化学工业出版社
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化工仪表及自动化第八章 对象特性和建模化学工业出版社
www.cip.com.cn内容提要
数学模型及描述方法
被控对象数学模型
数学模型的主要形式
机理建模
一阶对象
积分对象
时滞对象
1
化学工业出版社
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描述对象特性的参数
放大系数 Κ
时间常数 Τ
滞后时间 τ
实测建模
2
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www.cip.com.cn第一节 数学模型及描述方法自动控制系统 是由被控对象,测量变送装置,控制器和执行器组成 。
研究对象的特性,就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系 。 这种对象特性的数学描述就称为对象的数学模型 。 干扰作用和控制作用都是引起被控变量变化的因素,如下图所示 。
通道调节通道干扰通道
？
几个概念
3
一、被控对象数学模型图 8-1 对象的输入、输出量化学工业出版社
www.cip.com.cn第一节 数学模型及描述方法对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型静态数学模型 动态数学模型基础特例
4
化学工业出版社
www.cip.com.cn第一节 数学模型及描述方法一般是在工艺流程和设备尺寸等都确定的情况,研究对象的输入变量是如何影响输出变量的 。
研 究的目的 是为了使 所设计的 控制系统 达到更好 的控制效果 。
在产品规格和产量已确定的情况下,通过模型计算,确定设备的结构,尺寸,工艺流程和某些工艺条件 。
（ a） （ b） （ c）
用于 控制 的数学模型（ a,b）与用于 工艺设计与分析 的数学模型（ c）不完全相同。
5
化学工业出版社
www.cip.com.cn第一节 数学模型及描述方法分类数学模型建立的途径不同机理建模实测建模混合模型
6
化学工业出版社
www.cip.com.cn第一节 数学模型及描述方法机理模型 —— 从机理出发,即从对象内在的物理和化学规律出发,建立描述对象输入输出特性的数学模型。
经验模型 —— 对于已经投产的生产过程,我们可以通过实验测试或依据积累的操作数据,对系统的输入输出数据,通过数学回归方法进行处理。
混合模型 —— 通过机理分析,得出模型的结构或函数形式，而对其中的部分参数通过实测得到。
7
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www.cip.com.cn第一节 数学模型及描述方法
二、数学模型的主要形式
8
非参量模型当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时,称为非参量模型 。
特点 形象,清晰,比较容易看出其定性的特征缺点 直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难化学工业出版社
www.cip.com.cn第一节 数学模型及描述方法当数学模型是采用数学方程式来描述时,称为参量模型 。
参量模型
9
静态数学模型比较简单,一般可用代数方程式表示。
动态数学模型的形式主要有微分方程、传递函数、
差分方程及状态方程等化学工业出版社
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10
对于线性的集中参数对象在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入量的导数项可表示为
txtyatyatyatya nnnn 0111?
txbtxbtxbtxb
tyatyatyatya
m
m
m
m
n
n
n
n
01
1
1
01
1
1
通常可用常系数线性微分方程式来描述,如果以 x（ t）
表示输入量,y（ t） 表示输出量,则对象特性可用下列微分方程式来描述
（ 8-1）
1.微分方程化学工业出版社
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11
txtyatya 01
举例 一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性 （ 通常称一阶对象 ）,则可表示为
（ 8-3）
tKxtytyT
00
1 1,
aKa
aT
或表示成式中
（ 8-4）
tKxtxaty
0
1
如果系统处于平衡状态 (静态 ),变量的导数项均为零
（ 8-5）
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2.传递函数
sX sYsG?
