可证，在一定条件下，基本 QR方法产生的矩阵序列｛ A(k)｝,基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果 A是实对称阵，则｛ A(k)｝
“基本”收敛于对角矩阵。
因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，
主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当 k
充分大时,A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为 A的特征值的近似。
基本的 QR方法的主要运算是对矩阵 QR分解，分解的方法有多种。介绍一种 Schmit正交化方法。
()( ) 0kAu
12
12
21'
1 1 1 2 2 2 1 1 2 12
1
2 1 2 1 2 1 1 1'
2 1 1 2
1 1 1 1 1 1
' ' '
1 2 2 2 2 1 2
[,,,],
(,,,) ( 1,2,,),
,
/,,
,,,,
,0
,,
/,1
n
T
j j j n j
A n A a a a
a a a a j n
aa
b a a b a a b b a a
a
a a a a a a a a
a a b b
a a a a a a
b b b b b b b
设 为 阶非奇异实矩阵，记 其中取取则
12
1
' ' '
1
12
'
1 1 1 1
,,0.
,,/ ( 2,3,)
,,,1 ( 1,2,)
,,
k
k k k i i k k k
i
nk
k k k k k k k
bb
b a a b b b b b k n
b b b b k n
a a b b a b b b b
一般地取则向量组 正交，且即
'
1 1 1 1
1 2 1 2
1 2 1 1
'
22
'
11
'
,,
[,,,] [,,,]
,,
,
,
QR
k k k k k k k
nn
n
n
n n n
n
a a b b a b b b b
A a a a b b b
a a b a b
b a b
QR
b a b
b
Sc hm it
即于是这就是用 正交化方法对矩阵进行的 分解。
基本 QR方法每次迭代都需作一次 QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的 QR方法是先用一系列相似变换将 A化成拟上三角矩阵（称为上 Hessenberg矩阵），然后对此矩阵用基本 QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，
故可减少运算量。化 A为相似的拟上三角阵的方法有多种。
1 2 3
1
1
1
2
'
2 2 2 1 1
'
2
2
'
2
2
2 1 0
,1 2 1,
0 1 2
,( 2,1,0),( 1,2,1 ),( 0,1,2),
21
(,,0),
55
4 2 1 3 6
,( 1,2,1 ) (,,0) (,,1 ),
555 5 5
3 6 5
(,,),
70 70 70
T T T
T
T T T
T
Sc hmi t A QR
a a a
a
b
a
b a a b b
b
b
b
b
例用 正交化方法对 进行 分解解因而有
'
3 3 3 1 1 3 2 2
'
3
3
'
3
2
2 4 6
,,(,,)
777
1 2 3
(,,)
14 14 14
T
T
a a b b a b b
b
b
b
1 2 1 2
1 2 1 1
'
22
'
11
'
[,,,] [,,,]
,,
,
,
2 5 3 70 1 14 5 4 5 1 5
1 5 6 70 2 14 0 70 5 16 70
0 5 70 3 14 0 0 2 40 7
nn
n
n
n n n
n
A a a a b b b
a a b a b
b a b
b a b
b
所以二、豪斯豪尔德 (Householder)变换
22
11
2
2
1 1 2 1
2
2 1 2 2
2
12
1
(,,) 1,
1 2 2 2
2 1 2 2
2
2 2 1 2
1;
( 2) de t ( ) 1 ;
( 3 )
T
nn
n
T n
n n n
T
w w w w w w
w w w w w
w w w w w
H I w w
w w w w w
H ous e hol de r
H H H H
H
H
设向量 满足 则称为 矩阵或反射矩阵。可证其具有以下性质：
（ ） 是实对称的正交矩阵，即仅 1 1 n 1,1
,;w
有两个不等的特征值,其中 是 重特征值是单重特征值 为其相应的特征向量
22
1
2
,0,
,( ),
21
( ) ( 2 ) ( )
2 2
2
T
T
n
T
TT
w o S w x
R H x w x w
H I w w w w w
H x w I w w x w
x w w w x w w w
x w w x w
(4) 考虑以 为法向量过原点 的超平面为任意的数 有证,且
w
xo
()
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
,,,1,
,
()
2,
( 2 ) 2 ( ),
2 ( ) ( )
=
n
T
T T T
T
TT
x y R y
H ouse holde r H H x x y
x x y
w H I w w
x x y
x x y
H x I w w x x x x y x
x x y
x x y x x y x x y
x x x y x
定理设 为 中任意非零向量 且 则存在矩阵 使得 。
证,令 于是由 －范数的定义.
