§ 4 Newton插值公式
差分及其性质
差商及其性质
Newton插值公式及误差估计
拉格朗日插值与牛顿插值的比较
等距节点的 Newton向前插值公式
等距节点的 Newton向后插值公式
1.差分及其性质插值节点为等距节点：
如右图所示
h称为步长，函数 在节点处的函数值为
0 01,,,,kx x k h k n
0x 1x nx1x 1?nx
h h h
y f x?
,kkf f x?
1.1 差分的概念一阶向前差分一阶向后差分一阶中心差分
n 阶向前差分
1k k kf f f
1k k kf f f
22k k kf f x h f x h
11
1
n n n
k k kf f f
如同理可以定义 。 Δ称为向前差分算子,▽ 表示向后差分算子,表示中心差分算子，如果用函数表上的值，一阶中心差分应写成
,nnkkff
1 1 1 1
22
,k k k kkkf f f f f f
2
1 2 1 1( ) ( )k k k k k k kf f f f f f f
除差分算子外，常用的算子符号还有：
不变算子 I,;移位算子 E：
由上面各种算子的定义可得算子间的关系：
由可得
kkIf f? 1kkE f f
1 ()k k k k k kf f f E f I f E I f
.EI
1.2差分的性质 （步长均为 h）
性质 1,各阶差分均可用函数值表示，
如
00
( ) ( 1 ) ( 1 )
nn
n n j n j j
k k k n k j
jj
nnf E I f E f f
jj
1
00
( ) ( 1 ) ( 1 )
nn
n n n j j n n j
k k k k j n
jj
nnf I E f E f f
jj
2
1 2 1 1
21
( ) ( )
( 2 )
k k k k k k k
k k k
f f f f f f f
f f f
性质 2,可用各阶差分表示函数值。
性质 3,设 是 n 次多项式，
则有
0
()
n
n n j
j
nf x n h E f x I f x f x
j?
01 nnnP x a a x a x
nPx
0
,
!,
,
kn
nn
n k k n
P x a h n k n
kn
次 多 项 式性质 4,各种差分之间可以互化。
如
2,差商定义及其性质
mmk k mff
2 2 24 4 3 4 3 2 3 2 2 4 22f f f f f f f f f f
2.1 差商的定义对于具有 n+1个插值点的情况，可把插值多项式 表示为其中 为待定系数，可由插值条件确定。
0 1 0 2 0 1
01
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2,1
n
nn
P x a a x x a x x x x
a x x x x?
()nPx
01,,,na a a
( ) ( 0,1,,)n j jP x f j n
由得
0 0 0
1 0 1 1 0
2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2
()
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n
n
n
P x a f
P x a a x x f
P x a a x x a x x x x f
00af?,
10
1
10
ffa
xx
,
2 0 1 0
2 0 1 0
2
21
f f f f
x x x x
a
xx
，
依次可得到 。为写出系数的一般表达式，现引入差商（均差）定义。
定义,称为函数 关于节点 的一阶差商，记为 称为函数 关于节点 的二阶差商。
ka01,,,na a a
0
0
0
( ) ( )[,] k
k
k
f x f xf x x
xx
()fx
0,kxx
0[,].kf x x
()fx
01,,kx x x
0 0 1
01
1
[,] [,][,,] k
k
k
f x x f x xf x x x
xx
递归地用 k -1阶差商来定义 k 阶差商，称为 关于 k+1个节点 的 k 阶差商。
对于重节点，定义
0 2 0 1 1
01
1
[,,,] [,,,][,,,] k k k
k
kk
f x x x f x x xf x x x
xx
()fx
01,,kx x x
0 0 0
1
0 1 0 1
[,],,,,!,
,,,,,,,
n
n
mm
f x x f x f x x x f x n
f x x x x x f x x x x
2.2 差商（均差）的性质性质 1 k 阶差商可以表示成 k +1个函数值的线性组合,即可用归纳法证明。
例,
01
0 0 1 1
()
[,,,]
( ) ( ) ( ) ( )
k
j
k
j j j j j j j n
fx
f x x x
x x x x x x x x
0 1 0 1
01
0 1 0 1 1 0
( ) ( ) ( ) ()[,] f x f x f x fxf x x
x x x x x x
01( ),( ),,( )kf x f x f x
性质 2 差商与节点的排列顺序无关 (差商的对称性 )，即性质 3 若 是 的 n 次多项式,则一阶差商是 的 次多项式,二阶差商是 的次 多项式 ;一般地,函数 的 阶差商是 的 次多项式,而当 时,阶差商为零。
0 1 1 0 2 1 2 0[,,,] [,,,,] [,,,,]k k kf x x x f x x x x f x x x x
()fx
k
0 1 1[,,,]kf x x x?
