第九章 常微分方程数值解法
§ 1,引言
0 0
:
(,)
()
dy
f x y a x b
dx
y yx
一 阶 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题
2y
x y 2 y 4 x y 4
x
2y
f x y 4 y 1 3
x
d y 2 y
f x y 4
d x x
y 1 3
''
,-
(,) ( ) -
(,)
()
例 方 程令,且 给 出 初 值就 得 到 一 阶 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题,
(,)
(,) (,)
f x y y
Li p s c h it z L
f x y f x y L y y
只 要 函 数 适 当 光 滑 连 续,且 关 于 满 足条 件,即 存 在 常 数,使 得由 常 微 分 方 程 理 论 知,初 值 问 题 的 解 必 存 在 且唯 一 。
微分方程的数值解,设方程问题的解 y(x)
的存在区间是 [a,b]，令 a= x0< x1<…< x n =b,
其中 hk=xk+1-xk,如是等距节点 h=(b-a)/n,
h称为步长。
y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得 y(x)在每个节点 xk
上 y(xk)的近似值，用 yk表示，即 yk≈y(xk)，这样 y0,y1,...,yn称为微分方程的数值解。
主要问题
如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的递推公式；
递推公式的局部截断误差，数值解与精确解的误差估计；
递推公式的稳定性与收敛性。
用差商代替微商
数值积分
Taylor展开微分方程离散化常用方法
1
,
1
A
(,( ) )
n n
nn
nn
nn
y x y xdy
f x y x
yd x x x x
用 差 商 代 替 微 商
1 1 1
1
1
,,
,
,0,1,2,
n n n n n n
nn
nn
n n n n
h y y
f
h
x x y x y x
yy
xy
y y xh f ny
用 代 替,
则
11
B,,
(,)
( 0,1,)
nn
nn
xx
xx
dy
d x f x y d x n
dx
用 数 值 积 分 方 法 离 散 化
1
11
1
,( ),( ),
(,) (,)
( 0,1,(,) )
n
n
n n n n
x
nn
x
n n n n
y y y x y x
f x y dx h f x y
y h x ny f y
用 代 替 对 右 端 积 分 采 用取 左 端 点 的 矩 形 公 式则 有
1
11
11
1 1 1
,( ),( ),
(,) (,)
( 0,1,)(,)
n
n
n n n n
x
nn
x
n n n n
y y y x y x
f x y dx h f x y
y y hf x y n
＋ ＋
＋ ＋
用 代 替 对 右 端 积 分 采 用取 右 端 点 的 矩 形 公 式则 有
1
11
11
1 1 1
,( ),( ),
(,) (,) (,)
2
(,) (,)
2
( 0,1,)
n
n
n n n n
x
n n n n
x
n n n n n n
y y y x y x
h
f x y dx f x y f x y
h
y y f x y f x y
n
＋ ＋
＋ ＋
用 代 替 对 右 端 积 分 采 用梯 形 公 式则 有
2
2
C ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) (,( ) ) ( )
2
n
n n n n
n n n n
x y x T ay lor
h
y x h y x hy x y x
h
y x hf x y x y x
在 附 近 的 展 开,
1
1
( ) ( )
(,) 0,1,2,
n n n
n n n n
h y y x y x
y y h f x y n
Tay lo r
取 的 线 性 部 分,且 得 的 近 似 值,
展 开 法 不 仅 可 得 到 求 数 值 解 的 公 式,且 容 易 估 计截 断 误 差 。
§ 1 解常微分方程初值问题的
Euler方法
Euler方法
Euler方法的误差分析
向前 Euler公式 （ Euler折线法或显格式）
向后 Euler公式 （后退 Euler公式）
梯形公式 （改进的 Euler公式）
Euler预估－校正格式一,Euler方法
00
10
,
,,
0 1,,1,
n n n n n
y x y
y y h f x y x x n h
ba
n,N h
N
1、向前 Euler公式
0
0
00
00
,
0 0 0 0
,
,
,,
x y y y x
dy
f x y
ydx x
f x y x y
几 何 意 义由 出 发 取 曲 线 的 切 线 ( 存 在 !),
则 斜 率由 于 及 已 知,必 有 切 线 方 程 。
0
0
0 0 0 0 0 0
,
( ) (,)
dy
y y x x y x x f x y
yd x x
由 点 斜 式 写 出 切 线 方 程,
1 0 1
1 0 0 0
,
h x x h y
y y h f x y
等 步 长 为,则,可 由 切 线 算 出,
（ ）
1
1
,0 1 2
n
n n n n
y y x x
y y h f x y n
逐 步 计 算 出 （ ） 在,点 值,
（ ）,，,,
用分段的折线逼近逼近函数
2、向后（后退的） Euler 方法
1
1
nn
n
y x y x
yx
h
用 向 后 差 商,
1 1 1
00
,
n n n n
y y hf x y
y x y
( 隐 式 算 法 )
0
1
1
11
E
,
0,1,2,
1
,
n
n n n
kk
n n n
ul e r
hf
hf k
n
y y yx
y y yx
为 避 免 解 非 线 性 方 程,与 法 结 合迭 代 法
3、梯形公式
1
1
,
n
n
nn
x
y x y x f x y dt
x
由 积 分 途 径
11,n n n ny y x y y x积 分 用 梯 形 公 式,令则 得
1 1 1
00
,,
2
n n n n n n
h
y y f x y f x y
y x y
( 0 )
1
( 1 ) ( )
1 1 1
0 1 2
,
,,
2
0 1 2
n n n n
kk
n n n n n n
E u le r
n
y y h f x y
h
y y f x y f x y
k,,,
同 样 与 法 结 合,形 成 迭 代 算 法,
对,,,
4、改进的尤拉公式梯形公式虽然提高了精度，但使算法复杂。而在实际计算中只迭代一次，这样建立的预测 — 校正系统称作改进的尤拉公式。
1
11 1
(,) ;
[ (,) (,) ],
2
n n nn
n n n n n n
y y h f x y
h
y y f x y f x y
预 测校 正
1
1
(,) ;
(,) ;
( ) / 2,
p n n n
c n n p
n p c
y y h f x y
y y h f x y
y y y
二,Euler方法的误差分析
1 1 1
1
1)
( )
n n n
n n n
n
T y x y
y y y x
Eu l e r y
局 部 截 断 误 差在 一 步 中 产 生 的 误 差 而 非 累 积 误 差,
其 中 是 当 （ 精 确 解 ！ ） 时由 法 求 出 的 值,即 无 误 差 ！
1
1
2
1
( )
( ) ( ) (,( ) )
2
nn
n n n n n
nn
y x x T ay lor
y x y x h y x hf x y x
h
y x x
＋
将 在 点 展 开,
1
1
2
1 1 1 1
,
( ),
2
n n n n
n n n n
n n n n n
y y h f x y
y y x h f x y x
h
T y x y y x x
则
2
2
2
12
m a x ( ),( )
2
a x b
n
M y x y x
h
T M O h
令 充 分 光 滑,则,
11
,,
,,
1 ( 1 )
n n n n n n n n
n n n n n n
n n n
y y y x h f x y x y h f x y
y x y h f x y x f x y
Lip s c h itz h L y x y h L e
由 条 件
11
0 0 0
1
2
12
1
1
1
N 0
1
11
1
n n n
N N N
N N N
N
e T hL e n
e y x y
e T hL e
T hL T hL T
hL T
对 一 切 成 立,
对 取 定,由,则,
2） 总体方法误差
,
,,
n n n n n n
f x y
L i psc hi t z
f x y x f x y L y x y
递 推 方 法,从 任 意 两 相 邻 步 的 总 体 误 差 关 系推 出 总 体 误 差 与 步 长 的 关 系 。
由 微 分 方 程 解 的 存 在 唯 一 性 自 然 假 定 （,）
充 分 光 滑,或 满 足 条 件,
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
11
1
1
,
n n n
n n n n n n n
n n n
nn
n n n
n e y x y
n
e y x y y x y y y
T y y
yy
y y x h f x
第 步 的 总 体 截 断 误 差 记 为则 对 步,
以 下 估 计 其 中
,
n
yx
2
2
12
1
1
11
1
N
N N N N
N
T O h
e T hL T hL T
hL T
由 局 部 截 断 误 差,则
11 2
00
1 1
NN
NK
kk
kk Oh L h LhT
211
11
NhL
O h O h
hL
0
00
l im 1 l im 1
N
N
xx
N
h
hh
L
h L h L
xx
eh
与 步 长 无 关 常 数总体截断误差与局部截断误差的关系是：
1Oh －总 体 截 断 误 差 ＝ 局 部 截 断 误 差一 般 地,方 法 的 总 体 截 断 误 差 阶 越 高,精 度也 越 高 。
pOh
p
定 义,一 个 方 法 的 总 体 截 断 误 差 若 为,
则 称 之 为 阶 方 法 。
误差分析表
Euler方法 局部截断误差总体截断误差迭代收敛条件向前 Euler
方法
O(h2) O(h)
向后 Euler
方法
O(h2) O(h) 0<hL<1
梯形公式 O(h3) O(h2) 0<hL<2
(L为 Lip常数）
向后 Euler 方法收敛条件与截断误差
11
111 1 1 1
1
11
,,
0 1
k k k k
nnn n n n
kk
nn
h f f
hL hL
y y y yxx
yy
收 敛 条 件
2
1
0 1
n
O
O h h L
hT
局 部 截 断 误 差,
整 体 截 断 误 差 ( 当 时 )
梯形公式的收敛性
11
11
1 1 1 1
1
11
,,
2
2
0 1
2
k k k k
nn
n n n n
kk
nn
h
ff
hL
hL
y y y yxx
yy
收 敛 条 件
E u le r梯 形 公 式 比 法 的 局 部 与 总 体 误 差 均 高一 阶,但 每 次 迭 代 均 多 算 一 次 函 数 值 — 提 高精 度 的 计 算 代 价 。
'
2
( 0 1 ) ;
( 0 ) 1,
x
y y x
y
y
例,用 尤 拉 公 式 和 改 进 的 尤 拉 公 式 解 初 值 问 题
1
0,1
2
( ),
n
n n n
n
h
x
E u l e r y y h y
y
解,取 步 长,
公 式 为,
1
1
2
( ) ;
2
( ) ;
1
( ),
2
n
p n n
n
n
c n p
p
n p c
x
y y h y
y
x
y y h y
y
y y y
改 进 的 尤 拉 公 式 为,
'2
0.2
( 0 0.6 ) ;
( 0) 1.
