电磁场与电磁波（第四版）教案第一章 矢量分析主要内容矢量分析基础矢量场的散度矢量场的旋度标量场的梯度亥姆霍兹定理
1、1矢量分析与场论基础矢量与矢量场标量与矢量标量：只有大小、没有方向的物理量（如温度、高度等），用它的大小就能完整地描述物理量矢量：既有大小、又有方向的物理量（如力、电场强度等）
矢量的表示方式数学表示
（2）图形表示：带有箭头的线段，线段的长度,
箭头表示的方向
空矢（零矢）：唯一不能用箭头表示的矢量。
标量场与矢量场场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场等）在空间以某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值（），则称在该空间中确定了该物理量的场。
场的属性：占有一个空间，在该空间区域内处处连续（除有限点或表面外）。
场的分类：
按物理量的性质
按物理量变化特性
矢量的运算 （以直角坐标系为例）
矢量的加、减法
说明：（1）矢量的加法符合交换律和结合律
（2）矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解
矢量的乘法矢量与标量相乘
矢量与矢量点乘
点积说明：a、两个矢量的点积为标量
b、矢量的点积符合交换律和分配律
矢量与矢量叉乘（矢量积）
说明：a、两个矢量的叉积为矢量
b、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律
c、平行四边形面积，方向：垂直于所在的平面
d、矢量运算恒等式
常用正交坐标系直角坐标系（略讲）
基本变量：
单位矢量：
分别代表增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则矢量表示,
位置矢量：
微分长度元,
面元,
体元,
拉梅系数：各方向的微分元与各自坐标的微分之比
矢量运算：（见前）
圆柱坐标系基本变量：
单位矢量：
分别代表增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则矢量表示：
位置矢量：
微分长度元：
面元,
体元,
拉梅系数,（第一次课完2.25）
说明：（1）圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系
由于不是常矢量，与有关，可得
（2）圆柱坐标系下矢量运算
球面坐标系基本变量,
单位矢量：
矢量表示,
位置矢量,
微分长度元：
面元,
体元,
拉梅系数：
说明：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系
由于不是常矢量，与有关，可得
（2）球面坐标系下矢量运算
1.2 标量场的梯度一、等值面（线）
1、由场值相等的点构成的面（线），即为等值面（线），等位面、等高线等即若标量函数为 ，则等值面方程为
2、特点：标量场中有无穷多个互不相交的等值面。
二、方向导数
在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变化的规律。
取等位面 和 如图，
1、定义：
2、意义,
标量场在处沿方向增加率；
标量场在处沿方向减小率；
场在处沿方向为等值面方向（无改变）。
计算：
直角坐标系：
三、梯度
1、定义
为场量变化率最大的方向上的单位矢量。由方向导数的定义可知，沿等值面法线的方向导数最大，故
2、特性标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数；
标量场的梯度的幅值表示标量场的最大增加率；
标量场的梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向；
标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影。
3、计算
由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知
直角坐标系：
：哈密顿算符圆柱坐标系：
球面坐标系：
梯度的重要性质
例1.3.1
1、3矢量场的通量 散度一、矢量线（力线）
力线：矢量在空间的形象描述特点：矢量线的疏密程度表征矢量场的大小
矢量线上每点的切线方向代表该处矢量场的方向。
微分方程：力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同
在场中找一点 ,矢径
微分元 在点M 处与矢量线相切，即在点M 处共线,即
直角坐标系
例1．4．1（略）
二、矢量场的通量为了克服矢量线不能定量描述矢量场大小的问题，引入通量的概念。
若矢量场分布于空间，在空间中存在任意曲面S，则定义
为矢量沿曲面S的通量，若S为闭合曲面，
则
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。
讨论：（1）面元矢量定义：面积很小的有向曲面
：面元面积，为微分量，其值可认为无限小
：面元法线方向，垂直面元平面
的确定方法：
对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；
对闭合曲面：闭合面外法线方向。
（2）
（3）物理意义：
若，穿出多于穿入，闭合面内有发出矢量线的正源；
若，穿出少于穿入，闭合面内有汇集矢量线的负源（沟）；
若，穿出等于穿入，闭合面内无源，或正负源代数和相等。
三、矢量场的散度（场中每一点的通量特性）
散度的定义在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的面积为
则定义场矢量在M点的散度为
物理意义矢量场的散度是一个标量点函数，是空间坐标的函数。
（2）散度值表征了空间中通量源的密度。矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性。
讨论：
若 则该矢量场称为有源场，为源密度
若处处成立，则该矢量场为无源场。
散度的计算直角坐标系：
圆柱坐标系：
球面坐标系：
任意正交坐标系：
散度定理（矢量场的高斯定理）
矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。