所谓一个环节 (或对象 )的传递函数是在初始条件为零时,这个环节输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比,记为
（ 8-6）
dtetfsF st 0
拉氏变换是对函数的一种变换,定义为
（ 8-7）
12
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sXbssXbsXsbsXsb
sYassYasYsasYsa
m
m
m
m
n
n
n
n
01
1
1
01
1
1
运用拉氏变换的线性性质与微分性质,对式 (8-1)
两端分别取拉氏变换,则得由此式可以方便地得到系统传递函数的一般形式
01
1
1
01
1
1
asasasa
bsbsbsb
sX
sYsG
n
n
n
n
m
m
m
m
（ 8-8）
13
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sKXsYsT s Y
对于一阶对象,由式 (8-4)两端取拉氏变换,得
1 Ts KsG
因此一阶对象的传递函数形式为
（ 8-9）
14
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3.差分方程差分方程是一种时间离散形式的数学模型，用来描述在各个采样时刻的输入变量与输出变量数值之间的关系。
kxbkxbmkxbmkxb
kyakyankyankya
mm
nn
011
011
11
11
（ 8-10）
式 (8-10)称为 n阶差分方程,当 n= 1时称为一阶差分方程。
15
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t
kyky
dt
tdy
1
如果将各个信号经过采样,采样间隔时间 (采样周期 )为 Δt
tKxty
dt
tdyT
对于一阶微分方程
（ 8-11）
kKxkyt kykyT 1
kKxkytTkytT 11
将上述关系代入式 (7-11),可得或
16
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KbtTatTa 001 1式中
kxbkyakya 001 1
写成一阶差分方程的一般形式,为
（ 8-12）
kxbkyakyakya 0012 12
对于二阶微分方程
（ 8-13）
kxabkyaaky
1
0
1
01
1121
0010
1
0
1
0
1
0
1
0
x
a
b
y
a
a
yk
x
a
b
y
a
a
yk
时，
时，
递推公式为
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www.cip.com.cn第二节 机理建模
一,一阶对象
1.水槽对象对象物料蓄存量的变化率
＝单位时间流入对象的物料－单位时间流出对象的物 料依据
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19
A d hdtQQ 21 （ 8-14）
sR
hQ?
2
若 变化量很微小,可以近似认为 Q2与 h 成正比将上式代入（ 8-14）式，移项
1QRhdt
dhAR
ss
ss RKART,1KQhdtdhT令则图 8-2 水槽对象
1
1?
Ts KsQ sHsG水槽对象的传递函数为化学工业出版社
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20
2.RC电路
0eiRe i
ei若取为输入参数,eo为输出参数，根据基尔霍夫定理
dt
deCi 0?
由于
ieedt
deRC
0
0
ieedt
deT
0
0 RCT?
消去 i
或图 8-3 RC电路化学工业出版社
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二,积分对象当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，
称为 积分对象 。
21
dtQAdh 11?
Q2为常数，变化量为 0
dtQAh 11
说明，所示贮槽具有积分特性。
其中,A为贮槽横截面积
（ 8-27）
图 8-4 积分对象化学工业出版社
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sQAssH 11?
在初始条件为零时,根据拉氏变换的积分性质,对式
(8-27)进行拉氏变换,则有
AssQ sHsG 1
1
积分对象的传递函数 G(s)为
22
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www.cip.com.cn第二节 机理建模
三、时滞对象有的对象或过程,在受到输入作用后,输出变量要隔上一段时间才有响应,这种对象称为具有时滞特性的对象,而这段时间就称为时滞 τ 0 (或纯滞后 )。
时滞的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。
23
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24
显然,纯滞后时间 τ0与皮带输送机的传送速度 v和传送距离 L有如下关系：
v
L?
0?
