第二部分：不等式与中值定理应用
主要内容：函数、和式、积分不等式的建立、证明与应用；函数极值、单调、凸性的讨论与应用。
§1.微分方法的应用相关知识点:
微分中值定理,泰勒公式。
利用单调性讨论导出不等式。
利用讨论极值的方法导出不等式。
范例：
证明贝努力不等式：若（0，1），则当x＞－１时1+x 。
若（0，1），则当x＞－１时1+x 。
证：设f(x)＝ - 1 - x,考察 的符号。
2、证明杨格不等式：若，则。
证：原不等式可变形为 。令 ,考察函数，可证 。
3、设：
证：，由此变形即得到第一个不等式。又注意到，故后一个不等式可变形为：
,此即“几何平均”“算术平均”。
4、设，求证：
。
证：先考察n = 2 情形。将欲证不等式变形为，即
，注意到的任意性，可见左边应是函数 的最小值。这只要通过考察导数：
的符合即可得证。当n＞２时，记, 并由归纳法即可证明。
5、证明：当x＞０时， 。
证：注意到时，不等式两边都趋于零，故作变换，不等式可改写成。记，则，故只须证，即证。
6、ｘ＞０，证明：当ｔｘ时 。
证：不等式可变形为 。显然当ｔ＝０,ｘ时不等式已成立，以下设。令,注意到故只须证。,对在［ｘ－ｔ，ｘ］（０＜ｔ＜ｘ ）
或［ｘ，ｘ－ｔ］（ｔ＜０） 上应用Lagrange 定理，，（分别对0＜ｔ＜ｘ，ｔ＜０讨论）。
7、证明：
证：当ａ＜ｂ时，不等式可变形为 ,设
f（x）=，故只须证 。
（通过设置变量使问题动态化，把问题化为函数形态的讨论）
8、证明：当ｘ＞０时 。
证：将不等式变形为处取到最小值。这只要考察的符号即可。
9、设f（x）在[a，b] n次可微，，k = 0，1，．．．，ｎ－１。求证： 。
证：这是函数与其高阶导数之间的关系，宜用Taylor公式讨论之。分别将f（x）在点a，b处展开成Taylor公式得到 ，及
。为使等式中出现因子ｂ－ａ，可令ｘ＝，则有
f（）=,f（）=
两式相减得,其中 。
10、设f（x）在[a，b]存在n+1阶导数，且满足。证明： 。
证：n = 0时，令，所以。
n > 0时，令，则g（a）= g（b）= 0。故，又因。
11、设是n次多项式，a > 0，a0，求证：方程至多有n+1个不同的实根。
证：（反证）应用罗尔定理，并注意到。
12、设0 < a < b，f（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，试证：使得, 。
证：将原式变形成，前的系数有一个共同特征：某函数F（x）在[a，b]的增量与在某点的值之比。因此联想到柯西定理：。依次取F（x）= 即可。
13、若f（x）在[0，1]连续，在（0，1）可导，且f（0）= 0，f（1）= 1。试证：对任意一组正数，存在（0，1）内k个正数，使得 。
证：记 。只须证明：存在使。由于0 < < +<,．．< +< 1且f（0）= 0,f（1）= 1 = ，故由介值定理，存在，且<,使得f（）= ，f（）= +,．．．，f（）= +。 又由中值定理（0，）使 = f（）= ；（，）使得
(－) = f（）－f（）= ； ．．．．．． ； （，1）使（１－）＝f（1）－f（）＝ 。将这些等式变形再相加即得所证。
14、设f（x）在 n阶可导，且f（x）,都存在。求证：= 0 （k = 1，2，．．．，ｎ） 。
证：（1）证明存在{} 使 ()（m）,k = 1，2，．．．，ｎ 。事实上，对自然数m,存在（2m－1,2m）使() = (2m)－(2m－1)。由于()存在，故()。显然1＜－＜3 且{}。
设{} 使 ()（m）,且1＜－＜3 k 。于是又存在 (,) 使得 ()(－) = ()－()，所以()，并且1＜－＜－＜－＜－ ＋－＋－＜3 k+3 k+3 k ＝ 3 k+1,并且{} 。最后得到{}（m），1< －< 3 n,()。
（2）证明= 0 （k = 1，2，．．．，ｎ）。注意到存在且（），即知= 0 。 又因 为 (x) = (x) － () + () = ()（x －） + () （x， < x < ，0 < x －< －< 3 ｎ－１）。依次可推出 （k = 1，2，．．．，ｎ） 。