h
y y x y x
y
例 1,取 步 长,用 欧 拉 法 解 初 值 问 题
1
2
2
,
0,2
0,8 0,2
n n n n
n n n n
n n n
E u le r
y y h f x y
y y x y
y x y
解,格 式 为,
0
1
2
2
1
0,2 0,8,
0,4 0,6 1 4 4
0,6 0,4 6 1 3 2 1
y
yy
yy
yy
由 计 算 得
'
0,2
8 3 ( 1 2) ;
( 1 ) 2.
5
h
y y x
y
例 2,取 步 长,用 梯 形 解 初 值 问 题小 数 点 后 至 少 保 留 位 。
1 1 1
11
,,
2
0.2
8 3 8 3
2
n n n n n n
n n n n
h
y y f x y f x y
y y y y
＋ ＋
＋
解,梯 形 公 式 为,
－ ＋ －
1
0
1
2
3
4
5
7 16
13 13
1 2,
1.2 2.30 769
1,4 2,47 33 7
1,6 2,56 25 8
1,8 2,61 06 2
2,0 2,63 64 9
nn
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
故 由 ＝ 计 算 得
'
0.2
3 ( 1 2) ;
( 1 ) 2.
5
h
y x y x
y
例 2,取 步 长,用 梯 形 解 初 值 问 题小 数 点 后 至 少 保 留 位 。
1 1 1
1 1 1
,,
2
0,1 3 3
n n n n n n
n n n n n n
h
y y f x y f x y
y y x y x y
＋ ＋
＋ ＋
解,梯 形 公 式 为,
＋
0
1
1
1 1 1
0
0
1
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
11
0,3
0,1 3 3
2,
2,6
*,&,^,%,
n n n n
kk
n n n n n n
k
y y x y
y y x y x y
y
y
y y y y y
yy
＋
迭 代 格 式,
＋
0
2
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
,
*,&,^,%,
y
y y y y y
'2
0,2
sin 0
( 1 ) 1,
1,2 1,4
5
h
y y y x
y
yy
例 3,取 步 长,用 欧 拉 预 － 校 方 法 解初 值 问 题计 算 及 的 近 似 值,小 数 点 后 至少 保 留 位 。
1
1 1 1
2
1
2
1
2
1 1 1
,
,,
2
0.2 si n
0.1 si n
+ si n
n n n n
n n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n
y y hf x y
h
y y f x y f x y
y y y y x
y y y y x
y y x
＋ ＋
解,欧 拉 预 － 校 格 式 为,
0
1
1
2
2
1 1,
0,63 17 1
1,2 0,71 54 88
0,47 69 6
1,4 0,52 61 1
yy
y
yy
y
yy
故 由 ＝ 计 算 得
'
5
0
( 0 ) 1,
0,1 0,2
10
yy
y
hy
－
例 4,写 出 用 反 复 迭 代 的 欧 拉 预 － 校 法 解初 值 问 题的 计 算 公 式,并 取 步 长,计 算,
要 求 迭 代 误 差 不 超 过 。
0
1
1
1 1 1
0
1
1
11
,
,,
2
0,1,2,0,1,2,
,
0.9
0.95 0.05
n n n n
kk
n n n n n n
nn
kk
n n n
y y hf x y
h
y y f x y f x y
kn
f x y y
yy
y y y
＋
解,欧 拉 预 － 校 的 迭 代 格 式 为,
取
0
0 1 2
1 1 1
34
11
43 75
11
4
11
0 1,
0.9,0.905,0.90475,
0.9047625,0.904761875
6.25 10 10,
0.1 0.904761875
yy
y y y
yy
yy
y y y
故 由 ＝ 计 算 得由于 是 取
0
01
22
3
2
45
22
54 65
22
5
22
0 1,
0,8 1 4 2 8 6,0,8 1 8 8 0 9,
0,8 1 8 5 8 3,
0,8 1 8 5 9 5,0,8 1 8 5 9 4
1 0 1 0,
0,2 0,8 1 8 5 9 4
yy
yy
y
yy
yy
y y y
故 由 ＝ 计 算 得由于 是 取
§ 2.龙格 — 库塔方法
基本思想
二阶 R-K方法
三阶 R-K方法
四阶 R-K方法
变步长 R-K方法
1
11
2
' " ( )
'
'' ' '
( )
()
( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
( ) (,),
( ) (,) (,) (,),
n
nn
p
p
n n n n
xy
p Tay lo r y x
y y x
hh
y x h y x y x y x
P
y x f x y
y x f x y f x y f x y
若 用 阶 多 项 式 近 似 函 数 有,
其 中
。
但 由 于 公 式 中 各 阶 偏 导 数 计 算 复 杂,不 实 用 。
一、基本思想
' ( 0 )
( 0 ) ( 0 )
'' ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
''' ( 2 )
( 2 ) ( 2 )
( ) ( 1 ); 2,3,
jj
jj
y f f
ff
y f f
xy
ff
y f f
xy
ff
y f f j
xy
一般地有
11
1
1 1 2
1
21
(,)
11
()
22
(,)
(,)
nn
nn
nn
nn
nn
Eu l e r Eu l e r
Eu l e r
y y hK
K f x y
Eu l e r
y y h K K
K f x y
K f x h y hK
如 果 将 公 式 与 改 进 公 式 写 成 下 列形 式,
公 式改 进 公 式
11
(,)
()
(,)
(,)
nn
f x y
y x y
f x y
f x y
以 上 两 组 公 式 都 使 用 函 数 在 某 些 点 上的 值 的 线 性 组 合 来 计 算 的 近 似 值 。
Euler 公 式,每 步 计 算 一 次 的 值,为 一阶 方 法 。 改 进 Euler 公 式,需 计 算 两 次的 值,二 阶 方 法 。
(,)
(,)
()
-
nn
n
f x y
x y T ay lor
y x x T ay lor
RK
于 是 可 考 虑 用 函 数 在 若 干 点 上 的 函数 值 的 线 性 组 合 来 构 造 近 似 公 式,构 造 是要 求 近 似 公 式 在 处 的 展 开 式与 解 在 处 的 展 开 式 的 前 面 几 项重 合,从 而 使 近 似 公 式 达 到 所 需 要 的 阶 数 。
即 避 免 求 偏 导,又 提 高 了 方 法 的 精 度,此为 方 法 的 基 本 思 想 。
1
1
1
1
1
-
(,)
(,)
( 2,3,)
,
p
n n i i
i
nn
i
i n i n ij j
j
i ij i
RK
y y h c K
K f x y
K f x a h y h b K
ip
a b c
一 般 地,方 法 设 近 似 公 式 为其 中,都 是 参 数,
,
(,)
()
i ij i
nn
n
a b c
x y T ay lor
y x x T ay lor
确 定 参 数,的 原 则 是,
使 近 似 公 式 在 处 的 展 开 式与 在 处 的 展 开 式 的 前 面 项 尽可 能 多 地 重 合 。
二、二阶龙格－库塔方法
1 1 1 2 2
1
2 2 21 1
2
()
(,)
(,)
nn
nn
nn
p
y y h c K c K
K f x y
K f x a h y hb K
当 时,近 似 公 式 为
1 1 2 2
21
12
' ' 3
2 21
(,)
[ (,) (,
(,) ) ]
{ (,) [ (,)
(,) (,) (,) ] } ( )
nn
n n n n n n
nn
n n n n n
x n n y n n n n
n
x y T ay l or
y y h c f x y c f x a h y
hb f x y
y h c f x y c f x y
a hf x y hb f x y f x y O h
y
上 式 在 处 的 展 开 式 为
'
1 2 2 2
' 2 3
21
( ) (,) [ (,)
+ (,) (,) ] ( )
n n x n n
y n n n n
c c f x y h c a f x y
b f x y f x y h O h
1
2
' " 3
1
2
'
'3
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
(,) [ (,)
2
(,) (,) ] ( )
nn
n n n n
n n n x n n
y n n n n
y x x T ay l or
h
y x y x hy x y x O h
h
y f x y h f x y
f x y f x y O h
在 处 的 展 开 式 为
12
22
3
2 21
1
1 / 2
1 / 2 ( ),
cc
ca
c b O h
有 无 穷 多 组 解,每 一 组 解 得 一近 似 公 式,局 部 截 断 误 差 均 为这 些 方 法 统 称 二 阶 方 法 。
