极限与连续
§1 数列极限的证明与计算极限定义与性质的应用。
单调有界原理的应用。
Cauchy收敛准则的应用。
Stols公式,Taylor公式的应用证明： 不存在证法1：利用Cauchy准则。，则 故。
证法2：设＝A 。因为,令即得。又由可知A=1。又因为 以及得到A=0。得出矛盾。
2、设；（1） 。试求： 。解：（1）,
.以 乘，注意 。
3、求极限：。
解：原式=。
4、已知。
解：令 由迫敛性得极限为。
5、设： 。
解法（1）： 。
解法（2）：中共有2n+2项，最大项为，最小项为，因此 。
6、求极限：为自然数）。
解：利用Stolz公式、二项式定理。
7、求极限： 。
解：对于连乘积形式，可以先取对数。
,由Stolz公式 。
8、设：收敛，。求证：。
证：，则：原式=,对第一项应用Stolz公式。
9、设 。
解：注意到故应比较与的大小关系。问题在于是否有：都大于？或都小于？或都等于？这问题通常与递推关系式的单调性及首项的大小有关。
设：，所以单调增加。①时，对任意n都有，所以收敛于 。
②。由及归纳法可证，因此又有。③。同理可证。
另解：因为为压缩映射，从而收敛。
10、若在I=[a-r,a+r]上可微，,为的不动点。
证：先证是I到I的映射，即当。再证是压缩映射。
11、设，。试证 存在,且为方程的根。
证：0<,由此可知是柯西列.
12、设。求极限 。
证：用归纳法可证 。
13、设 。
解： 。
又由,可知 。
令两边取极限，得到 。
14、设＞0， 。
证： 。的单调性归结为是否：都大于？或都小于？都等于？设则 。于是：
若=，则=。
若>,则由f(x)的递增性可知>,所以递减。
若<,也由f(x)的递增性可知<,所以递增。
15、设＝ 。
解：考察n，化之为n（１+）在[0，2]上的积分和。
16、设a>0,，，．．．，，．．．试证{}收敛于方程＝的一个正根。
证：先来讨论{}的单调性：
当时，可推知{}递增，>0 。当时，可证{}递减。
再来分析{}的有界性：设f(x)= －。
{}递增时，=+，故f()0；{}递减时，=+，故f()0。因此，需要确定f(x)的保号区间。由介值定理知正根的存在性，又由罗尔定理知的唯一性，再由f(+)＝－，所以在（0，+）上f(x)具有如下的保号性：f(x)＞０ x（0，）；f(x)＜０ x（，+）。综上可知{}递增时,即{}有上界；{}递减时，即{}有下界。
§2 上极限与下极限数列的上、下极限。
上、下极限的各种等价定义：
上、下极限的确界定义：
设是有界数列，,=。则递增有上界，递减有下界。记=,=,分别称为的上、下极限，记为。显然=, =，并且 。
上、下极限的定义：
是的上极限当且仅当对任意正数有：①存在N当n>N时 。②对任意自然数，存在自然数使得 。
是的下极限当且仅当对任意正数有：①存在N当n>N时 。②对任意自然数，存在自然数使得。
上、下极限的聚点定义：
（）是的上（下）极限，当且仅当（）是的最大（小）聚点。
上、下极限的子列定义：
（）是的上（下）极限，当且仅当存在子列收敛于（），且对任何收敛子列的极限，都有 。
基本事实：收敛的充要条件是= 。
注：若无上界，则规定=+，若无下界，则规定 =－。
范例：
1、对任意数列都有：
①。
②当>0时又有:
,
证：①利用上、下极限的定义可证。
②注意=。用分析法可证左端的不等式，再利用几何平均算术平均及①的结果可证右端的不等式。
2、设0+，求证： 存在。
证：若存在，应有== 。对任意>0,存在,当n>时,>- 。又存在N（N>）使-＜＜＋ 。对任意n>N，n=kN+m（0m<N），则:
-<<+<＋2(只要n充分大)。
注：上述方法的妙处在于确定了估计对象 。
3、设0。求证：存在。
证：设=。存在N使<＋,且当n>N时>-.设n= kN+m（0m<N），则：
-＜===
＜(＋)(1+).
