§ 7 有理函数插值
研究有理插值问题的理论背景
有理函数插值的基本概念有理插值问题的提出研究的问题有理插值的存在性
连分式插值
连分式插值在图像处理中的应用
1.研究有理插值问题的理论背景前面讨论了用多项式逼近函数，它是一种计算简便的逼近工具，但当函数 在某点附近无界，或者当 而 趋于某一定值时，采用多项式插值是不恰当的，
这是因为多项式不能反映在某点 附近无界的函数性态，而当 时，多项式的值总是趋于无穷，但有理分式函数，如却能刻划这些函数性态。
0A x B x x
x
fx
0xfx
0x
x
2.有理函数插值
2.1 问题的提出设给定 在 m+n+1个互异节点上的值,所谓有理函数插值问题，即寻求有理分式函数使之满足条件
fx ix
ifx0,1,,i m n
0,
0
m k
km k
mn n k
n kk
axPx
Rx
Qx bx

,,0,1,,.m n i iR x f x i m n
2.1
2.2 研究的问题表面上有 m+n+2个待定参数,,
但实际上只有 m+n+1个待定参数，故从插值条件（ 2.1）可得关于系数的 m+n+1个方程组。下面必须研究三个问题：
1) 解的存在及唯一性；
2) 如何构造有理插值函数；
3) 误差估计问题。
nmRx ia ib
2.3 有理分式函数的基本概念设有两个分式函数若存在一个非零常数 a,使得则称 与 恒等，记为,
若 则称它们是等价的,
记为 （以后均视为同一函数）,
11
1
,PxRx Qx22
2
,PxRx Qx?
1 2 1 2,,P x a P x Q x a Q x
1 2 2 1,P x Q x P x Q x?
1Rx2Rx12R x R x?
12R x R x
有理插值问题的不一定总是存在的。
例 1,给定型值点,求形如的有理插值。
解 由插值条件
，易求得取 则得 于是
1,1,1,3,2,3?
011,1
01
a a xRx
b b x

0 1 0 1 0i i ia a x f x b b x
0,1,2i? 0 1 1 1 0 13,3,,a b a b b b
1 1,b? 0 1 0 1
3,1,a a b b
显然当 时，有,而与 是值为 3 的同一函数的两种不同表现形式。在几何上当 时，
是一条平行于 x 轴的直线，它不可能通过型值点,故它不是（ 2.1）的解。因此，满足插值条件（ 2.1） 的 是不存在的。
1,1 331 xRx x
1,1 1,1 3R x R x1x
1,1Rx1,1Rx
1,1Rx
1x1,1Rx
1,1?
定理 1 插值问题（ 2.1）若有解，则其解必唯一。
证明,设有两个有理函数均满足插值条件 (2.1),即
,,,,m n m nP x P xR x R xQ x Q x



,0,1,,,
jj
jj
P x P x
j m n
Q x Q x

由此可推出表明次数不超过 m+n的多项式有 1+m+n个互异零点。由代数基本定理，
知由等价性定义知
,0,1,,,j j j jP x Q x P x Q x j m n
jP x Q x P x Q x?
0,jP x Q x P x Q x
,,.m n m nR x R x
2.4 有理插值的存在性定理 2 若（ 2.1）对应的齐次线性方程组有非平凡解存在，为使满足插值条件（ 2.1）
的最简有理分式 存在，必须且只须方程组（ 2.4）的任意非平凡解在约去一切公因子后得到的互质多项式 仍是方程组（ 2.4）的解。
0,0,1,,,2,4m j j n jP x f x Q x j m n
,mnR x P x Q x?
,P x Q x
,A x B x
3.连分式插值
3.1 连分式设 和 为两个复数列，称形如：
的分式为连分式（ Continued fraction）,记做：
nanb
1
0
2
1
3
2
3
a
b
a
b
a
b
b
或
，
称 为上式的第 n 次渐近连分式 (Asymptotic Continued Fractions),或第 n 项截断连分式 (Truncated Continued
Fractions)。
0
1
nn
n
b a bK?
12
0
12
n
n
aaab
b b b
0
1
n
ii
i
b a bK
12
0
12
n
n
a a ab
b b b
连分式是一种有效的逼近工具。例如,由可得
)11(22211 x
xxxx
令 第 n项截断连分式 为因此，可用下列连分式逼近函数,
)11(2222
11