2n?
1n?
n k k n
kn? k
x
x x
()fx
x
证,若 是 的 n 次多项式，则也是 n次多项式，且有,则 可分解为 其中 为 n-1
次多项式，故有为 n-1次多项式。
( ) ( ) ( )iP x f x f x
x()fx
( ) 0iPx?
1( ) ( ) ( ),inP x x x P x
()Px
1 ()nPx?
1
1
( ) ( ) ( ) ( )[,] ( )i i n
in
ii
f x f x x x P xf x x P x
x x x x
性质 4 若,则性质 5 在等距插值的情况下,由定义可得出差分和差商有如下关系：
利用差商的定义,可以用递推法来计算差商。
f x g x h x?
0 1 0 1 1
0
[,,,] [,,,] [,,,]
k
k j j j k
j
f x x x g x x x h x x x?
1
1[,,,] ( 1,2,,)
!
m
k k k m kmf x x x f m nmh
差商表如下：
一阶差商 二阶差商 三阶差商
0 1 2 3,,,f x x x x
ix ()ifx
3()fx
0()fx
2()fx
1()fx
0x
3x
2x
1x
1 2 3,,f x x x
0 1 2,,f x x x
23,f x x
12,f x x
01,f x x
如要再增加一个节点,计算四阶差商时,只须表中再要增加一行即可。
3 牛顿插值公式根据差商定义，把 看成 上的一点，
可得
x,ab
0 0 0
0 0 1 0 1 1
( ) ( ) [,] ( ),
[,] [,] [,,] ( )
f x f x f x x x x
f x x f x x f x x x x x
,
0 1 0 1 2 0 1 2 2[,,] [,,] [,,,] ( ) f x x x f x x x f x x x x x x,
只要把后一式代入前一式，得,
0 1 0 1 0[,,,] [,,,] [,,,] ( )n n n nf x x x f x x x f x x x x x
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
0 1 0 1
( ) ( ) [,] ( ) [,,] ( ) ( )
[,,,] ( ) ( ) ( )
[,,,,] ( ) ( ) ( )
nn
nn
f x f x f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x
f x x x x x x x x x x
最后一项中,差商部分含有,为余项部分,
记作而前 n+1项中,差商部分都不含有,因而前
n+1项是关于的 n次多项式,记作
x
0 1 0 1( ) [,,,,] ( ) ( ) ( )n n nR x f x x x x x x x x x x
x
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
( ) ( ) [,] ( ) [,,] ( ) ( )
[,,,] ( ) ( ) ( )
n
nn
N x f x f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x?
于是,上式记为这就是牛顿插值公式。
由牛顿插值公式与（ 2.1）式比较知：
易证牛顿插值公式插值节点 。
( ) ( ) ( )nnf x N x R x
01[,,,] ( 0,1,,),kka f x x x k n
01,,,kx x x
例 2:已知求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
解,
1 2 3 4
0 -5 -6 3
x
y
()ifxix 一阶差商 二阶差商 三阶差商
1
2
3
4
0
-5
-6
3
-5
-1
9
2
5 1
由上述差商表对角线上取得的值则牛顿三次插值多项式为
0 0 1
0 1 2 0 1 2 3
0,[,] 5,
[,,] 2,[,,,] 1,
f x f x x
f x x x f x x x x
3
0 5 1 2 3 2 1 2
1 2 3
4 3.
nN x x x x x x
x x x
xx
4.拉格朗日插值与牛顿插值的比较
(1) 与 均是 n次多项式,且均满足插值条件,
由插值多项式的唯一性,,因而,两个公式的余项是相等的,即
()nLx ()nNx
( ) ( ) ( ),0,1,,n k n k kL x N x f x k n
( ) ( )nnL x N x?