4、若有界，（）＝０，则聚点全体之集为闭区间[，]。（其中、分别是的上、下极限）
证：对任意（，），取正数使+<-<+<-,再取自然数N,使当n>N时<。由上下极限的定义可知存在>N,使<+,>-,于是在中间至少有一个属于(-,+)（若不然，则存在,与已知条件矛盾）。由的任意性既知是的聚点。
5、设为正数列，证明： e 。
反证法：设所述上极限为，且< e,则存在N,n>N时
< e <,,
(n>N)， ＜,而 时左边趋于无穷,得到矛盾。
函数的上下极限：
函数上下极限的各种等价定义：
确界定义：
设在内有定义，，记：
。显然，当0时，，。从而由归结原则可知，存在或。记：=,=,分别称为在点的上下极限。
定义：
A是在点的上极限，当且仅当：①>0,当时,<A+。②>0,,使> A－。
B是在点的下极限，当且仅当：①>0,当时，>B－。②>0,，使< B+。
序列化定义：
A(或B)是在点的上（下）极限，当且仅当①，，使。②对任意收敛于的点列，若收敛于，则A（或B）。
由定义既可得到证明。
基本事实：
B= A=。
，>0,当时,B－<< A+。
存在，当且仅当=。
在任意内无上（下）界，当且仅当=+（=－）。
注：由上（下）极限概念可以进一步引入函数的上（下）半连续性，并在闭区间上建立上（下）半连续函数的上（下）界、最大（小）值定理。
§3 实数基本定理与函数的连续性
主要知识点：
连续概念及应用；
连续函数性质的应用；
实数基本定理及其应用。
范例：
1、设在内具有介值性质，且1—1对应。求证：
ⅰ）、严格单调，值域为某个区间J。
ⅱ)、在J内严格单调。
ⅲ）、、都连续。
证：ⅰ）（反证）不妨设存在，取
ⅱ)由x=当且仅当y=，及的单调性即知。
ⅲ）设：
。不妨设单调增加，于是
注意到与具有同样的性质，故也连续。
2、设在连续，且，求证：
ⅰ）若n为奇数，则存在，使=0。
ⅱ) 若n为偶数，则存在，使。
证：F（x）=，故当充分大时，F（x）与同号。于是，当n为奇数时F（x）变号，由介值定理即证；而当n为偶数时F（x），故F（x）在R上有最小值。
3、设处处连续。求证：至少在两个不同点处取到最小值。
证：显然。又依条件可知存在A<a使
f(A)>f(a)>a,存在B>a使f(B)>a>f(a)。由介值定理，使。
4、设处处连续，＝ｘ，求证：有不动点。
证：作F（x）＝－ｘ，则F（）＝ｘ－。故F（x）在点ｘ，异号，再由介值定理即证。
几何意义：按题意知，点（ｘ，），（，ｘ）都在曲线C：
y＝上，而点（ｘ，），（，ｘ）关于对角线对称，因此曲线C必与对角线相交。
５、设在[0，1]连续，且f（0）＝f（1），则使。
证：设＝０，所以中必有异号的两项（或全为零），由介值定理即证。
6、设n是自然数，在[0，n]上连续，f（0）＝f（n），求证：[0，n]上至少有n对不同的{u，v}使f（u）＝f（v），且v-u是正整数。
证：（归纳法）设n＝ｋ时已成立，考察n＝ｋ+1。已知f（x）在区间[0，ｋ+1]连续，f（0）＝f（ｋ+1）。
仿上题方法可证：
化为n＝k情形：作,则h(x)在[0，k]连续，且h(0)＝h(k)。故存在使，并且是正整数。③、表成的等式。
若则＝，且。
若则，且。
若，则＝，且。
故由得到（，），使得f()＝f(),-是正整数，并且
（，）。于是｛（，），｝即为所求。
7、设f(x)在[a,b]连续，，求证：存在。
证：取定[a,b]，可证存在[a,b]，使，则 。
