2009-7-30
第一章流体流动一、流量与流速二、定态流动与非定态流动三、连续性方程式四、能量衡算方程式五、柏努利方程式的应用第二节流体在管内的流动
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一、流量与流速
1,流量单位时间内流过管道任一截面的流体量,称为 流量 。
若流量用体积来计量,称为 体积流量 VS；单位为,m3/s。
若流量用质量来计量,称为 质量流量 WS；单位,kg/s。
体积流量和质量流量的关系是,?SS VW?
2,流速单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为 流速 u。
单位为,m/s。 数学表达式为：
A
Vu S?
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流量与流速的关系为,uAVSuAW S?
质量流速,单位时间内流体流过管道单位面积的质量流量用 G表示,单位为 kg/(m2.s)。
数学表达式为：
A
WG s?
对于圆形管道,2
4 dA
2
4
d
Vu S
A
VS
u?
u
Vd S
4? —— 管道直径的计算式生产实际中,管道直径应如何确定？
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二、定态流动与非定态流动流动系统定态流动 流动系统中流体的流速,压强,
密度等有关物理量仅随位置而改变,而不随时间而改变非定态流动 上述物理量不仅随位置而且随时间变化的流动 。
例
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三、连续性方程在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算衡算范围：取管内壁截面 1-1’与截面 2-2’间的管段
。
衡算基准,1s
对于连续稳定系统：
21 SS WW?
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uAW s?
222111 AuAu?
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面,有：
常数 uAAuAuW S?222111
若流体为不可压缩流体常数 uAAuAuWV SS?2211?
—— 一维稳定流动的连续性方程
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对于圆形管道,
2
22
2
11 44 dudu
2
1
2
2
1
d
d
u
u
表明,当体积流量 VS一定时,管内流体的流速与管道直径的平方成反比 。
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四、能量衡算方程式
1、流体流动的总能量衡算
1） 流体本身具有的能量物质内部能量的总和称为内能 。
单位质量流体的内能以 U表示,单位 J/kg。
① 内能,
流体因处于重力场内而具有的能量 。
② 位能,
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质量为 m流体的位能 )( Jm gZ?
单位质量流体的位能 )/( kgJgZ?
流体以一定的流速流动而具有的能量。③ 动能,
质量为 m,流速为 u的流体所具有的动能 )(
2
1 2 Jmu?
单位质量流体所具有的动能 )/(
2
1 2 kgJu?
④ 静压能 （ 流动功 ）
通过某截面的流体具有的用于克服压力功的能量
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流体在截面处所具有的压力
pAF?
流体通过截面所走的距离为
AVl /?
流体通过截面的静压能 Fl?
A
VpA )( JpV?
单位质量流体所具有的静压能 mVp? )/( kgJpv?
单位质量流体本身所具有的总能量为,
)/(21 2 kgJpvugzU
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单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为,qe(J/kg)；
质量为 m的流体所吸的热 =mqe[J]。
当流体 吸热时 qe为正,流体 放热时 qe为负 。
① 热：
2） 系统与外界交换的能量单位质量通过划定体积的过程中接受的功为,We(J/kg)
质量为 m的流体所接受的功 = mWe(J)
② 功：
流体 接受外功时,We为正,向外界做功时,We为负 。
流体本身所具有能量和热,功就是流动系统的总能量 。
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3） 总能量衡算衡算范围,截面 1-1’ 和截面 2-2’ 间的管道和设备 。
衡算基准,1kg流体 。
设 1-1’ 截面的流体流速为 u1,压强为 P1,截面积为 A1,比容为 ν1；
截面 2-2’ 的流体流速为 u2,压强为 P2,截面积为 A2,比容为 v2。
取 o-o’为基准水平面,截面 1-1’ 和截面 2-2’ 中心与基准水平面的距离为 Z1,Z2。 图
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对于定态流动系统,∑输入能量 =∑输出能量
Σ输入能量
ee Wqvp
ugZU
11
12
11 2
Σ输出能量
22
2
2
22 2 vp
ugZU
22
2
2
2211
2
1
11 22 vp
ugZUWqvpugZU
ee
12 UUU令 12 gZgZZg
222
2
1
2
2
2 uuu
1122 vpvppv
ee WqpuZgU2 2
—— 稳定流动过程的总能量衡算式
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pvUH
ee Wq
uZgH
2
2
—— 稳定流动过程的总能量衡算式
—— 流动系统的热力学第一定律
2,流动系统的机械能衡算式 —— 柏努利方程
1） 流动系统的机械能衡算式
p dvqU vve 21'
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'
eq
流体与环境所交换的热阻力损失?
fh
fee hqq '即：
pdvhqU vvfe 21
中，得：代入 ee WqpvuZgU 2 2
fevv hWpdvPvuZg 2
12
2
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代入上式得：
fepp hWv d puZg 212
2
—— 流体稳定流动过程中的机械能衡算式
2） 柏努利方程 （ Bernalli）
当流体不可压缩时,
1221 ppvv d ppp?p
v d pp d vpdp ppvv 212121
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fe hWpuZg?2
2
,12 ZZZ将,
222
2
1
2
2
2 uuu
12
ppp 代入：
fhpugZpugZ 2
2
2
2
1
2
1
1 22
对于理想流体,当没有外功加入时 We=0
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pugZpugZ
—— 柏努利方程
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3,柏努利方程式的讨论
1） 柏努利方程式表明理想流体在管内做稳定流动,没有外功加入时,任意截面上单位质量流体的总机械能即动能,
位能,静压能之和为一常数,用 E表示 。
即,1kg理想流体在各截面上的总机械能相等,但各种形式的机械能却不一定相等,可以相互转换 。
2） 对于实际流体,在管路内流动时,应满足：
上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能 。
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流体在管道流动时的压力变化规律
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3） 式中各项的物理意义
、zg?,2
2u?
