2.3 Hilbert变换
ttx?
1)(?
0
0
0
0)(1
0
0
90
90
j
j
e
e
j
jjS g n
t
ttty
11)(
两个例题,1,的傅立叶变换
2,求卷积其中：
)(22
2)(
S g n
jt
j
tS g n
2))()((11 S g njS g njtt
22 )( t
)(11)( 2 tttty
一,希尔伯特变换
0
0
0
0
0
0
90
90
j
j
e
e
j
j)()(
1)(
jS g njH
t
th
HT是将信号相移 90度的运算,与其它变换不同是属于相同域的变换,时域到时域变化,
其中：
将信号通过系统,响应为：
dtxty )(1)(
其中：
0)(
0)(
)()()()()(
jjX
jjX
jXjS g njHjXjY
HT是从时域到时域的变化，频谱幅值不变，相位发生了变化。
表一,常见希尔伯特变换对序号 信号 HT
1
2
3
4
5
6
7
)(tx )(ty
其中：
)co s( t? )sin( t?
)sin( t? )cos( t
)(t?
t?
1
t?
1 )(t
21
1
t? 21 t
t
t t )cos(1?
)2co s ()( tftx c )2s in ()( tftx c
)(sin tc
练习,求如下信号的 HT
1
0
1
0
2
s inc o s)()2(
)()1(
n
n
n
n
ftj
tnbtnatx
etx?
解,
其中：
1
0
1
0
2
)
2
2(
c o ss in)()2(
)()1(
n
n
n
n
ftj
ftj
tnbtnaty
jeety?
二,HT的特性,
许多特性都是基于相位移动和卷积性质
t?
1
)(tx?
t?
1
其中：
实函数的卷积为实函数,实函数的 HT为实函数
为奇函数,偶信号的 HT 为 奇信号,偶信号的 HT 为奇信号
的 FT的幅度谱为 1,信号的幅度频谱与 HT的幅度谱 相同
连续进行两次 HT得到)(tx
二,HT的特性,
)( tx?
)(^
1)(1)()(
)(^)(
atx
a
a
ta
atxa
t
atxty
txtx
)(^ tx
其中：
的 HT)(atx
的 HT为三,HT的典型应用
1,系统因果性（可实现性）的限制系统具有可实现性的前提是因果性。对于因果系统来说，频率响应的实部与虚部，模与幅角都有一定相互制约的特性，这种特性以 HT的形式表现出来。
因果系统
( ) 0,0h t t
( ) ( )h t h t t
( ) ( ) ( ) ( )h t H j R jX w
推导,根据时域相乘特性
11( ) ( ) ( ) * ( )2H j R j X j
1 1 1 1( ) ( ) ( ) * ( ) *22R j X R Xj
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
2 2 2 2
R X X Rd j d
( ) ( )R jX
1 ( )() XRd
1 ( )() RXd
三,HT的典型应用此二式为希尔伯特变换对，说明：因果系统的频率响应其实部被已知的虚部 x(ω)唯一确定，反之一样。
这一重要特性可适用于任意因果信号,其傅立叶变换的实部与虚部都构成希尔伯特变换对。
( ) ( ) ( )f t f t t
( ) ( ) ( )F j R jX
()R? ()X?与 构成 HT对。
例 2：已知,求,并验证上述关系。( ) ( )th t te ()Hj?
2 2 2 2
1( ) ( ) ( )H j j R j X
j
22()R
22()X
1 ( ) 1X dd
2
2 2 2 2 2 2
1 () d
22
2 2 l n ( ) a r c ta n ( ) l n ( )2) |?
2
22 ()R
1 ( )() RXd
同样可验证
2.因果系统（信号） 模与相位函数之间也满足一定的约束关系
()( ) | ( ) | jH j H j e
l n ( ) l n | ( ) | ( )H j H j j
可以证明：对于最小相移系统,与 之间也存在一定的约束关系 (构成一个变换对 )。
ln | ( ) |Hj? ()
)(tx
)c o s()( ttx? 的解析信号为 其中：
3,Hilbert变换在通信中的应用
HT在通信系统或数字信号处理中应用相当广泛,直接基于解析信号及包络的概念。 解析信号的定义：
)(tx
实信号 的解析信号 定义为
（ 为的 HT）,也就是说解析信号的实部和虚部互为
Hilbert变换 。
()a tX
( ) ( ) ( )a t X t j x tX
()xt
( ) c os si n jta t t j t eX
这样可将一个实信号构成一个复信号,
解析信号 和原信号之间的频谱关系：
)(?)()( jXjjXX a
00
0)(2)(1)()(
jXSgnjXjX
a
比较知,)()()( SgnjjXjX
)(?)( txjtx)(txa
所以,)()( jXjX?