（ 8-30）
溶解槽及其反应曲线纯滞后时间举例化学工业出版社
www.cip.com.cn第二节 机理建模从测量方面来说,由于测量点选择不当,测量元件安装不合适等原因也会造成传递滞后 。
图 8-6 蒸汽直接加热器当加热蒸汽量增大时,槽内温度升高,然而槽内溶液流到管道测温点处还要经过一段时间 τ0。 所以,相对于蒸汽流量变化的时刻,实际测得的溶液温度 T要经过时间 τ0后才开始变化 。
注意,安装成分分析仪器时,取样管线太长,取样点安装离设备太远,都会引起较大的纯滞后时间,工作中要尽量避免 。
25
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26
第二节 机理建模图 8-7 时滞对象输入、
输出特性
x为输入量
（ 8-31）
0
00
,0
,
t
ttxy
0 txy
sXesY s0
将 在初始条件为零时进行拉氏变换,得
（ 8-32） sesG
0
因此,时滞对象的传递函数为化学工业出版社
www.cip.com.cn第二节 机理建模
0 tKxtydt
tdyT
对象可以用一阶微分方程式来描述,但输入变量与输出变量之间有一段时滞 τ0
（ 8-33）
sXKesYsYT ss 0
seTssG 011
在初始条件为零时,对上式进行拉氏变换,得这时整个对象的传递函数为 （ 8-34）
说明,基于机理通过推导可以得到描述对象特性的微分方程式或传递函数。
27
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
一、放大系数 K
对于前面介绍的水槽对象,当流入流量 Q1有一定的阶跃变化后,液位 h也会有相应的变化,但最后会稳定在某一数值上 。 如果我们将流量 Q1的变化 ΔQ1看作对象的输入,
而液位 h的变化 Δh看作对象的输出,那么在稳定状态时,
对象一定的输入就对应着一定的输出,这种特性称为对象的静态特性 。
28
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
29
1Q
hK s
1QKh s
或
K在 数值 上等于对象重新稳定后的输出变化量与输入变化量之比 。 K越大,
就表示对象的输入量有一定变化时,
对输出量的影响越大,即被控变量对这个量的变化 越灵敏 。图 8-8 水槽液位的变化曲线化学工业出版社
www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
30
举例 以合成氨的转换炉为例,说明各个量的变化对被控变量 K的影响生产过程要求一氧化碳的转化率要高,蒸汽消耗量要少,
触媒寿命要长 。 通常用变换炉一段反应温度作为被控变量,
来间接地控制转换率和其他指标 。
图 8-9 一氧化碳变换过程示意图图 8-10 不同输入作用时的被控变量变化曲线化学工业出版社
www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量,
蒸汽流量和半水煤气流量 。 改变阀门 1,2,3的开度就可以分别改变冷激量,蒸汽量和半水煤气量的大小 。 从右上图看出,冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对放大系数最小 。
31
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
二、时间常数 T
32
从大量的生产实践中发现,有的对象受到干扰后,
被控变量变化很快,较迅速地达到了稳定值；有的对象在受到干扰后,惯性很大,被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值 。
图 8-11 不同时间常数对象的反应曲线化学工业出版社
www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数如何定量地表示对象受干扰后的这种特性呢？
在自动化领域中,往往用时间常数 T来表示 。 时间常数越大,表示对象受到干扰作用后,被控变量变化得越慢,到达新的稳定值所需的时间越长 。
33
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
34
举例 简单水槽为例
1KQhdt
dhT由前面的推导可知
TteKQth 11
假定 Q1为阶跃作用,t<0时 Q1=0；
t>0或 t=0时 Q1为一常数，如左图。
则函数表达式为
（ 8-36）
图 8-12 反应曲线化学工业出版社
www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数对于简单水槽对象,K=RS,即放大系数只与出水阀的阻力有关,当阀的开度一定时,放大系数就是一个常数 。
1KQh
1Q
hK
从上页图反应曲线可以看出,对象受到阶跃作用后,被控变量就发生变化,当 t→∞ 时,被控变量不再变化而达到了新的稳态值 h（ ∞ ）,这时上式可得：
或 （ 8-37）
35
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
36
111 632.01 KQeKQTh
将 t=T 代入式 （ 8-36）,得
（ 8-38）
hTh 6 3 2.0
将式 （ 8-37） 代入式 （ 8-38）,得
（ 8-39）
当对象受到阶跃输入后,被控变量达到新的稳态值的
63.2％ 所需的时间,就是时间常数 T,实际工作中,常用这种方法求取时间常数 。 显然,时间常数越大,被控变量的变化也越慢,达到新的稳定值所需的时间也越大 。
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数图 8-13 不同时间常数对象的反应曲线
T1＜ T2＜ T3＜ T4
说明时间常数大的对象（如 T4)
对输入的反应较慢，
一般认为惯性较大。
37
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
38
在输入作用加入的瞬间,液位 h的变化速度是多大呢？
Tte
T
KQ
dt
dh 1将式（ 8-36）对 t 求导，得 （ 8-40）
T
h
T
KQ
dt
dh
t
1
0
当 t =0 （ 8-41）
0?
