第八章,矩阵特征值和特征向量计算应用背景 工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法,目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法,
1,( ),( ) de t( ) 0
()
2,( ) 0
ij n n
A a I A
An
A
A I A x
A x x x A
已知 求代数方程的根。 称为 的特征多项式，一般有 个零点，称为 的特征值。
设 为 的特征值，求相应的齐次方程的非零解（即求 的非零解）,称为矩阵 对应于 的特征向量。
主要方法
乘幂法与反幂法（迭代法）
QR算法
Jacobi 方法（变换法）
§ 1.乘幂法和反幂法,
一、乘幂法乘幂法,求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。
基本思想,通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。
12
12
( 0 ) ( 1 ) ( )
()
( 1 ) ( ) ( 1 )
1
( 1,2,,)
( 1,2,,)
,,,
,
( 1,2,),
/,
i
ni
kk
k
k k k
ii
ii
n n A i n
in
k x k
xx
n
u u u
x 0 x A x
x
u
＋
设 阶 实 矩 阵 的 特 征 值 满 足且 与 相 应 的 特 征向 量 线 性 无 关 。
给 定 初 始 向 量 由 迭 代 公 式产 生 向 量 序 列 可 以 证 明,当 充分 大 时,有 相 应 的 特 征 向 量 为 。
因 为 ( 对 应 的 特 征 向 量 ） 线 性 无 关
( 0 )
1
( 1,2,,),
n
i i i
i
n i n
xu
,故 必 存 在个 不 全 为 零 的 数 使 得 。
( 1 ) ( ) 1 ( 0 ) 1 1
11
( 1 ) 1 1 12
1 1 1 2 2
11
11
( 1 )
111
1
( )
[ ( ) ( ) ]
0,( 2,3,,)
l im
nn
k k k k k
i i i i i
ii
k k k kn
nn
i
k
k
k
x Ax A x A u u
x u u u
in
x
u
由设 由 得
( 1 ) 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2
1
( 1 )
( 1 ) 1 ( )
1 1 1 1 1 1
( 1 ) ( )
1
( 1 )
1
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()
1
[ ( ) ]
,
()
( 1,2,)
n
k k k k
i
ii
i
k
i
k k k k
kk
k
i
k
i
k
i
k
x u u u
x
x u x u
xx
x
in
A
x
x
故 只 要 充 分 大,就 有因 此,可 把 作 为 与 相 应 的 特 征 向 量 的 近 似 。
由其为 按 模 值中最 大 的 特 征
()
k
xi为 的 第 个 分 量 。
2
1
( 0 )
1
()
1
()
1 1 1 1
1
1 0,
,
2,( 1 )
0( 1 )
k
kk
x
xu
xu
乘 幂 法 的 收 敛 速 度 依 赖 于 比 值,比 值 越 小,收 敛 越 快 。
两 点 说 明,
） 如 果 的 选 取 恰 恰 使 得 幂 法 计 算 仍 能 进 行 。
因 为 计 算 过 程 中 舍 入 误 差 的 影 响,迭 代 若 干 次 后,必 然会 产 生 一 个 向 量 它 在 方 向 上 的 分 量 不 为 零,这 样,
以 后 的 计 算 就 满 足 所 设 条 件 。
） 因 计 算 过 程 中 可 能 会 出 现 溢 出或 成 为 的 情 形 。 解 决 方 法,每 次 迭 代 所 求 的 向 量都 要 归 一 化 。
00
1
11
1
,1 1 1
m a x ( 0,1,2,)
= /
T
kk
k
k i k
in
kk
k
A
m k m
m
x R x
yx
y
xy
因 此,乘 幂 法 实 际 使 用 的 计 算 公 式,
任 取 初 始 向 量 通 常 取 ＝,,,,
迭 代 过 程 为
( 0 ) 3
2 1 0
0 2 1
0 1 2
( 0,0,1 ),1 0,
T
A
x?
例,用 乘 幂 法 求 矩 阵的 按 模 最 大 的 特 征 值 和 相 应 的 特 征 向 量 。
取
( 0 )
( 1 ) ( 0 )
1
( 1 )
( 1 )
1
( 2 ) ( 1 )
1
( 2 )
( 2 )
2
( 0,0,1 ),
st e p1,( 0,1,),2,
( 0,0.5,1 ),
st e p2,( 0.5,2,),2.5,
( 0.2,0.8,1 ),
2
2
.5
T
T
T
T
T
x
y Ax m
y
x
m
y Ax m
y
x
m
解,
( 8 ) ( 7 )
8
( 8 )
(( 8)
9
98
1
9)
3
( 2.7650948,2.9981848,)
2.9990924
( 0.9219772,0.9996973,1 )
( 2.8436517,2.9993946,),
2.9996973
- 2.9996973 2.9990924 0.0006
2.
049 10,
2.9
2.9990924
9996973
9
y Ax
m
x
y Ax
m
mm
由故
1
96973,
( 2.84 365 17,2.99 939 46,2.99 969 7 3)u
相 应 特 征 向 量 为
。
1 2 3
1
2
1
3,2,1
1 - 1,1
2
,
3
T
A
事 实 上,的 特 征 值,
与 对 应 的 特 征 向 量 为 （,） 。
此 例 中 比 值 为两种特殊情况
12
1 2 1
,
m m n
前 面 假 定 如 果 按 模 最 大 的 特 征 值 有 多个,即乘 幂 法 是 否 有 效？
1 1 2
( 1 ) 1
1 1 1
111
11
11
1
( 1 ) 1
1 1 1
1,
[
( ) ( ) ]
,,
(
m
kk
mm
kkmn
m m n n
m
kk
m A n
x u u
uu
k
xu
（ ） 是 重 根,即 矩 阵 仍 有 个线 性 无 关 的 特 征 向 量 。 此 时 有显 然,只 要 不 全 为 零,当 充 分 大 时,就 有
)
mm
u?
