§ 3,非线性方程组 的迭代法常见的两种方法：
Newton迭代法极小化方法


22
1 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1
,5 0,
,1 3 1 0.
f x x x x
f x x x x x


例,设 非 线 性 方 程 组









11
1 1 1 2
12
*
1
1
*
*
,
,,,0
0.
,,,0
,0
nn
n
n n n
n
n
xf
xf
f f x x x
f f x x x
f
x
x
f




















x
x F x
x
x
Fx
x
x
x F x
x
记则 非 线 性 方 程 组求 其 解,即 确 定 一 个 向 量使 得 ＝



2
1
n
T
i
i?


Φ x
Φ x F x F x F x
Φ x
由 非 线 性 方 程 组 构 造 一 个 辅 助 函 数,如
＝
用 下 降 算 法 求 的 极 小 值 点,所 得 极 小 值 点即 为 非 线 性 方 程 组 得 近 似 解 。
基本思想,用线性方程组近似非线性方程组，由线性方程组得解向量序列，逐步逼近非线性方程组得解向量。


1
1
,0,1,
k k k k
k
k



x x D F x F x
D F x
x
＋
Newton 迭 代 公 式 为
（ 若 Jacobi 矩 阵 非 奇 异 ）
Newton 迭 代 法 具 有 二 阶 收 敛 速 度,但 对 初 始值 得 要 求 很 高,即 充 分 靠 近 解 。

1 1 1
12
2 2 2
12
12
n
n
n n n
n
f f f
x x x
f f f
x x x
f f f
x x x















其 中
D F x




22
1 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1
0 0 0
12
,5 0,
,1 3 1 0.
,1,1,
T
T
f x x x x
f x x x x x
Ne wt on
xx


x
例,设 非 线 性 方 程 组用 迭 代 法 求 方 程 组 的 近 似 解,取
















1
1
0 0 0
12
00
0 12
00
21
1
0
,0,1,
3
3,2,.
2
22 22
,
22
31
111
,
114
k k k k
k
ff
xx
xx




















x x D F x F x
x x F x
D F x
D F x
＋
Newton 迭 代 公 式 为




1
1 0 0 0
5
1 1 1 31
4
,
1 1 1 2 94
4










x x D F x F x
















1 1 1
12
11
1 12
11
21
1
1
1
2 1 1 1
13
13 5 8
,,,
58 16
16
22 5 / 2 9 / 2
,
3 / 4 9 / 4
31
1 / 16 1 / 8
4,
1 / 48 5 / 72
1
,
73 / 36
ff
xx
xx

























x x F x
DF x
DF x
x x DF x F x


11
1 1 2 2
m a x,
k k k k
x x x x?


迭 代 终 止 条 件,
（ 为 预 先 给 定 的 容 许 误 差 ）,
简化 Newton迭代法






1
10
0
,0,1,
k k k
k



x x D F x F x
D F x
＋
迭 代 公 式,
( 若 Jacobi 矩 阵 非 奇 异 ）
简 化 Newton 迭 代 法 运 算 量 减 少 很 多,但 收 敛速 度 只 是 线 性 的 。