第二章 插 值 法
§ 1 引言
§ 2 拉格朗日插值公式
§ 3 逐步线性插值
§ 4 牛顿 (Newton) 插值
§ 5 埃尔米特 (Hermite) 插值
§ 6 有理函数插值
§ 1 引 言发展历史应用插值问题的提出插值问题所需研究的问题等距节点内插公式 刘焯（隋 公元 544－ 610年 ）
不等距节点内插公式 张遂（唐 公元 683－ 727年）
等距节点一般插值公式 Newton & Gregory (17世纪）
非等距节点一般插值公式 J.L.Lagrange (18世纪）
发展历史应 用
对观测数据的处理
函数的近似表示
曲线曲面拟合
导出其它数值方法的依据（如数值积分、
数值微分、微分方程数值解等）
以近似计算函数值为例来说明散点上的函数值，即已知函数表例：设在实际问题中，某些变量之间的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示，
只能由实验、观测得到
y f x?
在一系列离
x
y
0x nx1x
0y
1y
ny
ijx x i j,
如何计算
fx
01ix x i n,,,,
？ 我们希望寻求一个简单且易于计算的函数
Px
来近似
fxf x P x?
，即,一般
Px
可选为多多项式、三角多项式、有理函数或样条函数等。
有些函数虽有表达式，但较复杂，计算函数值不经济，这时也希望用简单的函数来逼近。
插值问题的提出已知函数 在区间 上有
y f x()?
0 1 na x x x b
，求一个多
iiy f x i n( ),0,1,,
ab,
定义，且已知,
其中
y P x?
项式,使其满足
iiP x y(),,,i 0 1 n?
即要求该多项式的函数曲线要经过
()y f x?
上已知的这 n+1个点
0 0 1 1 n nx y x y x y,,,,,,,
同时在其 它点 上估计误差为
,x a b?
( ) ( ) ( )R x f x P x
Y
()px()fx
0x 1x 1nx? nx2x
0y 1y 2y 1ny? ny
X
研究问题若满足条件的 存在，又如何构造？
nPx
nPx
满足插值条件的多项式 是否存在，
唯一？
nPxfx
用 近似代替 的误差估计？
§ 2 拉格朗日插值
插值多项式的存在唯一性
拉格朗日插值多项式插值基函数插值基函数的构造
n次拉格朗日型插值多项式
截断误差
数值实例
拉格朗日插值多项式的优缺点插值多项式的存在唯一性
Theorem,存在唯一的 n 次多项式
（ 1.1)
满足条件
01() nnnP x a a x a x
01,,,,.n i iP x y i n
证明：由 (1.1)可得
(1.2)
（ 1.2）为一个你 n＋ 1未知量 的线性方程组，要证明插值多项式存在唯一，只要证明参数 存在且唯一，即只要证明其系数行列式不为零即可。
n
n
n
n
n
n n n n
a a x a x y
a a x a x y
a a x a x y
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
01
ia
ia
方程组（ 1.2）的系数行列式为此为范德蒙行列式。利用行列式性质可得系数行列式为
n
n
nn
n
n n n
x x x
x x x
V x x x
x x x
2
0 0 0
2
1 1 1
01
2
1
1
(,,,)
1
ni
n n i j
ij
V x x x x x
1
01
10
(,,,) ( )
由于 时,故所有因子,
于是即插值多项式存在唯一。
ij?
ijxx? ijxx 0
nnV x x x01(,,,) 0?
2
0
0
1!
1.2
1
2 1 1
2 0,9,7 1 0
n
i
i
nn
a
n
n
nn
n
如 果 线 性 方 程 组 （ ） 的 系 数 行 列 式 不 为 零,则 该方 程 组 有 唯 一 解 。 若 由 克 莱 姆 (Cramer) 法 则 求 解,
则 需 要 计 算 个 阶 行 列 式 并 作 次 除 法,而 每个 阶 行 列 式 计 算 需 作 次 乘 法,计 算 量 十 分 惊人 。 如 阶 线 性 方 程 组 需 次 乘 法 。 如 果 用 每 秒一 亿 次 乘 法 运 算 的 计 算 机 要 。 可 见 其 在 理 论 上 是 绝对 正 确,但 在 较 大 时,在 实 际 计 算 中 确 实 不
30 万 年可 行 的 。
由方程组（ 1.2）求 的系数,计算量大，
且难于得到 的简单表达式，下面通过找插值基函数的方法，可得到插值多项式 的简单表达式。
()nPx
ia
()nPx
()nPx
拉格朗日插值多项式
1.插值基函数定义：若 n次多项式 在 n+1
个节点 上满足条件则称这 n+1个 n次多项式 为节点上的 n次插值基函数。
01( ),( ),,( )nl x l x l x
01( ),( ),,( )nl x l x l x
0 1 nx x x
1 010,,,,,,
jk
kj
l x j k n
kj
2,基函数的构造由上述定义,知存在常数,使得由,可以定出,进而得到：
令
( ) 0,ikl x k i
0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i nl x A x x x x x x x x
iA
( ) 1iilx?
