第四章 超静定结构的解法
Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures
4.2 力法 (Force Method)
一,力法的基本概念二,力法的基本体系与基本未知量三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
l
l
EI
2EI
X1
X2
1?
2?
变形条件,
0
0
2
1
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
变形条件,
0
0
2
1
q
X1=1
1X?
11?
21?
X2=1
2X?
22?
12?
P1?
P2?
012121111 PXX
022221212 PXX
----力法的典型方程
)( jiij 主系数 >0
)( jiij 付系数
iP?
荷载系数
jiij
位移互等柔度系数
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
q
X1=1
1X?
X2=1
2X?
11?
21? 22?
12?
P1?
P2?
01212111 PXX
02222121 PXX
EI
ll
EI
ll
EI
3
3
2
11 6
71
3
2
22
1
M1
l
M2
l
MP22 /ql
EI
lll
EI
32
12 2
1
2
1
EI
lll
EI
32
21 2
1
2
1
EI
lll
EI
32
22 3
1
3
2
2
1
EI
ql
P
4
1 16
9
EI
ql
P
4
2 4
1
403209 21 /,/ qlXqlX
PMXMXMM 2211
20
2ql
402 /ql M
内力分布与刚度无关吗?
荷载作用下超静定结构内力分布与刚度的绝对值无关只与各杆刚度的比值有关,
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
20
2ql
402 /ql M
01212111 PXX
02222121 PXX
403209 21 /,/ qlXqlX
0
0
2
1
q
1X
2X
4020 2221 /,/ qlXqlX
01212111 PXX
02222121 PXX
0
0
2
1
1X
2X
40203 221 /,/ qlXqlX
01212111 PXX
02222121 PXX
0
0
2
1
小结,
1.力法的典型方程是体系的变形协调方程
2.主系数恒大于零,付系数满足位移互等定理
3.柔度系数是体系常数
4.荷载作用时,内力分布与刚度大小无关,与各杆刚度比值有关,荷载不变,调整各杆刚度比可使内力重分布,
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程求 A截面转角
0
0
2
1
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
(1).位移计算
q
l
l
EI
2EIA
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
1
Mi
)()( EIqlqllqllEIA 322 80114021120211
求 A截面转角
(1).位移计算
q
l
l
EI
2EIA
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
1
Mi
)()( EIqlqllqllEIA 322 80114021120211
1X
2X
20
2ql
402 /ql
M
1
Mi )()
(
EI
qlql
l
ql
l
EIA
32
2
80
1
2
1
83
2
3
2
202
1
2
1
单位荷载法 求超静定结构位移时,单位力可加在任意力法基本结构上,
正确的解答应满足什么条件?
错误的解答能否满足平衡条件?
(2).力法计算校核
q
l
l
EI
2EIA
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
011 dsEIMM
022 dsEIMM
X1=1
M1
l
X2=1
M2
l
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程例 1,力法解图示结构,作 M图,
01
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
l/2
EI EI
P
l/2 l
X1
P
P X1=1
83 /Pl
MP
2/l
M1
解,
01111 PX?
323 /Pl
M
EIl 6311 /
EI
PllPl
l
lPl
l
EI
P
96
11
442
1
2
23
2
42
11
3
1
)
(
4/Pl 16111 /PX?
PMXMM 11
01
l/2
EI EI
P
l/2 l
X1
P
P X1=1
83 /Pl
MP
2/l
M1
解,
01111 PX?
323 /Pl
M
EIl 6311 /
EI
PllPll
lPll
EIP
96
11
442
1
2
23
2
42
11
3
1
)
(
4/Pl 16111 /PX?
PMXMM 11
01解,
01111 PX?
EIl 3211 /
EI
PlPll
EIP 162
1
42
11 2
1
3231 /PlX?
PMXMM 11
P X1
4/Pl
MP
P
1
M1
X1=1
另一解法
03113
0
0
0
3
2
1
P
X1=1
M1
X2=1
M2
M3
X3=1P
MP
X1
P
X2 X3
X1=1
X2=1 X3=1
P
M1
M2
M3
MP
P
X1 X2 X3
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
032 PP
例 2,力法解图示结构,作 M图,
解,
P
l l
X1
P X2
X3
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
0332233113 P
023232333 EAlGA skQEA sNEI sM d dd?
03?X
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
EIl 32211 /
EIl 62112 /
EIPlPP 16221 /
8
8
2
2
2
1
/
/
PlX
plX
PMXMXMM 2211
82 /Pl
两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力,
例 3,力法解图示桁架,
EA=常数,
解,P
a
a
1X
P0
1
01111 PX?
EA
a
EA
lNN )( 21411
11
EA
Pa
EA
lNN P
P )( 21211
21 /PX
PNXNN 11
P P2?