0
2
)(
0
2
)(
)(?
考虑逆变换,)()(?)( S g njXjjX?
运用时域卷积定理,?
dt
x
tjtxjtx?
)(?11*)(?)(
二次逆变换, )()(?)(?)( 1 txtxHtxHtxHH
解析信号的傅立叶变换总具有因果性：
例,求如下信号的解析信号
( ) ( ) [ s g n ( ) ] [ 1 s g n ( ) ] ( )a j X j j j X jX
00
0)(2
jX
1( ) c o s c o sX t t t 120
解：
1 1 2 21( ) [ ] [ ]4 j t j t j t j tXt e e e e
2 2 1 1 2 1 21 ) ( ) ( ) ( )1( ) [ ]4 j t j t j t j tXt e e e e
因为本项有两项频率项，其解析信号就是略去负频率项
2 2 11 )()1( ) [ ]4 j t j ta t eeX
21c o s jtte
通过 Hilbert变换对已调信号进行检波，
已调信号：
对于调频和调相：
先构成的解析信号当带限 则
( ) ( ) c o s [ ( ) ]M ct a t t tX
若是调幅信号,( ) 0t
( ) 1at?
cB f?
( ) ( ) c o s [ ( ) ] ( ) s i n [ ( ) ]a cct a t t t ja t t tX
( ( ))() cj t tat e
()atX cjte?对 乘以
()( ) ( )cj t j ta t a teeX
这样就将幅度信号与相位信号检测出来,
2.4 信号的相关分析一,信号的相关分析相关是时域中描述信号特征的一种重要方法。相关的概念通常在研究随机信号的统计特性而引入的。
研究两个信号在时移中的相关性，背景是信号与由于某种原因产生了时差，如雷达接收到的两个不同距离目标的反射信号。
从数学本质上看，相关函数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现，从物理本质上看相关与信号能量特征有密切联系。相关运动与卷积运算还具有某种关系。
其中：
一 相关系数
)()()( 2121 tetxCtx
dttxCtxte 221212 )]()([)(
dttx
dttxtx
txtx
txtx
C
)(
)()(
)]()([
)]()([
2
2
21
22
21
12
推导
dttxdttx
dttxtx
)()(
)()(
2
2
2
1
21
12?
一 相关系数 (续 )
结论
1 当,即波形相同，幅度不同,;
当,即波形相同，幅度不同,;
当,误差为零，信号 和 相关性最强。
2 当 时,和,和线性无关,且此时正交。
3 恒有 成立。
4 当 和 为实信号时,为实数。
)(21 tAxtx? 112
)(21 tAxtx 112
1|| 12 )(2 tx)(1 tx
0)()( 21 dttxtx012 012?C )(1 tx )(2 tx
1|| 12
)(1 tx )(2 tx 12?
二,相关函数的定义
)(ty如果 与 是能量有限信号，则他们的相关函数的定义为：
其中：
)(tx
xyR ( ) ( ) ( ) ( )x t y t d t x t y t d t
（ ） ＝
yxR ( ) ( ) ( ) ( )y t x t d t y t x t d t
（ ） ＝
相关函数是两个信号时差 的函数。
,称为互相关函数()
xyR?
()yxR?