1 1 1
( 1 )
12 ()
( 1 )
mm
k
i
m k
i
k
u u A
x
x
x
因 也 是 矩 阵 相 应 于 的 特 征 向 量,
故 有为 相 应 的 特 征 向 量,即 对 这 种 情 况 乘 幂 法 仍 然有 效 。
1 2 1 3
( 1 ) 1 1 13
1 1 1 2 2 3 3
1
1
1
( 1 )
( 2 1 ) 2 1 ( 2 ) 2
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2
(
2
1
2,,
[ ( 1 ) ( )
( ) ]
( ),( )
k k k k
kn
nn
k
k k k k
i
An
x u u u
u
xk
x u u x u u
x
（ ） 且 矩 阵 有 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 。
由 上 式 可 知,是 个 摆 动 序 列,当 充 分 大 时,有
2)
( 2 ) ( )
1,2
()
/
k
kk
ii
k
i
xx
x
( 1 ) 1 1
1 1 1 2 2
()
1 1 1 2 2
( 1 ) ( ) 1
1 1 1 1
( 1 ) ( ) 1 1
1 1 2 2
[ ( 1 ) ]
[ ( 1 ) ]
2
2 ( 1 )
k k k
k k k
k k k
k k k k
x u u
x u u
x x u
x x u
又 由故 在 这 种 情 况 下,仍 可 按 乘 幂 法 产 生 向 量 序 列 。
12
1 2 1
1
( 1 ) ( ) ( )
12
n
m m n
k k k
A
x A x x
1,当 的 特 征 值 分 布 为 或时,用 乘 幂 法可 以 计 算 出 及 相 应 的 特 征 向 量 。
2,如 果 按 迭 代 所 得 向 量 序 列 呈有 规 律 的 摆 动,则 可 能 为 的 情 况 。 否 则 应考 虑 用 别 的 方 法 求 解 。
乘幂法小结
An3,当 矩 阵 无 个 线 性 无 关 的 特 征 量 时,乘 幂 法收 敛 很 慢,亦 应 考 虑 改 用 其 他 方 法 。
乘 幂 法 计 算 简 便 易 行,它 是 求 大 型 稀 疏 矩 阵按 模 最 大 特 征 值 的 常 用 方 法 。
二、乘幂法的加速因为乘幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值,当比值接近于 1时，
幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种,原点移位法；外推法
12／
0
00
( 1 ) ( )
0
( 1 ) ( ) ( 1 )
0 1 0 1 1
112 0 0
22
1 0 1 0
( ) ( ) [
( ) ( ) ]
i
i
kk
k k k
kk n
nn
A A I
A A I
A I x Ax
x A I x u
uu
（ 一 ） 原 点 移 位 法矩 阵 与 的 特 征 值 有 以 下 关 系,若 是的 特 征 值,则 就 是 的 特 征 值,而且 相 应 的 特 征 向 量 不 变 。
如 果 对 矩 阵 按 计 算,则 有
0 1 0 0
0 2
1 0 1
0 1 0
( 2,3,)
i
i
in
AI
A
适 当 地 选 取,使 得 且这 样,用 幂 法 计 算 的 最 大 模 特 征 值 及相 应 特 征 向 量 的 收 敛 速 度 比 对 用 乘 幂 法 计 算 要 快 。
这 种 加 速 收 敛 的 方 法 称 为 原 点 移 位 法 。
0
0
1 2 3 1 2 3
02
0 2 0 1 0
2 0 2 2 2 2
1 0 1 2 1 1 2 1 1
0 0)
1
( ),
2
( 2,3,,)
2
nn
n
i
n n n
n n n
A
in
原 点 移 位 法 使 用 简 便,但 选 取 困 难 。 在 一 些 简 单情 形,可 估 。 如 当 矩 阵 的 特 征 值 满 足
（ 或 时,
取 则 有且因 此
1
,用 原 点 移 位 法 求 可 使 收 敛 速 度 加 快 。
0
4 14 0
5 13 0 2.9,
1 0 2.8
A
A
-4
例,,用 原 点 移 位 法求 矩 阵 的 按 模 最 大 的 特 征 值,要 求 误 差 不 超 过 10 。
( 0 ) ( 1 ) ( )
0
0
( 1,1,1 ),( )
6,9 1 4 0
5 10.1 0
1 0 0,1
T k k
x x A I x
AI
解,取 按 进 行 计 算
( 4 )
4
( 5 )
5
4
54
1
( 3,1 0 0 0 5 6 8,2,2 1 4 3 2 6,0,9 6 8 7 6 6 1 )
3,1 0 0 0 5 6 8
( 3,0 9 9 9 9 8 4,2,2 1 4 2 8 4 6,0,9 6 8 7 5 0 1 )
3,0 9 9 9 9 8 4
0,0 0 0 0 5 8 4 1 0
3,0 9 9 9 9 8 4 2,9 5,9 9 9 9 9 8 4
( 3,0 9 9 9 9 8 4
x
m
x
m
mm
A
x
所 以,矩 阵 的 按 模 最 大 的 特 征 值 为相 应 的 特 征 向 量 为
,2,2 1 4 2 8 4 6,0,9 6 8 7 5 0 1 ),
T
1 2 3
21
20
10
6,3,2,8,
1
,
2
0,1 1
3,1 3 1
A
A
不 难 求 出,的 特 征 值 为若 对 直 接 用 幂 法,则 比 值 ／ 而 用 原 点 移位 法,则 有因 此 收 敛 速 度 明 显 加 快 。
1
21
1
22
2 1 1
2 1 2 1
l i m 0
()
22
k
k
k
k
kk
kk
k k k k k
k
k
k k k k k k
aa
aa
c
aa
a a a a
k
a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a a
（ 二 ）,乘 幂 法 的 Aitken 加 速如 果 序 列 线 性 收 敛 到,即则 当 充 分 大 时,有
k
k
k
a a a Ait k e n
a
序 列 比 更 快 地 收 敛 到,这 就 是加 速 法 。 将 这 一 方 法 用 于 乘 幂 法 所 产 生 的 序 列
,可 加 快 乘 幂 法 的 收 敛 速 度 。
1
0 1 0
1
2
2
10
0
2 1 0
1,( ),(,,),
2,1,0,0,1
3,m a x
4,
()
5,
2
ij n
r i r
in
r
A a x x x
N
k
r x x x
x
y x A y x
算 法,
输 入 初 始 向 量 误 差 限,最 大迭 代 次 数 。
置求 整 数,使,
计 算 置计 算
0
1 0 2 1 0
6.,,,7
7,,,,,1,
3
x
k N k k
若 输 出 停 机 ； 否 则,转 ；
若 置转 ； 否 则,输 出 失 败 信 息,停 机 。
( 也 可 采 用 幂 法 迭 代 两 步 或 三 步,加 速 一 次 的 方 法 ）
三、反幂法反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。
11
1
1
1
,
1
A n n u A
A u u u A u A u u
AA
A
A
A
设 为 阶 非 奇 异 矩 阵,为 的 特 征 值与 相 应 的 特 征 向 量,即此 式 表 明,的 特 征 值 是 的 特 征 值 的 倒 数,
而 相 应 的 。 因的 按 模 最 大 的 特此,若 对 矩 阵 用幂 法,即 可 计 算 出,
倒 数 恰 为 的 按 模 最 小 的 特 征特 征 向 量 不值值 。
征 其变反幂法的基本思想
1
( 1 ) ( )
( 1 ) 1 ( )
( 1 )
kk
kk
k
A
A
A x x
x A x
x
A
＋
因 为 的 计 算 比 较 麻 烦,而 且 往 往 不 能 保 持 矩阵 的 一 些 好 性 质 （ 如 稀 疏 性 ）,因 此,反 幂 法 在 实际 运 算 时 以 求 解 方 程 组代 替 幂 法 迭 代求 得,每 迭 代 一 次 要 解 一 个 线 性 方 程 组 。 由 于 矩阵 在 迭 代 过 程 中 不 变,故 可 对,每次 迭 代 只 要 解 两 个 三先角进 行 三 角 分 解形 方 程 组 。
00
1
1
1
,1 1 1
1
m a x ( 0,1,2,)
= /
T
kk
k
ki
in
k
kk
k
A
A
mk
m
m
x R x
yx
y
xy
－
任 取 初 始 向 量 通 常 取 ＝,,,,
迭 代 过 程 为 （ 避 免 求 ）
()
( ) ( )
1
( 1 ) ( )
-1
-1
1.