4
3
()
()
Oh
Oh
可 以 证 明,无 论 这 四 个 参 数 如 何 选 择,都不 能 使 局 部 截 断 误 差 达 到,也 即 在 计算 两 次 函 数 值 的 情 况 下,局 部 截 断 误 差 的阶 最 高 为 。
1 2 2 2 1
1 1 2
1
21
1
,1,
2
( ) / 2
(,)
(,)
nn
nn
nn
c c a b E u le r
y y h K K
K f x y
K f x h y h K
取 此 为 改 进 公 式 。
近 似 公 式 为
1 2 2 2 1
12
1
21
1
0,1,,
2
(,)
( 2,2 )
nn
nn
nn
c c a b
y y h K
K f x y
K f x h y h K
取 此 为 常 用 的 二 阶 公 式,
称 为 中 点 公 式
／ ／
三、三阶龙格－库塔方法
1 1 2 3
1
21
3 1 2
( 4 )
6
(,)
(,)
22
(,2 )
nn
nn
nn
nn
RK
h
y y K K K
K f x y
hh
K f x y K
K f x h y hK hK
常 用 的 三 阶 公 式 为,
四、四阶龙格－库塔方法
1 1 2 3 4
1
21
32
43
( 2 2 )
6
(,)
(,)
22
(,)
22
(,)
nn
nn
nn
nn
nn
RK
h
y y K K K K
K f x y
hh
K f x y K
hh
K f x y K
K f x h y hK
常 用 的 四 阶 公 式 为,
'
0,2,
-
8 3 ;
( 0 ) 2,
0,4
4
h
RK
yy
y
y
例,设 取 步 长 写 出 用 经 典 （ 标 准 的 ）
四 阶 方 法 求 解 初 值 问 题的 计 算 公 式,计 算 的 近 似 值,小 数 点后 至 少 保 留 位 。
12
,8 - 3,= 0,2,
0,2,0,4
f x y y h
y y y y
解,
1 1 2 3 4
1
1
2
2
3
43
( 2 2 ) ;
6
,8 3 ;
,5.6 2.1 ;
22
,6.32 2.37 ;
22
,4.208 1.578,
nn
n n n
n n n
n n n
n n n
h
y y K K K K
K f x y y
Kh
K f x y y
Kh
K f x y y
K f x h y K y
由 经 典 的 四 阶 龙 格 — 库 塔 公 式 得
1
0
1
2
1,2 0 1 6 0,5 4 9 4
0 2,
0,2 2,3 0 0 4
0,4 2,4 6 5 4
nn
yy
yy
yy
yy
由 于
1 1,2,3,4
,4
5 4 6
5
2
p R K
p p R K
p p p R K
R K Ta y lo r
两 点 说 明,
） 当 时,－ 公 式 的 最 高 阶 数 恰好 是 当 时,－ 公 式 的 最 高 阶 数 不 是
,如 时 仍 为,时 － 公 式 的 最 高阶 数 为 。
） － 方 法 的 导 出 基 于 展 开,故 要求 所 求 问 题 的 解 具 有 较 高 的 光 滑 度 。
RK
Eul e r R K
RK
Eul e r
当 解 充 分 光 滑 时,四 阶 － 方 法 确 实 优 于改 进 法 。 对 一 般 实 际 问 题,四 阶 方法 一 般 可 达 到 精 度 要 求 。
如 果 解 的 光 滑 性 差,则 用 四 阶 － 方 法 解的 效 果 不 如 改 进 法 。
五、变步长的龙格 — 库塔方法
()
1
( ) 5
11
1
5
( 2 )
1
,
( ),
2
,,
2
n
h
n
h
nn
nn
h
n
x
hy
y x y c h
h
xx
h
yc
／
以 经 典 四 阶 龙 格 — 库 塔 公 式 为 例 。 从 节 点 出 发,
以 为 步 长 求 一 近 似 值将 步 长 折 半,即 取 为 步 长 从 跨 两 步 到,求一 近 似 值 每 跨 一 步 的 截 断 误 差 是
5
( 2 )
11
( 2 )
11
()
11
( 2 ) ( 2 ) ( )
1 1 1 1
( ) 2,
2
() 1
.
16()
1
( ) [ ],
15
h
nn
h
nn
h
nn
h h h
n n n n
h
y x y c
y x y
y x y
y x y y y
／
／
／ ／
因 此 有由 上 两 式
§ 4、微分方程数值解的稳定性 *
1 11
*
11
n nn
nn
yy
yy
稳 定 性 分 析,对 计 算 误 差,
其 中 是 的 近 似 计 算 值,误 差 积 累会 淹 没 真 值？
'
=,
0
12
n
nk
n k n
yy
h
yk
h
定 义,一 种 数 值 方 法 求 解 试 验 方 程其 中 是 复 常 数 。
对 给 定 的 步 长,若 计 算 误 差 在 计 算
，,时 不 产 生 增 大 的 误 差,即
，
称 对 与 这 种 方 法 是 绝 对 稳 定 的 。
h
hh
对,的 允 许 范 围 内 是 绝 对 稳 定 的,
则 称 的 全 体 为 绝 对 稳 定 区 域 。
Euler法的绝对稳定区域
1
**
1
n n n
nn
y y E u le r
y y h y
y h y
的 算 法,
计 算 值
1 n n nh误 差 方 程,
1
1
1 1
nn
h
h
从 而当 是 绝 对 稳 定区 域
I
m
( λ h )
-2 - 1 0
R
e
( λ h )
h
A?
绝 对 稳 定 区 域 越 大,可 选 大 些,方 法 适 应 性越 强 。 如 果 整 个 左 半 平 面 是 绝 对 稳 定 区 域 称稳 定 的 。
向后 Euler 法的稳定性
11
n n n
y y E u le r
y y h y
对 用 向 后 法,
11 n n nh误 差 公 式,
仍受限制。要求稳定的。但收敛法是因此向后
,10
hhL
AEu l e r
1 ( ) 0 1n
e
n
Rh
只 要 则
1
1 / 2
11
1 11
n
n h hh
1
2 2
1
2
2
2
1
1
1
12
e
hh
R h h
梯形公式的稳定性
1 1
2nn n
yy
h
nyyyy
对 用 梯 形 公 式
）（
1( ) 0 1 A - n
e
n
Rh?
当 时,梯 形 公 式 是 稳 定 的 。
11
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1 ( )
4
1
1 ( )
4
n n n n
n
n
h
h
h
e
e
h h
R
h h
R
R-K方法的绝对稳定区域
2
1 2 1
23
32
234
43
(,)
11
,
22
1 1 1
( )
2 2 4
11
( )
24
n n n
nn
nn
y f x y y R K
K h y K h y K y h h
K h y K y h h h
K h y K y h h h h
将 代 入 公 式,
1 1 2 3 4
2 3 4
1
2 2
6
1 1 1
1
2 6 2 4
nn
n
y y K K K K
y h h h h
2 3 41 1 1 11
2 6 2 4nn
h h h h
则
2 3 41 1 1
1 1
2 6 2 4
h h h h
绝 对 稳 定 区 域,
2
1
- 3 - 2 - 1
0
- 1
- 2
基本思想
§ 4.线性多步法
1
1 - r
1
R- K
,,
nn
n n n
n
yy
y y y
y
－
单 步 法 在 计 算 时,只 用 到 前 一 步 的 信 息 。
为 提 高 精 度,需 重 新 计 算 多 个 点 处 的 函 数 值,
如 方 法,计 算 量 较 大 。 如 何 通 过 较 多 地利 用 前 面 的 已 知 信 息,如,,来构 造 高 精 度 的 算 法 计 算 。
基本思想
1 1 1
1
01
11
(,),,(,)
,(,) ( 1,,,)
00
T a y l or
n n n r n n n r n r
rr
n i n i i n i
ii
i i k k k
y y y f x y f x y
y y h f
f f x y k n n n r
－ －
多 步 法 中 最 常 用 的 是 线 性 多 步 法,它 的 计 算 公 式 中 只出 现,,,及 的 一 次项,其 一 般 形 式 为其 中 均 为 常 数,。
若 ＝,显 式 ；,隐 式 。
构 造 线 性 多 步 公 式 常 用 展 开 和 数 值 积 分 方 法 。
线性多步公式的导出
1
()
,
n n n
ii
T ay lor
x T ay lor y x x
T ay lor
利 用 展 开 导 出 的 基 本 方 法 是,将 线 性 多 步公 式 在 处 进 行 展 开,然 后 与 在处 的 展 开 式 相 比 较,要 求 它 们 前 面 的 项重 合,由 此 确 定 参 数 。
( ) ( )
''
'2
()
1
( ) ( 1,2,),( )
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ( ) )
!
kk
n n n
n
n n n n
p
ppn
nn
y y x k y x x T ay l or
y
y x y y x x x x
y
x x O x x
p
记 则 在 处 的展 开 为1 0 1 1 1 1 0 1 1
1 ( )
( )
n n n n n n
r y x
y y y h f f f
以 为 例,设 初 值 问 题 的 解 充 分 光 滑,
待 定 的 两 步 公 式 为
'
'' '''
' 2 3
1
( 4 ) ( 5 )
4 5 ( 6 )
'''
' ' '' 2
1 1 1 1
( ),
( ) (,) ( ),
()
2 ! 3!