自相关函数
)(tx当,为实信号时其中：
xxR ( ) = R ( ) ( ) ( ) ( )x t x t d t x t x t d t
（ ） ＝
)(ty
xyR ( ) ( ) ( ) ( )x t y t d t x t y t d t
（ ） ＝
yxR ( ) ( ) ( ) ( )y t x t d t y t x t d t
（ ） ＝
R ( ) ( ) ( ) ( )x t x t d t x t x t d t（ ） ＝
X与 y次序不能颠倒可见，实信号的相关函数是时移的偶函数。
如果是功率信号，相关函数的定义为其中：
y x x yR ( ) ( ) Ry t x t d t
（ － ） ＝ （ ）
x x x xR R ( - )（ ） ＝
T 2
T 2 T
1( ) l im ( ) ( )
TxyR x t y t d
T 2
T 2 T
1( ) l im ( ) ( )
TyxR y t x t d
T 2
T 2 T
1( ) l im ( ) ( )
TxxR x t x t d
三,相关与卷积的比较为了方便比较,把 中,互换其中：
( ) ( ) ( ) ( )x t y t x y t d
xyR t
xyR ( ) ( ) ( ) ( )x y t d x t y t
（ t ） ＝
可见，卷积和相关两种运算都包含位移、相乘、积分三个步骤，不同的是卷积运算需要对反折，而相关运算不需要反折。
若 x(t)或 y(t)为实偶函数，则卷积与相关完全相同，
四,相关定理其中：
( ) ( )x t X j ( ) ( )y t Y j
[ ( ) ] ( ) ( )xyF R X j Y j
[ ( ) ] ( ) ( )yxF R Y j X j
2[ ( ) ] ( )xxF R X j证明：
[ ( )]xyFR? [ ( ) ( ) ] jx t y t d t e d
( ) [ ( ) ]jx t y t d e d t
( ) ( ) jtx t Y j e d t ( ) ( )X j Y j
说明：两信号互相关函数的傅立叶变换等于其中一个信号的傅立叶变换乘另一个信号傅立叶变换的共轭。对同一信号，自相关函数与幅度谱的平方是一对傅立叶变换若 x或 y是实偶信号，则相关定理与卷积定理相同。
==
=
=
五,能量谱与自相关函数其中：
称为能量信号密度。自相关函数 与 的能量密度谱换成一个傅立叶变换对。
( ) ( ) ( )R x t x t d
2(0 ) ( )R x t d t?
2( ) ( )R X j 21( ) ( )2 jR X j e d
21( 0) ( )
2R X j d
221( ) ( )
2x t dt X j d
2()Xj? ()R? ()xt
功率谱与自相关函数其中：
是周期信号 的傅立叶变换
()xt
若 是功率有限信号,其平均功率()xt
2
2
21l im ( )T
TTP f t d tT
2()1 lim
2 TT Xj dT
＝ 2()1
l i m2 TT Xj dT
()TXj? ()
TXt
称 为 的功率谱。2()( ) lim TT XjP T
相关定理：
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数构成一对傅立叶变换对：
( ) [ ( ) ]P F R
1( ) [ ( ) ]R F P
例 1：求周期余弦信号 的自相关函数。
其中：
解,
1( ) cosx t t
2
T 2
1( ) l i m ( ) ( )T
TR x t x t dtT－
2
T 2 11
1l im c o s c o s )T
T t t d tT－ （
2
T 2 1 1 1 1 1
1l im c o s [ c o s c o s s in s in ]T
T t t t d tT－
2
T 2
2 111l im c o s c o sT
T t d tT－
1
1 cos
2
可见，周期信号的自相关函数仍是周期函数，且周期相同。
白噪声是一种典型的随机信号，对所有的频率其功率谱密度为常数，这一特征与白色光谱包含所有可见光谱概念类似。
其中：
则白噪声的自相关函数表明：白噪声在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。
时,均为零值。
白噪声是一种理想化模型，电阻中电子的随机热运动产生的电阻热噪声与白噪声的模型非常接近，通常认为电阻热噪声就为白噪声。
()NpN
( ) ( )NRN
0 ()NR?
六,离散时间信号的相关分析其中：
离散时间信号的自相关函数反映了信号和气自身延迟之后的的相似程度 。
( ) ( ) ( )XX
n
R m x n x n m?
2(0 ) ( )XX
n
R x n E?