( 1 )
01
()[,,,] ( ) ( )
( 1 ) !
n
n n n
ff x x x x x x
n
则可知 n 阶差商与导数的关系如下：
（ 2）当插值多项式从 n-1 次增加到 n 次时,
拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式 ;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个 n 阶差商,然后加上一项即可。
（ 3）牛顿型插值余项公式对是由离散点给出或导数不存在时均适用。
()
01
()[,,,],[,]
!
n
n
ff x x x a b
n
5 Newton 向前插值公式将牛顿差商（均差）插值公式中各阶差商
（均差）用相应差分代替，就可得到各种形式的等距结点插值公式。
如果节点为,要计算附近点 的函数的值,可令于是
0 ( 0,1,,)kx x k h k n
0x xfx
0 01x x t h t
1
1
0
( ) ( ) ( 1 ) ( )
k
k
kj
j
x x x t t t k h
把其代入牛顿插值公式，再利用差分与差商之间的关系，得牛顿向前插值公式其余项为：
2
0 0 0 0
0
( 1 )
( ) ( )
2!
( 1 ) ( 1 )
!
nn
n
tt
N x N x t h f t f f
t t t n
f
n
1 ( 1 )
0
( 1 ) ( )( ) ( ),(,)
( 1 ) !
nn
nn
t t t nR x h f x x
n
6 Newton 向后插值公式如果要计算 附近点 的函数 的值，插值点应按 的次序排列，可令
，同理可得牛顿向后插值公式,10nx x t h t
nx xfx
10,,,nnx x x?
2( 1 )( ) ( )
2!
( 1 ) ( 1 )
!
n n n n n n
n
n
tt
N x N x t h f t f f
t t t n
f
n
其余项为
1 ( 1 )
0
( ) ( ) ( )
( 1 ) ( )
( ),(,)
( 1 ) !
n n n
nn
n
R x f x N x th
t t t n
h f x x
n
向前、向后差分表一阶差分二阶差分三阶 n 阶差分 差分ix ()ifx
2x
0x
1x
3x
nx
0f
3f
1f
2f
nf
1nnff
0f?
1f?
2f?
2 0f?
2 1f?
222nnff
3 0f?
333nnff
0nnnff
例 已知函数 的数值表：
试作出 的三次 Newton向前向后插值公式，并计算,的近似值。
解：由 令
0 1 2 3
1 2 17 64
x
y
y f x?
fx
0.5f2.5f
0 1 1 1 2 2 20,5 0 0,5 ; 2,5 3 0,5nx t h t t x t h t t
0 0,3,1,nx x h
构造差分表如下：
有上表，得
0
1
2
3
1
2
17
64
ix if
if? 2 if? 3 if?
1
15
47
14
32
18
2 3 3 20 0 0 3 3 31,1 4,1 8 ; 4 7,3 2,f f f f f f
牛顿三次向前、向后插值公式分别为得
30
1 4 ( 1 ) 1 8 ( 1 ) ( 2 )( ) 1
2 ! 3 !
t t t t tN x t
3
3 2 ( 1 ) 1 8 ( 1 ) ( 2 )( ) 6 4 4 7
2 ! 3 !
t t t t tN x t
1 4 0,5 ( 0,5 1 ) 1 8 0,5 ( 0,5 1 ) ( 0,5 2 )0,5 1 0,5 0,8 7 52 ! 3 !f
3 2 0,5 ( 0,5 1 )
( 2,5 ) 6 4 4 7 0,5
2!