8、设f(x)在点零处连续，，有f(x+y)=f(x)+f(y)，求证：①f(x)处处连续；②f(x)=x f(1)。
证：由f(x)= f(x+0)= f(x)+ f(0)知f(0)=0。
f(x+)=（f(x)+ f()）= f(x) （f()=f(0)=0）。f(1)＝ f()＝nf()，所以f()＝ f(1)。
f()＝ｍf()＝ f(1)。 再由连续性即证。
9、设f(x)是Ｒ上连续的周期函数，且f(x)不为常数，则f(x)有最小正周期。
证：设Ｅ＝｛f(x)的正周期｝， 。要证。首先由f(x)的连续性可知是f(x)的周期。下面只要证＞0 。
假定＝0。任取Ｒ，＞0。存在Ｅ，0＜＜及，使＜(+1),即，由周期性得到：f()＝f(0)，又由的任意性及f(x)的连续性得f()＝f(0)。因此f(x)是常数，这与题设矛盾。
10、若是周期函数，且＝0，则0。
证：设T是的一个正周期，假定0，＞0，于是
＝０，且＝０。
11、设f(x),g(x)都是周期函数，并且（f(x)-g(x)）=0，则：f(x)g(x)。
证：本题关键是要证明f(x)-g(x)也是周期函数。设是f(x)的一个周期，要证也是g(x)的周期。事实上：g(x+)- g(x)是周期函数，又因 g(x+)－g(x)＝g(x+)－f(x＋)＋f(x＋)－g(x)
＝（g(x+)－f(x＋)）＋（f(x)－g(x)）。
由上题可知g(x+)g(x)。
12、已知f(x)在圆周上有定义，且连续。证明：可找到一直径的两端点a，b使f(a)＝ f(b)。
证：以圆心为极点，某半径为极轴，如图引入参变量，则f(x)可表为的函数，且以为周期。
问题转化为求证：存在使得
＝。这只须对函数
＝－在
上应用介值定理即可。
13、设f(x)在连续且Ａf(x)Ｂ，又设Ｒ方程f(x)＝在至多只有有限个解，求证：f(x)存在。
证：令＝，则存在＞0，当x＞时恒有f(x)＞，或恒有f(x)＜。若是前者，继续考察［，Ｂ］＝，若是后者，考察[Ａ，]＝。依次可得闭区间套［,］及｛｝，使当x,y＞时－＝，由柯西准则知f(x)存在。
14、设f(x)在连续且有界，证明：ＴＲ，存在Ｒ，+，使[f(+Ｔ)－f(x)]＝0。
证：记＝f(x+T)－f(x)。若ｎ，ｎ，使＝0，则命题已真。否则，由介值定理，不妨设x时，＞0。Ａ＞，记，可证＝０．事实上，由插项法可知，Ｔ＞０时
f(Ａ+kT)k+ f(Ａ)；Ｔ＜０时，f(Ａ-kT) f(Ａ)- k。因此若＞０，则f(x)无界，与题设矛盾。因此，ｎ，＝０。从而存在
ｎ使０＜＜。
15、设f(x)，g(x)在[a,b]连续,[a,b]，满足g()=f(),
ｎ＝1,2,… 。求证：存在[a,b]，使f()＝g()。
证：设＝f(x)－g(x)。下面分两种情况来讨论：
若{}有异号的项或零项，的存在性是显然的。
若{}各项严格保号，不妨设ｎ都有 ＞0，于是
f()－f()＝f()－g()＝＞０，ｎ＝1,2,… 。因此，数列｛f()｝单调减少且有界，从而收敛。又由g()=f()知｛g()｝也收敛,而且与｛f()｝收敛于同一极限。注意到{}有界，所以有收敛子列{}，其极限为[a,b]。由连续性得f()＝f()，g()＝g()＝g()＝f()＝f()＝f()。
§1 数列极限的证明与计算极限定义与性质的应用。
单调有界原理的应用。
Cauchy收敛准则的应用。
Stols公式,Taylor公式的应用证明： 不存在证法1：利用Cauchy准则。，则 故。
证法2：设＝A 。因为,令即得。又由可知A=1。又因为 以及得到A=0。得出矛盾。