2
22
2
2 2 2
2
2 2( )
,
TT
T T T T
x x y x y y
x x x y x x x x y x
H x x y
代入上式得
2
22
22
22
,
,
,
( ) ( )
()
i
ii
ii
H x x y
x
H o u se h o ld e r x
y e x H o u se h o ld e r
x x y x x e sig n x
ww
x x y x x e sig n x
上式得此定理表明，对任一非零向量 都可以构造一个 变换，它将 变成事先给定的单位向量的倍数。特别地取 则 经过变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时，
为避免误差取
。
11
11
11
1
1
1
11 2
1 1 1 21 31 1
1
1 1 22 1
22
2 12 13 1 22
,
1 0 0
0
0
1
(,,,),
(,,,),
T
T
n
T
n
HH
H A H
HH
H
H n H ouse holde r
a a H
H A H a a a a
H a H A H
a
a a a a A
首先，选取矩阵 使得经 相似变换后的矩阵的第一列中有尽可能多的零元素。为此，
应取 为如下形式其中 为 阶 矩阵。于是有其中
2
2
11
1
11
.
( 1,0,,0),
2
n
n nn
T
a
aa
H H a
H A H n
由上节定理，只要取 使得 就会使得变换后的矩阵 的第一列出现 个零元。
1
1
1 1 1 1
2
1
1
1 1 1 1
2
2
2 2 1 1 2
2
,
()
()
1 0 0 0 * * * *
0 1 0 0 * * * *
00 * * *
**00
w
a a e s i g n a
w H H
a a e s i g n a
Ho u s e h o l d e r
H H H AH H
H
n
为避免在计算 时会产生较大的误差 取
。
同理，可构造如下列形式 矩阵使得
*
如此进行
12
2 2 2 1 1 2 2
2 2,,,
,.
n n n
n Ho u s e h o l d e r H H
H H H H AH H H H
H He s s e n b e r g A
H
次，可以构造 个 矩阵使得其中 为上 矩阵。特别地，当 为实对称矩阵，则经过上述正交变换后,变为三对角阵。
1 1 1 1 1
22
2
2
,
5 2 2 2 3 2
1 0 5 2 2 2 2
0 2 1 0
0 2 4 1
( 1,0,0),( 1,00),
21
,
0
2
()
(
TT
ii
i
Hous e hol de r A
A
a H a H I H I
Hous e hol de r H H
x x e s i gn x
w
x x e s i gn x
例用 变换将矩阵 化成拟上三角阵。
解：因 由为使 矩阵 满足由公式
'
2
'
'
,( 2,2 ) 2( 1,0)
)
2 2 2
( 2 2,2 ) (,),
2
2 2 2
TT
i
TT
w
w
w
w
，
2
2
2
2 2 2 2 2
10
4 4 2 2
2
01
2 2 2 2 2
4 4 2 2
1 0 0 0
0 1 0 0
22
00
22
22
00
22
T
H I w w
H
2 1 1 2
1 0 0 0
5 2 2 2 3 2
0 1 0 0
1 0 5 2 2 2 2
22
00
0 2 1 022
22
0 2 4 1
00
22
1 0 0 0
5 2 5 10 1 0 0
1 0 3 2
22
00
0 2 2 3
22
0 0 1 2
22
00
22
H H H AH H?