1 8 0,5 ( 0,5 1 ) ( 0,5 2 )
3 5,3 7 5
3!
f
差分及其性质
差商及其性质
Newton插值公式及误差估计
拉格朗日插值与牛顿插值的比较
等距节点的 Newton向前插值公式
等距节点的 Newton向后插值公式
1.差分及其性质插值节点为等距节点：
如右图所示
h称为步长，函数 在节点处的函数值为
0 01,,,,kx x k h k n
0x 1x nx1x 1?nx
h h h
y f x?
,kkf f x?
1.1 差分的概念一阶向前差分一阶向后差分一阶中心差分
n 阶向前差分
1k k kf f f
1k k kf f f
22k k kf f x h f x h
11
1
n n n
k k kf f f
如同理可以定义 。 Δ称为向前差分算子,▽ 表示向后差分算子,表示中心差分算子，如果用函数表上的值，一阶中心差分应写成
,nnkkff
1 1 1 1
22
,k k k kkkf f f f f f
2
1 2 1 1( ) ( )k k k k k k kf f f f f f f
除差分算子外，常用的算子符号还有：
不变算子 I,;移位算子 E：
由上面各种算子的定义可得算子间的关系：
由可得
kkIf f? 1kkE f f
1 ()k k k k k kf f f E f I f E I f
.EI
1.2差分的性质 （步长均为 h）
性质 1,各阶差分均可用函数值表示，
如
00
( ) ( 1 ) ( 1 )
nn
n n j n j j
k k k n k j
jj
nnf E I f E f f
jj
1
00
( ) ( 1 ) ( 1 )
nn
n n n j j n n j
k k k k j n
jj
nnf I E f E f f
jj
2
1 2 1 1
21
( ) ( )
( 2 )
k k k k k k k
k k k
f f f f f f f
f f f
性质 2,可用各阶差分表示函数值。
性质 3,设 是 n 次多项式，
则有
0
()
n
n n j
j
nf x n h E f x I f x f x
j?
01 nnnP x a a x a x
nPx
0
,
!,
,
kn
nn
n k k n
P x a h n k n
kn
次 多 项 式性质 4,各种差分之间可以互化。
如
2,差商定义及其性质
mmk k mff
2 2 24 4 3 4 3 2 3 2 2 4 22f f f f f f f f f f
2.1 差商的定义对于具有 n+1个插值点的情况，可把插值多项式 表示为其中 为待定系数，可由插值条件确定。
0 1 0 2 0 1
01
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2,1
n
nn
P x a a x x a x x x x
a x x x x?
()nPx
01,,,na a a
( ) ( 0,1,,)n j jP x f j n
由得
0 0 0
1 0 1 1 0
2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2
()
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n
n
n
P x a f
P x a a x x f
P x a a x x a x x x x f
00af?,
10
1
10
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xx
,
2 0 1 0
2 0 1 0
2
21
f f f f
x x x x
a
xx
，
依次可得到 。为写出系数的一般表达式，现引入差商（均差）定义。
定义,称为函数 关于节点 的一阶差商，记为 称为函数 关于节点 的二阶差商。
ka01,,,na a a
0
0
0
( ) ( )[,] k
k
k
f x f xf x x
xx
()fx
0,kxx
0[,].kf x x
()fx
01,,kx x x
0 0 1
01
1
[,] [,][,,] k
k
k
f x x f x xf x x x
xx
递归地用 k -1阶差商来定义 k 阶差商，称为 关于 k+1个节点 的 k 阶差商。
对于重节点，定义
0 2 0 1 1
01
1
[,,,] [,,,][,,,] k k k
k
kk
f x x x f x x xf x x x
xx
()fx
01,,kx x x
0 0 0
1
0 1 0 1
[,],,,,!,
,,,,,,,
n
n
mm
f x x f x f x x x f x n
f x x x x x f x x x x
2.2 差商（均差）的性质性质 1 k 阶差商可以表示成 k +1个函数值的线性组合,即可用归纳法证明。
例,
01
0 0 1 1
()
[,,,]
( ) ( ) ( ) ( )
k
j
k
j j j j j j j n
fx
f x x x
x x x x x x x x
0 1 0 1
01
0 1 0 1 1 0
( ) ( ) ( ) ()[,] f x f x f x fxf x x
x x x x x x
01( ),( ),,( )kf x f x f x
性质 2 差商与节点的排列顺序无关 (差商的对称性 )，即性质 3 若 是 的 n 次多项式,则一阶差商是 的 次多项式,二阶差商是 的次 多项式 ;一般地,函数 的 阶差商是 的 次多项式,而当 时,阶差商为零。
0 1 1 0 2 1 2 0[,,,] [,,,,] [,,,,]k k kf x x x f x x x x f x x x x
()fx
k
0 1 1[,,,]kf x x x?