2、设；（1） 。试求： 。解：（1）,
.以 乘，注意 。
3、求极限：。
解：原式=。
4、已知。
解：令 由迫敛性得极限为。
5、设： 。
解法（1）： 。
解法（2）：中共有2n+2项，最大项为，最小项为，因此 。
6、求极限：为自然数）。
解：利用Stolz公式、二项式定理。
7、求极限： 。
解：对于连乘积形式，可以先取对数。
,由Stolz公式 。
8、设：收敛，。求证：。
证：，则：原式=,对第一项应用Stolz公式。
9、设 。
解：注意到故应比较与的大小关系。问题在于是否有：都大于？或都小于？或都等于？这问题通常与递推关系式的单调性及首项的大小有关。
设：，所以单调增加。①时，对任意n都有，所以收敛于 。
②。由及归纳法可证，因此又有。③。同理可证。
另解：因为为压缩映射，从而收敛。
10、若在I=[a-r,a+r]上可微，,为的不动点。
证：先证是I到I的映射，即当。再证是压缩映射。
11、设，。试证 存在,且为方程的根。
证：0<,由此可知是柯西列.
12、设。求极限 。
证：用归纳法可证 。
13、设 。
解： 。
又由,可知 。
令两边取极限，得到 。
14、设＞0， 。
证： 。的单调性归结为是否：都大于？或都小于？都等于？设则 。于是：
若=，则=。
若>,则由f(x)的递增性可知>,所以递减。
若<,也由f(x)的递增性可知<,所以递增。
15、设＝ 。
解：考察n，化之为n（１+）在[0，2]上的积分和。
16、设a>0,，，．．．，，．．．试证{}收敛于方程＝的一个正根。
证：先来讨论{}的单调性：
当时，可推知{}递增，>0 。当时，可证{}递减。
再来分析{}的有界性：设f(x)= －。
{}递增时，=+，故f()0；{}递减时，=+，故f()0。因此，需要确定f(x)的保号区间。由介值定理知正根的存在性，又由罗尔定理知的唯一性，再由f(+)＝－，所以在（0，+）上f(x)具有如下的保号性：f(x)＞０ x（0，）；f(x)＜０ x（，+）。综上可知{}递增时,即{}有上界；{}递减时，即{}有下界。
§2 上极限与下极限数列的上、下极限。
上、下极限的各种等价定义：
上、下极限的确界定义：
设是有界数列，,=。则递增有上界，递减有下界。记=,=,分别称为的上、下极限，记为。显然=, =，并且 。
上、下极限的定义：
是的上极限当且仅当对任意正数有：①存在N当n>N时 。②对任意自然数，存在自然数使得 。
是的下极限当且仅当对任意正数有：①存在N当n>N时 。②对任意自然数，存在自然数使得。
上、下极限的聚点定义：
（）是的上（下）极限，当且仅当（）是的最大（小）聚点。
上、下极限的子列定义：
（）是的上（下）极限，当且仅当存在子列收敛于（），且对任何收敛子列的极限，都有 。
基本事实：收敛的充要条件是= 。
注：若无上界，则规定=+，若无下界，则规定 =－。
范例：
1、对任意数列都有：
①。
②当>0时又有:
,
证：①利用上、下极限的定义可证。
②注意=。用分析法可证左端的不等式，再利用几何平均算术平均及①的结果可证右端的不等式。
2、设0+，求证： 存在。
证：若存在，应有== 。对任意>0,存在,当n>时,>- 。又存在N（N>）使-＜＜＋ 。对任意n>N，n=kN+m（0m<N），则:
-<<+<＋2(只要n充分大)。
注：上述方法的妙处在于确定了估计对象 。
3、设0。求证：存在。
证：设=。存在N使<＋,且当n>N时>-.设n= kN+m（0m<N），则：
-＜===
＜(＋)(1+).