tdt
dh
当 t →∞ 时，式（ 8-40）可得 （ 8-42）
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数图 8-14 时间常数 T的求法由左下图所示,式 （ 8-41） 代表了曲线在起始点时切线的斜率,这条切线在新的稳定值 h（ ∞） 上截得的一段时间正好等于 T。
hKQeKATh 95.095.013 13
由式（ 8-36），当 t =∞时,h = KQ1。当
t=3T时，代入式（ 8-36）得
（ 8-43）
从加入输入作用后,经过 3T时间,液位已经变化了全部变化范围的 95％,这时,可以近似地认为动态过程基本结束 。
所以,时间常数 T是表示在输入作用下,被控变量完成其变化过程所需要的时间的一个重要参数 。
结论
39
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
三、滞后时间 τ
分类定义 对象在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。
滞后性质时滞容量滞后时滞又叫纯滞后，一般用 τ0表示。 τ0
的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。
对象在受到阶跃输入作用 x后，被控变量 y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐接近稳定值。
40
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
0 tKxtydt
tdyT
1.时滞
001
teKAty Tt
当假定 y(t)的初始值 y(0) = 0,
x(t)是一个发生在 t = 0的阶跃输入,
幅值为 A,对上述方程式求解,可得
（ 8-44）
图 8-15 具有纯滞后的一阶对象反应曲线可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象,它们的反应曲线在形状上完全相同,只是具有时滞的反应曲线在时间上错后一段时间 τ 0。
41
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
2.容量滞后图 8-16 具有容量滞后对象的反应曲线图 8-17 图解近似方法
42
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数在容量滞后与纯滞后同时存在时,常常把两者合起来统称滞后时间 τ,即 τ＝ τ0＋ τh。
自动控制系统中,滞后的存在是不利于控制的 。 所以,在设计和安装控制系统时,都应当尽量把滞后时间减到最小 。
结论
43
图 8-18 滞后时间 τ示意图化学工业出版社
www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数目前常见的化工对象的滞后时间 τ 和时间常数 T大致情况如下：
被控变量为压力的对象 — τ 不大,T也属中等 ;
被控变量为液位的对象 — τ 很小,而 T稍大 ;
被控变量为流量的对象 — τ 和 T都较小,数量级往往在几秒至几十秒 ;
被控变量为温度的对象 — τ 和 T都较大,约几分至几十分钟。
44
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www.cip.com.cn第四节 实测建模定义通过实验来测取对象的输入输出数据。
几个概念系统辨识参数估计测试信号测试信号的不同阶跃反应曲线矩形脉冲特性曲线频率特性
45
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www.cip.com.cn第四节 实测建模在测试过程中要注意：
① 加测试信号之前，对象的输入量和输出量应尽可能稳定一段时间，不然会影响测试结果的准确度。
② 对于具有时滞的对象，当输入量开始作阶跃变化时，
其对象的输出量并未开始变化,这时要在记录纸上标出开始施加输入作用的时刻，即反应曲线的起始点，以便计算滞后时间。
③为保证测试精度，排除测试过程中其他干扰的影响，
测试曲线应是平滑无突变的。
46
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www.cip.com.cn第四节 实测建模
④ 加试测试信号后，要密切注视各干扰变量和被控变量的变化，尽可能把与测试无关的干扰排除。
⑤ 测试和记录工作应该持续进行到输出量达到新稳定值基本不变时为止。
⑥ 在反应曲线测试工作中，要特别注意工作点的选取。
47
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www.cip.com.cn第四节 实测建模图 8-19 测试的对象特性连接图
48
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www.cip.com.cn例题分析
1.某温度计是一静态放大系数为 1的一阶环节。当温度计由温度为 0℃ 的地方突然插入温度为 100℃ 的沸水中，经 1min
后,温度指示值达到 98.5℃ 。试确定该温度计的时间常数 T,
并写出其相应的微分方程式与传递函数。
解,参照式 (8-36),已知 K= 1，输入阶跃幅值为 100℃,
t= 60s时，其温度值 y= 98,5℃,则有
Te 6011005.98
由上式可以解得
T= 14,3 (s)
49
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xydtdy3.14
由此可写出描述该温度计的微分方程为式中,y表示输出量 (温度值 ) ； x表示输入变化量，
式中的时间量纲为 s。
13.14 1 ssX sYsG
将上述微分方程式在零初始条件下进行拉氏变换，
可得传递函数为
50
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2.将上述温度计的信号进行采样,采样周期 Δt=0.0715s 。
试写出相应的差分方程。
t kykydtdykxtxkyty 1，，
xydtdy3.14
解,将 代入微分方程
kxkykyky
0715.0
13.14得
kxkyky 1 9 912 0 0简化后得上式就是描述该温度特性的差分方程。当采样周期 Δt改变后，相应的差分方程的系数也会作相应的改变。
51
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被控对象数学模型
数学模型的主要形式
机理建模
一阶对象
积分对象
时滞对象
1
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描述对象特性的参数
放大系数 Κ
时间常数 Τ
滞后时间 τ
实测建模
2