于是有
四、拟上三角矩阵的 QR分解
11 12 1 1 1
2 1 22 2 1 2
32 33 3
1
21
1
0(
nn
nn
n
nn nn
Hn
G iv e ns
H Q R
h h h h
h h h h
H h h h
hh
h
因为拟上三角阵 的特殊形状，通常用 个旋转变换（又称 变换）可将它化成上三角矩阵，
从而得到 的 分解式。
具体步骤为：
设 否则进行下一步），
22 11
1 11 21 1
1
11
11
21
1 21
1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1 12 13 1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
22 23 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
21 32 33 3
( 2 ) ( 2 )
1
c os,
c os si n 0 0
si n c os 0 0
si n,0 0 1
1
n
n
n
nn nn
h
r h h
r
h
V
r
r h h h
h h h
VH h h h
hh
取旋转矩阵，其中,
则
( 2 )
H
2
32
22
22
32
( 2 ) 2 ( 2 ) 2
2 2 2 3 2
(( 2 )
3222
22
2
0(
10
c os si n
si n c os
1
1
( ) ( )
c os,si n
h
V
r h h
hh
r
（）
设 否则进行下一步），再取旋转矩阵
－
其中,
2)
2
.
r
2
32
( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
1 1 2 1 3 1 1 1
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
2 2 3 2 1 2
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
( 3 )3 3 3 1 3
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
4 3 4 1 4
( 3 ) ( 3 )
1
nn
nn
nn
nn
n n n n
VH
r h h h h
r h h h
h h h
H
h h h
hh
（）
则
( ) ( 1 )
1
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
( ) ( )
1
1
kk
kk
k k k k
k k n n
k k k
k k k k n k n
k k k
k k k n k n
k k k
k k k n k n
kk
nn nn
k
H V H
r h h h h
r h h h
h h h
h h h
hh
假设上述过程已进行了 步，有
()
1
1
( ) ( )
1
( ) 2 ( ) 2
1
0,
1
1
c os si n
si n c os
1
c os,si n,
( ) ( ).
k
kk
kk kk
kk
kk
k k k k
kk
kk
kk
k k k k k
h
V
hh
rr
r h h
设取其中
()
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 1
( 1 ) ( 1 )
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 1 2 1 2
( 1 ) ( 1 )
1
k
kk
k k k
k k n
kk
k k k k n
k k k
k k k n k n
k k k
k k k n k n
kk
nn nn
VH
r h h h
r h h
h h h
h h h
hh
于是
( 1 )
1
k
H
n
因此，最多做 次旋转变换，即得
()
1 1 2 2 1
( ) ( ) ( )
1 1 2 1 3 1
( ) ( )
2 2 3 2
()
33
n
n n n n
n n n
n
nn
n
n
n
n
H V V V H
r h h h
r h h
Rrh
r
1
21 32 1
21 32 1
2
3
( 2,3,,)
4,
()
ii
T T T
nn
T T T
nn
V i n
H V V V R Q R
Q V V V
n Q R
On
H RQ
QR
QR
因为 均为正交矩阵，故其中 仍为正交矩阵。可算出完成这一过程的运算量约为 比一般矩阵的 分解的运算量 少一个数量级。
可证明 仍是拟上三角阵，于是可按上述步骤一直迭代下去，这样得到的 方法的运算量比基本 方法大为减少。需要说明 QR的是，通常用 方法计算特征值，然后用反幂法求其相应的特征向量。
' 2 2
''
2
5 3 2
6 4 4
4 4 5
( 6,4 ) 6 4 ( 1,0 ) ( 6 5 2,4 )
( 0,9 5 7 0 9 2,0,2 8 9 7 8 4 )
2
1 0 0,9 1 6 0 2 5 0,2 7 7 3 5 0 0,8 3 2
2
0 1 0,2 7 7 3 5 0 0,0 8 3 9 7 4 7
T T T
T
T
QR A
A
w
w w w
I w w
例：用 方法求矩阵 的全部特征值。
解：首先将 化成拟上三角阵，取