2,m a x,
3.,
1
,l i m
k
kk
ki
in
k
kk
n n k
k
n
n
n
A A L U
y
m y x
m
Uy z L z x
m
反 幂 法 计 算 的 主 要 步 骤,
对 进 行 三 角 分 解求 计 算解 方 程 组若 则反 幂 法 的 收 敛 比 值 为
**
**
**
**
**
0< ( )
( )
ii
ii
A
AI
AI
用带原点移位的反幂法来修正特征值，并求相应的特征向量是非常有效的。
设已知 的一个特征值 的近似值为,因接近,一般有故 是矩阵 的按模最小的特征值，且由上式可知，比值 ／ 较小。因此，对 用反幂法求 一般收敛很快，通常 只要经过二、三次迭代就能达到较高的精度。
原点平移法
( 0 )
2 1 0
0 2 1
0 1 2
( 0,0,1 ),
T
AA
x
例,,用 反 幂 法 求 矩 阵 接 近 2.93
的 特 征 值,并 求 相 应 的 特 征 向 量,取
2.93
0.93 1 0
2.93 0 0.93 1
0 1 0.93
AI
AI
解,对 作 三 角 分 解 得
4
1 0 0 0.93 1 0
0 1 0 0 0.93 1
0 1 / 0.93 1 0 0 0.93 1 / 0.93
3 3.00 009 54,3
10 ( 1,0.99 924 31,0.99 914 78 )
( 1,- 1,1 ) 0.00 1.
T
T
u
r
－
按 算 法 迭 代 次,与 准 确 值 的 误 差小 于,与 准 确 值比 较,残 差乘幂法 主要用来求矩阵按模最大的特征值 ；反幂法 主要用来求特征向量 。
§ 2,QR方法
60年代出现的 QR算法是目前计算中小型矩阵的 全部特征值与特征向量 的最有效方法。实矩阵、非奇异。
理论依据,任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵 Q和一个上三角矩阵 R的乘积，而且当 R的对角元符号取定时，分解是唯一的。
()
( 1 )
( 1 )
( 1 ) 1
1 1 1 1
( 2 ) 1
1 1 1
( 2 ) ( )
Q R
( 1,2,),
,
,
(2
k
kk
k
kk
k
A Q R
k
A R Q
AA
A
A A Q R Q A R
A R Q Q A Q
A A A A k
基 本 思 想,利 用 矩 阵 的 分 解 通 过 迭 代 格 式将 化 成 相 似 的 上 三 角 阵 （ 或 分 块 上 三 角 阵 ）,
从 而 求 出 矩 阵 的 全 部 特 征 值 与 特 征 向 量 。
由 即 。 于 是即 与 相 似 。 同 理 可 得,,3,) 。 故它 们 有 相 同 的 特 征 值 。
一、化一般矩阵为准上三角阵
11 12 1 1 1
2 1 22 2 1 2
32 33 3
1
1
( 2,3,,),
House hol de r
nn
nn
n
nn nn
ii
h h h h
h h h h
H h h h
hh
h i n
A
称 形 如的 矩 阵 为 拟 上 三 角 阵,也 称 为 海 森 堡 （ Hessenberg)
阵 。 如 果 次 对 角 线 元 全 不 为 零 则 称 该矩 阵 为 不 可 约 的 上 Hessenberg 矩 阵 。
讨 论 用 变 换 将 一 般 矩 阵 相 似 变 换 成
Hessenberg 阵
§ 2.Jacobi方法
12
Ja c o b i
,:
( 1 )
,,
(,,,)
( 1,2,,),
T
n
i
A
Q
Q A Q d iag
i n A Q
方 法 是 求 实 对 称 矩 阵 的 全 部 特 征 值 及 相 应特 征 向 量 的 一 种 方 法 它 基 于 以 下 两 个 结 论任 意 实 对 称 矩 阵 可 通 过 正 交 相 似 变 换 化 成 对 角阵 即 存 在 正 交 矩 阵 使 得其 中 是 的 特 征 值 中 各 列 即 为 相 应的 特 征 向 量 。
22
,1,1
2
( ),( ),
,
,
,
T
ij n n ij n n
nn
ij ij
i j i j
A a Q B Q AQ b
ab
J ac obi A
（ ） 在 正 交 相 似 变 换 下,矩 阵 元 素 的 平 方 和 不 变 。
设 为 正 交 矩 阵,记则方 法 的 基 本 思 想 是 通 过 一 次 正 交 变 换 将 中一 对 非 零 的 非 对 角 元 素 化 成 零 并 且 使 得 非 对 角 元 素 的平 方 和 减 少 。 反 复 进 行 上 述 过 程,使 变 换 后 的 矩 阵 的非 对 角 元 素 的 平 方 和 趋 于 零,从 而 使 该 矩 阵 近 似 为 对角 矩 阵,得 到 全 部 特 征 值 和 特 征 向 量 。
一、矩阵的旋转变换
1
1
c os si n
1
()
1
si n c os
1
1
ij
An
V
设 为 阶实对称矩阵，考虑矩阵
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) 2 2
( 1 ) 2 2
( 1 ) ( 1 )
(1
( ) ( )
c os si n si n 2
si n c os si n 2
c os si n (,)
T
ij ij ij ij
ii ii jj ij
jj ii jj ij
ik k i ik jk
jk
V A V A V a
a a a a
a a a a
a a a a k i j
a
是正交矩阵，若记则有
) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
si n c os
(,,)
1
( ) si n 2 c os 2
2
0,2 2 / ( )
k j ik jk
k l lk k l
ij ji jj ii ij
ij ij ii jj
a a a
a a a k l i j
a a a a a
a t g a a a
如果 取 使得
( 1 ) ( 1 )
( / 4)
0,
.