iA
0 1 1
0 1 1
( ) ( ) ( ) ( )()
( ) ( ) ( ) ( )
i i n
i
i i i i i i n
x x x x x x x xlx
x x x x x x x x
)())(()( 101 nn xxxxxxx
则于是 可改写成
1 0 1 1
' ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n i i i i i i i nx x x x x x x x x
()ilx
1
1
01'
()
( ),,,,
( ) ( )
n
i
i n i
x
l x i n
x x x
3,n次拉格朗日型插值多项式是 n+1个 n次插值基本多项式的线性组合，相应的组合系数是即是一个次数不超过 n的多项式,且满足()
nPx
()nPx
01( ),( ),,( )nl x l x l x
01,,,ny y y
0 0 1 1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n n n k k
k
P x y l x y l x y l x y l x
()n i iP x y0,1,,in?,。
拉格朗日插值多项式的截断误差若在 [a,b]上用多项式 来近似代替函数 f (x),其截断误差记作,即也称为插值多项式的余项，关于插值余项估计，有以下定理：
()nPx
()nRx
( ) ( ) ( )nnR x f x P x
()nRx
定理：设函数 y=f (x) 的 n 阶导数 y =f (n)(x)
在 [a,b]上连续,y=f (n+1)(x)在 (a,b)上存在，
插值节点为 a≤x0<x1<… <xn≤b,是 n次拉格朗日插值多项式，则对任意 x?[a,b]有：
其中
( 1 )1( ) ( ) ( )
( 1 ) !
n
nnR x f xn
(a,b),，
01( ) ( ) ( ) ( )nnx x x x x x x
()nPx
证明,由插值多项式的定义，显然有构造辅助函数有 。反复利用
Rolle定理，存在(a,b),使得 g(n+1)(?)=0,即
，结论成立。
( ) ( ) ( ) 0,0,1,,n i i n iR x f x P x i n
nn tg t f t P t f x P xx
0 0 0 1,,,,,ig x g x i n
1 1 0!?
n
n
nf f x P x
x
数值实例例．求过点 (2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。
解,用 4次插值多项式对 5个点插值
0 0 1 1 2 2
3 3 4 4
2 0 4 3 6 5
8 4 1 0 1
,,,,,,,,,
,,,,,,
x y x y x y
x y x y
0
( 4 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 1 0 ) 1( ) ( 4 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 1 0 )
( 2 4 ) ( 2 6 ) ( 2 8 ) ( 2 1 0 ) 3 8 4
x x x xl x x x x x
1
( 2 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 1 0 ) 1( ) ( 2 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 1 0 )
( 4 2 ) ( 4 6 ) ( 4 8 ) ( 4 1 0 ) 9 6
x x x xl x x x x x
2
( 2 ) ( 4 ) ( 8 ) ( 1 0 ) 1( ) ( 2 ) ( 4 ) ( 8 ) ( 1 0 )
(6 2 ) (6 4 ) (6 8 ) (6 1 0 ) 6 4
x x x xl x x x x x
3
( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 1 0 ) 1( ) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 1 0 )
( 8 2 ) ( 8 4 ) ( 8 6 ) ( 8 1 0 ) 9 6
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x x x xl x x x x x
4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x y l x y l x y l x y l x y l x
13
( 4 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 1 0 ) ( 2 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 1 0 )
3 8 4 9 6
54
( 2 ) ( 4 ) ( 8 ) ( 1 0 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 1 0 )
6 4 9 6
1
( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 8 )
384
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
于是有例,已知 sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,
sin0.36=0.352274,用 Lagrange插值计算
sin0.3367的值，并估计截断误差。
解,f (x)= sinx,取
1 2 0 2 1 02 0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 1 2 0
x x x x x x x x x x x x
P x y y y
x x x x x x x x x x x x
0 0 1 1
22
0 3 2 0 3 1 4 5 6 7 0 3 4 0 3 3 3 4 8 7
0 3 6 0 3 5 2 2 7 4
,.,.,,.,.
,.,.
x y x y
xy
于是有可以发现，结果有六位有效数字的 sin x表完全一致。
4
44
0 7 6 8 9 1 0
0 3 3 6 7 0 3 1 4 5 6 7
0 0 0 0 8
3 8 9 1 0 0 5 5 1 1 1 0
0 3 3 3 4 8 7 0 3 5 2 2 7 4
0 0 0 0 4 0 0 0 0 8
0 3 3 0 3 7 4
2
.
sin0,3 3 6 7 P,,
.
..
..
..
.
截断误差为其中故有
3
2 0 1 2 0 13,,!
f
R x x x x x x x x x x
3 2
0 1 0 3 1 4 5 6 7 0 8 2 8c o s c o s,,fx
01,,? xx?