为自身的能量 。 如果是周期信号 （ 功率信号 ）,
1( ) l i m ( ) ( )
21
N
X N nNR n x n x n mN
0
1l im ( ) ( )N
N n x n x n mN
0
1l i m ( ) ( )N
N n x n x n N mN
()XR m N
周期信号的自相关函数也是周期函数，且和原信号同周期。无限多个周期信号的求和平均，可以用一个周期信号的求和平均来代替。
其中：
自相关函数的性质：
1
0
1( ) ( ) ( )N
X nR m x n x n mN
实信号的自相关函数为实偶信号 ;
在原点取得最大值 ;
若是能量信号说明信号相对自身移至无穷远时，二者已无相关性 ;
周期信号的自相关信号也是周期信号，不收敛,
(0 ) ( )XXR R m?
lim ( ) 0Xm Rm
离散信号的互相关函数其中：
两个能量有限的确定性信号性质：
( ) ( ) ( )xy
n
R m x n y n m?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x x y
nn
R m y n x n m x n y n m R m
( ) ( )y x x yR m R m
( ) ( 0) ( 0)y x x yR m R R?
l i m ( ) 0xym Rm
七,典型应用：从含噪信号中检测有用信号其中：
s(n)是可能的有用信号，并有先验知识，为判断 x(n)与
s(n)互相关因为信号噪声是不相关的设一个随机信号含有加性的噪声
( ) ( ) ( )x n s n u n
( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]sxR m E s n x n m E s n s n m E s n n n m
[ ( ) ( ) ] 0E s n u n m
( ) [ ( ) ( ) ] ( )s x sR m E s n s n m R m
可 判断 x(n)中是否含有 s(n)。
应用 2 匹配滤波器,使滤波器的性能和信号的特性取得某种一致,使滤波器的信号瞬时功率与噪声平均功率之比最大,
0)()( * tjeKXH
)()()()( 0*1*1 00 ttKxeXKFeKXFth tjtj
)(*)()( 1 thttxty
)(*)( 1 tTxttx
dtTxtx )]([)( 1
dvTttvxvx )]([)( 1
匹配滤波器的输出为信号 的自相关函数,输出信号的最大值出现在 T时刻 )(tx
图 (3.62)(a)信号 (b)匹配滤波器 时的
(c) 匹配滤波器 时的
)(tx 00?t )(th
Tt?0 )(th
ttx?
1)(?
0
0
0
0)(1
0
0
90
90
j
j
e
e
j
jjS g n
t
ttty
11)(
两个例题,1,的傅立叶变换
2,求卷积其中：
)(22
2)(
S g n
jt
j
tS g n
2))()((11 S g njS g njtt
22 )( t
)(11)( 2 tttty
一,希尔伯特变换
0
0
0
0
0
0
90
90
j
j
e
e
j
j)()(
1)(
jS g njH
t
th
HT是将信号相移 90度的运算,与其它变换不同是属于相同域的变换,时域到时域变化,
其中：
将信号通过系统,响应为：
dtxty )(1)(
其中：
0)(
0)(
)()()()()(
jjX
jjX
jXjS g njHjXjY
HT是从时域到时域的变化，频谱幅值不变，相位发生了变化。
表一,常见希尔伯特变换对序号 信号 HT
1
2
3
4
5
6
7
)(tx )(ty
其中：
)co s( t? )sin( t?
)sin( t? )cos( t
)(t?
t?
1
t?
1 )(t
21
1
t? 21 t
t
t t )cos(1?
)2co s ()( tftx c )2s in ()( tftx c
)(sin tc
练习,求如下信号的 HT
1
0
1
0
2
s inc o s)()2(
)()1(
n
n
n
n
ftj
tnbtnatx
etx?
解,
其中：
1
0
1
0
2
)
2
2(
c o ss in)()2(
)()1(
n
n
n
n
ftj
ftj
tnbtnaty
jeety?
二,HT的特性,
许多特性都是基于相位移动和卷积性质
t?
1
)(tx?
t?
1
其中：
实函数的卷积为实函数,实函数的 HT为实函数
为奇函数,偶信号的 HT 为 奇信号,偶信号的 HT 为奇信号
的 FT的幅度谱为 1,信号的幅度频谱与 HT的幅度谱 相同
连续进行两次 HT得到)(tx
二,HT的特性,
)( tx?