ij ji ij ji
a a A a a
则有得到一个使 中非零的非对角元素 变成零的正交相似变换
( 1 ) ( 2 ) ( )
( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 )
,
( ),( ) ( )
(,,) c os si n
k
k l k l
k l k l
k l k l ik k i ik jk
jk k
A A A
A A E A a E A a
a a k l i j a a a a
aa
对 重复上述过程 得到一个矩阵序列 。
可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零元素的个数单调增加，但可保证非对角元的平方和递减。
以 与 为例：设由
( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2
,,
2 2 2
2
,,
si n c os (,)
( ) ( ) 2 [ ( ) ( ) ]
2 ( ) ( ) 2 ( )
j ik jk
k l ik jk
k l i j k i j
k l ik jk ij
k l i j k i j
a a k i j
E A a a a
a a a E A a E A
上式表明，在上述旋转变换下，非对角元的平方和严格单调递减
，因而对角元的平 方和单调递增。正利用这点，导出了Jac obi 方法。
二,Jacobi方法
( 1 )
()
()
( ) ( )
1,,
(
,
,
0,
2.,,m a x
3.
2
k
k
ij
k
kk
ij lm
l m n l m
ii
A A A
J ac obi A
a
J ac obi
k A A
i j a a
a
a c t g?
通过一系列旋转相似变换将 变成 求得 的全部特征值与特征向量的方法称为 方法。如果在对 作相似变换的过程中，每一步都选绝对值最大的非对角元素 以此确定旋转矩阵，这种方法称为古典 方法。其计算过程如下：
1,令求整数 使得计算旋转矩阵
) ( )
2
()
()
2
,( ) ( 1 ),
2
1
c os,si n,( )
1
kk
jj
k
ij
k
ij
a
b t g si gn a a a
a
c d bc V V
b
( 1 )
( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) ( )
( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )
( 1 ) ( 1 )
4.
2,2,
,,
( 1,2,,,,)
k
k k k k k k k k
ii ii jj ij jj ii jj ij
k k k k k k k k
il li il jl jl lj il jl
kk
lm m l
A
a c a d a c d a a d a c a c d a
a a c a d a a a d a c a
l n l i j
aaa
计算
()
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 2
(,1,2,,,,,)
0
5,( ) ( )
k
lm
kk
ij ji
kk
lm
l m n l m i j
aa
E A a
置计算
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 )
1 1 2 2
()
6,( ),,,,
12
lm
k k k k
nn
n
E A a a a Q V V
V k k
A
若 则 为特征值，
的各列为相应特征向量；否则,返回,重复上述过程。
一般地，古典J a c o b i 法不能在有限步内将 化成对角阵，
但有以下收敛性结果。
( ) ( 0 ) ( )
( ) ( )
( ) 2 ( )
( 1 )
( 1 ) 2 ( 1 )
,,l im ( ) 0,
m a x
1
( ) ( )
( 1 )
( ) ( )
kk
k
kk
ij lm
lm
kk
ij
k
kk
ii jj
A n A J ac obi
A A A E A J ac obi
J ac obi a a
a E A
nn
A
aa
＋
定理：设 为 阶实对称阵，对 用古典 法得到序列其中 则 即古典 法收敛。
证：由古典 法计算过程故有又由计算 的公式可得
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2
( 1 ) ( ) ( ) 2
( 1 ) ( ) 1
( ) ( ) 2( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2( ),
22
( ) [ 1 ] ( ) [ 1 ] ( )
( 1 ) ( 1 )
2
1 1,l im
( 1 )
k k k
ii jj ij
k k k k
il jl il jl
k k k
ij
k k k
a a a
a a a a
E A E A a
E A E A E A
n n n n
nn
于是有因
()
2
( ) l im [ 1 ] ( ) 0
( 1 )
kk
kk
E A E A
nn
J a c o b i
J a c o b i
J a c o b i
定理表明，古典 法是收敛的，进一步分析还可得出 法收敛较快。另外，这种方法对舍入误差有较强的稳定性，因而解的精度高，且所求得的特征向量正交性很好。
它的不足之处是运算量大，且不能保持矩阵的特殊形状（如稀疏性），因此 法是求中小型稠密实对称矩阵的全部特征值与特征向量的较好方法。
( 0 )
12
2 1 0
1 2 1
0 1 2
1,2,2 0,,
4
1
c o s sin,
2
11
0
22
11
( ) 0
22
0 0 1
AA
i j c tg
VV
例,用J a c o b i 方法求 的特征值。
解：首先取 因 故有 于是
( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1 1 1 1
00
2 2 2 2
2 1 0
1 1 1 1
0 1 2 1 0
2 2 2 2
0 1 2
0 0 1 0 0 1
1
10
2
1
03
2
11
2
22
T
A V A V?
