性质一 线性性质二 时移特性
)()(
)()(
22
11
jnXtx
jnXtx
若若 只要 T1/T2为有理数
)()( 00 00 jnXettx tjnF
性质三 尺度变换
)()( 0 jnXtx F?
0?a
)2(2/1)2(/)(
2/
0
0
0
nSanT S ajnX
信号在时域 尺度变换,频域中各谐波的傅立叶系数保持不变,
但基波频率变为周期为 4,脉宽为 2的周期信号
)2(2/1)( 0
0
nSajnX
周期为 2,脉宽为 1的周期信号性质四 时域微积分性质
0
0)1(
00
0
)(
)(
)()('
)()(
jn
jnX
tx
jnXjntx
jnXtx
F
F
F
4.傅里叶级数的应用谐波分析信号重构与 Gibbs效应对于带突变的信号,
不可能有完美的重构,当有限项叠加时,在每个突变位置上显示出过冲和下冲现象 (突变约 9%).没有突变的信号,不存在 Gibbs
效应
0 5 10 15 20
0
0,5
1
k ( k?
1
)
c
k
/ (2A? / T )
0 5 10 15 20
0
pi
k ( k?
1
)
k
0 5 10 15 20
0
0,5
1
k ( k?
1
)
c
1 k
/ (2A? / T )
周期脉冲信号的频谱
5.周期信号频谱的特点,
1 基本特点 —离散性和谐波性
2 常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点
3 时域中的跳变会产生丰富的高频分量
4 频谱包络线
5,主瓣,宽度,“旁瓣,宽度 ;
6 谱线条数
7 脉宽一定,周期增大,零点不变,谱线变密
8 周期一定,脉宽减小,谱线疏密不变,零点外扩
2?B
1?
fB
周期、脉宽引起频谱的变化
-2T -T 0 T 2T
0
A
t
x ( t ) [ T = 8,? = 2 ]
...,..
-10 -5 0 5 10
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
-T 0 T
0
A
t
x ( t ) [ T = 16,? = 2 ]
...,..
-20 -10 0 10 20
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
-2T -T 0 T 2T
0
A
t
x ( t ) [ T = 8,? = 1 ]
...,..
-10 -5 0 5 10
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
周期、脉宽引起频谱的变化
周期信号过渡到非周期信号的频谱
-T 0 T
0
A
t
x
T
( t )
...,..
-10 0 10
0
0,5
1
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / (A? / T )
0
0
A
t
x ( t )
0
0
0,5
1
X (? ) / (A? )
周期脉冲信号及其频谱及单个脉冲信号及其频谱二,非周期信号的傅里叶变换分析
dejXtx tj )(2 1)(
1.傅里叶变换
dtetxjX tj )()(
)()()()( )( IRj jXXejXjX
傅里叶正变换,
傅里叶逆变换,
)()(?jXtx F
2.非周期信号的频谱周期信号频谱和非周期信号频谱的重要区别：
1 周期信号频谱是频率的离散函数 ;
而非周期信号频谱是频率的连续函数；
2 表示的是周期信号各频率分量实际幅度 ;
而 表示的是非周期信号各频率分量的相对幅度大小关系。
)( 0?jnX T
)(?jX
dejXtx tj )]([)(2 1)(
0 )](co s [)(1 dtX
单边指数衰减信号幅频特性及相频特性
-10 0 10
0
0,5
1
)
|X
2
(? )| / ( 1/? )
-10 0 10
-1
0
1
/?