)(^
1)(1)()(
)(^)(
atx
a
a
ta
atxa
t
atxty
txtx
)(^ tx
其中：
的 HT)(atx
的 HT为三,HT的典型应用
1,系统因果性（可实现性）的限制系统具有可实现性的前提是因果性。对于因果系统来说，频率响应的实部与虚部，模与幅角都有一定相互制约的特性，这种特性以 HT的形式表现出来。
因果系统
( ) 0,0h t t
( ) ( )h t h t t
( ) ( ) ( ) ( )h t H j R jX w
推导,根据时域相乘特性
11( ) ( ) ( ) * ( )2H j R j X j
1 1 1 1( ) ( ) ( ) * ( ) *22R j X R Xj
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
2 2 2 2
R X X Rd j d
( ) ( )R jX
1 ( )() XRd
1 ( )() RXd
三,HT的典型应用此二式为希尔伯特变换对，说明：因果系统的频率响应其实部被已知的虚部 x(ω)唯一确定，反之一样。
这一重要特性可适用于任意因果信号,其傅立叶变换的实部与虚部都构成希尔伯特变换对。
( ) ( ) ( )f t f t t
( ) ( ) ( )F j R jX
()R? ()X?与 构成 HT对。
例 2：已知,求,并验证上述关系。( ) ( )th t te ()Hj?
2 2 2 2
1( ) ( ) ( )H j j R j X
j
22()R
22()X
1 ( ) 1X dd
2
2 2 2 2 2 2
1 () d
22
2 2 l n ( ) a r c ta n ( ) l n ( )2) |?
2
22 ()R
1 ( )() RXd
同样可验证
2.因果系统（信号） 模与相位函数之间也满足一定的约束关系
()( ) | ( ) | jH j H j e
l n ( ) l n | ( ) | ( )H j H j j
可以证明：对于最小相移系统,与 之间也存在一定的约束关系 (构成一个变换对 )。
ln | ( ) |Hj? ()
)(tx
)c o s()( ttx? 的解析信号为 其中：
3,Hilbert变换在通信中的应用
HT在通信系统或数字信号处理中应用相当广泛,直接基于解析信号及包络的概念。 解析信号的定义：
)(tx
实信号 的解析信号 定义为
（ 为的 HT）,也就是说解析信号的实部和虚部互为
Hilbert变换 。
()a tX
( ) ( ) ( )a t X t j x tX
()xt
( ) c os si n jta t t j t eX
这样可将一个实信号构成一个复信号,
解析信号 和原信号之间的频谱关系：
)(?)()( jXjjXX a
00
0)(2)(1)()(
jXSgnjXjX
a
比较知,)()()( SgnjjXjX
)(?)( txjtx)(txa
所以,)()( jXjX?
0
2
)(
0
2
)(
)(?
考虑逆变换,)()(?)( S g njXjjX?
运用时域卷积定理,?
dt
x
tjtxjtx?
)(?11*)(?)(
二次逆变换, )()(?)(?)( 1 txtxHtxHtxHH
解析信号的傅立叶变换总具有因果性：
例,求如下信号的解析信号
( ) ( ) [ s g n ( ) ] [ 1 s g n ( ) ] ( )a j X j j j X jX
00
0)(2
jX
1( ) c o s c o sX t t t 120
解：
1 1 2 21( ) [ ] [ ]4 j t j t j t j tXt e e e e
2 2 1 1 2 1 21 ) ( ) ( ) ( )1( ) [ ]4 j t j t j t j tXt e e e e
因为本项有两项频率项，其解析信号就是略去负频率项
2 2 11 )()1( ) [ ]4 j t j ta t eeX
21c o s jtte
通过 Hilbert变换对已调信号进行检波，
已调信号：
对于调频和调相：
先构成的解析信号当带限 则
( ) ( ) c o s [ ( ) ]M ct a t t tX
若是调幅信号,( ) 0t
( ) 1at?
cB f?