( 1 )
( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1,3,2 2,c os 0.8 88 07,si n 0.4 59 70
0.8 88 07 0 0.4 59 70
0 1 0
0.4 59 70 0 0.8 88 07
0.6 33 97 0.3 25 06 0
0.3 25 06 3 0.6 27 96
0 0.6 27 96 2.3 66 03
2,3,
T
i j tg
V
A V A V
ij
再取
－
下面应取 重复上述
( 5 )
( 5 ) 2 2
.,
0.5 85 79 0.0 02 03 83 0
0.0 02 03 83 3.4 14 01 0.0 16 75 8
0 0.0 16 75 8 2.0 00 20
( ) 2 ( 0.0 02 03 83 0.0 16 75 8 ) 0.0 00 56 99 7
A
EA
过程如此继续下去可得
1 2 3
1 2 3
3.41401,2.00020,0.58579
2 2 3.41 421 36,2,2 2 0.58 578 64
0.0002036
,{ },0( ),
,,,
( ),,
kk
k ij k
ij ij ji
A
k
a
V a a
所以 的特征值为准确值最大误差为古典Jac obi 法的改进取定正序列以 为限 逐行检查非对角元 若 就跳过 否则以消去元 和 反复进行上述过程 直到
+1
,,1
kk
k
k
A
所有非对角元的绝对值均小于 再以 为限 进行第 轮循环消元。当 充分小时，所得到的矩阵的对角元即为 的全部特征值。
但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法,目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法,
1,( ),( ) de t( ) 0
()
2,( ) 0
ij n n
A a I A
An
A
A I A x
A x x x A
已知 求代数方程的根。 称为 的特征多项式，一般有 个零点，称为 的特征值。
设 为 的特征值，求相应的齐次方程的非零解（即求 的非零解）,称为矩阵 对应于 的特征向量。
主要方法
乘幂法与反幂法（迭代法）
QR算法
Jacobi 方法（变换法）
§ 1.乘幂法和反幂法,
一、乘幂法乘幂法,求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。
基本思想,通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。
12
12
( 0 ) ( 1 ) ( )
()
( 1 ) ( ) ( 1 )
1
( 1,2,,)
( 1,2,,)
,,,
,
( 1,2,),
/,
i
ni
kk
k
k k k
ii
ii
n n A i n
in
k x k
xx
n
u u u
x 0 x A x
x
u
＋
设 阶 实 矩 阵 的 特 征 值 满 足且 与 相 应 的 特 征向 量 线 性 无 关 。
给 定 初 始 向 量 由 迭 代 公 式产 生 向 量 序 列 可 以 证 明,当 充分 大 时,有 相 应 的 特 征 向 量 为 。
因 为 ( 对 应 的 特 征 向 量 ） 线 性 无 关
( 0 )
1
( 1,2,,),
n
i i i
i
n i n
xu
,故 必 存 在个 不 全 为 零 的 数 使 得 。
( 1 ) ( ) 1 ( 0 ) 1 1
11
( 1 ) 1 1 12
1 1 1 2 2
11
11
( 1 )
111
1
( )
[ ( ) ( ) ]
0,( 2,3,,)
l im
nn
k k k k k
i i i i i
ii
k k k kn
nn
i
k
k
k
x Ax A x A u u
x u u u
in
x
u
由设 由 得
( 1 ) 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2
1
( 1 )
( 1 ) 1 ( )
1 1 1 1 1 1
( 1 ) ( )
1
( 1 )
1
()
()
1
[ ( ) ]
,
()
( 1,2,)
n
k k k k
i
ii
i
k
i
k k k k
kk
k
i
k
i
k
i
k
x u u u
x
x u x u
xx
x
in
A
x
x
故 只 要 充 分 大,就 有因 此,可 把 作 为 与 相 应 的 特 征 向 量 的 近 似 。
由其为 按 模 值中最 大 的 特 征
()
k
xi为 的 第 个 分 量 。
2
1
( 0 )
1
()
1
()
1 1 1 1
1
1 0,
,
2,( 1 )
0( 1 )
k
kk
x
xu
xu
乘 幂 法 的 收 敛 速 度 依 赖 于 比 值,比 值 越 小,收 敛 越 快 。
两 点 说 明,
） 如 果 的 选 取 恰 恰 使 得 幂 法 计 算 仍 能 进 行 。
因 为 计 算 过 程 中 舍 入 误 差 的 影 响,迭 代 若 干 次 后,必 然会 产 生 一 个 向 量 它 在 方 向 上 的 分 量 不 为 零,这 样,
以 后 的 计 算 就 满 足 所 设 条 件 。
） 因 计 算 过 程 中 可 能 会 出 现 溢 出或 成 为 的 情 形 。 解 决 方 法,每 次 迭 代 所 求 的 向 量都 要 归 一 化 。
00
1
11
1
,1 1 1
m a x ( 0,1,2,)
= /
T
kk
k
k i k
in
kk
k
A
m k m
m
x R x
yx
y
xy
因 此,乘 幂 法 实 际 使 用 的 计 算 公 式,
任 取 初 始 向 量 通 常 取 ＝,,,,
迭 代 过 程 为
( 0 ) 3
2 1 0
0 2 1
0 1 2
( 0,0,1 ),1 0,
T
A
x?
例,用 乘 幂 法 求 矩 阵的 按 模 最 大 的 特 征 值 和 相 应 的 特 征 向 量 。
取
( 0 )
( 1 ) ( 0 )
1
( 1 )
( 1 )
1
( 2 ) ( 1 )
1
( 2 )
( 2 )
2
( 0,0,1 ),
st e p1,( 0,1,),2,
( 0,0.5,1 ),
st e p2,( 0.5,2,),2.5,
( 0.2,0.8,1 ),
2
2
.5
T
T
T
T
T
x
y Ax m
y
x
m
y Ax m
y
x
m
解,
( 8 ) ( 7 )
8
( 8 )
(( 8)
9
98
1
9)
3
( 2.7650948,2.9981848,)
2.9990924
( 0.9219772,0.9996973,1 )
( 2.8436517,2.9993946,),
2.9996973
- 2.9996973 2.9990924 0.0006
2.
049 10,
2.9
2.9990924
9996973
9
y Ax
m
x
y Ax
m
mm
由故
1
96973,
( 2.84 365 17,2.99 939 46,2.99 969 7 3)u
相 应 特 征 向 量 为
。
1 2 3
1
2
1
3,2,1
1 - 1,1
2
,
3
T
A
事 实 上,的 特 征 值,
与 对 应 的 特 征 向 量 为 （,） 。
此 例 中 比 值 为两种特殊情况
12
1 2 1
,
m m n
前 面 假 定 如 果 按 模 最 大 的 特 征 值 有 多个,即乘 幂 法 是 否 有 效？
1 1 2
( 1 ) 1
1 1 1
111
11
11
1
( 1 ) 1
1 1 1
1,
[
( ) ( ) ]
,,
(
m
kk
mm
kkmn
m m n n
m
kk
m A n
x u u
uu
k
xu
（ ） 是 重 根,即 矩 阵 仍 有 个线 性 无 关 的 特 征 向 量 。 此 时 有显 然,只 要 不 全 为 零,当 充 分 大 时,就 有
)
mm
u?