p? 处于某个截面上的流体本身所具有的能量流体流动过程中所获得或消耗的能量We和 Σhf：
We,输送设备对单位质量流体所做的有效功,
Ne,单位时间输送设备对流体所做的有效功,即功率
se VWeWsWeN
4） 当体系无外功,且处于静止状态时 2211 pgzpgz
流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例
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5） 柏努利方程的不同形式
a) 若以 单位重量的流体为衡算基准
g
h
g
p
g
uZ
g
W
g
p
g
uZ fe
2
2
2
2
1
2
1
1 22
，令 gWH ee? g
HH f
f
fe Hg
p
g
uZH
g
p
g
uZ
2
2
2
2
1
2
1
1 22
[m]
、Z,
g
u
2
2
、gp? fH 位压头,动压头,静压头,压头损失
He,输送设备对流体所提供的 有效压头
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b) 若以 单位体积流体为衡算基准静压强项 P可以用 绝对压强 值代入,也可以用 表压强 值代入
fe hpugZWpugZ 2
2
2
21
2
1
1 22
[pa]
6） 对于可压缩流体的流动,当所取系统两截面之间的 绝对压强 变化小于原来压强的 20%,时＜即,%20
1
21
p
pp?
仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间流体的 平均密度 ρm代替 。
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五、柏努利方程式的应用
1、应用柏努利方程的注意事项
1）作图并确定衡算范围根据题意 画出流动系统的示意图,并 指明流体的流动方向，定出上下截面,以明确流动系统的衡标范围。
2）截面的截取两截面都应与 流动方向垂直,并且两截面的 流体必须是连续的,所求得 未知量应在两截面或两截面之间,截面的有关物理量 Z,u,p等除了所求的物理量之外,都必须是 已知的 或者可以通过其它关系式计算出来 。
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3） 基准水平面的选取所以基准水平面的位置可以任意选取,但 必须与地面平行,为了计算方便,通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中的 任意一个截面 。 如 衡算范围为水平管道,则基准水平面通过管道中心线,ΔZ=0。
4） 单位必须一致在应用柏努利方程之前,应把有关的物理量换算成 一致的单位,然后进行计算 。 两截面的 压强除要求单位一致外,
还要求表示方法一致 。
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2,柏努利方程的应用
1） 确定流体的流量例,20℃ 的空气在直径为 800mm的水平管流过,现于管路中接一文丘里管,如本题附图所示,文丘里管的上游接一水银 U管压差计,在直径为 20mm的喉径处接一细管,其下部插入水槽中 。 空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计,当 U
管压差计读数 R=25mm,h=0.5m时,试求此时空气的流量为多少 m3/h?
当地大气压强为 101.33× 103Pa。
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分析：
2
43 60 0 duV h
求流量 Vh
已知 d
求 u
直管任取一截面柏努利方程气体判断能否应用？
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解,取测压处及喉颈分别为截面 1-1’ 和截面 2-2’
截面 1-1’ 处压强,
gRP Hg1
截面 2-2’ 处压强为,
ghP2
流经截面 1-1’ 与 2-2’ 的压强变化为：
)3 3 3 51 0 1 3 3 0(
)4 9 0 51 0 3 3 0()3 3 3 51 0 1 3 3 0(
1
21
P
PP
0 2 5.081.91 3 6 0 0 表压）(3 3 3 5 Pa?
5.081.91 0 0 0 表压）(4 9 0 5 Pa
079.0? %9.7? %20?
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在截面 1-1’ 和 2-2’ 之间列柏努利方程式 。 以管道中心线作基准水平面 。
由于两截面无外功加入,We=0。
能量损失可忽略不计 Σhf=0。
柏努利方程式可写为：
2
2
2
2
1
2
1
1 22
PugZPugZ
式中,Z1=Z2=0
P1=3335Pa（ 表压 ）,P2= - 4905Pa（ 表压 ）
0
0
4.22 TP
PTM m
m
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1 0 1 3 3 0293
)]4 9 0 53 3 3 5(2/11 0 1 3 3 0[273
4.22
29
3/20.1 mkg?
2.1
4 9 0 5
220.1
3 3 3 5
2
2
2
2
1 uu
化简得：
( a ) 1 3 7 3 32122 uu
由连续性方程有：
2211 AuAu?
2
2
1
12
d
duu 2
1 02.0
08.0?
u
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( b ) 16 12 uu?
联立 (a),(b)两式
13 73 36 2121 uu
smu /34.71?
1
2
1436 00 udV h
34.708.043 6 0 0 2
hm /8.132 3?