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研究对象的特性,就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系 。 这种对象特性的数学描述就称为对象的数学模型 。 干扰作用和控制作用都是引起被控变量变化的因素,如下图所示 。
通道调节通道干扰通道
？
几个概念
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一、被控对象数学模型图 8-1 对象的输入、输出量化学工业出版社
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研 究的目的 是为了使 所设计的 控制系统 达到更好 的控制效果 。
在产品规格和产量已确定的情况下,通过模型计算,确定设备的结构,尺寸,工艺流程和某些工艺条件 。
（ a） （ b） （ c）
用于 控制 的数学模型（ a,b）与用于 工艺设计与分析 的数学模型（ c）不完全相同。
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经验模型 —— 对于已经投产的生产过程,我们可以通过实验测试或依据积累的操作数据,对系统的输入输出数据,通过数学回归方法进行处理。
混合模型 —— 通过机理分析,得出模型的结构或函数形式，而对其中的部分参数通过实测得到。
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二、数学模型的主要形式
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非参量模型当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时,称为非参量模型 。
特点 形象,清晰,比较容易看出其定性的特征缺点 直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难化学工业出版社
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参量模型
9
静态数学模型比较简单,一般可用代数方程式表示。
动态数学模型的形式主要有微分方程、传递函数、
差分方程及状态方程等化学工业出版社
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10
对于线性的集中参数对象在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入量的导数项可表示为
txtyatyatyatya nnnn 0111?
txbtxbtxbtxb
tyatyatyatya
m
m
m
m
n
n
n
n
01
1
1
01
1
1
通常可用常系数线性微分方程式来描述,如果以 x（ t）
表示输入量,y（ t） 表示输出量,则对象特性可用下列微分方程式来描述
（ 8-1）
1.微分方程化学工业出版社
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11
txtyatya 01
举例 一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性 （ 通常称一阶对象 ）,则可表示为
（ 8-3）
tKxtytyT
00
1 1,
aKa
aT
或表示成式中
（ 8-4）
tKxtxaty
0
1
如果系统处于平衡状态 (静态 ),变量的导数项均为零
（ 8-5）
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2.传递函数
sX sYsG?
所谓一个环节 (或对象 )的传递函数是在初始条件为零时,这个环节输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比,记为
（ 8-6）
dtetfsF st 0
拉氏变换是对函数的一种变换,定义为
（ 8-7）
12
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sXbssXbsXsbsXsb
sYassYasYsasYsa
m
m
m
m
n
n
n
n
01
1
1
01
1
1
运用拉氏变换的线性性质与微分性质,对式 (8-1)
两端分别取拉氏变换,则得由此式可以方便地得到系统传递函数的一般形式
01
1
1
01
1
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asasasa
bsbsbsb
sX
sYsG
n
n
n
n
m
m
m
m
（ 8-8）
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sKXsYsT s Y
对于一阶对象,由式 (8-4)两端取拉氏变换,得
1 Ts KsG
因此一阶对象的传递函数形式为
（ 8-9）
14
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3.差分方程差分方程是一种时间离散形式的数学模型，用来描述在各个采样时刻的输入变量与输出变量数值之间的关系。
kxbkxbmkxbmkxb
kyakyankyankya
mm
nn
011
011
11
11
（ 8-10）
式 (8-10)称为 n阶差分方程,当 n= 1时称为一阶差分方程。
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t
kyky
dt
tdy
1
如果将各个信号经过采样,采样间隔时间 (采样周期 )为 Δt
tKxty
dt
tdyT
对于一阶微分方程
（ 8-11）
kKxkyt kykyT 1
kKxkytTkytT 11
将上述关系代入式 (7-11),可得或
16
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KbtTatTa 001 1式中
kxbkyakya 001 1
写成一阶差分方程的一般形式,为
（ 8-12）
kxbkyakyakya 0012 12
对于二阶微分方程
（ 8-13）
kxabkyaaky
1
0
1
01
1121
0010
1
0
1
0
1
0
1
0
x
a
b
y
a
a
yk
x
a
b
y
a
a
yk
时，
时，
递推公式为
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一,一阶对象
1.水槽对象对象物料蓄存量的变化率
＝单位时间流入对象的物料－单位时间流出对象的物 料依据
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19
A d hdtQQ 21 （ 8-14）
sR
hQ?