应用：将一个封闭面积分变换成等价的体积分，或反之。（第二次课完2.27）
例：矢量场的散度与坐标的选择无关。
矢量场,计算穿过一个球心在原点，半径为a的球面的通量;并计算此矢量场的散度。
解： 位置矢量场,表示空间任何一点处矢量场的大小和方向与该点的位置矢量成比例，
其中表示处矢量场的三个分量分别为。
取球坐标，的球面上各点的矢量为，其大小处处相等，而球面上的面元矢量，所以
通量 y
散度 1)直角坐标 x
2）球坐标
即 矢量场的散度与坐标的选择无关。
1、4 矢量场的环流 旋度矢量的环流
在场矢量空间中，取一有向闭合路径,则称沿积分的结果为矢量沿的环量，即
讨论,线元矢量：长度趋近于零，方向沿路径切线方向。
直角坐标系：
环流意义：
二、矢量场的旋度环流密度
在场矢量空间中，围绕空间某点M 取一面元，边界线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义在点M处沿方向的环流密度
表示矢量场在点M处沿方向的旋涡源密度，其值与的大小无关，但与方向有关。
矢量场的旋度
旋度是一个矢量，模值等于环流密度的最大值，方向为最大环流密度的方向，用表示，即
,表示矢量场旋度的方向。
旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间位置的函数。
M点的旋度的大小是该点旋度的最大值。
M点的旋度的方向为最大环流密度的方向矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处旋涡源密度。
旋度的计算
直角坐标系：
任意正交坐标系：
斯托克斯定理
意义：在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的积分。
（证明：）
矢量场旋度的重要性质
1.5亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理
在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，且任意矢量场可表示为
说明：（1）矢量场可分解为一个有源无旋场和无源有旋场之和；
（2）若矢量场在某区域内处处有,和
则由其在边界上的场分布确定。
注意：不存在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。
二、无旋场与无散场
1、无旋场：若矢量场在某区域内，处处，但在某些位置或整个空间内，有,则称在该区域内，场为无旋场。
重要性质：
结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零（无漩涡源）。
2、无散场,若矢量场在某区域内，处处，但，则称在该区域内，场为无散场。
重要性质：
无散场通过任何闭合曲面S的通量等于零（无通量源）。
讨论：
由于 ,可引入一个矢量辅助函数表征矢量场,称为无散场的矢量位函数。
3、就矢量场整体而言，无旋场的散度不能处处为零，而无散场的旋度不能处处为零。一般的矢量场，可能既有散度，又有旋度。
（1） 标量场梯度的性质：
无旋场的旋度始终为零，可引入标量辅助函数表征矢量场,称为无旋场的标量位函数。
（2）
习题课：
1、1矢量分析与场论基础矢量与矢量场标量与矢量标量：只有大小、没有方向的物理量（如温度、高度等），用它的大小就能完整地描述物理量矢量：既有大小、又有方向的物理量（如力、电场强度等）
矢量的表示方式数学表示
（2）图形表示：带有箭头的线段，线段的长度,
箭头表示的方向
空矢（零矢）：唯一不能用箭头表示的矢量。
标量场与矢量场场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场等）在空间以某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值（），则称在该空间中确定了该物理量的场。
场的属性：占有一个空间，在该空间区域内处处连续（除有限点或表面外）。
场的分类：
按物理量的性质
按物理量变化特性
矢量的运算 （以直角坐标系为例）
矢量的加、减法
说明：（1）矢量的加法符合交换律和结合律
（2）矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解
矢量的乘法矢量与标量相乘
矢量与矢量点乘
点积说明：a、两个矢量的点积为标量
b、矢量的点积符合交换律和分配律
矢量与矢量叉乘（矢量积）
说明：a、两个矢量的叉积为矢量
b、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律
c、平行四边形面积，方向：垂直于所在的平面
d、矢量运算恒等式
常用正交坐标系直角坐标系（略讲）
基本变量：
单位矢量：
分别代表增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则矢量表示,
位置矢量：
微分长度元,
面元,
体元,
拉梅系数：各方向的微分元与各自坐标的微分之比
矢量运算：（见前）
圆柱坐标系基本变量：
单位矢量：
分别代表增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则矢量表示：
位置矢量：
微分长度元：
面元,
体元,
拉梅系数,（第一次课完2.25）
说明：（1）圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系
由于不是常矢量，与有关，可得
（2）圆柱坐标系下矢量运算
球面坐标系基本变量,
单位矢量：
矢量表示,
位置矢量,
微分长度元：
面元,
体元,
拉梅系数：
说明：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系
由于不是常矢量，与有关，可得
（2）球面坐标系下矢量运算
1.2 标量场的梯度一、等值面（线）
1、由场值相等的点构成的面（线），即为等值面（线），等位面、等高线等即若标量函数为 ，则等值面方程为
2、特点：标量场中有无穷多个互不相交的等值面。
二、方向导数
在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变化的规律。
取等位面 和 如图，
1、定义：
2、意义,
标量场在处沿方向增加率；
