数学分析考研参考：凸函数及其应用

§2 凸函数及其应用
凸函数定义及其等价形式：
设f(x)在区间I上有定义,若对任意x1,x2
I,

[0，1]成立不等式：
f(
x1+(1-
)x2)

f(x1)+ (1-
)f(x2)
则称f(x)是区间I上的凸函数。
f(x)是区间I上的凸函数当且仅当对任意x1,x2,x3
I,x1 < x2 < x3，下列不等式之一成立,

,
。
事实上，设
=
，则0 <
< 1,且x2 =
x3+(1-
)x1,代入上面任意一式,变形后即得定义形式。
定理：若f(x)在区间I上连续，则f(x)是区间I上凸函数的充要条件为：对任意x1,x2
I 成立
。
证：只须证明充分性。设n = k
2 时成立：

。
考察n = k+1的情形：




　。
设
＝

[0，1]，则1-
＝
。注意到kx =
，所以由上可知
。对任意

[0，1]，可用二进制数列{
}逼近，于是由连续性即证得定理。
注：定理中f(x)连续性条件不能去掉。否则,即使定理中其他条件都成立，在实数域内f(x)也不一定是凸函数（参阅史树中编《凸分析》P.72）。
范例：
1、若f(x)是区间I上的凸函数，则对I的任一内点x,
都存在，而且
。
证：x1 < x < x2,则


。当x1
x 时，上式左边
，当x2
x 时，上式右边
，在由单侧导数定义即证。
2、设f(x)是区间I上的凸函数，则在I的任一闭子区间上f(x)有界。
证：设[a，b]
I,
x
[a，b]，取
＝
，则x =（1-
）a +
b,
f(x)
（1-
）f(a) +
f(b)
Ｍ　 ( 此处Ｍ＝ max(f(a),f(b)) ) 。
再令c =
，
x
[a，b]，存在x关于c的对称点
，由f(x)的凸性得到

,因此，f(x)
2 f(c)– Ｍ ＝ ｍ 。
3、设f(x)是区间（a,b）上的凸函数，则在（a,b）的任一闭子区间上f(x)满足Lipschitz条件。
证：设

（a,b），取h > 0,使得

（a,b）。
x1,x2

，x1 < x2,令x3 = x2 + h,则




.又令x3 = x1 – h,则



－
　．因此有

。
（注：由1知区间上凸函数一定连续，由3知区间上凸函数内闭一致连续。）
4、设a1,a2,．．．，a n,为n个正数，证明：
。
证：取对数原式变形为
,注意到
,只须证
,即证
。为此，设
，上式可表示为
。由于
,f(x)是凸函数，故而命题成立。
5、设
（k = 1，2,…,n） 。求证：

。
证：原式可变形为
,于是由
的凸性可得第一个不等式，由
的凹性可得第二个不等式。
6、设p > 0,q > 0 。求证：当
时
。
证：原式可变形为
，取对数又可变形为
，由
的凹性即证。
7、设ai > 0,bi > 0,qi > 0,
,则：
。
证：原式变形为
，取对数又可变形为
。注意到
,
,上式又可变形为
。令
，由f(x)的凸性即证。
8、设
。则：
。
注：若m=2，记
，则上式就是
不等式

证：记Ａk =
,右边即为
,不等式变形为：

,
由于

的定义可知不等式成立。
9、设
,
。求证Minkowski不等式：

。
证：记



再注意到
即证。
10、设
是互不相同的正整数，则：
。
证：
,最后一个不等式是因为诸
各不相同，故可设
。
11、设f（x）在[a，b]连续，
上的凸函数，则：

。
证：在不等式
两边令
取极限即证。
12、设f(x)在(a,b)连续，则f(x)是凸函数的充要条件是：对任意含于(a,b)的闭区间[x-h，x+h]，都有
。
证：（必要性）

，f(x)

( f(x-t) + f(x+t))，故
2 h f(x)


＝
　。
（充分性）假定存在x1 < x 2 使
。作辅助函数
= f(x) – k (x – x 1 ) – f(x 1),（其中k =
）。则
，因此
。取h > 0,[x0-h,x0+h]
[ x 1,x 2],当
时
，且不恒为零，因此
，再由
的定义推出
。