2
若 变化量很微小,可以近似认为 Q2与 h 成正比将上式代入（ 8-14）式，移项
1QRhdt
dhAR
ss
ss RKART,1KQhdtdhT令则图 8-2 水槽对象
1
1?
Ts KsQ sHsG水槽对象的传递函数为化学工业出版社
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20
2.RC电路
0eiRe i
ei若取为输入参数,eo为输出参数，根据基尔霍夫定理
dt
deCi 0?
由于
ieedt
deRC
0
0
ieedt
deT
0
0 RCT?
消去 i
或图 8-3 RC电路化学工业出版社
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二,积分对象当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，
称为 积分对象 。
21
dtQAdh 11?
Q2为常数，变化量为 0
dtQAh 11
说明，所示贮槽具有积分特性。
其中,A为贮槽横截面积
（ 8-27）
图 8-4 积分对象化学工业出版社
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sQAssH 11?
在初始条件为零时,根据拉氏变换的积分性质,对式
(8-27)进行拉氏变换,则有
AssQ sHsG 1
1
积分对象的传递函数 G(s)为
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三、时滞对象有的对象或过程,在受到输入作用后,输出变量要隔上一段时间才有响应,这种对象称为具有时滞特性的对象,而这段时间就称为时滞 τ 0 (或纯滞后 )。
时滞的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。
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显然,纯滞后时间 τ0与皮带输送机的传送速度 v和传送距离 L有如下关系：
v
L?
0?
（ 8-30）
溶解槽及其反应曲线纯滞后时间举例化学工业出版社
www.cip.com.cn第二节 机理建模从测量方面来说,由于测量点选择不当,测量元件安装不合适等原因也会造成传递滞后 。
图 8-6 蒸汽直接加热器当加热蒸汽量增大时,槽内温度升高,然而槽内溶液流到管道测温点处还要经过一段时间 τ0。 所以,相对于蒸汽流量变化的时刻,实际测得的溶液温度 T要经过时间 τ0后才开始变化 。
注意,安装成分分析仪器时,取样管线太长,取样点安装离设备太远,都会引起较大的纯滞后时间,工作中要尽量避免 。
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第二节 机理建模图 8-7 时滞对象输入、
输出特性
x为输入量
（ 8-31）
0
00
,0
,
t
ttxy
0 txy
sXesY s0
将 在初始条件为零时进行拉氏变换,得
（ 8-32） sesG
0
因此,时滞对象的传递函数为化学工业出版社
www.cip.com.cn第二节 机理建模
0 tKxtydt
tdyT
对象可以用一阶微分方程式来描述,但输入变量与输出变量之间有一段时滞 τ0
（ 8-33）
sXKesYsYT ss 0
seTssG 011
在初始条件为零时,对上式进行拉氏变换,得这时整个对象的传递函数为 （ 8-34）
说明,基于机理通过推导可以得到描述对象特性的微分方程式或传递函数。
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
一、放大系数 K
对于前面介绍的水槽对象,当流入流量 Q1有一定的阶跃变化后,液位 h也会有相应的变化,但最后会稳定在某一数值上 。 如果我们将流量 Q1的变化 ΔQ1看作对象的输入,
而液位 h的变化 Δh看作对象的输出,那么在稳定状态时,
对象一定的输入就对应着一定的输出,这种特性称为对象的静态特性 。
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
29
1Q
hK s
1QKh s
或
K在 数值 上等于对象重新稳定后的输出变化量与输入变化量之比 。 K越大,