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2） 确定容器间的相对位置例,如本题附图所示,密度为 850kg/m3的料液从高位槽送入塔中,高位槽中的液面维持恒定,塔内表压强为
9.81× 103Pa,进料量为 5m3/h,连接管直径为 φ38× 2.5mm,料液在连接管内流动时的能量损失为 30J/kg(不包括出口的能量损失 ),试求 高位槽内液面应为比塔内的进料口高出多少？
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分析：
解：
取高位槽液面为截面 1-1’,连接管出口内侧 为截面 2-
2’,
并以 截面 2-2’ 的中心线为基准水平面,在两截面间列柏努利方程式：
高位槽,管道出口两截面 u,p已知 求 △ Z 柏努利方程
fe hpugZWpugZ 2
2
2
2
1
2
1
1 22
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式中,Z2=0 ； Z1=?
P1=0(表压 ) ； P2=9.81× 103Pa(表压 ）
A
Vu S?
2
由连续性方程 2211 AuAu? ∵ A1>>A2,
We=0, kgJh
f /30
2
4
d
VS
2033.0
4
3600
5
sm /62.1?
∴ u1<<u2,可忽略,u1≈0。
将上列数值代入柏努利方程式,并整理得：
81.9/)30850 1081.9262.1(
32
1?
z m37.4?
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3） 确定输送设备的有效功率例,如图所示,用泵将河水打入洗涤塔中,喷淋下来后流入下水道,已知道管道内径均为 0,1 m,流量为
84.82m3/h,水在塔前管路中流动的总摩擦损失 (从管子口至喷头进入管子的阻力忽略不计 )为 10J/kg,喷头处的压强较塔内压强高 0.02MPa,水从塔中流到下水道的阻力损失可忽略不计,泵的效率为 65%,求泵所需的功率 。
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分析,求 Ne Ne=WeWs/η 求 We 柏努利方程 P
2=?
塔内压强整体流动非连续截面的选取？
解,取塔内水面为截面 3-3’,下水道截面为截面 4-4’,
取地平面为基准水平面,在 3-3’ 和 4-4’ 间列柏努利方程：
4
2
4
4
3
2
3
3 22
pugzpugz
0 43 uu式中：
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，,mZmZ 2.01 43
(0 34 PP 表压），
将已知数据代入柏努利方程式得：
96.13pg
3/1 0 0 0 mkg
表压）(117703 PaP
计算塔前管路,取河水表面为 1-1’ 截面,喷头内侧为 2-2’
截面,在 1-1’ 和 2-2’ 截面间列柏努利方程 。
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fe hpugzWpugz ρ2ρ2 2
2
2
2
1
2
1
1
式中,
mZmZ 61 21,
，01?u
A
Vu S?
2
表压），(01?P
（表压）Pap 8 2 3 01 1 7 7 01002.0 62
， kgJh f /10eW
21.0
4
3600
82.84
sm /3?
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将已知数据代入柏努利方程式
101 0 0 08 2 3 0236
2
gWg e
kgJW e /4.91?
see WWN? ρ,Se Vw?
1 0 0 03 6 0 082.844.91 W2153?
泵的功率：
eNN?
65.0
2153?
W3313? kW3.3?
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4) 管道内流体的内压强及压强计的指示例 1,如图,一管路由两部分组成,一部分管内径为
40mm,另一部分管内径为 80mm,流体为水 。 在管路中的流量为 13.57m3/h,两部分管上均有一测压点,测压管之间连一个倒 U型管压差计,其间充以一定量的空气 。 若两测压点所在截面间的摩擦损失为
260mm水柱 。 求倒 U型管压差计中水柱的高度 R为多少为 mm?
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分析,求 R 1,2两点间的压强差 柏努利方程式解,取两测压点处分别为截面 1-1’ 和截面 2-2’,管道中心线为基准水平面 。 在截面 1-1’ 和截面 2-2’ 间列 单位重量流体的柏努利方程 。 fHg
p
g
uz
g
p
g
uz
2
2
2
2
1
2
1
1 22
式中,z1=0,z2=0
1
1 A
Vu S?
u已知
204.0
4
3600
57.13
sm /3?
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1
2
2
1
2,ud
du
)(26.02 6 0 水柱mmmH f
代入柏努利方程式：
fHg
uu
g
pp
2
2
2
2
112
26.08.92 75.03
22
水柱m17.0?
125.0 u? sm /75.0?
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因倒 U型管中为空气,若不计空气质量,P3=P4=P
ghPP 水1
)(2 RhgPP 水?
gRPP 12
Rg PP 12
g
PPR
12 水柱m17.0? 水柱mm1 7 0?
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例 2：水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动,管路直径没有变化,水流经管路的能量损失可以忽略不计,计算管内截面 2-2’,3-3’,
4-4’ 和 5-5’ 处的压强,大气压强为
760mmHg,图中所标注的尺寸均以 mm计 。
分析,求 P 求 u柏努利方程 某截面的总机械能求各截面 P
理想流体
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解,在水槽水面 1－ 1’ 及管出口内侧截面 6－ 6’ 间列柏努利方程式,并以 6－ 6’ 截面为基准水平面
6
2
6
6
1
2
1
1 22
pugZpugZ
，mmmZ 110001式中,mZ 06?