1 1 1
( 1 )
12 ()
( 1 )
mm
k
i
m k
i
k
u u A
x
x
x
因 也 是 矩 阵 相 应 于 的 特 征 向 量,
故 有为 相 应 的 特 征 向 量,即 对 这 种 情 况 乘 幂 法 仍 然有 效 。
1 2 1 3
( 1 ) 1 1 13
1 1 1 2 2 3 3
1
1
1
( 1 )
( 2 1 ) 2 1 ( 2 ) 2
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2
(
2
1
2,,
[ ( 1 ) ( )
( ) ]
( ),( )
k k k k
kn
nn
k
k k k k
i
An
x u u u
u
xk
x u u x u u
x
（ ） 且 矩 阵 有 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 。
由 上 式 可 知,是 个 摆 动 序 列,当 充 分 大 时,有
2)
( 2 ) ( )
1,2
()
/
k
kk
ii
k
i
xx
x
( 1 ) 1 1
1 1 1 2 2
()
1 1 1 2 2
( 1 ) ( ) 1
1 1 1 1
( 1 ) ( ) 1 1
1 1 2 2
[ ( 1 ) ]
[ ( 1 ) ]
2
2 ( 1 )
k k k
k k k
k k k
k k k k
x u u
x u u
x x u
x x u
又 由故 在 这 种 情 况 下,仍 可 按 乘 幂 法 产 生 向 量 序 列 。
12
1 2 1
1
( 1 ) ( ) ( )
12
n
m m n
k k k
A
x A x x
1,当 的 特 征 值 分 布 为 或时,用 乘 幂 法可 以 计 算 出 及 相 应 的 特 征 向 量 。
2,如 果 按 迭 代 所 得 向 量 序 列 呈有 规 律 的 摆 动,则 可 能 为 的 情 况 。 否 则 应考 虑 用 别 的 方 法 求 解 。
乘幂法小结
An3,当 矩 阵 无 个 线 性 无 关 的 特 征 量 时,乘 幂 法收 敛 很 慢,亦 应 考 虑 改 用 其 他 方 法 。
乘 幂 法 计 算 简 便 易 行,它 是 求 大 型 稀 疏 矩 阵按 模 最 大 特 征 值 的 常 用 方 法 。
二、乘幂法的加速因为乘幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值,当比值接近于 1时，
幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种,原点移位法；外推法
12／
0
00
( 1 ) ( )
0
( 1 ) ( ) ( 1 )
0 1 0 1 1
112 0 0
22
1 0 1 0
( ) ( ) [
( ) ( ) ]
i
i
kk
k k k
kk n
nn
A A I
A A I
A I x Ax
x A I x u
uu
（ 一 ） 原 点 移 位 法矩 阵 与 的 特 征 值 有 以 下 关 系,若 是的 特 征 值,则 就 是 的 特 征 值,而且 相 应 的 特 征 向 量 不 变 。
如 果 对 矩 阵 按 计 算,则 有
0 1 0 0
0 2
1 0 1
0 1 0
( 2,3,)
i
i
in
AI
A
适 当 地 选 取,使 得 且这 样,用 幂 法 计 算 的 最 大 模 特 征 值 及相 应 特 征 向 量 的 收 敛 速 度 比 对 用 乘 幂 法 计 算 要 快 。
这 种 加 速 收 敛 的 方 法 称 为 原 点 移 位 法 。
0
0
1 2 3 1 2 3
02
0 2 0 1 0
2 0 2 2 2 2
1 0 1 2 1 1 2 1 1
0 0)
1
( ),
2
( 2,3,,)
2
nn
n
i
n n n
n n n
A
in
原 点 移 位 法 使 用 简 便,但 选 取 困 难 。 在 一 些 简 单情 形,可 估 。 如 当 矩 阵 的 特 征 值 满 足
（ 或 时,
取 则 有且因 此
1
,用 原 点 移 位 法 求 可 使 收 敛 速 度 加 快 。
0
4 14 0
5 13 0 2.9,
1 0 2.8
A
A
-4
例,,用 原 点 移 位 法求 矩 阵 的 按 模 最 大 的 特 征 值,要 求 误 差 不 超 过 10 。
( 0 ) ( 1 ) ( )
0
0
( 1,1,1 ),( )
6,9 1 4 0
5 10.1 0
1 0 0,1
T k k
x x A I x
AI
解,取 按 进 行 计 算
( 4 )
4
( 5 )
5
4
54
1
( 3,1 0 0 0 5 6 8,2,2 1 4 3 2 6,0,9 6 8 7 6 6 1 )
3,1 0 0 0 5 6 8
( 3,0 9 9 9 9 8 4,2,2 1 4 2 8 4 6,0,9 6 8 7 5 0 1 )
3,0 9 9 9 9 8 4
0,0 0 0 0 5 8 4 1 0
3,0 9 9 9 9 8 4 2,9 5,9 9 9 9 9 8 4
( 3,0 9 9 9 9 8 4
x
m
x
m
mm
A
x
所 以,矩 阵 的 按 模 最 大 的 特 征 值 为相 应 的 特 征 向 量 为
,2,2 1 4 2 8 4 6,0,9 6 8 7 5 0 1 ),
T
1 2 3
21
20
10
6,3,2,8,
1
,
2
0,1 1
3,1 3 1
A
A
不 难 求 出,的 特 征 值 为若 对 直 接 用 幂 法,则 比 值 ／ 而 用 原 点 移位 法,则 有因 此 收 敛 速 度 明 显 加 快 。
1
21
1
22
2 1 1
2 1 2 1
l i m 0
()
22
k
k
k
k
kk
kk
k k k k k
k
k
k k k k k k
aa
aa
c
aa
a a a a
k
a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a a
（ 二 ）,乘 幂 法 的 Aitken 加 速如 果 序 列 线 性 收 敛 到,即则 当 充 分 大 时,有
k
k
k
a a a Ait k e n
a
序 列 比 更 快 地 收 敛 到,这 就 是加 速 法 。 将 这 一 方 法 用 于 乘 幂 法 所 产 生 的 序 列
,可 加 快 乘 幂 法 的 收 敛 速 度 。
1
0 1 0
1
2
2
10
0
2 1 0
1,( ),(,,),
2,1,0,0,1
3,m a x
4,
()
5,
2
ij n
r i r
in
r
A a x x x
N
k
r x x x
x
y x A y x
算 法,
输 入 初 始 向 量 误 差 限,最 大迭 代 次 数 。
置求 整 数,使,
计 算 置计 算
0
1 0 2 1 0
6.,,,7
7,,,,,1,
3
x
k N k k
若 输 出 停 机 ； 否 则,转 ；
若 置转 ； 否 则,输 出 失 败 信 息,停 机 。
( 也 可 采 用 幂 法 迭 代 两 步 或 三 步,加 速 一 次 的 方 法 ）
三、反幂法反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。
11
1
1
1
,
1
A n n u A
A u u u A u A u u
AA
A
A
A
设 为 阶 非 奇 异 矩 阵,为 的 特 征 值与 相 应 的 特 征 向 量,即此 式 表 明,的 特 征 值 是 的 特 征 值 的 倒 数,
而 相 应 的 。 因的 按 模 最 大 的 特此,若 对 矩 阵 用幂 法,即 可 计 算 出,
倒 数 恰 为 的 按 模 最 小 的 特 征特 征 向 量 不值值 。
征 其变反幂法的基本思想
1
( 1 ) ( )
( 1 ) 1 ( )
( 1 )
kk
kk
k
A
A
A x x
x A x
x
A
＋
因 为 的 计 算 比 较 麻 烦,而 且 往 往 不 能 保 持 矩阵 的 一 些 好 性 质 （ 如 稀 疏 性 ）,因 此,反 幂 法 在 实际 运 算 时 以 求 解 方 程 组代 替 幂 法 迭 代求 得,每 迭 代 一 次 要 解 一 个 线 性 方 程 组 。 由 于 矩阵 在 迭 代 过 程 中 不 变,故 可 对,每次 迭 代 只 要 解 两 个 三先角进 行 三 角 分 解形 方 程 组 。
00
1
1
1
,1 1 1
1
m a x ( 0,1,2,)
= /
T
kk
k
ki
in
k
kk
k
A
A
mk
m
m
x R x
yx
y
xy
－
任 取 初 始 向 量 通 常 取 ＝,,,,
迭 代 过 程 为 （ 避 免 求 ）
()
( ) ( )
1
( 1 ) ( )
-1
-1
1.