22
6
0 3 3 6 7 0 3 3 6 7 0 3 3 6 7
0 8 2 8 0 0 1 6 7 0 0 3 3 0 0 2 3 3
0 1 7 8 1 0
,s in,,
1
<,,,,
6
,,
RP
Lagrange插值公式优缺点优点：结果清晰、紧凑，适用于作理论分析、应用；
当节点个数有所变动，整个插值公式发生变化，在实际应用时不方便。
§ 1 引言
§ 2 拉格朗日插值公式
§ 3 逐步线性插值
§ 4 牛顿 (Newton) 插值
§ 5 埃尔米特 (Hermite) 插值
§ 6 有理函数插值
§ 1 引 言发展历史应用插值问题的提出插值问题所需研究的问题等距节点内插公式 刘焯（隋 公元 544－ 610年 ）
不等距节点内插公式 张遂（唐 公元 683－ 727年）
等距节点一般插值公式 Newton & Gregory (17世纪）
非等距节点一般插值公式 J.L.Lagrange (18世纪）
发展历史应 用
对观测数据的处理
函数的近似表示
曲线曲面拟合
导出其它数值方法的依据（如数值积分、
数值微分、微分方程数值解等）
以近似计算函数值为例来说明散点上的函数值，即已知函数表例：设在实际问题中，某些变量之间的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示，
只能由实验、观测得到
y f x?
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x
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？ 我们希望寻求一个简单且易于计算的函数
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，即,一般
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可选为多多项式、三角多项式、有理函数或样条函数等。
有些函数虽有表达式，但较复杂，计算函数值不经济，这时也希望用简单的函数来逼近。
插值问题的提出已知函数 在区间 上有
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0 1 na x x x b
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定义，且已知,
其中
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项式,使其满足
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即要求该多项式的函数曲线要经过
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上已知的这 n+1个点
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同时在其 它点 上估计误差为
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研究问题若满足条件的 存在，又如何构造？
nPx
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满足插值条件的多项式 是否存在，
唯一？
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用 近似代替 的误差估计？
§ 2 拉格朗日插值
插值多项式的存在唯一性
拉格朗日插值多项式插值基函数插值基函数的构造
n次拉格朗日型插值多项式
截断误差
数值实例
拉格朗日插值多项式的优缺点插值多项式的存在唯一性
Theorem,存在唯一的 n 次多项式
（ 1.1)
满足条件
01() nnnP x a a x a x
01,,,,.n i iP x y i n
证明：由 (1.1)可得
(1.2)
（ 1.2）为一个你 n＋ 1未知量 的线性方程组，要证明插值多项式存在唯一，只要证明参数 存在且唯一，即只要证明其系数行列式不为零即可。
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于是即插值多项式存在唯一。
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如 果 线 性 方 程 组 （ ） 的 系 数 行 列 式 不 为 零,则 该方 程 组 有 唯 一 解 。 若 由 克 莱 姆 (Cramer) 法 则 求 解,
则 需 要 计 算 个 阶 行 列 式 并 作 次 除 法,而 每个 阶 行 列 式 计 算 需 作 次 乘 法,计 算 量 十 分 惊人 。 如 阶 线 性 方 程 组 需 次 乘 法 。 如 果 用 每 秒一 亿 次 乘 法 运 算 的 计 算 机 要 。 可 见 其 在 理 论 上 是 绝对 正 确,但 在 较 大 时,在 实 际 计 算 中 确 实 不
30 万 年可 行 的 。
由方程组（ 1.2）求 的系数,计算量大，
且难于得到 的简单表达式，下面通过找插值基函数的方法，可得到插值多项式 的简单表达式。
()nPx
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拉格朗日插值多项式
1.插值基函数定义：若 n次多项式 在 n+1
个节点 上满足条件则称这 n+1个 n次多项式 为节点上的 n次插值基函数。
01( ),( ),,( )nl x l x l x
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1 010,,,,,,
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2,基函数的构造由上述定义,知存在常数,使得由,可以定出,进而得到：
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拉格朗日插值多项式的截断误差若在 [a,b]上用多项式 来近似代替函数 f (x),其截断误差记作,即也称为插值多项式的余项，关于插值余项估计，有以下定理：
()nPx
()nRx
( ) ( ) ( )nnR x f x P x
()nRx
定理：设函数 y=f (x) 的 n 阶导数 y =f (n)(x)
在 [a,b]上连续,y=f (n+1)(x)在 (a,b)上存在，
插值节点为 a≤x0<x1<… <xn≤b,是 n次拉格朗日插值多项式，则对任意 x?[a,b]有：
其中
( 1 )1( ) ( ) ( )
( 1 ) !
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(a,b),，
01( ) ( ) ( ) ( )nnx x x x x x x
()nPx
证明,由插值多项式的定义，显然有构造辅助函数有 。反复利用
Rolle定理，存在(a,b),使得 g(n+1)(?)=0,即
，结论成立。
( ) ( ) ( ) 0,0,1,,n i i n iR x f x P x i n
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1 1 0!?
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数值实例例．求过点 (2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。
解,用 4次插值多项式对 5个点插值
0 0 1 1 2 2
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于是有例,已知 sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,
sin0.36=0.352274,用 Lagrange插值计算
sin0.3367的值，并估计截断误差。
解,f (x)= sinx,取
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于是有可以发现，结果有六位有效数字的 sin x表完全一致。
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Lagrange插值公式优缺点优点：结果清晰、紧凑，适用于作理论分析、应用；
当节点个数有所变动，整个插值公式发生变化，在实际应用时不方便。