2n?
1n?
n k k n
kn? k
x
x x
()fx
x
证,若 是 的 n 次多项式，则也是 n次多项式，且有,则 可分解为 其中 为 n-1
次多项式，故有为 n-1次多项式。
( ) ( ) ( )iP x f x f x
x()fx
( ) 0iPx?
1( ) ( ) ( ),inP x x x P x
()Px
1 ()nPx?
1
1
( ) ( ) ( ) ( )[,] ( )i i n
in
ii
f x f x x x P xf x x P x
x x x x
性质 4 若,则性质 5 在等距插值的情况下,由定义可得出差分和差商有如下关系：
利用差商的定义,可以用递推法来计算差商。
f x g x h x?
0 1 0 1 1
0
[,,,] [,,,] [,,,]
k
k j j j k
j
f x x x g x x x h x x x?
1
1[,,,] ( 1,2,,)
!
m
k k k m kmf x x x f m nmh
差商表如下：
一阶差商 二阶差商 三阶差商
0 1 2 3,,,f x x x x
ix ()ifx
3()fx
0()fx
2()fx
1()fx
0x
3x
2x
1x
1 2 3,,f x x x
0 1 2,,f x x x
23,f x x
12,f x x
01,f x x
如要再增加一个节点,计算四阶差商时,只须表中再要增加一行即可。
3 牛顿插值公式根据差商定义，把 看成 上的一点，
可得
x,ab
0 0 0
0 0 1 0 1 1
( ) ( ) [,] ( ),
[,] [,] [,,] ( )
f x f x f x x x x
f x x f x x f x x x x x
,
0 1 0 1 2 0 1 2 2[,,] [,,] [,,,] ( ) f x x x f x x x f x x x x x x,
只要把后一式代入前一式，得,
0 1 0 1 0[,,,] [,,,] [,,,] ( )n n n nf x x x f x x x f x x x x x
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
0 1 0 1
( ) ( ) [,] ( ) [,,] ( ) ( )
[,,,] ( ) ( ) ( )
[,,,,] ( ) ( ) ( )
nn
nn
f x f x f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x
f x x x x x x x x x x
最后一项中,差商部分含有,为余项部分,
记作而前 n+1项中,差商部分都不含有,因而前
n+1项是关于的 n次多项式,记作
x
0 1 0 1( ) [,,,,] ( ) ( ) ( )n n nR x f x x x x x x x x x x
x
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
( ) ( ) [,] ( ) [,,] ( ) ( )
[,,,] ( ) ( ) ( )
n
nn
N x f x f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x?
于是,上式记为这就是牛顿插值公式。
由牛顿插值公式与（ 2.1）式比较知：
易证牛顿插值公式插值节点 。
( ) ( ) ( )nnf x N x R x
01[,,,] ( 0,1,,),kka f x x x k n
01,,,kx x x
例 2:已知求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
解,
1 2 3 4
0 -5 -6 3
x
y
()ifxix 一阶差商 二阶差商 三阶差商
1
2
3
4
0
-5
-6
3
-5
-1
9
2
5 1
由上述差商表对角线上取得的值则牛顿三次插值多项式为
0 0 1
0 1 2 0 1 2 3
0,[,] 5,
[,,] 2,[,,,] 1,
f x f x x
f x x x f x x x x
3
0 5 1 2 3 2 1 2
1 2 3
4 3.
nN x x x x x x
x x x
xx
4.拉格朗日插值与牛顿插值的比较
(1) 与 均是 n次多项式,且均满足插值条件,
由插值多项式的唯一性,,因而,两个公式的余项是相等的,即
()nLx ()nNx
( ) ( ) ( ),0,1,,n k n k kL x N x f x k n
( ) ( )nnL x N x?