2,m a x,
3.,
1
,l i m
k
kk
ki
in
k
kk
n n k
k
n
n
n
A A L U
y
m y x
m
Uy z L z x
m
反 幂 法 计 算 的 主 要 步 骤,
对 进 行 三 角 分 解求 计 算解 方 程 组若 则反 幂 法 的 收 敛 比 值 为
**
**
**
**
**
0< ( )
( )
ii
ii
A
AI
AI
用带原点移位的反幂法来修正特征值，并求相应的特征向量是非常有效的。
设已知 的一个特征值 的近似值为,因接近,一般有故 是矩阵 的按模最小的特征值，且由上式可知，比值 ／ 较小。因此，对 用反幂法求 一般收敛很快，通常 只要经过二、三次迭代就能达到较高的精度。
原点平移法
( 0 )
2 1 0
0 2 1
0 1 2
( 0,0,1 ),
T
AA
x
例,,用 反 幂 法 求 矩 阵 接 近 2.93
的 特 征 值,并 求 相 应 的 特 征 向 量,取
2.93
0.93 1 0
2.93 0 0.93 1
0 1 0.93
AI
AI
解,对 作 三 角 分 解 得
4
1 0 0 0.93 1 0
0 1 0 0 0.93 1
0 1 / 0.93 1 0 0 0.93 1 / 0.93
3 3.00 009 54,3
10 ( 1,0.99 924 31,0.99 914 78 )
( 1,- 1,1 ) 0.00 1.
T
T
u
r
－
按 算 法 迭 代 次,与 准 确 值 的 误 差小 于,与 准 确 值比 较,残 差乘幂法 主要用来求矩阵按模最大的特征值 ；反幂法 主要用来求特征向量 。
§ 2,QR方法
60年代出现的 QR算法是目前计算中小型矩阵的 全部特征值与特征向量 的最有效方法。实矩阵、非奇异。
理论依据,任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵 Q和一个上三角矩阵 R的乘积，而且当 R的对角元符号取定时，分解是唯一的。
()
( 1 )
( 1 )
( 1 ) 1
1 1 1 1
( 2 ) 1
1 1 1
( 2 ) ( )
Q R
( 1,2,),
,
,
(2
k
kk
k
kk
k
A Q R
k
A R Q
AA
A
A A Q R Q A R
A R Q Q A Q
A A A A k
基 本 思 想,利 用 矩 阵 的 分 解 通 过 迭 代 格 式将 化 成 相 似 的 上 三 角 阵 （ 或 分 块 上 三 角 阵 ）,
从 而 求 出 矩 阵 的 全 部 特 征 值 与 特 征 向 量 。
由 即 。 于 是即 与 相 似 。 同 理 可 得,,3,) 。 故它 们 有 相 同 的 特 征 值 。
一、化一般矩阵为准上三角阵
11 12 1 1 1
2 1 22 2 1 2
32 33 3
1
1
( 2,3,,),
House hol de r
nn
nn
n
nn nn
ii
h h h h
h h h h
H h h h
hh
h i n
A
称 形 如的 矩 阵 为 拟 上 三 角 阵,也 称 为 海 森 堡 （ Hessenberg)
阵 。 如 果 次 对 角 线 元 全 不 为 零 则 称 该矩 阵 为 不 可 约 的 上 Hessenberg 矩 阵 。
讨 论 用 变 换 将 一 般 矩 阵 相 似 变 换 成
Hessenberg 阵
§ 2.Jacobi方法
12
Ja c o b i
,:
( 1 )
,,
(,,,)
( 1,2,,),
T
n
i
A
Q
Q A Q d iag
i n A Q
方 法 是 求 实 对 称 矩 阵 的 全 部 特 征 值 及 相 应特 征 向 量 的 一 种 方 法 它 基 于 以 下 两 个 结 论任 意 实 对 称 矩 阵 可 通 过 正 交 相 似 变 换 化 成 对 角阵 即 存 在 正 交 矩 阵 使 得其 中 是 的 特 征 值 中 各 列 即 为 相 应的 特 征 向 量 。
22
,1,1
2
( ),( ),
,
,
,
T
ij n n ij n n
nn
ij ij
i j i j
A a Q B Q AQ b
ab
J ac obi A
（ ） 在 正 交 相 似 变 换 下,矩 阵 元 素 的 平 方 和 不 变 。
设 为 正 交 矩 阵,记则方 法 的 基 本 思 想 是 通 过 一 次 正 交 变 换 将 中一 对 非 零 的 非 对 角 元 素 化 成 零 并 且 使 得 非 对 角 元 素 的平 方 和 减 少 。 反 复 进 行 上 述 过 程,使 变 换 后 的 矩 阵 的非 对 角 元 素 的 平 方 和 趋 于 零,从 而 使 该 矩 阵 近 似 为 对角 矩 阵,得 到 全 部 特 征 值 和 特 征 向 量 。
一、矩阵的旋转变换
1
1
c os si n
1
()
1
si n c os
1
1
ij
An
V
设 为 阶实对称矩阵，考虑矩阵
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) 2 2
( 1 ) 2 2
( 1 ) ( 1 )
(1
( ) ( )
c os si n si n 2
si n c os si n 2
c os si n (,)
T
ij ij ij ij
ii ii jj ij
jj ii jj ij
ik k i ik jk
jk
V A V A V a
a a a a
a a a a
a a a a k i j
a
是正交矩阵，若记则有
) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
si n c os
(,,)
1
( ) si n 2 c os 2
2
0,2 2 / ( )
k j ik jk
k l lk k l
ij ji jj ii ij
ij ij ii jj
a a a
a a a k l i j
a a a a a
a t g a a a
如果 取 使得
( 1 ) ( 1 )
( / 4)
0,
.