1
0 5 0 0,5 5 4 7 0 0
0,5 5 4 7 0 0 0,8 3 2 0 5 0
1 0 0
0 0,8 3 2 0 5 0 0,5 5 4 7 0 0
0 0,5 5 4 7 0 0 0,8 3 2 0 5 0
H
于是
11
( 1 ) 2 2
1
1 1 1
21
5 1.386 750 3.328 200
7.211 102 1.230 768 8.153 840
0 0.153 846 2.230 767
,5 ( 7.211 02) 8.774 964
c os 5 0.569 80,si n 0.821 781
H H AH
H A H Q R
H H r
r
V
即为与 相似的拟上三角矩阵。将 进行 分解，
记取
0.569 803 0.821 781 0
0.821 781 0.569 803 0
0 0 1
( 1 )
21
22
2
22
22
8.774964 1.801596 8.597089
0 0,43 83 10 1,91 10 30
0 0,15 38 46 2,23 07 67
( 0,43 83 10 ) ( 0,15 38 46 ) 0,46 45 26,
c os 0.438310 0.943564,
si n 0.153846 0.331189
VH
r
r
r
于是再取
32
( 1 )
3 2 2 1 1
1 0 0
0 0.943564 0.331189
0 0,33 11 89 0,94 35 64
8.774964 1.801596 8.597089
0 0,46 45 26 2,54 19 82
0 0 1,47 19 53
V
V V H R
于是
1 2 1 3 2
( 2 )
11
0,5 6 9 8 0 3 0,7 7 5 4 0 3 0,2 7 2 1 6 5
0,8 2 1 7 8 1 0,5 3 7 6 4 3 0,1 8 8 7 1 2
0 0,3 3 1 1 8 9 0,9 4 3 5 6 4
3,5 1 9 4 8 2 4,9 2 5 4 9 1 1 0,8 4 0 1 1 7
0,3 8 1 7 3 9 1,0 9 1 6 2 7 2,3 1 0 6 5 3
0 0,4 8 7 4 9 5 1,3 8 8 8 8 3
,1 1
TT
Q V V
H R Q
第一次迭代得重复上述过程 迭代 次
( 1 2 )
1 2 3
2,9 9 2 0 3 2 1,0 0 0 3 8 5 3 1 2,0 1 3 3 9 2
0,0 0 7 4 9 6 2,0 0 4 6 9 5 1,9 4 1 9 7 1
0 0,0 0 0 3 2 5 0,9 9 9 8 9 5
2,9 9 2 0 3 2,2,0 0 4 6 9 5,0,9 9 9 8 9 5 3,2,1,
0,0 0 7 4 9 6
H
QR
得精确值下三角非对角元的最大模为 。 方法“基本”收敛较慢。
五、带原点移位的 QR方法
( ) ( )
1 2 1
( ) ( )
1
1 2 1
QR
,
( ),
,
kk
nn
nn
kk
nn n
nn
nn
H h A
A
H h k
u u u u u
理论分析和实际计算均表明,方法产生的矩阵序列的右下角对角元素 最先与 的特征值接近。可以证明，若矩阵 的特征值满足 则的右下角对角元 且收敛速度是线性的，速率为 。
于是考虑原点移位的技巧来加快收敛速度，即取位移使其满足且
1
1 ( )
n
n
u
H uI QR
u
QR
－
。这样，对 用 方法就可以加快收敛速度，这就是带原点移位的 方法。
()
()
( 1 )
1
2 1,2,,,
( 3 )
k
kk
k
k k k
k
k k k
k
H ou se ho lde r A H
k u H u I Q R
H u I Q R
H R Q u I
u Q R
其具体步骤为：
（ ）用 变换将矩阵 化成拟上三角矩阵 。
（ ）对 取位移 将 进行 分解，
关于每次迭代时位移 的取法及 方法的迭代准则，就不详述了。
还有一些其它求特征值的算法，如适用于并行计算的同伦算法等，同样也不详述了。
“基本”收敛于对角矩阵。
因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，
主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当 k
充分大时,A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为 A的特征值的近似。
基本的 QR方法的主要运算是对矩阵 QR分解，分解的方法有多种。介绍一种 Schmit正交化方法。
()( ) 0kAu
12
12
21'
1 1 1 2 2 2 1 1 2 12
1
2 1 2 1 2 1 1 1'
2 1 1 2
1 1 1 1 1 1
' ' '
1 2 2 2 2 1 2
[,,,],
(,,,) ( 1,2,,),
,
/,,
,,,,
,0
,,
/,1
n
T
j j j n j
A n A a a a
a a a a j n
aa
b a a b a a b b a a
a
a a a a a a a a
a a b b
a a a a a a
b b b b b b b
设 为 阶非奇异实矩阵，记 其中取取则
12
1
' ' '
1
12
'
1 1 1 1
,,0.