P1=P6=0（ 表压 ）
u1≈0
代入柏努利方程式
2181.9
2
6u
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u6=4.43m/s
u2=u3=…… =u6=4.43m/s
常数pugzE 2
2
取截面 2 - 2 ’ 基 准 水 平 面,z1=3m,
P1=760mmHg=101330Pa0
1?u
kgJE /8.1301000101330381.9
对于各截面压强的计算,仍以 2-2’ 为基准水平面,Z2=0，
Z3=3m,Z4=3.5m,Z5=3m
22222
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2 uuuuu
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（ 1） 截面 2-2’ 压强
2
2
2
2 2
pugZE
2--
2
2
2
2 ugZEp?
)2(
2
2
22
ugZEP 1 0 0 0)81.98.1 3 0(
Pa1 2 0 9 9 0?
（ 2） 截面 3-3’ 压强
)2(
2
3
33
ugZEp 1 0 0 0)81.9381.98.1 3 0(
Pa91560?
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（ 3） 截面 4-4’ 压强
)2( 4
2
4
4 gZ
uEp 10003,59,8 1-81.9-8.130
Pa86660?
（ 4） 截面 5-5’ 压强
)2u-gZ-(
2
5
55 Ep 1 0 0 09,8 7-39,8 1-8.1 3 0
Pa91560?
从计算结果可见,P2>P3>P4,而 P4<P5<P6,这是由于流体在管内流动时,位能和静压能相互转换的结果 。
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5） 流向的判断在 φ45× 3mm的管路上装一文丘里管,文丘里管上游接一压强表,其读数为 137.5kPa,管内水的流速
u1=1.3m/s,文丘里管的喉径为 10mm,文丘里管喉部一内径为 15mm的玻璃管,玻璃管下端插入水池中,池内水面到管中心线的垂直距离为 3m,若将水视为理想流体,试 判断池中水能否被吸入管中？ 若能吸入,再求每小时吸入的水量为多少 m3/h？
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分析：
判断流向 比较总势能求 P？柏努利方程解,在管路上选 1-1’ 和 2-2’ 截面,并取 3-3’ 截面为基准水平面设支管中水为静止状态 。 在 1-1’ 截面和 2-2’ 截面间列柏努利方程, 2
2
2
2
1
2
1
1 22
PugZPugZ
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式中：
mZZ 321
smu /3.11? sm
d
duu /77.19)
10
39(3.1)( 22
2
1
12
表压）(105.1 3 7 51 PaP
22
2
2
2
112 uuPP
2
77.19
2
3.1
1 0 0 0
105.1 3 7 223
kgJ /08.57
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∴ 2-2’ 截面的总势能为
2
2 gZP?
381.908.57 kgJ /65.27
3-3’ 截面的总势能为
0
0 gZP?
∴ 3-3’ 截面的总势能大于 2-2’ 截面的总势能,水能被吸入管路中 。求每小时从池中吸入的水量 求管中流速 u柏努利方程在池面与玻璃管出口内侧间列柏努利方程式：
0?
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22
2
22
2
3
2
1
3
uPgZPugZ
式中：
，mZ 03? mZ 32?
00?u
表压）(00?P kgJ
P /08.572
代入柏努利方程中,
2381.908.57
2
2u
smu /436.7 2?
20 1 5.0
44 3 6.73 6 0 0
hV hm /7 2 8.4
3?
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6） 不稳定流动系统的计算例,附图所示的开口贮槽内液面与排液管出口间的垂直距离 hi为 9m,贮槽内径 D为 3m,排液管的内径 d0为 0.04m,液体流过该系统时的能量损失可按 240 uh
f
公式计算,式中
u为流体在管内的流速,试求经 4小时后贮槽内液面下降的高度 。
分析：
不稳定流动系统瞬间柏努利方程微分物料衡算
2009-7-30
解：
在 dθ时间内对系统作物料衡算,设 F’为瞬间进料率,
D’为瞬时出料率,dA’为在 dθ时间内的积累量,
F’dθ－ D’dθ＝ dA’
∵ dθ时间内,槽内液面下降 dh,液体在管内瞬间流速为 u，
0 F udD 204 dhDAd 24
上式变为：
dhDud 220 44
2009-7-30
( 1 )
2
0 u
dh
d
Dd
在瞬时液面 1-1’ 与管子出口内侧截面 2-2’ 间列柏努利方程式,并以 截面 2-2’ 为基准水平面,得：
hfPugZPugZ 2
2
2
2
1
2
1
1 22
式中：
，hmZ?1 mZ 02?
0 1? u uu?2
21 PP 240 uhf
2009-7-30
25.4081.9 uh?
( 2 ) 4 9 2.0 hu?
将 （ 2） 式代入 （ 1） 式得：
h
dh
d
Dd
4 9 2.0
2
0
h
dh
4 92.004.0
3 2?
h
dh1 1 4 3 3
两边积分,；,mh 90 11 hmhs
22 3 6 0 04,?
h hdhd 93 6 0 040 1 1 4 3 3?
2009-7-30
hhh 91221143336004
9211433 h
h=5.62m
∴ 经四小时后贮槽内液面下降高度为：
9－ 5.62=3.38m
第一章流体流动一、流量与流速二、定态流动与非定态流动三、连续性方程式四、能量衡算方程式五、柏努利方程式的应用第二节流体在管内的流动
2009-7-30
一、流量与流速
1,流量单位时间内流过管道任一截面的流体量,称为 流量 。
若流量用体积来计量,称为 体积流量 VS；单位为,m3/s。
若流量用质量来计量,称为 质量流量 WS；单位,kg/s。
体积流量和质量流量的关系是,?SS VW?