就表示对象的输入量有一定变化时,
对输出量的影响越大,即被控变量对这个量的变化 越灵敏 。图 8-8 水槽液位的变化曲线化学工业出版社
www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
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举例 以合成氨的转换炉为例,说明各个量的变化对被控变量 K的影响生产过程要求一氧化碳的转化率要高,蒸汽消耗量要少,
触媒寿命要长 。 通常用变换炉一段反应温度作为被控变量,
来间接地控制转换率和其他指标 。
图 8-9 一氧化碳变换过程示意图图 8-10 不同输入作用时的被控变量变化曲线化学工业出版社
www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量,
蒸汽流量和半水煤气流量 。 改变阀门 1,2,3的开度就可以分别改变冷激量,蒸汽量和半水煤气量的大小 。 从右上图看出,冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对放大系数最小 。
31
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
二、时间常数 T
32
从大量的生产实践中发现,有的对象受到干扰后,
被控变量变化很快,较迅速地达到了稳定值；有的对象在受到干扰后,惯性很大,被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值 。
图 8-11 不同时间常数对象的反应曲线化学工业出版社
www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数如何定量地表示对象受干扰后的这种特性呢？
在自动化领域中,往往用时间常数 T来表示 。 时间常数越大,表示对象受到干扰作用后,被控变量变化得越慢,到达新的稳定值所需的时间越长 。
33
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
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举例 简单水槽为例
1KQhdt
dhT由前面的推导可知
TteKQth 11
假定 Q1为阶跃作用,t<0时 Q1=0；
t>0或 t=0时 Q1为一常数，如左图。
则函数表达式为
（ 8-36）
图 8-12 反应曲线化学工业出版社
www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数对于简单水槽对象,K=RS,即放大系数只与出水阀的阻力有关,当阀的开度一定时,放大系数就是一个常数 。
1KQh
1Q
hK
从上页图反应曲线可以看出,对象受到阶跃作用后,被控变量就发生变化,当 t→∞ 时,被控变量不再变化而达到了新的稳态值 h（ ∞ ）,这时上式可得：
或 （ 8-37）
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111 632.01 KQeKQTh
将 t=T 代入式 （ 8-36）,得
（ 8-38）
hTh 6 3 2.0
将式 （ 8-37） 代入式 （ 8-38）,得
（ 8-39）
当对象受到阶跃输入后,被控变量达到新的稳态值的
63.2％ 所需的时间,就是时间常数 T,实际工作中,常用这种方法求取时间常数 。 显然,时间常数越大,被控变量的变化也越慢,达到新的稳定值所需的时间也越大 。
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数图 8-13 不同时间常数对象的反应曲线
T1＜ T2＜ T3＜ T4
说明时间常数大的对象（如 T4)
对输入的反应较慢，
一般认为惯性较大。
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在输入作用加入的瞬间,液位 h的变化速度是多大呢？
Tte
T
KQ
dt
dh 1将式（ 8-36）对 t 求导，得 （ 8-40）
T
h
T
KQ
dt
dh
t
1
0
当 t =0 （ 8-41）
0?