( 1 )
01
()[,,,] ( ) ( )
( 1 ) !
n
n n n
ff x x x x x x
n
则可知 n 阶差商与导数的关系如下：
（ 2）当插值多项式从 n-1 次增加到 n 次时,
拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式 ;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个 n 阶差商,然后加上一项即可。
（ 3）牛顿型插值余项公式对是由离散点给出或导数不存在时均适用。
()
01
()[,,,],[,]
!
n
n
ff x x x a b
n
5 Newton 向前插值公式将牛顿差商（均差）插值公式中各阶差商
（均差）用相应差分代替，就可得到各种形式的等距结点插值公式。
如果节点为,要计算附近点 的函数的值,可令于是
0 ( 0,1,,)kx x k h k n
0x xfx
0 01x x t h t
1
1
0
( ) ( ) ( 1 ) ( )
k
k
kj
j
x x x t t t k h
把其代入牛顿插值公式，再利用差分与差商之间的关系，得牛顿向前插值公式其余项为：
2
0 0 0 0
0
( 1 )
( ) ( )
2!
( 1 ) ( 1 )
!
nn
n
tt
N x N x t h f t f f
t t t n
f
n
1 ( 1 )
0
( 1 ) ( )( ) ( ),(,)
( 1 ) !
nn
nn
t t t nR x h f x x
n
6 Newton 向后插值公式如果要计算 附近点 的函数 的值，插值点应按 的次序排列，可令
，同理可得牛顿向后插值公式,10nx x t h t
nx xfx
10,,,nnx x x?
2( 1 )( ) ( )
2!
( 1 ) ( 1 )
!
n n n n n n
n
n
tt
N x N x t h f t f f
t t t n
f
n
其余项为
1 ( 1 )
0
( ) ( ) ( )
( 1 ) ( )
( ),(,)
( 1 ) !
n n n
nn
n
R x f x N x th
t t t n
h f x x
n
向前、向后差分表一阶差分二阶差分三阶 n 阶差分 差分ix ()ifx
2x
0x
1x
3x
nx
0f
3f
1f
2f
nf
1nnff
0f?
1f?
2f?
2 0f?
2 1f?
222nnff
3 0f?
333nnff
0nnnff
例 已知函数 的数值表：
试作出 的三次 Newton向前向后插值公式，并计算,的近似值。
解：由 令
0 1 2 3
1 2 17 64
x
y
y f x?
fx
0.5f2.5f
0 1 1 1 2 2 20,5 0 0,5 ; 2,5 3 0,5nx t h t t x t h t t
0 0,3,1,nx x h
构造差分表如下：
有上表，得
0
1
2
3
1
2
17
64
ix if
if? 2 if? 3 if?
1
15
47
14
32
18
2 3 3 20 0 0 3 3 31,1 4,1 8 ; 4 7,3 2,f f f f f f
牛顿三次向前、向后插值公式分别为得
30
1 4 ( 1 ) 1 8 ( 1 ) ( 2 )( ) 1
2 ! 3 !
t t t t tN x t
3
3 2 ( 1 ) 1 8 ( 1 ) ( 2 )( ) 6 4 4 7
2 ! 3 !
t t t t tN x t
1 4 0,5 ( 0,5 1 ) 1 8 0,5 ( 0,5 1 ) ( 0,5 2 )0,5 1 0,5 0,8 7 52 ! 3 !f
3 2 0,5 ( 0,5 1 )
( 2,5 ) 6 4 4 7 0,5
2!
1 8 0,5 ( 0,5 1 ) ( 0,5 2 )
3 5,3 7 5
3!
f