( ) ( ) c o s [ ( ) ] ( ) s i n [ ( ) ]a cct a t t t ja t t tX
( ( ))() cj t tat e
()atX cjte?对 乘以
()( ) ( )cj t j ta t a teeX
这样就将幅度信号与相位信号检测出来,
2.4 信号的相关分析一,信号的相关分析相关是时域中描述信号特征的一种重要方法。相关的概念通常在研究随机信号的统计特性而引入的。
研究两个信号在时移中的相关性，背景是信号与由于某种原因产生了时差，如雷达接收到的两个不同距离目标的反射信号。
从数学本质上看，相关函数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现，从物理本质上看相关与信号能量特征有密切联系。相关运动与卷积运算还具有某种关系。
其中：
一 相关系数
)()()( 2121 tetxCtx
dttxCtxte 221212 )]()([)(
dttx
dttxtx
txtx
txtx
C
)(
)()(
)]()([
)]()([
2
2
21
22
21
12
推导
dttxdttx
dttxtx
)()(
)()(
2
2
2
1
21
12?
一 相关系数 (续 )
结论
1 当,即波形相同，幅度不同,;
当,即波形相同，幅度不同,;
当,误差为零，信号 和 相关性最强。
2 当 时,和,和线性无关,且此时正交。
3 恒有 成立。
4 当 和 为实信号时,为实数。
)(21 tAxtx? 112
)(21 tAxtx 112
1|| 12 )(2 tx)(1 tx
0)()( 21 dttxtx012 012?C )(1 tx )(2 tx
1|| 12
)(1 tx )(2 tx 12?
二,相关函数的定义
)(ty如果 与 是能量有限信号，则他们的相关函数的定义为：
其中：
)(tx
xyR ( ) ( ) ( ) ( )x t y t d t x t y t d t
（ ） ＝
yxR ( ) ( ) ( ) ( )y t x t d t y t x t d t
（ ） ＝
相关函数是两个信号时差 的函数。
,称为互相关函数()
xyR?
()yxR?
自相关函数
)(tx当,为实信号时其中：
xxR ( ) = R ( ) ( ) ( ) ( )x t x t d t x t x t d t
（ ） ＝
)(ty
xyR ( ) ( ) ( ) ( )x t y t d t x t y t d t
（ ） ＝
yxR ( ) ( ) ( ) ( )y t x t d t y t x t d t
（ ） ＝
R ( ) ( ) ( ) ( )x t x t d t x t x t d t（ ） ＝
X与 y次序不能颠倒可见，实信号的相关函数是时移的偶函数。
如果是功率信号，相关函数的定义为其中：
y x x yR ( ) ( ) Ry t x t d t
（ － ） ＝ （ ）
x x x xR R ( - )（ ） ＝
T 2
T 2 T
1( ) l im ( ) ( )
TxyR x t y t d
T 2
T 2 T
1( ) l im ( ) ( )
TyxR y t x t d
T 2
T 2 T
1( ) l im ( ) ( )
TxxR x t x t d
三,相关与卷积的比较为了方便比较,把 中,互换其中：
( ) ( ) ( ) ( )x t y t x y t d
xyR t
xyR ( ) ( ) ( ) ( )x y t d x t y t
（ t ） ＝
可见，卷积和相关两种运算都包含位移、相乘、积分三个步骤，不同的是卷积运算需要对反折，而相关运算不需要反折。
若 x(t)或 y(t)为实偶函数，则卷积与相关完全相同，
四,相关定理其中：
( ) ( )x t X j ( ) ( )y t Y j
[ ( ) ] ( ) ( )xyF R X j Y j
[ ( ) ] ( ) ( )yxF R Y j X j
2[ ( ) ] ( )xxF R X j证明：
[ ( )]xyFR? [ ( ) ( ) ] jx t y t d t e d
( ) [ ( ) ]jx t y t d e d t
( ) ( ) jtx t Y j e d t ( ) ( )X j Y j
说明：两信号互相关函数的傅立叶变换等于其中一个信号的傅立叶变换乘另一个信号傅立叶变换的共轭。对同一信号，自相关函数与幅度谱的平方是一对傅立叶变换若 x或 y是实偶信号，则相关定理与卷积定理相同。
==
=
=
五,能量谱与自相关函数其中：
称为能量信号密度。自相关函数 与 的能量密度谱换成一个傅立叶变换对。
( ) ( ) ( )R x t x t d
2(0 ) ( )R x t d t?