2
(? ) / (? / 2 )
双边指数衰减奇信号的幅频特性和相频特性
-5 0 5
0
0,5
1
|X
3
(? )| (? = 1 )
-5 0 5
-1
0
1
3
(? ) / (? / 2 )
双边指数衰减奇信号及其频谱 及其频谱
0
-1
0
1
t
x
3
( t )
0
0
|X
3
(? )|
0
-1
0
1
t
Sgn(t )
-50 0 50
0
0,2
0,4
| F [ Sgn( t ) ] |
)(tSgn
3.傅里叶变换的性质
)()( 00 jXettx tjF )()( 00 jXettx tjF
)()( 00 jjXetx Ftj
性质一 线性 )()()()(
22112211 jXajXatxatxa F
性质二 对称性 )()(?jXtx F )(2)( jxtX F
性质三 尺度变换 )(1)(
jXtx
F
性质四 时移特性性质五 频移特性
))(()( 00 jXetx Ftj
时频压扩现象
-2 0 2
0
1
t
x ( t )
-pi/ 2 0 pi/ 2
0
4
X (? )
-1 0 1
0
1
t
x ( 2t )
-pi 0 pi
0
2
4
(1/ 2) X (? / 2 )
)()()(*)( 2121 jXjXtxtx F
)(*)()( thtxty?
)()()( jHjXY?
性质八 时域卷积特性：
性质七 时域积分特性
)()0()()( Xj jXdx Ft
性质六 时域微分特性
)()( jXjtxdtd F )()()( jXjtxdtd nFn
n
性质九 频域卷积定理
djjXjXjXjXtxtx F )()(2 1)(*)(2 1)()( 212121
性质十 帕斯瓦尔定理
djXdttx
22 )(
2
1)(
性质十一 频域微分特性
)()( jXddtjtx F )()()( jXddtxjt n
n
Fn
性质十二 频域积分特性
djXtxjttx F )()()0()(
F 变换对 常用函数 F 变换对：
t
域
ω
域
tetfjF
tj
d)()(
tejFtf
tj
d)(
2
1
)(
δ(t)
ε(t)
j
1)(?
e -?tε(t)j 1
gτ(t)
2
Sa
sgn (t)
j
2
e –?|t|
22
2
1
1 2πδ(ω)
求解下列信号的傅里叶变换。
(1) 直流信号 Atx?)(1
(2) 采样函数
2)(2
tSatx c?
(3) 虚奇函数
tjtx?
1)(
3?
解 (1) 1)(?tF )(2)(2)1(F
)(2)(2)( AAAF
(2) )
2()()(
SaAtgFG
)(2)(2)2( ggtSaAF
令,1?A c
)(2)2()(2 gtSaFtxF
c
c
c
c
c
0
2
(3)
jtS g nF
2)(?
)(2)(22 S g nS g njtF
)(1 S g ntjF
(2)
0
0
A
t
g( t )
-? /2? /2
0
0
G(? )
A?
-2? /? 2? /?
0
0
1
t
Sa(?
c
t / 2 )
-2? /?
c
2? /?
c
0
0
F [ Sa(?
c
t / 2]
-?
c
/2?
c
/2
2? /?
c
4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换
k
tjn
TT ejnXtx
0)()(
0
k
tjn
TT ejnXFtxF
0)()(
0
k
tjn
T eFjnX
0)(
1
n
TT njnXtxF )()(2)( 00
傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系
2
0
2
)(
)(
T
t
T
ttx
tx
T
dtetxTdtetxTjnX tjntjnTT
T
T
T
T
02
2
02
2
)(1)(1)( 0
dtetxdtetxjX tjtj
T
T
2
2
)()()(
)(1)(1)( 00
0
jnXTjXTjnX nT
周期脉冲信号的傅立叶变换
5.信号的频谱分析
))((
2
1
))((
2
1
)(
2
1
)(
2
1
c os)()(
00
0
00
jXjX
etxFetxF
ttxFjX
tjtj
m
调制谱分析：
))2((
4
1
))2((
4
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
c os)()(
00
0
00
jXjXjX
etxFetxF
ttxFX
tj
m
tj
m
mdm
解调谱分析：
6.滤波器的频率特性理想滤波器特性及其不可实现性
)()( 0ttxty
)()()()( 0 jXjHejXjY tj
0)( tjejH
c
c
tj
j eejHjH
0
)()(
0
)(
2
2)]([)( 1 tSajHFth c
c
2.1信号的正交分解概念
信号与多维矢量之间的相似关系
空间感念数学定义,把具有某种特性的集合称为“空间”
线性矢量空间：引入线性运算的矢量空间范数,矢量长度类似线性赋范空间内积空间
信号能量与矢量长度的相似信号相关性类似于矢量之间的夹角内积空间的正交性内积空间信号的正交展开帕塞瓦尔公式揭示了信号正交分解能量不变性的物理本质,
相当于矢量范数不变性 (内积不变性 )的体现一,信号矢量空间
1.线性空间其中任意两元素相加构成集合内的另一个元素,任一元素与任一数相趁乘后得到集合内的另一元素,
n维实数空间连续时间信号空间 L
离散时间信号空间在线性空间利用线性运算研究线性相关、基、维数等线性结构
n维实数空间为有限维空间，连续、离散时间信号空间为无穷维空间
NR
l
2.范数、赋范空间范数是矢量长度的度量方法，也用于表示信号能量
a) 的范数常见的有,,。 称为欧氏距离
NR
px
px
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p
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1,2,?,2.