( )
4 ! 5 !
(,) ( )
2!
ii
i i i
nn
n n n n
nn
n
n n n n n n
n y y x
y x f x y i n
yy
y y x h y y h h h
yy
h h O h
y
f f x y y x y y h h
假 设 前 步 计 算 结 果 都 是 准 确 的,即则 有
( 4 ) ( 5 )
3 4 ( 5 )
( )
3! 4 !
nn
yy
h h O h
'
1 1 1
'
1
''' ( 4 ) ( 5 )
' '' 2 3 4 ( 5 )
(,)
(,)
( )
( )
2 ! 3 ! 4 !
n n n n
n n n
n
n n n
nn
f f x y y
f f x y
yx
y y y
y y h h h h O h
1
'' ( 5 )
' 2 5 6
1
()
( ) ( )
2 ! 5 !
1
nn
nn
n n n
p y x x
T ay lor
yy
y x y y h h h O h
p
为 使 上 式 有 阶 精 度,只 须 使 其 与 在 处 的展 开 式的 前 项 重 合 。
' '' 21
1 0 1 1 1 0 1 1 1
''' 3 ( 4 ) 41 1 1 1 1 1
( 5 ) 5 61 1 1
( ) ( ) ( )
2
( ) ( )
6 2 2 2 4 6 6
( ) ( )
1 2 0 2 4 2 4
n n n n
nn
n
y y y h y h
y h y h
y h O h
将以上各公式代入并整理，得
01
0 1 0 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1
11
22
1 1 1 1
6 2 2 6
1 1 1 1
2 4 6 6 2 4
aa
a
a
a
a
5,5
,1 1,2,
3,4 )
ii
pp
p
个 参 数 只 须 个 条 件 。 由 推 导 知,如 果 选 取参 数,使 其 满 足 前 个 方 程 （
,则 近 似 公 式 为 阶 公 式 。
1 1 0 1
11
1
1,0,,0
2
( )
2
n n n n
h
y y f f
0
如 满足方程组前三个方程，故公式此为二阶公式。
0 1 1 1
0
1 1 1 1
5 ( 5 ) 6
1
1
0,1,,
3
4
3
( 4 )
3
1
( )
90
n n n n n
nn
h
y y f f f
R h y O h
又 如,解 上 面 方 程 组 得
,相 应 的 线 性 二 步 四 阶 公 式 （ Simpson 公 式 )
为其 截 断 误 差 为由 此 可 知,线 性 二 步 公 式 至 多 是 四 阶 公 式 。
1
0
1
01
23
()
1
( ) ( ) 1 ( 1,2,)
nn
n
r
i
i
rr
kk
ii
ii
r
x Ta y lo r y x
x Ta y lo r
i k i k p
一 般 地,线 性 多 步 公 式 中 有 个 待 定 参 数,
如 令 其 右 端 在 处 的 展 开 式 与 在处 的 展 开 式 的 前 p+1 项 系 数 对 应 相 等,
可 得 方 程 组
1
1
1
1
( 1 ) 2
1
[ 1 ( )
( 1 ) !
( 1 ) ( ) ] ( )
p r
p
ni
i
r
p p p
in
i
p
h
Ri
p
p i y O h
其 解 所 对 应 的 公 式 具 有 阶 精 度,局 部 截 断 误差 为显 然,线 性 多 步 公 式 至 多 可 达 到 2r+2 阶 精 度 。
二、常用的线性多步公式
1 2 3 1
0
1
01
0 0 1 2 3
( A da m s)
r =3 0,
1
( ) ( ) 1
( 1,2,3 4)
55 59 37 9
=1,,,
24 24 24 24
r
i
i
rr
kk
ii
ii
i k i
k
（ 一 ） 阿 达 姆 斯 公 式取,并 令 由 方 程 组
，
可 解 得
，
1 1 2 3
1
5 33
5 4 ( 5 ) 6
1
11
5 ( 5 ) 6
( 5 5 5 9 3 7 9 )
24
= 0 A d a m s
[ 1 ( ) 5 ( ) ] ( )
5!
251
()
720
n n n n n n
n i i n
ii
n
h
y y f f f f
h
R i i y O h
h y O h
－
相 应 的 线 性 多 步 公 式 为因,此 式 称 为 显 式 公 式,是 四 阶 公 式,
局 部 截 断 误 差 为
1 2 3 3
0 1 0 1 2
1 1 1 2
5 ( 5 ) 6
1
0,
9 19 5 1
= 1,,,
24 24 24 24
( 9 19 5 )
24
A da m s
19
()
720
n n n n n n
nn
h
y y f f f f
R h y O h
如果令 由方程组可解得
，
相应的线性多步公式为称其为四阶 隐式公式，其局部截断误差为利用数值积分方法求线性多步公式
11
1
1 1 1
( ) ( ) (,( ) ) ( )
,,,,,,
( ) ( ) ( ),
1
nn
nn
xx
nn
xx
n n n r n n n r
r
y x y x f x y x d x F x d x
x x x x x x
F x r x F x
r
基 本 思 想 是 首 先 将 初 值 问 题 化 成 等 价 的 积 分形 式用 过 节 点 或 的的 次 插 值 多 项 式 代 替 求 积 分即 得 阶 的 线 性 多 步 公 式 。
1 2 3
3
3
0
1 2 3
3
0
3,,,,( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( )
( 0,1,2,3 )
n n n n
i n i
i
n n n n
i
n i n i n j
j
ji
r x x x x F x
L x l x F x
x x x x x x x x
lx
x x x x
i
例 如 时,过 节 点 的三 次 插 值 多 项 式 为其 中
11
1
1
1
3
13
0
1 2 3
3
23
1
3
13
2
3
3
( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )
( ) ( ) ( )
()
6
( ) ( ) ( )
()
2
( ) ( ) ( )
()
2
( ) (
()
nn
nn
n
n
n
n
n
n
xx
n n i n i
xx
i
x
n n n
n
x
x
n n n
n
x
x
n n n
n
x
n
n
y x y x L x d x l x d x F x
x x x x x x
F x d x
h
x x x x x x
F x d x
h
x x x x x x
F x d x
h
x x x
Fx
1
12
3
1 2 3
) ( )
6
[ 5 5 ( ) 5 9 ( ) 3 7 ( ) 9 ( ) ]
24
n
n
x
nn
x
n n n n
x x x
dx
h
h
F x F x F x F x
11
1 1 2 3
3
,( ),( ),(,)
( ) (,( ) ) (,1,2,3 ),
( 55 59 37 9 )
24
[,]
n n n n k k k
k k k
n n n n n n
nn
y y y x y x f x y
F x f x y x k n n n n
h
y y f f f f
Ad am s
x x Ad am s
对 上 式 用 代 替 用代 替则 得这 就 是 四 阶 显 式 公 式 。 由 于 积 分 区 间 在插 值 区 间 外 面,又 称 为 四 阶 外 插公 式 。
1
1
1
( 4 )
3
1
0
( 5 )
3
0
31
( 5 ) 3
5 ( 5 )
1
0
()
()
4!
()
( )
4!
