§ 5 Hermite 插值公式
Hermite插值问题的提出
三次 Hermite 插值插值基函数构造法满足插值条件的牛顿插值法误差估计
2n+1 次 Hermite 插值 多项式
1,Hermite插值问题的提出由于理论与实践的需要，在构造插值函数时，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的（高阶）导数值也相等（即要求在节点上具有一定的光滑度），使得插值函数与被插函数贴近程度更好，满足这种要求的插值多项式就是 Hermite 插值多项式，有时也称为具有重节点插值或切触插值。下面具体讨论三次情形。
2,三次 Hermite 插值问题,求作三次多项式,使之满足：
称之为两点三次 Hermite插值问题，称满足插值条件（ 2.1）的 为三次 Hermite 插值多项式。下面采用构造基函数及牛顿插值的方法来确定多项式 。
33,,0,1 2,1i i i iH x y H x y i
3Hx
3Hx
3Hx
2.1 基函数构造法构造基函数 使之满足则即为所求。
,0,1,iix x i
1,
,0 0,1,
0,
,0 0,1
i j i j i j
i j i j i j
ij
x x i
ij
x x i
3 0 0 1 1 0 0 1 1H x y x y x y x y x
由插值条件，有由（ 2.3）可设再由（ 2.2）可求得
0 0 0 0
0 1 0 1
1,0 2.2
0,0,2.3
xx
xx
20 1 0,x x x a x x b
231 0 1 0
12,ba
x x x x
同理可得
2
01
0
0 1 1 0
1 2,xxxxx
x x x x
2
0 1
1
1 0 0 1
1 2,xx xxx
x x x x
22
01
0 0 1 1
0 1 1 0
,,xxxxx x x x x x
x x x x
特别的，在 时，得到以区间端点为插值条件得三次 Hermite 插值多项式：
其中
010,1xx
3 0 0 1 1 0 0 1 1H x y x y x y x y x
2 201 1 1 2,3 2,x x x x x x
2 201 1,1,x x x x x x
0,1
2.2 Newton 插值法满足插值条件（ 2.1）式得插值问题可视为重节点 Newton插值问题，且则
,,,0,1i i i i i if x y f x y f x x i
2
3 0 0 0 0 0 0 0 1
2
0 1 0 0 1 1
,,,
,,,
H x f x x x f x x x x f x x x
x x x x f x x x x
其中各阶差商可由定义直接求得，即
0 0 0 0 1 1 1 1,,,f x x f x y f x x f x y
0 0 1 1 1 0 1 0 1 03
10
1,,,2f x x x x x x y y y y
xx
0 0 1 1 0 1 02
10
1,,f x x x y y y x x
xx
2.3 误差估计由 Newton插值法，可直接得到三次 Hermite
插值问题的截断误差为：
于是有下述定理
22
3 3 0 1 0 0 1 1
4
22
0 1 0 1
,,,,
,,
4!
R x f x H x x x x x f x x x x x
f
x x x x x x
定理,设 是以 为插值节点的三次
Hermite 插值多项式,在内存在，其中 是包含 的任一区间，则对任意给定的,总存在依赖于 的点,使
3Hx 01,xx
43,,f x C a b f x,ab
01,xx
,x a b?
,ab
x,ab
4
22
3 3 0 1,4!
fR x f x H x x x x x
3,2n+1 次 Hermite 插值多项式给定 n+1个节点和相应的函数值和导数值：
则可构造 2n+1 次 Hermite 插值 多项式满足条件：
1） 是不超过 2n+1 次多项式；
2）
,,0,1,,i i i i if x y y f x m i n
Hx
,,0,1,,i i i iH x y H x m i n
Hx
用类似于前面的方法在 n+1个节点上构造
2n+1 次 Hermite 插值多项式为其中插值基函数（ 定义如前）为
21 ii i i
i
xx x x l x
x
2,i i ix x x l x
0,1,,in?
0
n
i i i i
i
H x y x m x
,il x x?
定理,设 是以 为插值节点的 2n+1 次 Hermite 插值多项式，
在 内存在，其中 是包含 节点 的任一区间，则对任意给定的,总存在依赖于 的点,使
Hx 01,,nx x x
21,,nf x C a b
,ab
,x a b?
,ab
x?