,,/ ( 2,3,)
,,,1 ( 1,2,)
,,
k
k k k i i k k k
i
nk
k k k k k k k
bb
b a a b b b b b k n
b b b b k n
a a b b a b b b b
一般地取则向量组 正交，且即
'
1 1 1 1
1 2 1 2
1 2 1 1
'
22
'
11
'
,,
[,,,] [,,,]
,,
,
,
QR
k k k k k k k
nn
n
n
n n n
n
a a b b a b b b b
A a a a b b b
a a b a b
b a b
QR
b a b
b
Sc hm it
即于是这就是用 正交化方法对矩阵进行的 分解。
基本 QR方法每次迭代都需作一次 QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的 QR方法是先用一系列相似变换将 A化成拟上三角矩阵（称为上 Hessenberg矩阵），然后对此矩阵用基本 QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，
故可减少运算量。化 A为相似的拟上三角阵的方法有多种。
1 2 3
1
1
1
2
'
2 2 2 1 1
'
2
2
'
2
2
2 1 0
,1 2 1,
0 1 2
,( 2,1,0),( 1,2,1 ),( 0,1,2),
21
(,,0),
55
4 2 1 3 6
,( 1,2,1 ) (,,0) (,,1 ),
555 5 5
3 6 5
(,,),
70 70 70
T T T
T
T T T
T
Sc hmi t A QR
a a a
a
b
a
b a a b b
b
b
b
b
例用 正交化方法对 进行 分解解因而有
'
3 3 3 1 1 3 2 2
'
3
3
'
3
2
2 4 6
,,(,,)
777
1 2 3
(,,)
14 14 14
T
T
a a b b a b b
b
b
b
1 2 1 2
1 2 1 1
'
22
'
11
'
[,,,] [,,,]
,,
,
,
2 5 3 70 1 14 5 4 5 1 5
1 5 6 70 2 14 0 70 5 16 70
0 5 70 3 14 0 0 2 40 7
nn
n
n
n n n
n
A a a a b b b
a a b a b
b a b
b a b
b
所以二、豪斯豪尔德 (Householder)变换
22
11
2
2
1 1 2 1
2
2 1 2 2
2
12
1
(,,) 1,
1 2 2 2
2 1 2 2
2
2 2 1 2
1;
( 2) de t ( ) 1 ;
( 3 )
T
nn
n
T n
n n n
T
w w w w w w
w w w w w
w w w w w
H I w w
w w w w w
H ous e hol de r
H H H H
H
H
设向量 满足 则称为 矩阵或反射矩阵。可证其具有以下性质：
（ ） 是实对称的正交矩阵，即仅 1 1 n 1,1
,;w
有两个不等的特征值,其中 是 重特征值是单重特征值 为其相应的特征向量
22
1
2
,0,
,( ),
21
( ) ( 2 ) ( )
2 2
2
T
T
n
T
TT
w o S w x
R H x w x w
H I w w w w w
H x w I w w x w
x w w w x w w w
x w w x w
(4) 考虑以 为法向量过原点 的超平面为任意的数 有证,且
w
xo
()
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
,,,1,
,
()
2,
( 2 ) 2 ( ),
2 ( ) ( )
=
n
T
T T T
T
TT
x y R y
H ouse holde r H H x x y
x x y
w H I w w
x x y
x x y
H x I w w x x x x y x
x x y
x x y x x y x x y
x x x y x
定理设 为 中任意非零向量 且 则存在矩阵 使得 。
证,令 于是由 －范数的定义.