标量场在处沿方向减小率；
场在处沿方向为等值面方向（无改变）。
计算：
直角坐标系：
三、梯度
1、定义
为场量变化率最大的方向上的单位矢量。由方向导数的定义可知，沿等值面法线的方向导数最大，故
2、特性标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数；
标量场的梯度的幅值表示标量场的最大增加率；
标量场的梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向；
标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影。
3、计算
由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知
直角坐标系：
：哈密顿算符圆柱坐标系：
球面坐标系：
梯度的重要性质
例1.3.1
1、3矢量场的通量 散度一、矢量线（力线）
力线：矢量在空间的形象描述特点：矢量线的疏密程度表征矢量场的大小
矢量线上每点的切线方向代表该处矢量场的方向。
微分方程：力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同
在场中找一点 ,矢径
微分元 在点M 处与矢量线相切，即在点M 处共线,即
直角坐标系
例1．4．1（略）
二、矢量场的通量为了克服矢量线不能定量描述矢量场大小的问题，引入通量的概念。
若矢量场分布于空间，在空间中存在任意曲面S，则定义
为矢量沿曲面S的通量，若S为闭合曲面，
则
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。
讨论：（1）面元矢量定义：面积很小的有向曲面
：面元面积，为微分量，其值可认为无限小
：面元法线方向，垂直面元平面
的确定方法：
对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；
对闭合曲面：闭合面外法线方向。
（2）
（3）物理意义：
若，穿出多于穿入，闭合面内有发出矢量线的正源；
若，穿出少于穿入，闭合面内有汇集矢量线的负源（沟）；
若，穿出等于穿入，闭合面内无源，或正负源代数和相等。
三、矢量场的散度（场中每一点的通量特性）
散度的定义在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的面积为
则定义场矢量在M点的散度为
物理意义矢量场的散度是一个标量点函数，是空间坐标的函数。
（2）散度值表征了空间中通量源的密度。矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性。
讨论：
若 则该矢量场称为有源场，为源密度
若处处成立，则该矢量场为无源场。
散度的计算直角坐标系：
圆柱坐标系：
球面坐标系：
任意正交坐标系：
散度定理（矢量场的高斯定理）
矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。
应用：将一个封闭面积分变换成等价的体积分，或反之。（第二次课完2.27）
例：矢量场的散度与坐标的选择无关。
矢量场,计算穿过一个球心在原点，半径为a的球面的通量;并计算此矢量场的散度。
解： 位置矢量场,表示空间任何一点处矢量场的大小和方向与该点的位置矢量成比例，
其中表示处矢量场的三个分量分别为。
取球坐标，的球面上各点的矢量为，其大小处处相等，而球面上的面元矢量，所以
通量 y
散度 1)直角坐标 x
2）球坐标
即 矢量场的散度与坐标的选择无关。
1、4 矢量场的环流 旋度矢量的环流
在场矢量空间中，取一有向闭合路径,则称沿积分的结果为矢量沿的环量，即
讨论,线元矢量：长度趋近于零，方向沿路径切线方向。
直角坐标系：
环流意义：
二、矢量场的旋度环流密度
在场矢量空间中，围绕空间某点M 取一面元，边界线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义在点M处沿方向的环流密度
表示矢量场在点M处沿方向的旋涡源密度，其值与的大小无关，但与方向有关。
矢量场的旋度
旋度是一个矢量，模值等于环流密度的最大值，方向为最大环流密度的方向，用表示，即
,表示矢量场旋度的方向。
旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间位置的函数。
M点的旋度的大小是该点旋度的最大值。
M点的旋度的方向为最大环流密度的方向矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处旋涡源密度。
旋度的计算
直角坐标系：
任意正交坐标系：
斯托克斯定理
意义：在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的积分。
（证明：）
矢量场旋度的重要性质
1.5亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理
在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，且任意矢量场可表示为
说明：（1）矢量场可分解为一个有源无旋场和无源有旋场之和；
（2）若矢量场在某区域内处处有,和
则由其在边界上的场分布确定。
注意：不存在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。
二、无旋场与无散场
1、无旋场：若矢量场在某区域内，处处，但在某些位置或整个空间内，有,则称在该区域内，场为无旋场。
重要性质：
结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零（无漩涡源）。
2、无散场,若矢量场在某区域内，处处，但，则称在该区域内，场为无散场。
重要性质：
无散场通过任何闭合曲面S的通量等于零（无通量源）。
讨论：
由于 ,可引入一个矢量辅助函数表征矢量场,称为无散场的矢量位函数。
3、就矢量场整体而言，无旋场的散度不能处处为零，而无散场的旋度不能处处为零。一般的矢量场，可能既有散度，又有旋度。
（1） 标量场梯度的性质：
无旋场的旋度始终为零，可引入标量辅助函数表征矢量场,称为无旋场的标量位函数。
（2）
习题课：