a) L和 范数l
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二阶范数的平方表示信号能量,表示信号可测得的蜂值给出了范数的概念可构成线性赋范空间，如 等
x
1L 2L?L?l
3.内积,内积空间范数与信号自身的能量、强度等特征相对应，而内积与信号之间的相关密切相连。
三维矢量内积运算,当夹角为 90度时，
结果为零；夹角为 0时，结果最大。
L空间两信号的内积：
),(),,( 2121 yyyxxx
两矢量夹角 21
)c o s ( 21222211 yxyxyx
332211 yxyxyx
2
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)()(,
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二,信号的正交分解
1、矢量正交与正交分解矢量 Vx = ( vx1,vx2,vx3)与 Vy = ( vy1,vy2,vy3)正交的定义：
其内积为 0。即
03
1
i
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由两两正交的矢量组成的矢量集合 ---称为 正交矢量集例如对于一个三维空间的矢量 A =(2,5,8)，可以用一个三维正交矢量集 { vx,vy,vz}分量的线性组合表示。即
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz
矢量空间正交分解的概念可推广到 信号 空间，在信号空间找到若干个 相互正交的信号 作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
定义在 (t1,t2)区间的两个函数?1(t)和?2(t),若满足
21 0d)()( *21tt ttt
21,0,0d)()( *tt iji jiK jittt
则称?1(t)和?2(t) 在区间 (t1,t2)内 正交 。
若 n个函数? 1(t),? 2(t),…,? n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间 (t1,t2)内满足则称此函数集为在区间 (t1,t2)的 正交函数集 。
iii
ji
Ktt
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如果在正交函数集 {?1(t),? 2(t),…,? n(t)}之外，不存在函数 φ(t)(≠0）满足?
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1
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则称此函数集为 完备正交函数集 。
2、正交函数集例 3:沃尔什函数 (walah)是区间（ 0,1）的完备正交函数集例 1,三角函数集 {1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…}
例 2:虚指数函数集 {ejnΩt,n=0,± 1,± 2,…}
是两组典型的在区间 (t0,t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
10)2c o s (),( 1
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10c o s),0(
tW a ltW a ltW a ltW a ltW a ltW a l
tW a ltW a ltW a l
tW a ltW a ltW a l
tS g ntW a l
tW a ltW a ltS g ntS g ntW a l
tS g ntW a l
tS g ntS g ntS g ntW a l
tS g ntW a l
3、正交函数集实例
上述波形也称为“小波”。小：具有衰减性、局部非零的的函数 ;
波,指具有波动性,振幅呈正负之间的震荡形式
利用所给的小波能否派生更多 \更适用的小波函数?
