§ 3 逐步线性插值
抛物插值的逐步线性插值
Aitken插值
Neville算法
数值实例
小结
1.抛物插值的逐步线性插值给定如下三个数据点逐步线性插值（ Aitken插值）具体步骤如下：
Step1,将 分别对 两点作线性插值，得
0x 0x0x0x
0yy 1y 2y
1 1 2 2,,,x y x y00,xy
step2,对 两点作线性插值，得


01
0 1 0 1
0 1 1 0
02
0 2 0 2
0 2 2 0
xxxx
P x y y
x x x x
xxxx
P x y y
x x x x






1 0 1 2 0 2,,,x P x x P x
210 1 2 0 1 0 2
1 2 2 1
x x x xP x P x P x
x x x x

显然 插值节点 ；
插值节点 ； 插值节点
。
2,n 次 Aitken 插值设给定数据表
01Px
012Px
02Px
0 0 2 2,,,x y x y
00,,xy
0 0 1 1,,,x y x y
1 1 2 2,,,x y x y
x
y
0x
nx
1x
0y 1y
ny
构造 n次多项式，步骤如下：
step1,将 分别 对 作线性插值，得
step2,将 分别 对 作线性插值，得
00,xy 1,,,,iix y i n?
000
00
1,,,iii
ii
x x x xP x y y i n
x x x x


10 1 0 1 0
11
2,,,iii
ii
xx xxP x P P i n
x x x x


1 0 1,x P x0,iix P x
step 3,将 分别 对 作线性插值，得
……
step n,对 两点作线性插值，得
2 0 1 2,x P x01,iix P x
20 1 2 0 1 2 0 1
22
3,,,iii
ii
xx xxP x P P i n
x x x x


1 0 1 2 1,n nx P x0 1 2 2,n nnx P x?
1012 0 1 2 1 0 1 2 2
11
nn
n n n n
n n n n
x x x xP x P P
x x x x




可列表如下 (以四次 Aitken插值为例）,
四次插值三次插值二次插值一次插值
0y
1y
2y
3y
4y
y
0x
3x
x
1x
2x
4x
01P
02P
03P
04P
012P
013P
014P
0123P
0124P 01234P
3,Neville算法可列表如下 (以四次插值为例）,
一次插值二次插值三次插值四次插值
0x
1x
2x
3x
4x
x
0y
1y
2y
3y
4y
01P
12P
34P
23P
012P
123P
234P
1234P
0123P
01234P
y
构造 n次多项式，步骤如下：
step1,分别对 与 两两作线性插值，得
step2,分别对 与 两两作线性插值，得
1,,,,iix y i n11,iixy

1
11
11
1,,,iiiiii
i i i i
x x x xP x y y i n
x x x x




1 1,i iix P x1,i iix P x?

11
1 1 1 1
1 1 1 1
11,,,iii i i i i i i
i i i i
x x x xP x P P i n
x x x x





step3,分别对 与两两作线性插值，得
……
step n,对 两点 线性插值，
1 11,i i i ix P x2 12,i i i ixP

21
1 1 2 1 1 1 2
1 2 2 1
12,,,iii i i i i i i i i i
i i i i
x x x xP x P P i n
x x x x





0 0 1 1,nxP12,nnxP
00 1 2 1 20 1 2 1
00
n
nn n
nn
x x x xP x P P
x x x x?

易证得
4.数值实例例,已知列表函数
012 01,,,n i iP x y i n
y f x?
x 1 2 3 4
y 0 -5 -6 3
用求 f (2.5)的近似值。
解 (1)用 Aitken算法列表法求解
ix iy
0 0y?
1 5y
2 6y
3 3y?
0 1x?
1 2x?
2 3x?
3 4x?
01 75.P
0iP
02 45.P
03 15.P?
01iP
012 6P
013 5 2 5.P
012iP
0123 6 3 7 5.P
其中



01
02
03
50
2 5 5 2 5 2 7 5
21
60
2 5 6 2 5 3 4 5
31
30
2 5 3 2 5 4 1 5
41
.,,
.,,
.,,
P
P
P











012
013
4 5 7 5
2 5 4 5 2 5 3 6
32
1 5 7 5
2 5 1 5 2 5 4 5 2 5
42
..
.,,
..
.,,,
P
P








0123
0123
5 25 6
2 5 5 25 2 5 4 6 375
43
2 5 2 5 6 375
.
.,,,
,,,
P
fP



故
(2)用 Neville算法求解
ix iy
0 0y?
1 5y
2 6y
3 3y?
0 1x?
1 2x?
2 3x?
3 4x?
01 75.P
0iP
12 55.P
23 1 0 5.P
01iP
012 6P
123 6 7 5.P
012iP
0123 6 3 7 5.P
其中







01
12
23
50
2 5 5 2 5 2 7 5
21
65
2 5 6 2 5 3 5 5
32
36
2 5 3 2 5 4 1 0 5
43
.,,
.,,
.,,
P
P
P










012
123
5 5 2 5 1 7 5 2 5 3
2 5 6
31
1 0 5 2 5 2 5 5 2 5 4
2 5 6 7 5
42
.,,,
.
.,,,
..
P
P







0123
0123
6 7 5 2 5 1 6 2 5 4
2 5 6 3 7 5
41
2 5 2 5 6 3 7 5
.,,
..
,,,
P
fP



故
5.小结由上例可以看出，若需提高插值多项式的次数而增加新插值点时，只须增加一些线性插值项，且前面计算结果无需重算，
故 Aitken插值,Neville算法具有算法承袭性。另外，这两种算法对于求多项式在某点 x处得值较有效，但不适合求多项式本身。