4、若有界，（）＝０，则聚点全体之集为闭区间[，]。（其中、分别是的上、下极限）
证：对任意（，），取正数使+<-<+<-,再取自然数N,使当n>N时<。由上下极限的定义可知存在>N,使<+,>-,于是在中间至少有一个属于(-,+)（若不然，则存在,与已知条件矛盾）。由的任意性既知是的聚点。
5、设为正数列，证明： e 。
反证法：设所述上极限为，且< e,则存在N,n>N时
< e <,,
(n>N)， ＜,而 时左边趋于无穷,得到矛盾。
函数的上下极限：
函数上下极限的各种等价定义：
确界定义：
设在内有定义，，记：
。显然，当0时，，。从而由归结原则可知，存在或。记：=,=,分别称为在点的上下极限。
定义：
A是在点的上极限，当且仅当：①>0,当时,<A+。②>0,,使> A－。
B是在点的下极限，当且仅当：①>0,当时，>B－。②>0,，使< B+。
序列化定义：
A(或B)是在点的上（下）极限，当且仅当①，，使。②对任意收敛于的点列，若收敛于，则A（或B）。
由定义既可得到证明。
基本事实：
B= A=。
，>0,当时,B－<< A+。
存在，当且仅当=。
在任意内无上（下）界，当且仅当=+（=－）。
注：由上（下）极限概念可以进一步引入函数的上（下）半连续性，并在闭区间上建立上（下）半连续函数的上（下）界、最大（小）值定理。
§3 实数基本定理与函数的连续性
主要知识点：
连续概念及应用；
连续函数性质的应用；
实数基本定理及其应用。
范例：
1、设在内具有介值性质，且1—1对应。求证：
ⅰ）、严格单调，值域为某个区间J。
ⅱ)、在J内严格单调。
ⅲ）、、都连续。
证：ⅰ）（反证）不妨设存在，取
ⅱ)由x=当且仅当y=，及的单调性即知。
ⅲ）设：
。不妨设单调增加，于是
注意到与具有同样的性质，故也连续。
2、设在连续，且，求证：
ⅰ）若n为奇数，则存在，使=0。
ⅱ) 若n为偶数，则存在，使。
证：F（x）=，故当充分大时，F（x）与同号。于是，当n为奇数时F（x）变号，由介值定理即证；而当n为偶数时F（x），故F（x）在R上有最小值。
3、设处处连续。求证：至少在两个不同点处取到最小值。
证：显然。又依条件可知存在A<a使
f(A)>f(a)>a,存在B>a使f(B)>a>f(a)。由介值定理，使。
4、设处处连续，＝ｘ，求证：有不动点。
证：作F（x）＝－ｘ，则F（）＝ｘ－。故F（x）在点ｘ，异号，再由介值定理即证。
几何意义：按题意知，点（ｘ，），（，ｘ）都在曲线C：
y＝上，而点（ｘ，），（，ｘ）关于对角线对称，因此曲线C必与对角线相交。
５、设在[0，1]连续，且f（0）＝f（1），则使。
证：设＝０，所以中必有异号的两项（或全为零），由介值定理即证。
6、设n是自然数，在[0，n]上连续，f（0）＝f（n），求证：[0，n]上至少有n对不同的{u，v}使f（u）＝f（v），且v-u是正整数。
证：（归纳法）设n＝ｋ时已成立，考察n＝ｋ+1。已知f（x）在区间[0，ｋ+1]连续，f（0）＝f（ｋ+1）。
仿上题方法可证：
化为n＝k情形：作,则h(x)在[0，k]连续，且h(0)＝h(k)。故存在使，并且是正整数。③、表成的等式。
若则＝，且。
若则，且。
若，则＝，且。
故由得到（，），使得f()＝f(),-是正整数，并且
（，）。于是｛（，），｝即为所求。