,),
( ) 251
( ) ( )
4 ! 720
n
n
n
n
n
n
x
x
n n j
x
j
x
x
nj
x
j
nn
x
n n j
x
j
F
R x x dx
y
x x dx
xx
y
R x x dx h y
由 插 值 余 项 公 式 可 得 其 局 部 截 断 误 差 为由 积 分 中 值 定 理,存 在 （ 使 得
1 1 2
2
3
1
1 1 2
3
1
,,,( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( )
( 1,0,1,2)
n n n n
i n i
i
n n n n
i
n i n i n j
j
ji
x x x x F x
L x l x F x
x x x x x x x x
lx
x x x x
i
＋
同 样,如 果 过 节 点 的 三 次插 值 多 项 式 为其 中代 ()Fx替 求 积 分,
1 1 1 2
5 ( 5 )
1 2 1
21
( 9 19 5 )
24
19
()
720
[,]
n n n n n n
n n n n
nn
Ad am s
h
y y f f f f
R h y x x
x x Ad am s
Ad am s
即 得 四 阶 隐 式 公 式其 局 部 截 断 误 差 为由 于 积 分 区 间 在 插 值 区 间 内,故隐 式 公 式 又 称 为 内 插 公 式
§ 1,引言
0 0
:
(,)
()
dy
f x y a x b
dx
y yx
一 阶 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题
2y
x y 2 y 4 x y 4
x
2y
f x y 4 y 1 3
x
d y 2 y
f x y 4
d x x
y 1 3
''
,-
(,) ( ) -
(,)
()
例 方 程令,且 给 出 初 值就 得 到 一 阶 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题,
(,)
(,) (,)
f x y y
Li p s c h it z L
f x y f x y L y y
只 要 函 数 适 当 光 滑 连 续,且 关 于 满 足条 件,即 存 在 常 数,使 得由 常 微 分 方 程 理 论 知,初 值 问 题 的 解 必 存 在 且唯 一 。
微分方程的数值解,设方程问题的解 y(x)
的存在区间是 [a,b]，令 a= x0< x1<…< x n =b,
其中 hk=xk+1-xk,如是等距节点 h=(b-a)/n,
h称为步长。
y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得 y(x)在每个节点 xk
上 y(xk)的近似值，用 yk表示，即 yk≈y(xk)，这样 y0,y1,...,yn称为微分方程的数值解。
主要问题
如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的递推公式；
递推公式的局部截断误差，数值解与精确解的误差估计；
递推公式的稳定性与收敛性。
用差商代替微商
数值积分
Taylor展开微分方程离散化常用方法
1
,
1
A
(,( ) )
n n
nn
nn
nn
y x y xdy
f x y x
yd x x x x
用 差 商 代 替 微 商
1 1 1
1
1
,,
,
,0,1,2,
n n n n n n
nn
nn
n n n n
h y y
f
h
x x y x y x
yy
xy
y y xh f ny
用 代 替,
则
11
B,,
(,)
( 0,1,)
nn
nn
xx
xx
dy
d x f x y d x n
dx
用 数 值 积 分 方 法 离 散 化
1
11
1
,( ),( ),
(,) (,)
( 0,1,(,) )
n
n
n n n n
x
nn
x
n n n n
y y y x y x
f x y dx h f x y
y h x ny f y
用 代 替 对 右 端 积 分 采 用取 左 端 点 的 矩 形 公 式则 有
1
11
11
1 1 1
,( ),( ),
(,) (,)
( 0,1,)(,)
n
n
n n n n
x
nn
x
n n n n
y y y x y x
f x y dx h f x y
y y hf x y n
＋ ＋
＋ ＋
用 代 替 对 右 端 积 分 采 用取 右 端 点 的 矩 形 公 式则 有
1
11
11
1 1 1
,( ),( ),
(,) (,) (,)
2
(,) (,)
2
( 0,1,)
n
n
n n n n
x
n n n n
x
n n n n n n
y y y x y x
h
f x y dx f x y f x y
h
y y f x y f x y
n
＋ ＋
＋ ＋
用 代 替 对 右 端 积 分 采 用梯 形 公 式则 有
2
2
C ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) (,( ) ) ( )
2
n
n n n n
n n n n
x y x T ay lor
h
y x h y x hy x y x
h
y x hf x y x y x
在 附 近 的 展 开,
1
1
( ) ( )
(,) 0,1,2,
n n n
n n n n
h y y x y x
y y h f x y n
Tay lo r
取 的 线 性 部 分,且 得 的 近 似 值,
展 开 法 不 仅 可 得 到 求 数 值 解 的 公 式,且 容 易 估 计截 断 误 差 。
§ 1 解常微分方程初值问题的
Euler方法
Euler方法
Euler方法的误差分析
向前 Euler公式 （ Euler折线法或显格式）
向后 Euler公式 （后退 Euler公式）
梯形公式 （改进的 Euler公式）
Euler预估－校正格式一,Euler方法
00
10
,
,,
0 1,,1,
n n n n n
y x y
y y h f x y x x n h
ba
n,N h
N
1、向前 Euler公式
0
0
00
00
,
0 0 0 0
,
,
,,
x y y y x
dy
f x y
ydx x
f x y x y
几 何 意 义由 出 发 取 曲 线 的 切 线 ( 存 在 !),
则 斜 率由 于 及 已 知,必 有 切 线 方 程 。
0
0
0 0 0 0 0 0
,
( ) (,)
dy
y y x x y x x f x y
yd x x
由 点 斜 式 写 出 切 线 方 程,
1 0 1
1 0 0 0
,
h x x h y
y y h f x y
等 步 长 为,则,可 由 切 线 算 出,
（ ）
1
1
,0 1 2
n
n n n n
y y x x
y y h f x y n
逐 步 计 算 出 （ ） 在,点 值,
（ ）,，,,
用分段的折线逼近逼近函数
2、向后（后退的） Euler 方法
1
1
nn
n
y x y x
yx
h
用 向 后 差 商,
1 1 1
00
,
n n n n
y y hf x y
y x y
( 隐 式 算 法 )
0
1
1
11
E
,
0,1,2,
1
,
n
n n n
kk
n n n
ul e r
hf
hf k
n
y y yx
y y yx
为 避 免 解 非 线 性 方 程,与 法 结 合迭 代 法
3、梯形公式
1
1
,
n
n
nn
x
y x y x f x y dt
x
由 积 分 途 径
11,n n n ny y x y y x积 分 用 梯 形 公 式,令则 得
1 1 1
00
,,
2
n n n n n n
h
y y f x y f x y
y x y
( 0 )
1
( 1 ) ( )
1 1 1
0 1 2
,
,,
2
0 1 2
n n n n
kk
n n n n n n
E u le r
n
y y h f x y
h
y y f x y f x y
k,,,
同 样 与 法 结 合,形 成 迭 代 算 法,
对,,,
4、改进的尤拉公式梯形公式虽然提高了精度，但使算法复杂。而在实际计算中只迭代一次，这样建立的预测 — 校正系统称作改进的尤拉公式。
1
11 1
(,) ;
[ (,) (,) ],
2
n n nn
n n n n n n
y y h f x y
h
y y f x y f x y
预 测校 正
1
1
(,) ;
(,) ;
( ) / 2,
p n n n
c n n p
n p c
y y h f x y
y y h f x y
y y y
二,Euler方法的误差分析
1 1 1
1
1)
( )
n n n
n n n
n
T y x y
y y y x
Eu l e r y
局 部 截 断 误 差在 一 步 中 产 生 的 误 差 而 非 累 积 误 差,
其 中 是 当 （ 精 确 解 ！ ） 时由 法 求 出 的 值,即 无 误 差 ！
1
1
2
1
( )
( ) ( ) (,( ) )
2
nn
n n n n n
nn
y x x T ay lor
y x y x h y x hf x y x
h
y x x
＋
将 在 点 展 开,
1
1
2
1 1 1 1
,
( ),
2
n n n n
n n n n
n n n n n
y y h f x y
y y x h f x y x
h
T y x y y x x
则
2
2
2
12
m a x ( ),( )
2
a x b
n
M y x y x
h
T M O h
令 充 分 光 滑,则,
11
,,
,,
1 ( 1 )
n n n n n n n n
n n n n n n
n n n
y y y x h f x y x y h f x y
y x y h f x y x f x y
Lip s c h itz h L y x y h L e
由 条 件
11
0 0 0
1
2
12
1
1
1
N 0
1
11
1
n n n
N N N
N N N
N
e T hL e n
e y x y
e T hL e
T hL T hL T
hL T
对 一 切 成 立,
对 取 定,由,则,
2） 总体方法误差
,
,,
n n n n n n
f x y
L i psc hi t z
f x y x f x y L y x y
递 推 方 法,从 任 意 两 相 邻 步 的 总 体 误 差 关 系推 出 总 体 误 差 与 步 长 的 关 系 。
由 微 分 方 程 解 的 存 在 唯 一 性 自 然 假 定 （,）
充 分 光 滑,或 满 足 条 件,
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
11
1
1
,
n n n
n n n n n n n
n n n
nn
n n n
n e y x y
n
e y x y y x y y y
T y y
yy
y y x h f x
第 步 的 总 体 截 断 误 差 记 为则 对 步,
以 下 估 计 其 中
,
n
yx
2
2
12
1
1
11
1
N
N N N N
N
T O h
e T hL T hL T
hL T
由 局 部 截 断 误 差,则
11 2
00
1 1
NN
NK
kk
kk Oh L h LhT
211
11
NhL
O h O h
hL
0
00
l im 1 l im 1
N
N
xx
N
h
hh
L
h L h L
xx
eh
与 步 长 无 关 常 数总体截断误差与局部截断误差的关系是：
1Oh －总 体 截 断 误 差 ＝ 局 部 截 断 误 差一 般 地,方 法 的 总 体 截 断 误 差 阶 越 高,精 度也 越 高 。
pOh
p
定 义,一 个 方 法 的 总 体 截 断 误 差 若 为,
则 称 之 为 阶 方 法 。
误差分析表
Euler方法 局部截断误差总体截断误差迭代收敛条件向前 Euler
方法
O(h2) O(h)
向后 Euler
方法
O(h2) O(h) 0<hL<1
梯形公式 O(h3) O(h2) 0<hL<2
(L为 Lip常数）
向后 Euler 方法收敛条件与截断误差
11
111 1 1 1
1
11
,,
0 1
k k k k
nnn n n n
kk
nn
h f f
hL hL
y y y yxx
yy
收 敛 条 件
2
1
0 1
n
O
O h h L
hT
局 部 截 断 误 差,
整 体 截 断 误 差 ( 当 时 )
梯形公式的收敛性
11
11
1 1 1 1
1
11
,,
2
2
0 1
2
k k k k
nn
n n n n
kk
nn
h
ff
hL
hL
y y y yxx
yy
收 敛 条 件
E u le r梯 形 公 式 比 法 的 局 部 与 总 体 误 差 均 高一 阶,但 每 次 迭 代 均 多 算 一 次 函 数 值 — 提 高精 度 的 计 算 代 价 。
'
2
( 0 1 ) ;
( 0 ) 1,
x
y y x
y
y
例,用 尤 拉 公 式 和 改 进 的 尤 拉 公 式 解 初 值 问 题
1
0,1
2
( ),
n
n n n
n
h
x
E u l e r y y h y
y
解,取 步 长,
公 式 为,
1
1
2
( ) ;
2
( ) ;
1
( ),
2
n
p n n
n
n
c n p
p
n p c
x
y y h y
y
x
y y h y
y
y y y
改 进 的 尤 拉 公 式 为,
'2
0.2
( 0 0.6 ) ;
( 0) 1.