2( ) ( )R X j 21( ) ( )2 jR X j e d
21( 0) ( )
2R X j d
221( ) ( )
2x t dt X j d
2()Xj? ()R? ()xt
功率谱与自相关函数其中：
是周期信号 的傅立叶变换
()xt
若 是功率有限信号,其平均功率()xt
2
2
21l im ( )T
TTP f t d tT
2()1 lim
2 TT Xj dT
＝ 2()1
l i m2 TT Xj dT
()TXj? ()
TXt
称 为 的功率谱。2()( ) lim TT XjP T
相关定理：
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数构成一对傅立叶变换对：
( ) [ ( ) ]P F R
1( ) [ ( ) ]R F P
例 1：求周期余弦信号 的自相关函数。
其中：
解,
1( ) cosx t t
2
T 2
1( ) l i m ( ) ( )T
TR x t x t dtT－
2
T 2 11
1l im c o s c o s )T
T t t d tT－ （
2
T 2 1 1 1 1 1
1l im c o s [ c o s c o s s in s in ]T
T t t t d tT－
2
T 2
2 111l im c o s c o sT
T t d tT－
1
1 cos
2
可见，周期信号的自相关函数仍是周期函数，且周期相同。
白噪声是一种典型的随机信号，对所有的频率其功率谱密度为常数，这一特征与白色光谱包含所有可见光谱概念类似。
其中：
则白噪声的自相关函数表明：白噪声在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。
时,均为零值。
白噪声是一种理想化模型，电阻中电子的随机热运动产生的电阻热噪声与白噪声的模型非常接近，通常认为电阻热噪声就为白噪声。
()NpN
( ) ( )NRN
0 ()NR?
六,离散时间信号的相关分析其中：
离散时间信号的自相关函数反映了信号和气自身延迟之后的的相似程度 。
( ) ( ) ( )XX
n
R m x n x n m?
2(0 ) ( )XX
n
R x n E?
为自身的能量 。 如果是周期信号 （ 功率信号 ）,
1( ) l i m ( ) ( )
21
N
X N nNR n x n x n mN
0
1l im ( ) ( )N
N n x n x n mN
0
1l i m ( ) ( )N
N n x n x n N mN
()XR m N
周期信号的自相关函数也是周期函数，且和原信号同周期。无限多个周期信号的求和平均，可以用一个周期信号的求和平均来代替。
其中：
自相关函数的性质：
1
0
1( ) ( ) ( )N
X nR m x n x n mN
实信号的自相关函数为实偶信号 ;
在原点取得最大值 ;
若是能量信号说明信号相对自身移至无穷远时，二者已无相关性 ;
周期信号的自相关信号也是周期信号，不收敛,
(0 ) ( )XXR R m?
lim ( ) 0Xm Rm
离散信号的互相关函数其中：
两个能量有限的确定性信号性质：
( ) ( ) ( )xy
n
R m x n y n m?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x x y
nn
R m y n x n m x n y n m R m
( ) ( )y x x yR m R m
( ) ( 0) ( 0)y x x yR m R R?
l i m ( ) 0xym Rm
七,典型应用：从含噪信号中检测有用信号其中：
s(n)是可能的有用信号，并有先验知识，为判断 x(n)与
s(n)互相关因为信号噪声是不相关的设一个随机信号含有加性的噪声
( ) ( ) ( )x n s n u n
( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]sxR m E s n x n m E s n s n m E s n n n m
[ ( ) ( ) ] 0E s n u n m
( ) [ ( ) ( ) ] ( )s x sR m E s n s n m R m
可 判断 x(n)中是否含有 s(n)。
应用 2 匹配滤波器,使滤波器的性能和信号的特性取得某种一致,使滤波器的信号瞬时功率与噪声平均功率之比最大,
0)()( * tjeKXH
)()()()( 0*1*1 00 ttKxeXKFeKXFth tjtj
)(*)()( 1 thttxty
)(*)( 1 tTxttx
dtTxtx )]([)( 1
dvTttvxvx )]([)( 1
匹配滤波器的输出为信号 的自相关函数,输出信号的最大值出现在 T时刻 )(tx
图 (3.62)(a)信号 (b)匹配滤波器 时的
(c) 匹配滤波器 时的
)(tx 00?t )(th
Tt?0 )(th