)12()2()(
)12()2()(
ttt
ttt
)(2RL? 小波函数的重要价值在于通过平移和伸缩生成 中的一组正交基
nk
kk
n
k
ntdtf
Nnknt
,
2()(
,,2(
MATLAB有各种小波基函数库,信号分解为正交函数和是信号分析的一个重要内容,傅立叶级数、傅立叶变换、离散傅立叶变换、离散余弦变换、
小波变换等。
0, PE
4、正交分解设有 n个函数?1(t),? 2(t),…,? n(t)在区间 (t1,t2)构成一个正交函数空间。将任一函数 f(t)用这 n个正交函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C1?1+ C2?2+…+ C n?n
如何选择各系数 Cj使 f(t)与近似函数之间误差在区间 (t1,t2)
内为最小。
通常使误差的方均值 (称为 均方误差 )最小。均方误差为
ttCtftt tt n
j
jj d])()([
1 2
1
2
112
2
为使上式最小
0d)]()([2
1 1
22
tt n
j
jj
ii
ttCtfCC
21 0d)]()()(2[ 22tt iiii
i
ttCttfCC
2121 0d)(2d)()(2 2tt iitt i ttCtttf
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为 0，写为所以系数
2
12
1
2
1 d)()(1
d)(
d)()(
2
t
t i
i
t
t i
t
t i
i tttfK
tt
tttf
C?
最小均方误差
0]d)([1
1
22
12
2 2
1
n
j
jj
t
t KCttftt?
正交函数近似 f(t)时,n越大，均方误差越小。当 n→∞ 时（为完备正交函数集），均方误差为零。
1
222
1
d)(
j
jj
t
t
KCttf
称为 (Parseval)巴塞瓦尔公式,表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于 f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
1
)()(
j
jj tCtf?
函数 f(t)可分解为无穷多项正交函数之和三,正交基
1、正交变换是空间 H的一组向量,它们线性无关且构成完备函数集,
为 H 的一组正交基分解系数 是唯一的将信号经正交变换后得到一组离散系数,具有减少各分量的相关性的作用,即将信号能量集中于少数系数上,相关性去处的程度及能量集中的程度取决于选择的基函数的性质,
n?
N nnx
1
N,,21
N,,21
2、正交基选择在一个 N维空间中,如同有无数组 N个线性无关的向量一样,也可以找到无穷多个正交基,如何选择一组好的正交基?
一般考虑如下几个因素,
具有所希望的物理意义或实际含义,有些物理解释虽然不甚明朗,但有较强的实际价值
正交基应尽量简单,尽量减少正反变换时的计算量
为了研究局部频率或局部时间性质,希望基函数有频域和时域的定位 功能,既 频域和时域最好是紧支撑的
具有好的去相关性和能量集中的性能正交小波正是朝这一目标努力得出的可喜成果,
2.2信号的傅立叶分析一,周期信号的傅立叶级数：
1
0
1
0
0 )s in ()c o s (
2)( n nn n tnbtna
atx
1
0
0 )c o s (
2)( n nn tnA
Atx?
表明,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
其中,A0/2为 直流分量 ；
A1cos(?0t+?1)称为 基波,它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2?0t+?2)称为 二次谐波,它的频率是基波的 2倍；
一般而言,Ancos(n?0t+?n)称为 n次谐波 。
An~n?0,?n~ n?0 绘成的波形称为幅度谱和相位谱,
1.三角型傅立叶级数：
2.指数型傅立叶级数：
n
tjn
n
tjnj
n
jnX
Atx n
0e)(
ee
2
1
)(
0
1
)()(0 ]e[e
22
00
n
tnjtnjn nnAA
11
0 00 ee
2
1ee
2
1
2 n
tjnj
n
n
tjnj
n
nn AAA
1
0
0 )c o s (
2)( n nn tnA
Atx?
)()(
()(
0
)(
00
0
jnXtx
ejnXjnX nj?
提取了反映信号全貌的三个基本特征,即基波频率、各谐波的幅度和相位 ——频谱图
频谱图与时域波形的变化规律有着密切的关系：频率的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映了时域波形幅值得大小；相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻
)( 0?jnX任意波形的周期信号都可以用反映信号频率特性的复函数描述
3.傅里叶级数的性质
)()()()( 2221112211
21
jXajXatxatxa F
)()()()( 0220112211
021
jXajXatxatxa F
性质一 线性性质二 时移特性
)()(
)()(
22
11
jnXtx
jnXtx
若若 只要 T1/T2为有理数
)()( 00 00 jnXettx tjnF
性质三 尺度变换
)()( 0 jnXtx F?