2,流速单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为 流速 u。
单位为,m/s。 数学表达式为：
A
Vu S?
2009-7-30
流量与流速的关系为,uAVSuAW S?
质量流速,单位时间内流体流过管道单位面积的质量流量用 G表示,单位为 kg/(m2.s)。
数学表达式为：
A
WG s?
对于圆形管道,2
4 dA
2
4
d
Vu S
A
VS
u?
u
Vd S
4? —— 管道直径的计算式生产实际中,管道直径应如何确定？
2009-7-30
二、定态流动与非定态流动流动系统定态流动 流动系统中流体的流速,压强,
密度等有关物理量仅随位置而改变,而不随时间而改变非定态流动 上述物理量不仅随位置而且随时间变化的流动 。
例
2009-7-30
2009-7-30
三、连续性方程在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算衡算范围：取管内壁截面 1-1’与截面 2-2’间的管段
。
衡算基准,1s
对于连续稳定系统：
21 SS WW?
2009-7-30
uAW s?
222111 AuAu?
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面,有：
常数 uAAuAuW S?222111
若流体为不可压缩流体常数 uAAuAuWV SS?2211?
—— 一维稳定流动的连续性方程
2009-7-30
对于圆形管道,
2
22
2
11 44 dudu
2
1
2
2
1
d
d
u
u
表明,当体积流量 VS一定时,管内流体的流速与管道直径的平方成反比 。
2009-7-30
四、能量衡算方程式
1、流体流动的总能量衡算
1） 流体本身具有的能量物质内部能量的总和称为内能 。
单位质量流体的内能以 U表示,单位 J/kg。
① 内能,
流体因处于重力场内而具有的能量 。
② 位能,
2009-7-30
质量为 m流体的位能 )( Jm gZ?
单位质量流体的位能 )/( kgJgZ?
流体以一定的流速流动而具有的能量。③ 动能,
质量为 m,流速为 u的流体所具有的动能 )(
2
1 2 Jmu?
单位质量流体所具有的动能 )/(
2
1 2 kgJu?
④ 静压能 （ 流动功 ）
通过某截面的流体具有的用于克服压力功的能量
2009-7-30
流体在截面处所具有的压力
pAF?
流体通过截面所走的距离为
AVl /?
流体通过截面的静压能 Fl?
A
VpA )( JpV?
单位质量流体所具有的静压能 mVp? )/( kgJpv?
单位质量流体本身所具有的总能量为,
)/(21 2 kgJpvugzU
2009-7-30
单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为,qe(J/kg)；
质量为 m的流体所吸的热 =mqe[J]。
当流体 吸热时 qe为正,流体 放热时 qe为负 。
① 热：
2） 系统与外界交换的能量单位质量通过划定体积的过程中接受的功为,We(J/kg)
质量为 m的流体所接受的功 = mWe(J)
② 功：
流体 接受外功时,We为正,向外界做功时,We为负 。
流体本身所具有能量和热,功就是流动系统的总能量 。
2009-7-30
3） 总能量衡算衡算范围,截面 1-1’ 和截面 2-2’ 间的管道和设备 。
衡算基准,1kg流体 。
设 1-1’ 截面的流体流速为 u1,压强为 P1,截面积为 A1,比容为 ν1；
截面 2-2’ 的流体流速为 u2,压强为 P2,截面积为 A2,比容为 v2。
取 o-o’为基准水平面,截面 1-1’ 和截面 2-2’ 中心与基准水平面的距离为 Z1,Z2。 图
2009-7-30
对于定态流动系统,∑输入能量 =∑输出能量
Σ输入能量
ee Wqvp
ugZU
11
12
11 2
Σ输出能量
22
2
2
22 2 vp
ugZU
22
2
2
2211
2
1
11 22 vp
ugZUWqvpugZU
ee
12 UUU令 12 gZgZZg
222
2
1
2
2
2 uuu
1122 vpvppv
ee WqpuZgU2 2
—— 稳定流动过程的总能量衡算式
2009-7-30
pvUH
ee Wq
uZgH
2
2
—— 稳定流动过程的总能量衡算式
—— 流动系统的热力学第一定律
2,流动系统的机械能衡算式 —— 柏努利方程
1） 流动系统的机械能衡算式
p dvqU vve 21'
2009-7-30
'
eq
流体与环境所交换的热阻力损失?
fh
fee hqq '即：
pdvhqU vvfe 21
中，得：代入 ee WqpvuZgU 2 2
fevv hWpdvPvuZg 2
12
2
2009-7-30
代入上式得：
fepp hWv d puZg 212
2
—— 流体稳定流动过程中的机械能衡算式
2） 柏努利方程 （ Bernalli）
当流体不可压缩时,
1221 ppvv d ppp?p
v d pp d vpdp ppvv 212121
2009-7-30
fe hWpuZg?2
2
,12 ZZZ将,
222
2
1
2
2
2 uuu
12
ppp 代入：
fhpugZpugZ 2
2
2
2
1
2
1
1 22
对于理想流体,当没有外功加入时 We=0
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pugZpugZ
—— 柏努利方程
2009-7-30
3,柏努利方程式的讨论
1） 柏努利方程式表明理想流体在管内做稳定流动,没有外功加入时,任意截面上单位质量流体的总机械能即动能,
位能,静压能之和为一常数,用 E表示 。
即,1kg理想流体在各截面上的总机械能相等,但各种形式的机械能却不一定相等,可以相互转换 。
2） 对于实际流体,在管路内流动时,应满足：
上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能 。
2009-7-30
流体在管道流动时的压力变化规律
2009-7-30
3） 式中各项的物理意义
、zg?,2
2u?
