第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3．1 真空中静电场的基本方程
3.1.1场的基本方程
由亥姆霍兹定理，矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。
一、真空中静电场的散度 高斯定理
1、真空中静电场的散度
可以证明，真空中静电场的散度为
静电场高斯定理微分形式
说明：1）电场散度仅与电荷分布有关，其大小；
2）对于真空中点电荷，有
2、高斯定理
讨论：1）物理意义：静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内所包围电荷量有关（场与所有电荷有关）；
2）静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场；
3）无电荷处，源的散度为零，但电场不一定为零。
二、真空中静电场的旋度 环路定理
当A点和B点重合时，
静电场环路定理的积分形式由斯托克斯公式， 环路定理的微分形式讨论：1）物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电场力做功为零 静电场为保守场；
2）静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡场，电力线不构成闭合回路。
三、真空中静电场性质小结
1,微分形式 积分形式
2、静电场性质：有源无旋场，是保守场
3、静电场的源：电荷讨论：对于静电场，恒有
,而
为标量辅助函数
静电场可以由一标量函数的梯度表示。
补充内容：利用高斯定理求解静电场
求解关键：高斯面的选择高斯面的选择原则：
场点位于高斯面上高斯面为闭合面在整个或分段高斯面上，或为恒定值。
适用范围：呈对程分布的电荷系统。
3.1.2电位函数电位函数与电位差电位函数
可用一标量函数表示
讨论：1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数
2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向
3）在直角坐标系中，
电位差（电压）
电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。
电位差的计算：
电场空间中两点间电位差为：
说明：1）意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所做的功；
2）两点间的电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与路径无关。
3、电位参考点
电位函数不唯一，导致电场分布具有不确定性
设
为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值。
选择电位参考点的原则：
应使电位表达式有意义；
应使电位表达式最简单；
同一个问题只能有一个参考点；
电位参考点的电位值一般为零。
电位函数的求解点电荷的电位 Q
q p
选取Q点为电位参考点，则
若参考点Q在无穷远处，即，则
点电荷在空间产生的电位
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点。
无限长线电荷的电位
Q
p
电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，选取柱面为电位参考点，即，得
无限长线电流在空间产生的电位分布电荷在空间产生的电位体电荷：
面电荷：
线电荷：
说明：若参考点在无穷远处，则 。
综上所述，电位是一标量电位是一相对量，与参考点的选取有关电位差是绝对的
引入电位函数的意义：简化电场的求解——间接求解法在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求解电位函数，再由关系得到电场解。
三、电位的微分方程
1、方程的建立有源区
即 电位的泊松方程无源区
电位的拉普拉斯方程
（不同坐标系下方程的表示略）
电位的边界条件
有
若 有
3.1.3 电容一、电容
1、孤立导体的电容
定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即
电容C 只与导体几何性质和周围介质有关，与q和无关；
例,空气中半径为a的孤立导体球
2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容）
C只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关；
例,平行板电容器电容（导体球、圆柱等）
二、部分电容若电容器由多个导体构成，则电容器之间、导体与地之间均存在电容单个导体上的电量
两个导体，且考虑大地的影响，相当三个导体，其中一个导体上的电量为
导体间的电容 导体与大地间的电容
3,N个导体，导体i上的电量与它其他导体之间的电位差（包括大地）有关，即N 个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为共有 N 个方程其中 为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。
由以上N 个方程可解出
（共有 N 个方程）
当时称为电容系数， 时 称为感应系数，且
引入 方程 可写为
其比值
？（
导体与地之间电容——导体自电容
导体之间的电容——导体互电容
）
3.1.4电场能量一、空间总电场能量分布电荷总能量空间电荷分布 ，在空间中产生的电位为，空间总电场能量为,
说明：1）此公式只适用于静电场能量求解；
2） 不表示能量密度；
3）为空间中自由电荷分布；
4）积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。
2、带电导体系统总能量若电量为的电荷分布在导体上，导体电位为，空间总静电场能量为 导体所带电量
N个导体， 导体电位电场能量密度
第一项：