ij ji ij ji
a a A a a
则有得到一个使 中非零的非对角元素 变成零的正交相似变换
( 1 ) ( 2 ) ( )
( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 )
,
( ),( ) ( )
(,,) c os si n
k
k l k l
k l k l
k l k l ik k i ik jk
jk k
A A A
A A E A a E A a
a a k l i j a a a a
aa
对 重复上述过程 得到一个矩阵序列 。
可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零元素的个数单调增加，但可保证非对角元的平方和递减。
以 与 为例：设由
( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2
,,
2 2 2
2
,,
si n c os (,)
( ) ( ) 2 [ ( ) ( ) ]
2 ( ) ( ) 2 ( )
j ik jk
k l ik jk
k l i j k i j
k l ik jk ij
k l i j k i j
a a k i j
E A a a a
a a a E A a E A
上式表明，在上述旋转变换下，非对角元的平方和严格单调递减
，因而对角元的平 方和单调递增。正利用这点，导出了Jac obi 方法。
二,Jacobi方法
( 1 )
()
()
( ) ( )
1,,
(
,
,
0,
2.,,m a x
3.
2
k
k
ij
k
kk
ij lm
l m n l m
ii
A A A
J ac obi A
a
J ac obi
k A A
i j a a
a
a c t g?
通过一系列旋转相似变换将 变成 求得 的全部特征值与特征向量的方法称为 方法。如果在对 作相似变换的过程中，每一步都选绝对值最大的非对角元素 以此确定旋转矩阵，这种方法称为古典 方法。其计算过程如下：
1,令求整数 使得计算旋转矩阵
) ( )
2
()
()
2
,( ) ( 1 ),
2
1
c os,si n,( )
1
kk
jj
k
ij
k
ij
a
b t g si gn a a a
a
c d bc V V
b
( 1 )
( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) ( )
( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )
( 1 ) ( 1 )
4.
2,2,
,,
( 1,2,,,,)
k
k k k k k k k k
ii ii jj ij jj ii jj ij
k k k k k k k k
il li il jl jl lj il jl
kk
lm m l
A
a c a d a c d a a d a c a c d a
a a c a d a a a d a c a
l n l i j
aaa
计算
()
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 2
(,1,2,,,,,)
0
5,( ) ( )
k
lm
kk
ij ji
kk
lm
l m n l m i j
aa
E A a
置计算
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 )
1 1 2 2
()
6,( ),,,,
12
lm
k k k k
nn
n
E A a a a Q V V
V k k
A
若 则 为特征值，
的各列为相应特征向量；否则,返回,重复上述过程。
一般地，古典J a c o b i 法不能在有限步内将 化成对角阵，
但有以下收敛性结果。
( ) ( 0 ) ( )
( ) ( )
( ) 2 ( )
( 1 )
( 1 ) 2 ( 1 )
,,l im ( ) 0,
m a x
1
( ) ( )
( 1 )
( ) ( )
kk
k
kk
ij lm
lm
kk
ij
k
kk
ii jj
A n A J ac obi
A A A E A J ac obi
J ac obi a a
a E A
nn
A
aa
＋
定理：设 为 阶实对称阵，对 用古典 法得到序列其中 则 即古典 法收敛。
证：由古典 法计算过程故有又由计算 的公式可得
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2
( 1 ) ( ) ( ) 2
( 1 ) ( ) 1
( ) ( ) 2( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2( ),
22
( ) [ 1 ] ( ) [ 1 ] ( )
( 1 ) ( 1 )
2
1 1,l im
( 1 )
k k k
ii jj ij
k k k k
il jl il jl
k k k
ij
k k k
a a a
a a a a
E A E A a
E A E A E A
n n n n
nn
于是有因
()
2
( ) l im [ 1 ] ( ) 0
( 1 )
kk
kk
E A E A
nn
J a c o b i
J a c o b i
J a c o b i
定理表明，古典 法是收敛的，进一步分析还可得出 法收敛较快。另外，这种方法对舍入误差有较强的稳定性，因而解的精度高，且所求得的特征向量正交性很好。
它的不足之处是运算量大，且不能保持矩阵的特殊形状（如稀疏性），因此 法是求中小型稠密实对称矩阵的全部特征值与特征向量的较好方法。
( 0 )
12
2 1 0
1 2 1
0 1 2
1,2,2 0,,
4
1
c o s sin,
2
11
0
22
11
( ) 0
22
0 0 1
AA
i j c tg
VV
例,用J a c o b i 方法求 的特征值。
解：首先取 因 故有 于是
( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1 1 1 1
00
2 2 2 2
2 1 0
1 1 1 1
0 1 2 1 0
2 2 2 2
0 1 2
0 0 1 0 0 1
1
10
2
1
03
2
11
2
22
T
A V A V?
( 1 )
( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1,3,2 2,c os 0.8 88 07,si n 0.4 59 70
0.8 88 07 0 0.4 59 70
0 1 0
0.4 59 70 0 0.8 88 07
0.6 33 97 0.3 25 06 0
0.3 25 06 3 0.6 27 96
0 0.6 27 96 2.3 66 03
2,3,
T
i j tg
V
A V A V
ij
再取
－
下面应取 重复上述
( 5 )
( 5 ) 2 2
.,
0.5 85 79 0.0 02 03 83 0
0.0 02 03 83 3.4 14 01 0.0 16 75 8
0 0.0 16 75 8 2.0 00 20
( ) 2 ( 0.0 02 03 83 0.0 16 75 8 ) 0.0 00 56 99 7
A
EA
过程如此继续下去可得
1 2 3
1 2 3
3.41401,2.00020,0.58579
2 2 3.41 421 36,2,2 2 0.58 578 64
0.0002036
,{ },0( ),
,,,
( ),,
kk
k ij k
ij ij ji
A
k
a
V a a
所以 的特征值为准确值最大误差为古典Jac obi 法的改进取定正序列以 为限 逐行检查非对角元 若 就跳过 否则以消去元 和 反复进行上述过程 直到
+1
,,1
kk
k
k
A
所有非对角元的绝对值均小于 再以 为限 进行第 轮循环消元。当 充分小时，所得到的矩阵的对角元即为 的全部特征值。