p? 处于某个截面上的流体本身所具有的能量流体流动过程中所获得或消耗的能量We和 Σhf：
We,输送设备对单位质量流体所做的有效功,
Ne,单位时间输送设备对流体所做的有效功,即功率
se VWeWsWeN
4） 当体系无外功,且处于静止状态时 2211 pgzpgz
流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例
2009-7-30
5） 柏努利方程的不同形式
a) 若以 单位重量的流体为衡算基准
g
h
g
p
g
uZ
g
W
g
p
g
uZ fe
2
2
2
2
1
2
1
1 22
，令 gWH ee? g
HH f
f
fe Hg
p
g
uZH
g
p
g
uZ
2
2
2
2
1
2
1
1 22
[m]
、Z,
g
u
2
2
、gp? fH 位压头,动压头,静压头,压头损失
He,输送设备对流体所提供的 有效压头
2009-7-30
b) 若以 单位体积流体为衡算基准静压强项 P可以用 绝对压强 值代入,也可以用 表压强 值代入
fe hpugZWpugZ 2
2
2
21
2
1
1 22
[pa]
6） 对于可压缩流体的流动,当所取系统两截面之间的 绝对压强 变化小于原来压强的 20%,时＜即,%20
1
21
p
pp?
仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间流体的 平均密度 ρm代替 。
2009-7-30
五、柏努利方程式的应用
1、应用柏努利方程的注意事项
1）作图并确定衡算范围根据题意 画出流动系统的示意图,并 指明流体的流动方向，定出上下截面,以明确流动系统的衡标范围。
2）截面的截取两截面都应与 流动方向垂直,并且两截面的 流体必须是连续的,所求得 未知量应在两截面或两截面之间,截面的有关物理量 Z,u,p等除了所求的物理量之外,都必须是 已知的 或者可以通过其它关系式计算出来 。
2009-7-30
3） 基准水平面的选取所以基准水平面的位置可以任意选取,但 必须与地面平行,为了计算方便,通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中的 任意一个截面 。 如 衡算范围为水平管道,则基准水平面通过管道中心线,ΔZ=0。
4） 单位必须一致在应用柏努利方程之前,应把有关的物理量换算成 一致的单位,然后进行计算 。 两截面的 压强除要求单位一致外,
还要求表示方法一致 。
2009-7-30
2,柏努利方程的应用
1） 确定流体的流量例,20℃ 的空气在直径为 800mm的水平管流过,现于管路中接一文丘里管,如本题附图所示,文丘里管的上游接一水银 U管压差计,在直径为 20mm的喉径处接一细管,其下部插入水槽中 。 空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计,当 U
管压差计读数 R=25mm,h=0.5m时,试求此时空气的流量为多少 m3/h?
当地大气压强为 101.33× 103Pa。
2009-7-30
分析：
2
43 60 0 duV h
求流量 Vh
已知 d
求 u
直管任取一截面柏努利方程气体判断能否应用？
2009-7-30
解,取测压处及喉颈分别为截面 1-1’ 和截面 2-2’
截面 1-1’ 处压强,
gRP Hg1
截面 2-2’ 处压强为,
ghP2
流经截面 1-1’ 与 2-2’ 的压强变化为：
)3 3 3 51 0 1 3 3 0(
)4 9 0 51 0 3 3 0()3 3 3 51 0 1 3 3 0(
1
21
P
PP
0 2 5.081.91 3 6 0 0 表压）(3 3 3 5 Pa?
5.081.91 0 0 0 表压）(4 9 0 5 Pa
079.0? %9.7? %20?
2009-7-30
在截面 1-1’ 和 2-2’ 之间列柏努利方程式 。 以管道中心线作基准水平面 。
由于两截面无外功加入,We=0。
能量损失可忽略不计 Σhf=0。
柏努利方程式可写为：
2
2
2
2
1
2
1
1 22
PugZPugZ
式中,Z1=Z2=0
P1=3335Pa（ 表压 ）,P2= - 4905Pa（ 表压 ）
0
0
4.22 TP
PTM m
m
2009-7-30
1 0 1 3 3 0293
)]4 9 0 53 3 3 5(2/11 0 1 3 3 0[273
4.22
29
3/20.1 mkg?
2.1
4 9 0 5
220.1
3 3 3 5
2
2
2
2
1 uu
化简得：
( a ) 1 3 7 3 32122 uu
由连续性方程有：
2211 AuAu?
2
2
1
12
d
duu 2
1 02.0
08.0?
u
2009-7-30
( b ) 16 12 uu?
联立 (a),(b)两式
13 73 36 2121 uu
smu /34.71?
1
2
1436 00 udV h
34.708.043 6 0 0 2
hm /8.132 3?