7、设f(x)在[a,b]连续，，求证：存在。
证：取定[a,b]，可证存在[a,b]，使，则 。
8、设f(x)在点零处连续，，有f(x+y)=f(x)+f(y)，求证：①f(x)处处连续；②f(x)=x f(1)。
证：由f(x)= f(x+0)= f(x)+ f(0)知f(0)=0。
f(x+)=（f(x)+ f()）= f(x) （f()=f(0)=0）。f(1)＝ f()＝nf()，所以f()＝ f(1)。
f()＝ｍf()＝ f(1)。 再由连续性即证。
9、设f(x)是Ｒ上连续的周期函数，且f(x)不为常数，则f(x)有最小正周期。
证：设Ｅ＝｛f(x)的正周期｝， 。要证。首先由f(x)的连续性可知是f(x)的周期。下面只要证＞0 。
假定＝0。任取Ｒ，＞0。存在Ｅ，0＜＜及，使＜(+1),即，由周期性得到：f()＝f(0)，又由的任意性及f(x)的连续性得f()＝f(0)。因此f(x)是常数，这与题设矛盾。
10、若是周期函数，且＝0，则0。
证：设T是的一个正周期，假定0，＞0，于是
＝０，且＝０。
11、设f(x),g(x)都是周期函数，并且（f(x)-g(x)）=0，则：f(x)g(x)。
证：本题关键是要证明f(x)-g(x)也是周期函数。设是f(x)的一个周期，要证也是g(x)的周期。事实上：g(x+)- g(x)是周期函数，又因 g(x+)－g(x)＝g(x+)－f(x＋)＋f(x＋)－g(x)
＝（g(x+)－f(x＋)）＋（f(x)－g(x)）。
由上题可知g(x+)g(x)。
12、已知f(x)在圆周上有定义，且连续。证明：可找到一直径的两端点a，b使f(a)＝ f(b)。
证：以圆心为极点，某半径为极轴，如图引入参变量，则f(x)可表为的函数，且以为周期。
问题转化为求证：存在使得
＝。这只须对函数
＝－在
上应用介值定理即可。
13、设f(x)在连续且Ａf(x)Ｂ，又设Ｒ方程f(x)＝在至多只有有限个解，求证：f(x)存在。
证：令＝，则存在＞0，当x＞时恒有f(x)＞，或恒有f(x)＜。若是前者，继续考察［，Ｂ］＝，若是后者，考察[Ａ，]＝。依次可得闭区间套［,］及｛｝，使当x,y＞时－＝，由柯西准则知f(x)存在。
14、设f(x)在连续且有界，证明：ＴＲ，存在Ｒ，+，使[f(+Ｔ)－f(x)]＝0。
证：记＝f(x+T)－f(x)。若ｎ，ｎ，使＝0，则命题已真。否则，由介值定理，不妨设x时，＞0。Ａ＞，记，可证＝０．事实上，由插项法可知，Ｔ＞０时
f(Ａ+kT)k+ f(Ａ)；Ｔ＜０时，f(Ａ-kT) f(Ａ)- k。因此若＞０，则f(x)无界，与题设矛盾。因此，ｎ，＝０。从而存在
ｎ使０＜＜。
15、设f(x)，g(x)在[a,b]连续,[a,b]，满足g()=f(),
ｎ＝1,2,… 。求证：存在[a,b]，使f()＝g()。
证：设＝f(x)－g(x)。下面分两种情况来讨论：
若{}有异号的项或零项，的存在性是显然的。
若{}各项严格保号，不妨设ｎ都有 ＞0，于是
f()－f()＝f()－g()＝＞０，ｎ＝1,2,… 。因此，数列｛f()｝单调减少且有界，从而收敛。又由g()=f()知｛g()｝也收敛,而且与｛f()｝收敛于同一极限。注意到{}有界，所以有收敛子列{}，其极限为[a,b]。由连续性得f()＝f()，g()＝g()＝g()＝f()＝f()＝f()。