22
2,
2 2 !
nf
R x f x H x x
n
4fx
01,,nx x x
Hermite插值问题的提出
三次 Hermite 插值插值基函数构造法满足插值条件的牛顿插值法误差估计
2n+1 次 Hermite 插值 多项式
1,Hermite插值问题的提出由于理论与实践的需要，在构造插值函数时，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的（高阶）导数值也相等（即要求在节点上具有一定的光滑度），使得插值函数与被插函数贴近程度更好，满足这种要求的插值多项式就是 Hermite 插值多项式，有时也称为具有重节点插值或切触插值。下面具体讨论三次情形。
2,三次 Hermite 插值问题,求作三次多项式,使之满足：
称之为两点三次 Hermite插值问题，称满足插值条件（ 2.1）的 为三次 Hermite 插值多项式。下面采用构造基函数及牛顿插值的方法来确定多项式 。
33,,0,1 2,1i i i iH x y H x y i
3Hx
3Hx
3Hx
2.1 基函数构造法构造基函数 使之满足则即为所求。
,0,1,iix x i
1,
,0 0,1,
0,
,0 0,1
i j i j i j
i j i j i j
ij
x x i
ij
x x i
3 0 0 1 1 0 0 1 1H x y x y x y x y x
由插值条件，有由（ 2.3）可设再由（ 2.2）可求得
0 0 0 0
0 1 0 1
1,0 2.2
0,0,2.3
xx
xx
20 1 0,x x x a x x b
231 0 1 0
12,ba
x x x x
同理可得
2
01
0
0 1 1 0
1 2,xxxxx
x x x x
2
0 1
1
1 0 0 1
1 2,xx xxx
x x x x
22
01
0 0 1 1
0 1 1 0
,,xxxxx x x x x x
x x x x
特别的，在 时，得到以区间端点为插值条件得三次 Hermite 插值多项式：
其中
010,1xx
3 0 0 1 1 0 0 1 1H x y x y x y x y x
2 201 1 1 2,3 2,x x x x x x
2 201 1,1,x x x x x x
0,1
2.2 Newton 插值法满足插值条件（ 2.1）式得插值问题可视为重节点 Newton插值问题，且则
,,,0,1i i i i i if x y f x y f x x i
2
3 0 0 0 0 0 0 0 1
2
0 1 0 0 1 1
,,,
,,,
H x f x x x f x x x x f x x x
x x x x f x x x x
其中各阶差商可由定义直接求得，即
0 0 0 0 1 1 1 1,,,f x x f x y f x x f x y
0 0 1 1 1 0 1 0 1 03
10
1,,,2f x x x x x x y y y y
xx
0 0 1 1 0 1 02
10
1,,f x x x y y y x x
xx
2.3 误差估计由 Newton插值法，可直接得到三次 Hermite
插值问题的截断误差为：
于是有下述定理
22
3 3 0 1 0 0 1 1
4
22
0 1 0 1
,,,,
,,
4!
R x f x H x x x x x f x x x x x
f
x x x x x x
定理,设 是以 为插值节点的三次
Hermite 插值多项式,在内存在，其中 是包含 的任一区间，则对任意给定的,总存在依赖于 的点,使
3Hx 01,xx
43,,f x C a b f x,ab
01,xx
,x a b?
,ab
x,ab
4
22
3 3 0 1,4!
fR x f x H x x x x x
3,2n+1 次 Hermite 插值多项式给定 n+1个节点和相应的函数值和导数值：
则可构造 2n+1 次 Hermite 插值 多项式满足条件：
1） 是不超过 2n+1 次多项式；
2）
,,0,1,,i i i i if x y y f x m i n
Hx
,,0,1,,i i i iH x y H x m i n
Hx
用类似于前面的方法在 n+1个节点上构造
2n+1 次 Hermite 插值多项式为其中插值基函数（ 定义如前）为
21 ii i i
i
xx x x l x
x
2,i i ix x x l x
0,1,,in?
0
n
i i i i
i
H x y x m x
,il x x?
定理,设 是以 为插值节点的 2n+1 次 Hermite 插值多项式，
在 内存在，其中 是包含 节点 的任一区间，则对任意给定的,总存在依赖于 的点,使
Hx 01,,nx x x
21,,nf x C a b
,ab
,x a b?
,ab
x?
22
2,
2 2 !
nf
R x f x H x x
n
4fx
01,,nx x x