2009-7-30
2） 确定容器间的相对位置例,如本题附图所示,密度为 850kg/m3的料液从高位槽送入塔中,高位槽中的液面维持恒定,塔内表压强为
9.81× 103Pa,进料量为 5m3/h,连接管直径为 φ38× 2.5mm,料液在连接管内流动时的能量损失为 30J/kg(不包括出口的能量损失 ),试求 高位槽内液面应为比塔内的进料口高出多少？
2009-7-30
分析：
解：
取高位槽液面为截面 1-1’,连接管出口内侧 为截面 2-
2’,
并以 截面 2-2’ 的中心线为基准水平面,在两截面间列柏努利方程式：
高位槽,管道出口两截面 u,p已知 求 △ Z 柏努利方程
fe hpugZWpugZ 2
2
2
2
1
2
1
1 22
2009-7-30
式中,Z2=0 ； Z1=?
P1=0(表压 ) ； P2=9.81× 103Pa(表压 ）
A
Vu S?
2
由连续性方程 2211 AuAu? ∵ A1>>A2,
We=0, kgJh
f /30
2
4
d
VS
2033.0
4
3600
5
sm /62.1?
∴ u1<<u2,可忽略,u1≈0。
将上列数值代入柏努利方程式,并整理得：
81.9/)30850 1081.9262.1(
32
1?
z m37.4?
2009-7-30
3） 确定输送设备的有效功率例,如图所示,用泵将河水打入洗涤塔中,喷淋下来后流入下水道,已知道管道内径均为 0,1 m,流量为
84.82m3/h,水在塔前管路中流动的总摩擦损失 (从管子口至喷头进入管子的阻力忽略不计 )为 10J/kg,喷头处的压强较塔内压强高 0.02MPa,水从塔中流到下水道的阻力损失可忽略不计,泵的效率为 65%,求泵所需的功率 。
2009-7-30
2009-7-30
分析,求 Ne Ne=WeWs/η 求 We 柏努利方程 P
2=?
塔内压强整体流动非连续截面的选取？
解,取塔内水面为截面 3-3’,下水道截面为截面 4-4’,
取地平面为基准水平面,在 3-3’ 和 4-4’ 间列柏努利方程：
4
2
4
4
3
2
3
3 22
pugzpugz
0 43 uu式中：
2009-7-30
，,mZmZ 2.01 43
(0 34 PP 表压），
将已知数据代入柏努利方程式得：
96.13pg
3/1 0 0 0 mkg
表压）(117703 PaP
计算塔前管路,取河水表面为 1-1’ 截面,喷头内侧为 2-2’
截面,在 1-1’ 和 2-2’ 截面间列柏努利方程 。
2009-7-30
fe hpugzWpugz ρ2ρ2 2
2
2
2
1
2
1
1
式中,
mZmZ 61 21,
，01?u
A
Vu S?
2
表压），(01?P
（表压）Pap 8 2 3 01 1 7 7 01002.0 62
， kgJh f /10eW
21.0
4
3600
82.84
sm /3?
2009-7-30
将已知数据代入柏努利方程式
101 0 0 08 2 3 0236
2
gWg e
kgJW e /4.91?
see WWN? ρ,Se Vw?
1 0 0 03 6 0 082.844.91 W2153?
泵的功率：
eNN?
65.0
2153?
W3313? kW3.3?
2009-7-30
4) 管道内流体的内压强及压强计的指示例 1,如图,一管路由两部分组成,一部分管内径为
40mm,另一部分管内径为 80mm,流体为水 。 在管路中的流量为 13.57m3/h,两部分管上均有一测压点,测压管之间连一个倒 U型管压差计,其间充以一定量的空气 。 若两测压点所在截面间的摩擦损失为
260mm水柱 。 求倒 U型管压差计中水柱的高度 R为多少为 mm?
2009-7-30
分析,求 R 1,2两点间的压强差 柏努利方程式解,取两测压点处分别为截面 1-1’ 和截面 2-2’,管道中心线为基准水平面 。 在截面 1-1’ 和截面 2-2’ 间列 单位重量流体的柏努利方程 。 fHg
p
g
uz
g
p
g
uz
2
2
2
2
1
2
1
1 22
式中,z1=0,z2=0
1
1 A
Vu S?
u已知
204.0
4
3600
57.13
sm /3?
2009-7-30
1
2
2
1
2,ud
du
)(26.02 6 0 水柱mmmH f
代入柏努利方程式：
fHg
uu
g
pp
2
2
2
2
112
26.08.92 75.03
22
水柱m17.0?
125.0 u? sm /75.0?
2009-7-30
因倒 U型管中为空气,若不计空气质量,P3=P4=P
ghPP 水1
)(2 RhgPP 水?
gRPP 12
Rg PP 12
g
PPR
12 水柱m17.0? 水柱mm1 7 0?
2009-7-30
例 2：水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动,管路直径没有变化,水流经管路的能量损失可以忽略不计,计算管内截面 2-2’,3-3’,
4-4’ 和 5-5’ 处的压强,大气压强为
760mmHg,图中所标注的尺寸均以 mm计 。
分析,求 P 求 u柏努利方程 某截面的总机械能求各截面 P
理想流体
2009-7-30
解,在水槽水面 1－ 1’ 及管出口内侧截面 6－ 6’ 间列柏努利方程式,并以 6－ 6’ 截面为基准水平面
6
2
6
6
1
2
1
1 22
pugZpugZ
，mmmZ 110001式中,mZ 06?