0?a
)2(2/1)2(/)(
2/
0
0
0
nSanT S ajnX
信号在时域 尺度变换,频域中各谐波的傅立叶系数保持不变,
但基波频率变为周期为 4,脉宽为 2的周期信号
)2(2/1)( 0
0
nSajnX
周期为 2,脉宽为 1的周期信号性质四 时域微积分性质
0
0)1(
00
0
)(
)(
)()('
)()(
jn
jnX
tx
jnXjntx
jnXtx
F
F
F
4.傅里叶级数的应用谐波分析信号重构与 Gibbs效应对于带突变的信号,
不可能有完美的重构,当有限项叠加时,在每个突变位置上显示出过冲和下冲现象 (突变约 9%).没有突变的信号,不存在 Gibbs
效应
0 5 10 15 20
0
0,5
1
k ( k?
1
)
c
k
/ (2A? / T )
0 5 10 15 20
0
pi
k ( k?
1
)
k
0 5 10 15 20
0
0,5
1
k ( k?
1
)
c
1 k
/ (2A? / T )
周期脉冲信号的频谱
5.周期信号频谱的特点,
1 基本特点 —离散性和谐波性
2 常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点
3 时域中的跳变会产生丰富的高频分量
4 频谱包络线
5,主瓣,宽度,“旁瓣,宽度 ;
6 谱线条数
7 脉宽一定,周期增大,零点不变,谱线变密
8 周期一定,脉宽减小,谱线疏密不变,零点外扩
2?B
1?
fB
周期、脉宽引起频谱的变化
-2T -T 0 T 2T
0
A
t
x ( t ) [ T = 8,? = 2 ]
...,..
-10 -5 0 5 10
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
-T 0 T
0
A
t
x ( t ) [ T = 16,? = 2 ]
...,..
-20 -10 0 10 20
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
-2T -T 0 T 2T
0
A
t
x ( t ) [ T = 8,? = 1 ]
...,..
-10 -5 0 5 10
0
0,12 5
0,25
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / A
周期、脉宽引起频谱的变化
周期信号过渡到非周期信号的频谱
-T 0 T
0
A
t
x
T
( t )
...,..
-10 0 10
0
0,5
1
k ( k?
1
)
|X
T
( k?
1
)| / (A? / T )
0
0
A
t
x ( t )
0
0
0,5
1
X (? ) / (A? )
周期脉冲信号及其频谱及单个脉冲信号及其频谱二,非周期信号的傅里叶变换分析
dejXtx tj )(2 1)(
1.傅里叶变换
dtetxjX tj )()(
)()()()( )( IRj jXXejXjX
傅里叶正变换,
傅里叶逆变换,
)()(?jXtx F
2.非周期信号的频谱周期信号频谱和非周期信号频谱的重要区别：
1 周期信号频谱是频率的离散函数 ;
而非周期信号频谱是频率的连续函数；
2 表示的是周期信号各频率分量实际幅度 ;
而 表示的是非周期信号各频率分量的相对幅度大小关系。
)( 0?jnX T
)(?jX
dejXtx tj )]([)(2 1)(
0 )](co s [)(1 dtX
单边指数衰减信号幅频特性及相频特性
-10 0 10
0
0,5
1
)
|X
2
(? )| / ( 1/? )
-10 0 10
-1
0
1
/?