电场能量密度例 3.1.6 P102
三、静电力(虚位移法)
虚功原理如下：设空间一定位形结构的带电体系，静电能为 。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作用下发生小的虚位移,静电力作的虚功为：
(力为广义力)
该虚功等于电荷体系能量的减少
若系统与外界电源相连，外界电源供给的能量为，
则该系统的能量关系为
1、恒电荷系统 （带电系统电荷保持不变）
结合导体系能量表达式，静电力为
可得到单位导体表面积受到的静电力是含受力面元本身的电荷在内其中 为系统总电荷在导体表面处产生的电场。
恒电位系统（导体电位保持不变）
外界电源供给的能量
系统的能量增量 为外界电源供给的能量的一半，另一半则用于电场力做功，可得 例3.1.7
3.2恒定电场分析（恒定电流空间中存在的电场）
一、恒定电场基本方程基本量
基本方程,有源无旋场
恒定电场空间中电荷分布不变 由电流连续性方程，
,有
均匀导电媒质，=常数由
二、欧姆定律体积元：电导率，电场
由欧姆定律
单位矢量讨论：1）在理想导体内，恒定电场为0；
2）恒定电场可以存在于非理想导体内；
3）在导电媒质内，恒定电场和的方向同。
三、焦耳定律
在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功，设电荷量，运动速度为，则电场力在时间所做的功为
功率
电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉。
导电媒质中单位体积功率损耗为
——焦耳定律的微分形式体积为V的导电媒质内的损耗功率为
——焦耳定律的积分形式
四、恒定电场边界条件
的边界条件
的边界条件
电位边界条件
讨论：
若 ，则
在理想导体表面上，和都垂直于边界面。
静电场和性质的比较：
相同点,不同点：
场性质相同，均为保守场； 1、源不同；
场不随时间改变； 2、存在区域不同，静电场只能
3、均不能存在于理想导体内部。 存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内 。
静电场 恒定电场 静电比拟
3.3恒定磁场分析
3.3.1真空中恒定磁场基本方程
1、磁场基本方程
恒定磁场性质：
无源场，磁感应线无头无尾且不相交；
有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁感应线构成闭合回路。
注意：
1）空间中任意一点的磁场的旋度只与当地的电流密度有关；
2）定理中，电流为回路所围电流的代数和，为回路C内外的电流共同产生。
2、边界条件
若，则
矢量磁位一、矢量磁位的引入
（）
二、库仑规范
要求：与间满足一一对应关系矢量位的任意性设 为任意标量场
而
有
而
上式表明和为性质不同的两种矢量场，这意味着满足
的有无限多个。
库仑规范条件由上所述，必须引入新的条件对进行限定。
由亥姆霍兹定理可知，矢量场的性质由起旋度和散度决定，的旋度已知，必须对其散度进行限定。
令 库仑规范条件注意：规范条件是人为引入的限定条件三、矢量磁位的求解
1、矢量磁位满足的方程
3．1 真空中静电场的基本方程
3.1.1场的基本方程
由亥姆霍兹定理，矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。
一、真空中静电场的散度 高斯定理
1、真空中静电场的散度
可以证明，真空中静电场的散度为
静电场高斯定理微分形式
说明：1）电场散度仅与电荷分布有关，其大小；
2）对于真空中点电荷，有
2、高斯定理
讨论：1）物理意义：静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内所包围电荷量有关（场与所有电荷有关）；
2）静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场；
3）无电荷处，源的散度为零，但电场不一定为零。
二、真空中静电场的旋度 环路定理
当A点和B点重合时，
静电场环路定理的积分形式由斯托克斯公式， 环路定理的微分形式讨论：1）物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电场力做功为零 静电场为保守场；
2）静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡场，电力线不构成闭合回路。
三、真空中静电场性质小结
1,微分形式 积分形式
2、静电场性质：有源无旋场，是保守场
3、静电场的源：电荷讨论：对于静电场，恒有
,而
为标量辅助函数
静电场可以由一标量函数的梯度表示。
补充内容：利用高斯定理求解静电场
求解关键：高斯面的选择高斯面的选择原则：
场点位于高斯面上高斯面为闭合面在整个或分段高斯面上，或为恒定值。
适用范围：呈对程分布的电荷系统。
3.1.2电位函数电位函数与电位差电位函数
可用一标量函数表示
讨论：1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数
2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向
3）在直角坐标系中，
电位差（电压）
电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。
电位差的计算：
电场空间中两点间电位差为：
说明：1）意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所做的功；
2）两点间的电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与路径无关。
3、电位参考点
电位函数不唯一，导致电场分布具有不确定性
设
为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值。
选择电位参考点的原则：
应使电位表达式有意义；
应使电位表达式最简单；
同一个问题只能有一个参考点；
电位参考点的电位值一般为零。
电位函数的求解点电荷的电位 Q