2
22
2
2 2 2
2
2 2( )
,
TT
T T T T
x x y x y y
x x x y x x x x y x
H x x y
代入上式得
2
22
22
22
,
,
,
( ) ( )
()
i
ii
ii
H x x y
x
H o u se h o ld e r x
y e x H o u se h o ld e r
x x y x x e sig n x
ww
x x y x x e sig n x
上式得此定理表明，对任一非零向量 都可以构造一个 变换，它将 变成事先给定的单位向量的倍数。特别地取 则 经过变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时，
为避免误差取
。
11
11
11
1
1
1
11 2
1 1 1 21 31 1
1
1 1 22 1
22
2 12 13 1 22
,
1 0 0
0
0
1
(,,,),
(,,,),
T
T
n
T
n
HH
H A H
HH
H
H n H ouse holde r
a a H
H A H a a a a
H a H A H
a
a a a a A
首先，选取矩阵 使得经 相似变换后的矩阵的第一列中有尽可能多的零元素。为此，
应取 为如下形式其中 为 阶 矩阵。于是有其中
2
2
11
1
11
.
( 1,0,,0),
2
n
n nn
T
a
aa
H H a
H A H n
由上节定理，只要取 使得 就会使得变换后的矩阵 的第一列出现 个零元。
1
1
1 1 1 1
2
1
1
1 1 1 1
2
2
2 2 1 1 2
2
,
()
()
1 0 0 0 * * * *
0 1 0 0 * * * *
00 * * *
**00
w
a a e s i g n a
w H H
a a e s i g n a
Ho u s e h o l d e r
H H H AH H
H
n
为避免在计算 时会产生较大的误差 取
。
同理，可构造如下列形式 矩阵使得
*
如此进行
12
2 2 2 1 1 2 2
2 2,,,
,.
n n n
n Ho u s e h o l d e r H H
H H H H AH H H H
H He s s e n b e r g A
H
次，可以构造 个 矩阵使得其中 为上 矩阵。特别地，当 为实对称矩阵，则经过上述正交变换后,变为三对角阵。
1 1 1 1 1
22
2
2
,
5 2 2 2 3 2
1 0 5 2 2 2 2
0 2 1 0
0 2 4 1
( 1,0,0),( 1,00),
21
,
0
2
()
(
TT
ii
i
Hous e hol de r A
A
a H a H I H I
Hous e hol de r H H
x x e s i gn x
w
x x e s i gn x
例用 变换将矩阵 化成拟上三角阵。
解：因 由为使 矩阵 满足由公式
'
2
'
'
,( 2,2 ) 2( 1,0)
)
2 2 2
( 2 2,2 ) (,),
2
2 2 2
TT
i
TT
w
w
w
w
，
2
2
2
2 2 2 2 2
10
4 4 2 2
2
01
2 2 2 2 2
4 4 2 2
1 0 0 0
0 1 0 0
22
00
22
22
00
22
T
H I w w
H
2 1 1 2
1 0 0 0
5 2 2 2 3 2
0 1 0 0
1 0 5 2 2 2 2
22
00
0 2 1 022
22
0 2 4 1
00
22
1 0 0 0
5 2 5 10 1 0 0
1 0 3 2
22
00
0 2 2 3
22
0 0 1 2
22
00
22
H H H AH H?