2
(? ) / (? / 2 )
双边指数衰减奇信号的幅频特性和相频特性
-5 0 5
0
0,5
1
|X
3
(? )| (? = 1 )
-5 0 5
-1
0
1
3
(? ) / (? / 2 )
双边指数衰减奇信号及其频谱 及其频谱
0
-1
0
1
t
x
3
( t )
0
0
|X
3
(? )|
0
-1
0
1
t
Sgn(t )
-50 0 50
0
0,2
0,4
| F [ Sgn( t ) ] |
)(tSgn
3.傅里叶变换的性质
)()( 00 jXettx tjF )()( 00 jXettx tjF
)()( 00 jjXetx Ftj
性质一 线性 )()()()(
22112211 jXajXatxatxa F
性质二 对称性 )()(?jXtx F )(2)( jxtX F
性质三 尺度变换 )(1)(
jXtx
F
性质四 时移特性性质五 频移特性
))(()( 00 jXetx Ftj
时频压扩现象
-2 0 2
0
1
t
x ( t )
-pi/ 2 0 pi/ 2
0
4
X (? )
-1 0 1
0
1
t
x ( 2t )
-pi 0 pi
0
2
4
(1/ 2) X (? / 2 )
)()()(*)( 2121 jXjXtxtx F
)(*)()( thtxty?
)()()( jHjXY?
性质八 时域卷积特性：
性质七 时域积分特性
)()0()()( Xj jXdx Ft
性质六 时域微分特性
)()( jXjtxdtd F )()()( jXjtxdtd nFn
n
性质九 频域卷积定理
djjXjXjXjXtxtx F )()(2 1)(*)(2 1)()( 212121
性质十 帕斯瓦尔定理
djXdttx
22 )(
2
1)(
性质十一 频域微分特性
)()( jXddtjtx F )()()( jXddtxjt n
n
Fn
性质十二 频域积分特性
djXtxjttx F )()()0()(
F 变换对 常用函数 F 变换对：
t
域
ω
域
tetfjF
tj
d)()(
tejFtf
tj
d)(
2
1
)(
δ(t)
ε(t)
j
1)(?
e -?tε(t)j 1
gτ(t)
2
Sa
sgn (t)
j
2
e –?|t|
22
2
1
1 2πδ(ω)
求解下列信号的傅里叶变换。
(1) 直流信号 Atx?)(1
(2) 采样函数
2)(2
tSatx c?
(3) 虚奇函数
tjtx?
1)(
3?
解 (1) 1)(?tF )(2)(2)1(F
)(2)(2)( AAAF
(2) )
2()()(
SaAtgFG
)(2)(2)2( ggtSaAF
令,1?A c
)(2)2()(2 gtSaFtxF
c
c
c
c
c
0
2
(3)
jtS g nF
2)(?
)(2)(22 S g nS g njtF
)(1 S g ntjF
(2)
0
0
A
t
g( t )
-? /2? /2
0
0
G(? )
A?
-2? /? 2? /?
0
0
1
t
Sa(?
c
t / 2 )
-2? /?
c
2? /?
c
0
0
F [ Sa(?
c
t / 2]
-?
c
/2?
c
/2
2? /?
c
4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换
k
tjn
TT ejnXtx
0)()(
0
k
tjn
TT ejnXFtxF
0)()(
0
k
tjn
T eFjnX
0)(
1
n
TT njnXtxF )()(2)( 00
傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系
2
0
2
)(
)(
T
t
T
ttx
tx
T
dtetxTdtetxTjnX tjntjnTT
T
T
T
T
02
2
02
2
)(1)(1)( 0
dtetxdtetxjX tjtj
T
T
2
2
)()()(
)(1)(1)( 00
0
jnXTjXTjnX nT
周期脉冲信号的傅立叶变换
5.信号的频谱分析
))((
2
1
))((
2
1
)(
2
1
)(
2
1
c os)()(
00
0
00
jXjX
etxFetxF
ttxFjX
tjtj
m
调制谱分析：
))2((
4
1
))2((
4
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
c os)()(
00
0
00
jXjXjX
etxFetxF
ttxFX
tj
m
tj
m
mdm
解调谱分析：
6.滤波器的频率特性理想滤波器特性及其不可实现性
)()( 0ttxty
)()()()( 0 jXjHejXjY tj
0)( tjejH
c
c
tj
j eejHjH
0
)()(
0
)(
2
2)]([)( 1 tSajHFth c
c