h
y y x y x
y
例 1,取 步 长,用 欧 拉 法 解 初 值 问 题
1
2
2
,
0,2
0,8 0,2
n n n n
n n n n
n n n
E u le r
y y h f x y
y y x y
y x y
解,格 式 为,
0
1
2
2
1
0,2 0,8,
0,4 0,6 1 4 4
0,6 0,4 6 1 3 2 1
y
yy
yy
yy
由 计 算 得
'
0,2
8 3 ( 1 2) ;
( 1 ) 2.
5
h
y y x
y
例 2,取 步 长,用 梯 形 解 初 值 问 题小 数 点 后 至 少 保 留 位 。
1 1 1
11
,,
2
0.2
8 3 8 3
2
n n n n n n
n n n n
h
y y f x y f x y
y y y y
＋ ＋
＋
解,梯 形 公 式 为,
－ ＋ －
1
0
1
2
3
4
5
7 16
13 13
1 2,
1.2 2.30 769
1,4 2,47 33 7
1,6 2,56 25 8
1,8 2,61 06 2
2,0 2,63 64 9
nn
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
故 由 ＝ 计 算 得
'
0.2
3 ( 1 2) ;
( 1 ) 2.
5
h
y x y x
y
例 2,取 步 长,用 梯 形 解 初 值 问 题小 数 点 后 至 少 保 留 位 。
1 1 1
1 1 1
,,
2
0,1 3 3
n n n n n n
n n n n n n
h
y y f x y f x y
y y x y x y
＋ ＋
＋ ＋
解,梯 形 公 式 为,
＋
0
1
1
1 1 1
0
0
1
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
11
0,3
0,1 3 3
2,
2,6
*,&,^,%,
n n n n
kk
n n n n n n
k
y y x y
y y x y x y
y
y
y y y y y
yy
＋
迭 代 格 式,
＋
0
2
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
,
*,&,^,%,
y
y y y y y
'2
0,2
sin 0
( 1 ) 1,
1,2 1,4
5
h
y y y x
y
yy
例 3,取 步 长,用 欧 拉 预 － 校 方 法 解初 值 问 题计 算 及 的 近 似 值,小 数 点 后 至少 保 留 位 。
1
1 1 1
2
1
2
1
2
1 1 1
,
,,
2
0.2 si n
0.1 si n
+ si n
n n n n
n n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n
y y hf x y
h
y y f x y f x y
y y y y x
y y y y x
y y x
＋ ＋
解,欧 拉 预 － 校 格 式 为,
0
1
1
2
2
1 1,
0,63 17 1
1,2 0,71 54 88
0,47 69 6
1,4 0,52 61 1
yy
y
yy
y
yy
故 由 ＝ 计 算 得
'
5
0
( 0 ) 1,
0,1 0,2
10
yy
y
hy
－
例 4,写 出 用 反 复 迭 代 的 欧 拉 预 － 校 法 解初 值 问 题的 计 算 公 式,并 取 步 长,计 算,
要 求 迭 代 误 差 不 超 过 。
0
1
1
1 1 1
0
1
1
11
,
,,
2
0,1,2,0,1,2,
,
0.9
0.95 0.05
n n n n
kk
n n n n n n
nn
kk
n n n
y y hf x y
h
y y f x y f x y
kn
f x y y
yy
y y y
＋
解,欧 拉 预 － 校 的 迭 代 格 式 为,
取
0
0 1 2
1 1 1
34
11
43 75
11
4
11
0 1,
0.9,0.905,0.90475,
0.9047625,0.904761875
6.25 10 10,
0.1 0.904761875
yy
y y y
yy
yy
y y y
故 由 ＝ 计 算 得由于 是 取
0
01
22
3
2
45
22
54 65
22
5
22
0 1,
0,8 1 4 2 8 6,0,8 1 8 8 0 9,
0,8 1 8 5 8 3,
0,8 1 8 5 9 5,0,8 1 8 5 9 4
1 0 1 0,
0,2 0,8 1 8 5 9 4
yy
yy
y
yy
yy
y y y
故 由 ＝ 计 算 得由于 是 取
§ 2.龙格 — 库塔方法
基本思想
二阶 R-K方法
三阶 R-K方法
四阶 R-K方法
变步长 R-K方法
1
11
2
' " ( )
'
'' ' '
( )
()
( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
( ) (,),
( ) (,) (,) (,),
n
nn
p
p
n n n n
xy
p Tay lo r y x
y y x
hh
y x h y x y x y x
P
y x f x y
y x f x y f x y f x y
若 用 阶 多 项 式 近 似 函 数 有,
其 中
。
但 由 于 公 式 中 各 阶 偏 导 数 计 算 复 杂,不 实 用 。
一、基本思想
' ( 0 )
( 0 ) ( 0 )
'' ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
''' ( 2 )
( 2 ) ( 2 )
( ) ( 1 ); 2,3,
jj
jj
y f f
ff
y f f
xy
ff
y f f
xy
ff
y f f j
xy
一般地有
11
1
1 1 2
1
21
(,)
11
()
22
(,)
(,)
nn
nn
nn
nn
nn
Eu l e r Eu l e r
Eu l e r
y y hK
K f x y
Eu l e r
y y h K K
K f x y
K f x h y hK
如 果 将 公 式 与 改 进 公 式 写 成 下 列形 式,
公 式改 进 公 式
11
(,)
()
(,)
(,)
nn
f x y
y x y
f x y
f x y
以 上 两 组 公 式 都 使 用 函 数 在 某 些 点 上的 值 的 线 性 组 合 来 计 算 的 近 似 值 。
Euler 公 式,每 步 计 算 一 次 的 值,为 一阶 方 法 。 改 进 Euler 公 式,需 计 算 两 次的 值,二 阶 方 法 。
(,)
(,)
()
-
nn
n
f x y
x y T ay lor
y x x T ay lor
RK
于 是 可 考 虑 用 函 数 在 若 干 点 上 的 函数 值 的 线 性 组 合 来 构 造 近 似 公 式,构 造 是要 求 近 似 公 式 在 处 的 展 开 式与 解 在 处 的 展 开 式 的 前 面 几 项重 合,从 而 使 近 似 公 式 达 到 所 需 要 的 阶 数 。
即 避 免 求 偏 导,又 提 高 了 方 法 的 精 度,此为 方 法 的 基 本 思 想 。
1
1
1
1
1
-
(,)
(,)
( 2,3,)
,
p
n n i i
i
nn
i
i n i n ij j
j
i ij i
RK
y y h c K
K f x y
K f x a h y h b K
ip
a b c
一 般 地,方 法 设 近 似 公 式 为其 中,都 是 参 数,
,
(,)
()
i ij i
nn
n
a b c
x y T ay lor
y x x T ay lor
确 定 参 数,的 原 则 是,
使 近 似 公 式 在 处 的 展 开 式与 在 处 的 展 开 式 的 前 面 项 尽可 能 多 地 重 合 。
二、二阶龙格－库塔方法
1 1 1 2 2
1
2 2 21 1
2
()
(,)
(,)
nn
nn
nn
p
y y h c K c K
K f x y
K f x a h y hb K
当 时,近 似 公 式 为
1 1 2 2
21
12
' ' 3
2 21
(,)
[ (,) (,
(,) ) ]
{ (,) [ (,)
(,) (,) (,) ] } ( )
nn
n n n n n n
nn
n n n n n
x n n y n n n n
n
x y T ay l or
y y h c f x y c f x a h y
hb f x y
y h c f x y c f x y
a hf x y hb f x y f x y O h
y
上 式 在 处 的 展 开 式 为
'
1 2 2 2
' 2 3
21
( ) (,) [ (,)
+ (,) (,) ] ( )
n n x n n
y n n n n
c c f x y h c a f x y
b f x y f x y h O h
1
2
' " 3
1
2
'
'3
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
(,) [ (,)
2
(,) (,) ] ( )
nn
n n n n
n n n x n n
y n n n n
y x x T ay l or
h
y x y x hy x y x O h
h
y f x y h f x y
f x y f x y O h
在 处 的 展 开 式 为
12
22
3
2 21
1
1 / 2
1 / 2 ( ),
cc
ca
c b O h
有 无 穷 多 组 解,每 一 组 解 得 一近 似 公 式,局 部 截 断 误 差 均 为这 些 方 法 统 称 二 阶 方 法 。