q p
选取Q点为电位参考点，则
若参考点Q在无穷远处，即，则
点电荷在空间产生的电位
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点。
无限长线电荷的电位
Q
p
电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，选取柱面为电位参考点，即，得
无限长线电流在空间产生的电位分布电荷在空间产生的电位体电荷：
面电荷：
线电荷：
说明：若参考点在无穷远处，则 。
综上所述，电位是一标量电位是一相对量，与参考点的选取有关电位差是绝对的
引入电位函数的意义：简化电场的求解——间接求解法在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求解电位函数，再由关系得到电场解。
三、电位的微分方程
1、方程的建立有源区
即 电位的泊松方程无源区
电位的拉普拉斯方程
（不同坐标系下方程的表示略）
电位的边界条件
有
若 有
3.1.3 电容一、电容
1、孤立导体的电容
定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即
电容C 只与导体几何性质和周围介质有关，与q和无关；
例,空气中半径为a的孤立导体球
2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容）
C只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关；
例,平行板电容器电容（导体球、圆柱等）
二、部分电容若电容器由多个导体构成，则电容器之间、导体与地之间均存在电容单个导体上的电量
两个导体，且考虑大地的影响，相当三个导体，其中一个导体上的电量为
导体间的电容 导体与大地间的电容
3,N个导体，导体i上的电量与它其他导体之间的电位差（包括大地）有关，即N 个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为共有 N 个方程其中 为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。
由以上N 个方程可解出
（共有 N 个方程）
当时称为电容系数， 时 称为感应系数，且
引入 方程 可写为
其比值
？（
导体与地之间电容——导体自电容
导体之间的电容——导体互电容
）
3.1.4电场能量一、空间总电场能量分布电荷总能量空间电荷分布 ，在空间中产生的电位为，空间总电场能量为,
说明：1）此公式只适用于静电场能量求解；
2） 不表示能量密度；
3）为空间中自由电荷分布；
4）积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。
2、带电导体系统总能量若电量为的电荷分布在导体上，导体电位为，空间总静电场能量为 导体所带电量
N个导体， 导体电位电场能量密度
第一项：
电场能量密度例 3.1.6 P102
三、静电力(虚位移法)
虚功原理如下：设空间一定位形结构的带电体系，静电能为 。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作用下发生小的虚位移,静电力作的虚功为：
(力为广义力)
该虚功等于电荷体系能量的减少
若系统与外界电源相连，外界电源供给的能量为，
则该系统的能量关系为
1、恒电荷系统 （带电系统电荷保持不变）
结合导体系能量表达式，静电力为
可得到单位导体表面积受到的静电力是含受力面元本身的电荷在内其中 为系统总电荷在导体表面处产生的电场。
恒电位系统（导体电位保持不变）
外界电源供给的能量
系统的能量增量 为外界电源供给的能量的一半，另一半则用于电场力做功，可得 例3.1.7
3.2恒定电场分析（恒定电流空间中存在的电场）
一、恒定电场基本方程基本量
基本方程,有源无旋场
恒定电场空间中电荷分布不变 由电流连续性方程，
,有
均匀导电媒质，=常数由
二、欧姆定律体积元：电导率，电场
由欧姆定律
单位矢量讨论：1）在理想导体内，恒定电场为0；
2）恒定电场可以存在于非理想导体内；
3）在导电媒质内，恒定电场和的方向同。
三、焦耳定律
在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功，设电荷量，运动速度为，则电场力在时间所做的功为
功率
电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉。
导电媒质中单位体积功率损耗为
——焦耳定律的微分形式体积为V的导电媒质内的损耗功率为
——焦耳定律的积分形式
四、恒定电场边界条件
的边界条件
的边界条件
电位边界条件
讨论：
若 ，则
在理想导体表面上，和都垂直于边界面。
静电场和性质的比较：
相同点,不同点：
场性质相同，均为保守场； 1、源不同；
场不随时间改变； 2、存在区域不同，静电场只能
3、均不能存在于理想导体内部。 存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内 。
静电场 恒定电场 静电比拟
3.3恒定磁场分析
3.3.1真空中恒定磁场基本方程
1、磁场基本方程
恒定磁场性质：
无源场，磁感应线无头无尾且不相交；
有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁感应线构成闭合回路。
注意：
1）空间中任意一点的磁场的旋度只与当地的电流密度有关；
2）定理中，电流为回路所围电流的代数和，为回路C内外的电流共同产生。
2、边界条件
若，则
矢量磁位一、矢量磁位的引入
（）
二、库仑规范
要求：与间满足一一对应关系矢量位的任意性设 为任意标量场
而
有
而
上式表明和为性质不同的两种矢量场，这意味着满足
的有无限多个。
库仑规范条件由上所述，必须引入新的条件对进行限定。
由亥姆霍兹定理可知，矢量场的性质由起旋度和散度决定，的旋度已知，必须对其散度进行限定。
令 库仑规范条件注意：规范条件是人为引入的限定条件三、矢量磁位的求解
1、矢量磁位满足的方程