于是有
四、拟上三角矩阵的 QR分解
11 12 1 1 1
2 1 22 2 1 2
32 33 3
1
21
1
0(
nn
nn
n
nn nn
Hn
G iv e ns
H Q R
h h h h
h h h h
H h h h
hh
h
因为拟上三角阵 的特殊形状，通常用 个旋转变换（又称 变换）可将它化成上三角矩阵，
从而得到 的 分解式。
具体步骤为：
设 否则进行下一步），
22 11
1 11 21 1
1
11
11
21
1 21
1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1 12 13 1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
22 23 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
21 32 33 3
( 2 ) ( 2 )
1
c os,
c os si n 0 0
si n c os 0 0
si n,0 0 1
1
n
n
n
nn nn
h
r h h
r
h
V
r
r h h h
h h h
VH h h h
hh
取旋转矩阵，其中,
则
( 2 )
H
2
32
22
22
32
( 2 ) 2 ( 2 ) 2
2 2 2 3 2
(( 2 )
3222
22
2
0(
10
c os si n
si n c os
1
1
( ) ( )
c os,si n
h
V
r h h
hh
r
（）
设 否则进行下一步），再取旋转矩阵
－
其中,
2)
2
.
r
2
32
( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
1 1 2 1 3 1 1 1
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
2 2 3 2 1 2
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
( 3 )3 3 3 1 3
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
4 3 4 1 4
( 3 ) ( 3 )
1
nn
nn
nn
nn
n n n n
VH
r h h h h
r h h h
h h h
H
h h h
hh
（）
则
( ) ( 1 )
1
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
( ) ( )
1
1
kk
kk
k k k k
k k n n
k k k
k k k k n k n
k k k
k k k n k n
k k k
k k k n k n
kk
nn nn
k
H V H
r h h h h
r h h h
h h h
h h h
hh
假设上述过程已进行了 步，有
()
1
1
( ) ( )
1
( ) 2 ( ) 2
1
0,
1
1
c os si n
si n c os
1
c os,si n,
( ) ( ).
k
kk
kk kk
kk
kk
k k k k
kk
kk
kk
k k k k k
h
V
hh
rr
r h h
设取其中
()
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 1
( 1 ) ( 1 )
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 1 2 1 2
( 1 ) ( 1 )
1
k
kk
k k k
k k n
kk
k k k k n
k k k
k k k n k n
k k k
k k k n k n
kk
nn nn
VH
r h h h
r h h
h h h
h h h
hh
于是
( 1 )
1
k
H
n
因此，最多做 次旋转变换，即得
()
1 1 2 2 1
( ) ( ) ( )
1 1 2 1 3 1
( ) ( )
2 2 3 2
()
33
n
n n n n
n n n
n
nn
n
n
n
n
H V V V H
r h h h
r h h
Rrh
r
1
21 32 1
21 32 1
2
3
( 2,3,,)
4,
()
ii
T T T
nn
T T T
nn
V i n
H V V V R Q R
Q V V V
n Q R
On
H RQ
QR
QR
因为 均为正交矩阵，故其中 仍为正交矩阵。可算出完成这一过程的运算量约为 比一般矩阵的 分解的运算量 少一个数量级。