4
3
()
()
Oh
Oh
可 以 证 明,无 论 这 四 个 参 数 如 何 选 择,都不 能 使 局 部 截 断 误 差 达 到,也 即 在 计算 两 次 函 数 值 的 情 况 下,局 部 截 断 误 差 的阶 最 高 为 。
1 2 2 2 1
1 1 2
1
21
1
,1,
2
( ) / 2
(,)
(,)
nn
nn
nn
c c a b E u le r
y y h K K
K f x y
K f x h y h K
取 此 为 改 进 公 式 。
近 似 公 式 为
1 2 2 2 1
12
1
21
1
0,1,,
2
(,)
( 2,2 )
nn
nn
nn
c c a b
y y h K
K f x y
K f x h y h K
取 此 为 常 用 的 二 阶 公 式,
称 为 中 点 公 式
／ ／
三、三阶龙格－库塔方法
1 1 2 3
1
21
3 1 2
( 4 )
6
(,)
(,)
22
(,2 )
nn
nn
nn
nn
RK
h
y y K K K
K f x y
hh
K f x y K
K f x h y hK hK
常 用 的 三 阶 公 式 为,
四、四阶龙格－库塔方法
1 1 2 3 4
1
21
32
43
( 2 2 )
6
(,)
(,)
22
(,)
22
(,)
nn
nn
nn
nn
nn
RK
h
y y K K K K
K f x y
hh
K f x y K
hh
K f x y K
K f x h y hK
常 用 的 四 阶 公 式 为,
'
0,2,
-
8 3 ;
( 0 ) 2,
0,4
4
h
RK
yy
y
y
例,设 取 步 长 写 出 用 经 典 （ 标 准 的 ）
四 阶 方 法 求 解 初 值 问 题的 计 算 公 式,计 算 的 近 似 值,小 数 点后 至 少 保 留 位 。
12
,8 - 3,= 0,2,
0,2,0,4
f x y y h
y y y y
解,
1 1 2 3 4
1
1
2
2
3
43
( 2 2 ) ;
6
,8 3 ;
,5.6 2.1 ;
22
,6.32 2.37 ;
22
,4.208 1.578,
nn
n n n
n n n
n n n
n n n
h
y y K K K K
K f x y y
Kh
K f x y y
Kh
K f x y y
K f x h y K y
由 经 典 的 四 阶 龙 格 — 库 塔 公 式 得
1
0
1
2
1,2 0 1 6 0,5 4 9 4
0 2,
0,2 2,3 0 0 4
0,4 2,4 6 5 4
nn
yy
yy
yy
yy
由 于
1 1,2,3,4
,4
5 4 6
5
2
p R K
p p R K
p p p R K
R K Ta y lo r
两 点 说 明,
） 当 时,－ 公 式 的 最 高 阶 数 恰好 是 当 时,－ 公 式 的 最 高 阶 数 不 是
,如 时 仍 为,时 － 公 式 的 最 高阶 数 为 。
） － 方 法 的 导 出 基 于 展 开,故 要求 所 求 问 题 的 解 具 有 较 高 的 光 滑 度 。
RK
Eul e r R K
RK
Eul e r
当 解 充 分 光 滑 时,四 阶 － 方 法 确 实 优 于改 进 法 。 对 一 般 实 际 问 题,四 阶 方法 一 般 可 达 到 精 度 要 求 。
如 果 解 的 光 滑 性 差,则 用 四 阶 － 方 法 解的 效 果 不 如 改 进 法 。
五、变步长的龙格 — 库塔方法
()
1
( ) 5
11
1
5
( 2 )
1
,
( ),
2
,,
2
n
h
n
h
nn
nn
h
n
x
hy
y x y c h
h
xx
h
yc
／
以 经 典 四 阶 龙 格 — 库 塔 公 式 为 例 。 从 节 点 出 发,
以 为 步 长 求 一 近 似 值将 步 长 折 半,即 取 为 步 长 从 跨 两 步 到,求一 近 似 值 每 跨 一 步 的 截 断 误 差 是
5
( 2 )
11
( 2 )
11
()
11
( 2 ) ( 2 ) ( )
1 1 1 1
( ) 2,
2
() 1
.
16()
1
( ) [ ],
15
h
nn
h
nn
h
nn
h h h
n n n n
h
y x y c
y x y
y x y
y x y y y
／
／
／ ／
因 此 有由 上 两 式
§ 4、微分方程数值解的稳定性 *
1 11
*
11
n nn
nn
yy
yy
稳 定 性 分 析,对 计 算 误 差,
其 中 是 的 近 似 计 算 值,误 差 积 累会 淹 没 真 值？
'
=,
0
12
n
nk
n k n
yy
h
yk
h
定 义,一 种 数 值 方 法 求 解 试 验 方 程其 中 是 复 常 数 。
对 给 定 的 步 长,若 计 算 误 差 在 计 算
，,时 不 产 生 增 大 的 误 差,即
，
称 对 与 这 种 方 法 是 绝 对 稳 定 的 。
h
hh
对,的 允 许 范 围 内 是 绝 对 稳 定 的,
则 称 的 全 体 为 绝 对 稳 定 区 域 。
Euler法的绝对稳定区域
1
**
1
n n n
nn
y y E u le r
y y h y
y h y
的 算 法,
计 算 值
1 n n nh误 差 方 程,
1
1
1 1
nn
h
h
从 而当 是 绝 对 稳 定区 域
I
m
( λ h )
-2 - 1 0
R
e
( λ h )
h
A?
绝 对 稳 定 区 域 越 大,可 选 大 些,方 法 适 应 性越 强 。 如 果 整 个 左 半 平 面 是 绝 对 稳 定 区 域 称稳 定 的 。
向后 Euler 法的稳定性
11
n n n
y y E u le r
y y h y
对 用 向 后 法,
11 n n nh误 差 公 式,
仍受限制。要求稳定的。但收敛法是因此向后
,10
hhL
AEu l e r
1 ( ) 0 1n
e
n
Rh
只 要 则
1
1 / 2
11
1 11
n
n h hh
1
2 2
1
2
2
2
1
1
1
12
e
hh
R h h
梯形公式的稳定性
1 1
2nn n
yy
h
nyyyy
对 用 梯 形 公 式
）（
1( ) 0 1 A - n
e
n
Rh?
当 时,梯 形 公 式 是 稳 定 的 。
11
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1 ( )
4
1
1 ( )
4
n n n n
n
n
h
h
h
e
e
h h
R
h h
R
R-K方法的绝对稳定区域
2
1 2 1
23
32
234
43
(,)
11
,
22
1 1 1
( )
2 2 4
11
( )
24
n n n
nn
nn
y f x y y R K
K h y K h y K y h h
K h y K y h h h
K h y K y h h h h
将 代 入 公 式,
1 1 2 3 4
2 3 4
1
2 2
6
1 1 1
1
2 6 2 4
nn
n
y y K K K K
y h h h h
2 3 41 1 1 11
2 6 2 4nn
h h h h
则
2 3 41 1 1
1 1
2 6 2 4
h h h h
绝 对 稳 定 区 域,
2
1
- 3 - 2 - 1
0
- 1
- 2
基本思想
§ 4.线性多步法
1
1 - r
1
R- K
,,
nn
n n n
n
yy
y y y
y
－
单 步 法 在 计 算 时,只 用 到 前 一 步 的 信 息 。
为 提 高 精 度,需 重 新 计 算 多 个 点 处 的 函 数 值,
如 方 法,计 算 量 较 大 。 如 何 通 过 较 多 地利 用 前 面 的 已 知 信 息,如,,来构 造 高 精 度 的 算 法 计 算 。
基本思想
1 1 1
1
01
11
(,),,(,)
,(,) ( 1,,,)
00
T a y l or
n n n r n n n r n r
rr
n i n i i n i
ii
i i k k k
y y y f x y f x y
y y h f
f f x y k n n n r
－ －
多 步 法 中 最 常 用 的 是 线 性 多 步 法,它 的 计 算 公 式 中 只出 现,,,及 的 一 次项,其 一 般 形 式 为其 中 均 为 常 数,。
若 ＝,显 式 ；,隐 式 。
构 造 线 性 多 步 公 式 常 用 展 开 和 数 值 积 分 方 法 。
线性多步公式的导出
1
()
,
n n n
ii
T ay lor
x T ay lor y x x
T ay lor
利 用 展 开 导 出 的 基 本 方 法 是,将 线 性 多 步公 式 在 处 进 行 展 开,然 后 与 在处 的 展 开 式 相 比 较,要 求 它 们 前 面 的 项重 合,由 此 确 定 参 数 。
( ) ( )
''
'2
()
1
( ) ( 1,2,),( )
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ( ) )
!
kk
n n n
n
n n n n
p
ppn
nn
y y x k y x x T ay l or
y
y x y y x x x x
y
x x O x x
p
记 则 在 处 的展 开 为1 0 1 1 1 1 0 1 1
1 ( )
( )
n n n n n n
r y x
y y y h f f f
以 为 例,设 初 值 问 题 的 解 充 分 光 滑,
待 定 的 两 步 公 式 为
'
'' '''
' 2 3
1
( 4 ) ( 5 )
4 5 ( 6 )
'''
' ' '' 2
1 1 1 1
( ),
( ) (,) ( ),
()
2 ! 3!