主要内容：函数、和式、积分不等式的建立、证明与应用；函数极值、单调、凸性的讨论与应用。
§1.微分方法的应用相关知识点:
微分中值定理,泰勒公式。
利用单调性讨论导出不等式。
利用讨论极值的方法导出不等式。
范例：
证明贝努力不等式：若（0，1），则当x＞－１时1+x 。
若（0，1），则当x＞－１时1+x 。
证：设f(x)＝ - 1 - x,考察 的符号。
2、证明杨格不等式：若，则。
证：原不等式可变形为 。令 ,考察函数，可证 。
3、设：
证：，由此变形即得到第一个不等式。又注意到，故后一个不等式可变形为：
,此即“几何平均”“算术平均”。
4、设，求证：
。
证：先考察n = 2 情形。将欲证不等式变形为，即
，注意到的任意性，可见左边应是函数 的最小值。这只要通过考察导数：
的符合即可得证。当n＞２时，记, 并由归纳法即可证明。
5、证明：当x＞０时， 。
证：注意到时，不等式两边都趋于零，故作变换，不等式可改写成。记，则，故只须证，即证。
6、ｘ＞０，证明：当ｔｘ时 。
证：不等式可变形为 。显然当ｔ＝０,ｘ时不等式已成立，以下设。令,注意到故只须证。,对在［ｘ－ｔ，ｘ］（０＜ｔ＜ｘ ）
或［ｘ，ｘ－ｔ］（ｔ＜０） 上应用Lagrange 定理，，（分别对0＜ｔ＜ｘ，ｔ＜０讨论）。
7、证明：
证：当ａ＜ｂ时，不等式可变形为 ,设
f（x）=，故只须证 。
（通过设置变量使问题动态化，把问题化为函数形态的讨论）
8、证明：当ｘ＞０时 。
证：将不等式变形为处取到最小值。这只要考察的符号即可。
9、设f（x）在[a，b] n次可微，，k = 0，1，．．．，ｎ－１。求证： 。
证：这是函数与其高阶导数之间的关系，宜用Taylor公式讨论之。分别将f（x）在点a，b处展开成Taylor公式得到 ，及
。为使等式中出现因子ｂ－ａ，可令ｘ＝，则有
f（）=,f（）=
两式相减得,其中 。
10、设f（x）在[a，b]存在n+1阶导数，且满足。证明： 。
证：n = 0时，令，所以。
n > 0时，令，则g（a）= g（b）= 0。故，又因。
11、设是n次多项式，a > 0，a0，求证：方程至多有n+1个不同的实根。
证：（反证）应用罗尔定理，并注意到。
12、设0 < a < b，f（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，试证：使得, 。
证：将原式变形成，前的系数有一个共同特征：某函数F（x）在[a，b]的增量与在某点的值之比。因此联想到柯西定理：。依次取F（x）= 即可。
13、若f（x）在[0，1]连续，在（0，1）可导，且f（0）= 0，f（1）= 1。试证：对任意一组正数，存在（0，1）内k个正数，使得 。
证：记 。只须证明：存在使。由于0 < < +<,．．< +< 1且f（0）= 0,f（1）= 1 = ，故由介值定理，存在，且<,使得f（）= ，f（）= +,．．．，f（）= +。 又由中值定理（0，）使 = f（）= ；（，）使得
(－) = f（）－f（）= ； ．．．．．． ； （，1）使（１－）＝f（1）－f（）＝ 。将这些等式变形再相加即得所证。
14、设f（x）在 n阶可导，且f（x）,都存在。求证：= 0 （k = 1，2，．．．，ｎ） 。
证：（1）证明存在{} 使 ()（m）,k = 1，2，．．．，ｎ 。事实上，对自然数m,存在（2m－1,2m）使() = (2m)－(2m－1)。由于()存在，故()。显然1＜－＜3 且{}。
设{} 使 ()（m）,且1＜－＜3 k 。于是又存在 (,) 使得 ()(－) = ()－()，所以()，并且1＜－＜－＜－＜－ ＋－＋－＜3 k+3 k+3 k ＝ 3 k+1,并且{} 。最后得到{}（m），1< －< 3 n,()。
（2）证明= 0 （k = 1，2，．．．，ｎ）。注意到存在且（），即知= 0 。 又因 为 (x) = (x) － () + () = ()（x －） + () （x， < x < ，0 < x －< －< 3 ｎ－１）。依次可推出 （k = 1，2，．．．，ｎ） 。