可证明 仍是拟上三角阵，于是可按上述步骤一直迭代下去，这样得到的 方法的运算量比基本 方法大为减少。需要说明 QR的是，通常用 方法计算特征值，然后用反幂法求其相应的特征向量。
' 2 2
''
2
5 3 2
6 4 4
4 4 5
( 6,4 ) 6 4 ( 1,0 ) ( 6 5 2,4 )
( 0,9 5 7 0 9 2,0,2 8 9 7 8 4 )
2
1 0 0,9 1 6 0 2 5 0,2 7 7 3 5 0 0,8 3 2
2
0 1 0,2 7 7 3 5 0 0,0 8 3 9 7 4 7
T T T
T
T
QR A
A
w
w w w
I w w
例：用 方法求矩阵 的全部特征值。
解：首先将 化成拟上三角阵，取
1
0 5 0 0,5 5 4 7 0 0
0,5 5 4 7 0 0 0,8 3 2 0 5 0
1 0 0
0 0,8 3 2 0 5 0 0,5 5 4 7 0 0
0 0,5 5 4 7 0 0 0,8 3 2 0 5 0
H
于是
11
( 1 ) 2 2
1
1 1 1
21
5 1.386 750 3.328 200
7.211 102 1.230 768 8.153 840
0 0.153 846 2.230 767
,5 ( 7.211 02) 8.774 964
c os 5 0.569 80,si n 0.821 781
H H AH
H A H Q R
H H r
r
V
即为与 相似的拟上三角矩阵。将 进行 分解，
记取
0.569 803 0.821 781 0
0.821 781 0.569 803 0
0 0 1
( 1 )
21
22
2
22
22
8.774964 1.801596 8.597089
0 0,43 83 10 1,91 10 30
0 0,15 38 46 2,23 07 67
( 0,43 83 10 ) ( 0,15 38 46 ) 0,46 45 26,
c os 0.438310 0.943564,
si n 0.153846 0.331189
VH
r
r
r
于是再取
32
( 1 )
3 2 2 1 1
1 0 0
0 0.943564 0.331189
0 0,33 11 89 0,94 35 64
8.774964 1.801596 8.597089
0 0,46 45 26 2,54 19 82
0 0 1,47 19 53
V
V V H R
于是
1 2 1 3 2
( 2 )
11
0,5 6 9 8 0 3 0,7 7 5 4 0 3 0,2 7 2 1 6 5
0,8 2 1 7 8 1 0,5 3 7 6 4 3 0,1 8 8 7 1 2
0 0,3 3 1 1 8 9 0,9 4 3 5 6 4
3,5 1 9 4 8 2 4,9 2 5 4 9 1 1 0,8 4 0 1 1 7
0,3 8 1 7 3 9 1,0 9 1 6 2 7 2,3 1 0 6 5 3
0 0,4 8 7 4 9 5 1,3 8 8 8 8 3
,1 1
TT
Q V V
H R Q
第一次迭代得重复上述过程 迭代 次
( 1 2 )
1 2 3
2,9 9 2 0 3 2 1,0 0 0 3 8 5 3 1 2,0 1 3 3 9 2
0,0 0 7 4 9 6 2,0 0 4 6 9 5 1,9 4 1 9 7 1
0 0,0 0 0 3 2 5 0,9 9 9 8 9 5
2,9 9 2 0 3 2,2,0 0 4 6 9 5,0,9 9 9 8 9 5 3,2,1,
0,0 0 7 4 9 6
H
QR
得精确值下三角非对角元的最大模为 。 方法“基本”收敛较慢。
五、带原点移位的 QR方法
( ) ( )
1 2 1
( ) ( )
1
1 2 1
QR
,
( ),
,
kk
nn
nn
kk
nn n
nn
nn
H h A
A
H h k
u u u u u
理论分析和实际计算均表明,方法产生的矩阵序列的右下角对角元素 最先与 的特征值接近。可以证明，若矩阵 的特征值满足 则的右下角对角元 且收敛速度是线性的，速率为 。
于是考虑原点移位的技巧来加快收敛速度，即取位移使其满足且
1
1 ( )
n
n
u
H uI QR
u
QR
－
。这样，对 用 方法就可以加快收敛速度，这就是带原点移位的 方法。
()
()
( 1 )
1
2 1,2,,,
( 3 )
k
kk
k
k k k
k
k k k
k
H ou se ho lde r A H
k u H u I Q R
H u I Q R
H R Q u I
u Q R
其具体步骤为：
（ ）用 变换将矩阵 化成拟上三角矩阵 。
（ ）对 取位移 将 进行 分解，
关于每次迭代时位移 的取法及 方法的迭代准则，就不详述了。
还有一些其它求特征值的算法，如适用于并行计算的同伦算法等，同样也不详述了。
