§ 6 分段低次插值
多项式插值的问题
分段线性插值
分段三次埃尔米特插值
小结
1,多项式插值的问题前面介绍了构造插值公式的方法，并分析了它们的余项。在实际应用插值函数作近似计算时，总希望插值公式余项的绝对值小一些，即使得逼近的精度好。
从 表达式看，似乎 提高插值多项式的次数便可达到目的，但实际上并非如此。
nRx
nRx
在插值过程中有两种误差,1）由插值函数替代被插函数 所引起的截断误差；
2）节点数据的误差。这种误差在插值过程中是否会被扩散或放大呢？这就是插值过程的稳定性问题。对任意的插值节点，当时,不一定收敛到,事实上，
当 n变大时，插值过程对于节点的数据误差非常敏感，也就是说高次插值具有数值不稳定性。
nPxfx
nfx
nPx
例 1 给定函数取其等距节点,构造的 Lagrange插值多项式为当 时,只能在 内收敛，而在这个区间以外是发散的。这种畸形现象通常叫做 Runge现象。如下图所示。
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1 1 0 0,1,,ix i n i n
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1
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为了既要增加插值结点，减小插值区间，
以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可以采用分段插值的办法。
所谓分段低次插值，就是对于给定的,
只取与之邻近的节点及相应的函数值作低次多项式插值。
优点：方便，简单，有较好的稳定性和收敛性，通常在分点处保持一定的连续性。
x
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 。
给定节点在节点 上的函数值为,过型值点作折线相连,则
2,分段线性插值
fx
01 na x x x b
fx
ix i
y
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是分段一次多项式，但总体在 上连续。?,ab
0x 1x 1nx? nx2x
X
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O
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若令则 是分段一次的连续函数且满足条件
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则 即为分段线性插值的基函数，基函数 只在 附近不为零，在其它地方均为零，这种性质称为局部非零性质。相应的分段线性插值函数为：
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0,.i j ij
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ij
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,
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ii
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p x y x a x b?
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关于分段线性插值的误差估计,有如下定理：
定理 1 如果 在 上二阶连续可微，
则分段线性插值函数 的余项有以下估计其中 。
fx,ab
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2
( ) ( ) ( ) 8hR x f x p x M
"1
01m a x ( ),m a x ( )iii n a x bh x x M f x
3.分段三次 Hermite插值给定节点,在节点上的函数值及导数值分别为 。
在每个子区间 上作两点三次
Hermite插值,因此是分段三次,总体是直至一阶导数连续,插值函数为
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其中基函数
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分段三次 Hermite插值的余项 可通过三次 Hermite插值余项得到。
定理 2,设 是分段三次 Hermite 插值多项式，若 在 内存在，
其中 是包含 的任一区间，则对任意给定的,有其中
,ab
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4
( ) ( ) ( ),384hR x f x H x M
4
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4,小结分段线性插值简便易行，节点加密误差变小，且插值函数只依赖于本段的节点值，计算误差基本不扩大、稳定。但在节点处插值函数不可微，光滑度不够。
分段三次 Hermite插值函数是插值区间上的光滑函数，总体是直至一阶导数连续，
它与函数在节点处密合程度较好。
多项式插值的问题
分段线性插值
分段三次埃尔米特插值
小结
1,多项式插值的问题前面介绍了构造插值公式的方法，并分析了它们的余项。在实际应用插值函数作近似计算时，总希望插值公式余项的绝对值小一些，即使得逼近的精度好。
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优点：方便，简单，有较好的稳定性和收敛性，通常在分点处保持一定的连续性。
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所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 。
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它与函数在节点处密合程度较好。