x
xxxxx
1 x?
11x

1
2
n
n
i
r x xK
1 21 1 1 22xxx r x
取 时，得到 的一组近似值1x? 2
1
2 1 1,5
2
1 1 7
2 1 1,4
2 2 5



2
3
881 1 1
2 2 2 4 8
x x x x xx r x
x


2 341 1 1 2 2 4x x xx r x x
而 的 Maclaurin 展开式为
1 1 1 1 7
2 1 1,4 1 6 6
2 2 2 1 2
1 1 1 1 4 1
2 1 1,4 1 3 7 9
2 2 2 2 2 9
1 1 1 1 1 9 9
2 1 1,4 1 4 2 8 5 7
2 2 2 2 2 7 0






11x

0
12n k
n
k
s x x
k?



取,函数 的精确值为 0.4，
可以分别用 来逼近,得下表：
显然,收敛速度更快。因此，可得到结论：函数的连分式（非线性）展开与线性展开相比，有更好的逼近效果。
0.96x 11f x x
,nnr x s xfx
n 1 2 3 4 5
0.48
0.48
0.3648
0.3871
0.3869
0.4022
0.3869
0.3996
0.4092
0.4001
nsx
nrx
nrx
3.2 Thiele型连分式插值定义 3.2.1 称下述形式的连分式：
为 Thiele型连分式,
定义 3.2.2 设 是一实点集,函数 在 有定义,令
011
0
11
n
n
x x x xxxb
b b b


01,,,nx x x x a b R，
fx,ab
称为函数 在 处的 i阶逆差商。
[ ] ( ) 0 1ppx f x p n,,,,
[,]
[ ] [ ]
qp
pq
qp
xxxx
xx


1
01
0 2 0 2 1
[,,,] [,,,] [,,,]iii
i i i i
xxx x x
x x x x x x


01,,nx x x，fx
定理 设其中 为函数 在处的 k阶逆差商,且则有
01 1
0
0 1 0 1 2 0 1
( ) [ ]
[,] [,,] [,,,]
n
n
n
x x x xxxR x x
x x x x x x x x


＋ ＋ ＋
( ) ( ),0,1,,.n i iR x f x i n
01[,,,]kx x xfx 01,,nx x x，
01[,,,] 0,,0,1,,kx x x k n
证明：反复利用逆差商的定义知






0 1 1
0
0 1 0 1 2 0 1 2
02
0
0 1 0 2
0
0
0
[,] [,,] [,,]
,,,
,
.
i i i i
ni
i
i i i
ii
i
i
ii
x x x x x x
R x x
x x x x x x x x x
x x x x
x
x x x x x
xx
x
xx
x f x








＋ ＋ ＋
＋ ＋
证毕。
定义 3.2.3 如果连分式满足则称该连分式为函数 的 型
Thiele插值连分式。
01 10
11
n
n
n
x x x xxxR x b
b b b


( ) ( ),0,1,,,n i iR x f x i n
fx 1
22
nn

例 给定型值点求,使之满足条件解 构造逆差商表：
x -2 -1 0 1 2
y -2 -1 -1 0 1
2,2 ( ),0,1,,4,iiR x y i
2,2 ()iRx
得
x y 一阶 二阶 三阶 四阶
-2
- 2
0
1
2
-2
-1
-1
0
1
1
2
3/2
4/3
1
4
9
1/3
1/4 -12

2
2,2 2
2 1 1 1 3 3 1 02.
1 1 1 / 3 1 2 1 5 1 0
x x x x x xRx
xx