P1=P6=0（ 表压 ）
u1≈0
代入柏努利方程式
2181.9
2
6u
2009-7-30
u6=4.43m/s
u2=u3=…… =u6=4.43m/s
常数pugzE 2
2
取截面 2 - 2 ’ 基 准 水 平 面,z1=3m,
P1=760mmHg=101330Pa0
1?u
kgJE /8.1301000101330381.9
对于各截面压强的计算,仍以 2-2’ 为基准水平面,Z2=0，
Z3=3m,Z4=3.5m,Z5=3m
22222
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2 uuuuu
2009-7-30
（ 1） 截面 2-2’ 压强
2
2
2
2 2
pugZE
2--
2
2
2
2 ugZEp?
)2(
2
2
22
ugZEP 1 0 0 0)81.98.1 3 0(
Pa1 2 0 9 9 0?
（ 2） 截面 3-3’ 压强
)2(
2
3
33
ugZEp 1 0 0 0)81.9381.98.1 3 0(
Pa91560?
2009-7-30
（ 3） 截面 4-4’ 压强
)2( 4
2
4
4 gZ
uEp 10003,59,8 1-81.9-8.130
Pa86660?
（ 4） 截面 5-5’ 压强
)2u-gZ-(
2
5
55 Ep 1 0 0 09,8 7-39,8 1-8.1 3 0
Pa91560?
从计算结果可见,P2>P3>P4,而 P4<P5<P6,这是由于流体在管内流动时,位能和静压能相互转换的结果 。
2009-7-30
5） 流向的判断在 φ45× 3mm的管路上装一文丘里管,文丘里管上游接一压强表,其读数为 137.5kPa,管内水的流速
u1=1.3m/s,文丘里管的喉径为 10mm,文丘里管喉部一内径为 15mm的玻璃管,玻璃管下端插入水池中,池内水面到管中心线的垂直距离为 3m,若将水视为理想流体,试 判断池中水能否被吸入管中？ 若能吸入,再求每小时吸入的水量为多少 m3/h？
2009-7-30
分析：
判断流向 比较总势能求 P？柏努利方程解,在管路上选 1-1’ 和 2-2’ 截面,并取 3-3’ 截面为基准水平面设支管中水为静止状态 。 在 1-1’ 截面和 2-2’ 截面间列柏努利方程, 2
2
2
2
1
2
1
1 22
PugZPugZ
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式中：
mZZ 321
smu /3.11? sm
d
duu /77.19)
10
39(3.1)( 22
2
1
12
表压）(105.1 3 7 51 PaP
22
2
2
2
112 uuPP
2
77.19
2
3.1
1 0 0 0
105.1 3 7 223
kgJ /08.57
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∴ 2-2’ 截面的总势能为
2
2 gZP?
381.908.57 kgJ /65.27
3-3’ 截面的总势能为
0
0 gZP?
∴ 3-3’ 截面的总势能大于 2-2’ 截面的总势能,水能被吸入管路中 。求每小时从池中吸入的水量 求管中流速 u柏努利方程在池面与玻璃管出口内侧间列柏努利方程式：
0?
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22
2
22
2
3
2
1
3
uPgZPugZ
式中：
，mZ 03? mZ 32?
00?u
表压）(00?P kgJ
P /08.572
代入柏努利方程中,
2381.908.57
2
2u
smu /436.7 2?
20 1 5.0
44 3 6.73 6 0 0
hV hm /7 2 8.4
3?
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6） 不稳定流动系统的计算例,附图所示的开口贮槽内液面与排液管出口间的垂直距离 hi为 9m,贮槽内径 D为 3m,排液管的内径 d0为 0.04m,液体流过该系统时的能量损失可按 240 uh
f
公式计算,式中
u为流体在管内的流速,试求经 4小时后贮槽内液面下降的高度 。
分析：
不稳定流动系统瞬间柏努利方程微分物料衡算
2009-7-30
解：
在 dθ时间内对系统作物料衡算,设 F’为瞬间进料率,
D’为瞬时出料率,dA’为在 dθ时间内的积累量,
F’dθ－ D’dθ＝ dA’
∵ dθ时间内,槽内液面下降 dh,液体在管内瞬间流速为 u，
0 F udD 204 dhDAd 24
上式变为：
dhDud 220 44
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( 1 )
2
0 u
dh
d
Dd
在瞬时液面 1-1’ 与管子出口内侧截面 2-2’ 间列柏努利方程式,并以 截面 2-2’ 为基准水平面,得：
hfPugZPugZ 2
2
2
2
1
2
1
1 22
式中：
，hmZ?1 mZ 02?
0 1? u uu?2
21 PP 240 uhf
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25.4081.9 uh?
( 2 ) 4 9 2.0 hu?
将 （ 2） 式代入 （ 1） 式得：
h
dh
d
Dd
4 9 2.0
2
0
h
dh
4 92.004.0
3 2?
h
dh1 1 4 3 3
两边积分,；,mh 90 11 hmhs
22 3 6 0 04,?
h hdhd 93 6 0 040 1 1 4 3 3?
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hhh 91221143336004
9211433 h
h=5.62m
∴ 经四小时后贮槽内液面下降高度为：
9－ 5.62=3.38m