( )
4 ! 5 !
(,) ( )
2!
ii
i i i
nn
n n n n
nn
n
n n n n n n
n y y x
y x f x y i n
yy
y y x h y y h h h
yy
h h O h
y
f f x y y x y y h h
假 设 前 步 计 算 结 果 都 是 准 确 的,即则 有
( 4 ) ( 5 )
3 4 ( 5 )
( )
3! 4 !
nn
yy
h h O h
'
1 1 1
'
1
''' ( 4 ) ( 5 )
' '' 2 3 4 ( 5 )
(,)
(,)
( )
( )
2 ! 3 ! 4 !
n n n n
n n n
n
n n n
nn
f f x y y
f f x y
yx
y y y
y y h h h h O h
1
'' ( 5 )
' 2 5 6
1
()
( ) ( )
2 ! 5 !
1
nn
nn
n n n
p y x x
T ay lor
yy
y x y y h h h O h
p
为 使 上 式 有 阶 精 度,只 须 使 其 与 在 处 的展 开 式的 前 项 重 合 。
' '' 21
1 0 1 1 1 0 1 1 1
''' 3 ( 4 ) 41 1 1 1 1 1
( 5 ) 5 61 1 1
( ) ( ) ( )
2
( ) ( )
6 2 2 2 4 6 6
( ) ( )
1 2 0 2 4 2 4
n n n n
nn
n
y y y h y h
y h y h
y h O h
将以上各公式代入并整理，得
01
0 1 0 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1
11
22
1 1 1 1
6 2 2 6
1 1 1 1
2 4 6 6 2 4
aa
a
a
a
a
5,5
,1 1,2,
3,4 )
ii
pp
p
个 参 数 只 须 个 条 件 。 由 推 导 知,如 果 选 取参 数,使 其 满 足 前 个 方 程 （
,则 近 似 公 式 为 阶 公 式 。
1 1 0 1
11
1
1,0,,0
2
( )
2
n n n n
h
y y f f
0
如 满足方程组前三个方程，故公式此为二阶公式。
0 1 1 1
0
1 1 1 1
5 ( 5 ) 6
1
1
0,1,,
3
4
3
( 4 )
3
1
( )
90
n n n n n
nn
h
y y f f f
R h y O h
又 如,解 上 面 方 程 组 得
,相 应 的 线 性 二 步 四 阶 公 式 （ Simpson 公 式 )
为其 截 断 误 差 为由 此 可 知,线 性 二 步 公 式 至 多 是 四 阶 公 式 。
1
0
1
01
23
()
1
( ) ( ) 1 ( 1,2,)
nn
n
r
i
i
rr
kk
ii
ii
r
x Ta y lo r y x
x Ta y lo r
i k i k p
一 般 地,线 性 多 步 公 式 中 有 个 待 定 参 数,
如 令 其 右 端 在 处 的 展 开 式 与 在处 的 展 开 式 的 前 p+1 项 系 数 对 应 相 等,
可 得 方 程 组
1
1
1
1
( 1 ) 2
1
[ 1 ( )
( 1 ) !
( 1 ) ( ) ] ( )
p r
p
ni
i
r
p p p
in
i
p
h
Ri
p
p i y O h
其 解 所 对 应 的 公 式 具 有 阶 精 度,局 部 截 断 误差 为显 然,线 性 多 步 公 式 至 多 可 达 到 2r+2 阶 精 度 。
二、常用的线性多步公式
1 2 3 1
0
1
01
0 0 1 2 3
( A da m s)
r =3 0,
1
( ) ( ) 1
( 1,2,3 4)
55 59 37 9
=1,,,
24 24 24 24
r
i
i
rr
kk
ii
ii
i k i
k
（ 一 ） 阿 达 姆 斯 公 式取,并 令 由 方 程 组
，
可 解 得
，
1 1 2 3
1
5 33
5 4 ( 5 ) 6
1
11
5 ( 5 ) 6
( 5 5 5 9 3 7 9 )
24
= 0 A d a m s
[ 1 ( ) 5 ( ) ] ( )
5!
251
()
720
n n n n n n
n i i n
ii
n
h
y y f f f f
h
R i i y O h
h y O h
－
相 应 的 线 性 多 步 公 式 为因,此 式 称 为 显 式 公 式,是 四 阶 公 式,
局 部 截 断 误 差 为
1 2 3 3
0 1 0 1 2
1 1 1 2
5 ( 5 ) 6
1
0,
9 19 5 1
= 1,,,
24 24 24 24
( 9 19 5 )
24
A da m s
19
()
720
n n n n n n
nn
h
y y f f f f
R h y O h
如果令 由方程组可解得
，
相应的线性多步公式为称其为四阶 隐式公式，其局部截断误差为利用数值积分方法求线性多步公式
11
1
1 1 1
( ) ( ) (,( ) ) ( )
,,,,,,
( ) ( ) ( ),
1
nn
nn
xx
nn
xx
n n n r n n n r
r
y x y x f x y x d x F x d x
x x x x x x
F x r x F x
r
基 本 思 想 是 首 先 将 初 值 问 题 化 成 等 价 的 积 分形 式用 过 节 点 或 的的 次 插 值 多 项 式 代 替 求 积 分即 得 阶 的 线 性 多 步 公 式 。
1 2 3
3
3
0
1 2 3
3
0
3,,,,( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( )
( 0,1,2,3 )
n n n n
i n i
i
n n n n
i
n i n i n j
j
ji
r x x x x F x
L x l x F x
x x x x x x x x
lx
x x x x
i
例 如 时,过 节 点 的三 次 插 值 多 项 式 为其 中
11
1
1
1
3
13
0
1 2 3
3
23
1
3
13
2
3
3
( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )
( ) ( ) ( )
()
6
( ) ( ) ( )
()
2
( ) ( ) ( )
()
2
( ) (
()
nn
nn
n
n
n
n
n
n
xx
n n i n i
xx
i
x
n n n
n
x
x
n n n
n
x
x
n n n
n
x
n
n
y x y x L x d x l x d x F x
x x x x x x
F x d x
h
x x x x x x
F x d x
h
x x x x x x
F x d x
h
x x x
Fx
1
12
3
1 2 3
) ( )
6
[ 5 5 ( ) 5 9 ( ) 3 7 ( ) 9 ( ) ]
24
n
n
x
nn
x
n n n n
x x x
dx
h
h
F x F x F x F x
11
1 1 2 3
3
,( ),( ),(,)
( ) (,( ) ) (,1,2,3 ),
( 55 59 37 9 )
24
[,]
n n n n k k k
k k k
n n n n n n
nn
y y y x y x f x y
F x f x y x k n n n n
h
y y f f f f
Ad am s
x x Ad am s
对 上 式 用 代 替 用代 替则 得这 就 是 四 阶 显 式 公 式 。 由 于 积 分 区 间 在插 值 区 间 外 面,又 称 为 四 阶 外 插公 式 。
1
1
1
( 4 )
3
1
0
( 5 )
3
0
31
( 5 ) 3
5 ( 5 )
1
0
()
()
4!
()
( )
4!
,),
( ) 251
( ) ( )
4 ! 720
n
n
n
n
n
n
x
x
n n j
x
j
x
x
nj
x
j
nn
x
n n j
x
j
F
R x x dx
y
x x dx
xx
y
R x x dx h y
由 插 值 余 项 公 式 可 得 其 局 部 截 断 误 差 为由 积 分 中 值 定 理,存 在 （ 使 得
1 1 2
2
3
1
1 1 2
3
1
,,,( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( )
( 1,0,1,2)
n n n n
i n i
i
n n n n
i
n i n i n j
j
ji
x x x x F x
L x l x F x
x x x x x x x x
lx
x x x x
i
＋
同 样,如 果 过 节 点 的 三 次插 值 多 项 式 为其 中代 ()Fx替 求 积 分,
1 1 1 2
5 ( 5 )
1 2 1
21
( 9 19 5 )
24
19
()
720
[,]
n n n n n n
n n n n
nn
Ad am s
h
y y f f f f
R h y x x
x x Ad am s
Ad am s
即 得 四 阶 隐 式 公 式其 局 部 截 断 误 差 为由 于 积 分 区 间 在 插 值 区 间 内,故隐 式 公 式 又 称 为 内 插 公 式