tdt
dh
当 t →∞ 时，式（ 8-40）可得 （ 8-42）
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数图 8-14 时间常数 T的求法由左下图所示,式 （ 8-41） 代表了曲线在起始点时切线的斜率,这条切线在新的稳定值 h（ ∞） 上截得的一段时间正好等于 T。
hKQeKATh 95.095.013 13
由式（ 8-36），当 t =∞时,h = KQ1。当
t=3T时，代入式（ 8-36）得
（ 8-43）
从加入输入作用后,经过 3T时间,液位已经变化了全部变化范围的 95％,这时,可以近似地认为动态过程基本结束 。
所以,时间常数 T是表示在输入作用下,被控变量完成其变化过程所需要的时间的一个重要参数 。
结论
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三、滞后时间 τ
分类定义 对象在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。
滞后性质时滞容量滞后时滞又叫纯滞后，一般用 τ0表示。 τ0
的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。
对象在受到阶跃输入作用 x后，被控变量 y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐接近稳定值。
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
0 tKxtydt
tdyT
1.时滞
001
teKAty Tt
当假定 y(t)的初始值 y(0) = 0,
x(t)是一个发生在 t = 0的阶跃输入,
幅值为 A,对上述方程式求解,可得
（ 8-44）
图 8-15 具有纯滞后的一阶对象反应曲线可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象,它们的反应曲线在形状上完全相同,只是具有时滞的反应曲线在时间上错后一段时间 τ 0。
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数
2.容量滞后图 8-16 具有容量滞后对象的反应曲线图 8-17 图解近似方法
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www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数在容量滞后与纯滞后同时存在时,常常把两者合起来统称滞后时间 τ,即 τ＝ τ0＋ τh。
自动控制系统中,滞后的存在是不利于控制的 。 所以,在设计和安装控制系统时,都应当尽量把滞后时间减到最小 。
结论
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图 8-18 滞后时间 τ示意图化学工业出版社
www.cip.com.cn第三节 描述对象特性的参数目前常见的化工对象的滞后时间 τ 和时间常数 T大致情况如下：
被控变量为压力的对象 — τ 不大,T也属中等 ;
被控变量为液位的对象 — τ 很小,而 T稍大 ;
被控变量为流量的对象 — τ 和 T都较小,数量级往往在几秒至几十秒 ;
被控变量为温度的对象 — τ 和 T都较大,约几分至几十分钟。
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www.cip.com.cn第四节 实测建模定义通过实验来测取对象的输入输出数据。
几个概念系统辨识参数估计测试信号测试信号的不同阶跃反应曲线矩形脉冲特性曲线频率特性
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www.cip.com.cn第四节 实测建模在测试过程中要注意：
① 加测试信号之前，对象的输入量和输出量应尽可能稳定一段时间，不然会影响测试结果的准确度。
② 对于具有时滞的对象，当输入量开始作阶跃变化时，
其对象的输出量并未开始变化,这时要在记录纸上标出开始施加输入作用的时刻，即反应曲线的起始点，以便计算滞后时间。
③为保证测试精度，排除测试过程中其他干扰的影响，
测试曲线应是平滑无突变的。
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www.cip.com.cn第四节 实测建模
④ 加试测试信号后，要密切注视各干扰变量和被控变量的变化，尽可能把与测试无关的干扰排除。
⑤ 测试和记录工作应该持续进行到输出量达到新稳定值基本不变时为止。
⑥ 在反应曲线测试工作中，要特别注意工作点的选取。
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www.cip.com.cn第四节 实测建模图 8-19 测试的对象特性连接图
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www.cip.com.cn例题分析
1.某温度计是一静态放大系数为 1的一阶环节。当温度计由温度为 0℃ 的地方突然插入温度为 100℃ 的沸水中，经 1min
后,温度指示值达到 98.5℃ 。试确定该温度计的时间常数 T,
并写出其相应的微分方程式与传递函数。
解,参照式 (8-36),已知 K= 1，输入阶跃幅值为 100℃,
t= 60s时，其温度值 y= 98,5℃,则有
Te 6011005.98
由上式可以解得
T= 14,3 (s)
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xydtdy3.14
由此可写出描述该温度计的微分方程为式中,y表示输出量 (温度值 ) ； x表示输入变化量，
式中的时间量纲为 s。
13.14 1 ssX sYsG
将上述微分方程式在零初始条件下进行拉氏变换，
可得传递函数为
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www.cip.com.cn例题分析
2.将上述温度计的信号进行采样,采样周期 Δt=0.0715s 。
试写出相应的差分方程。
t kykydtdykxtxkyty 1，，
xydtdy3.14
解,将 代入微分方程
kxkykyky
0715.0
13.14得
kxkyky 1 9 912 0 0简化后得上式就是描述该温度特性的差分方程。当采样周期 Δt改变后，相应的差分方程的系数也会作相应的改变。
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