P 0 0
P
0 0
NP
11?X
N1
1
1
1
1 1
2?
2?
1X
P
-P/2
-P/2P/2
P/2
22/?
22/
1X1X EA
aX 1
1
变形条件仍为,
对吗?01
解：
kXX P /11111
)(32251 qlX
例 4,求作图示梁的弯矩图。
PMXMM 11
)1( 11
1
1
k
X P
,310 lEIk?当
k
当
)( qlX 451
EI
kX /11
EI
l
6
3
11 EI
Pl
P 24
5 3
1
0?k当 01?X
解,01111 PX
例 5,求解图示加劲梁。
横梁 44 m101I
EI
EAEI
P
3.533
,
2.1267.10
1
11
当
kN,
,m
944
101
1
23
X
A
PP,NXNNMXMM 1111
有无下部链杆时梁内最大弯矩之比：
%../,3191925080415
通过改变连杆的刚度来调整梁内弯矩分布,
当
kN,
,m
944
101
1
23
X
A
令梁内正、负弯矩值相等可得：
23 m107.1A
qlX 4598.4967.10 3.5331
当,A
梁的受力与两跨连续梁相同。
（同例 4中 ）k
下侧正弯矩为设基本未知力为 X，则
2)05.04(5)05.04)(5.040( XXXX
跨中支座负弯矩为
80)5.040(4 X
根据题意正弯矩等于负弯矩，可得
862915.46?X
有了基本未知力，由典型方程可得
23 m 1072.1A
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
4.无弯矩情况判别在 不计轴向变形 前提下,
下述情况无弯矩,只有轴力,
(1).集中荷载沿柱轴作用
P
(2).等值反向共线集中荷载沿杆轴作用,
PP
(3).集中荷载作用在不动结点 P
可利用下面方法判断,
化成铰接体系后,若能平衡外力,则原体系无弯矩,
4.无弯矩情况判别
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
0321 PPP
奇次线性方程的系数组成的矩阵可逆,只有零解,
0321 XXX
PMXMXMXMM 332211
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
4.无弯矩情况判别
5.超静定拱的计算
P
P
X1
X1=1
11?P
P1?
dsGAQdsEANdsEIM
2
1
2
1
2
1
11
01111 PX?
01
dsEIMM PP 11
通常用数值积分方法或计算机计算
Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures
4.2 力法 (Force Method)
一,力法的基本概念二,力法的基本体系与基本未知量三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
l
l
EI
2EI
X1
X2
1?
2?
变形条件,
0
0
2
1
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
变形条件,
0
0
2
1
q
X1=1
1X?
11?
21?
X2=1
2X?
22?
12?
P1?
P2?
012121111 PXX
022221212 PXX
----力法的典型方程
)( jiij 主系数 >0
)( jiij 付系数
iP?
荷载系数
jiij
位移互等柔度系数
1.力法的典型方程
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
q
X1=1
1X?
X2=1
2X?
11?
21? 22?
12?
P1?
P2?
01212111 PXX
02222121 PXX
EI
ll
EI
ll
EI
3
3
2
11 6
71
3
2
22
1
M1
l
M2
l
MP22 /ql
EI
lll
EI
32
12 2
1
2
1
EI
lll
EI
32
21 2
1
2
1
EI
lll
EI
32
22 3
1
3
2
2
1
EI
ql
P
4
1 16
9
EI
ql
P
4
2 4
1
403209 21 /,/ qlXqlX
PMXMXMM 2211
20
2ql
402 /ql M
内力分布与刚度无关吗?
荷载作用下超静定结构内力分布与刚度的绝对值无关只与各杆刚度的比值有关,
q
l
l
EI
2EI
q
X1
X2
1?
2?
20
2ql
402 /ql M
01212111 PXX
02222121 PXX
403209 21 /,/ qlXqlX
0
0
2
1
q
1X
2X
4020 2221 /,/ qlXqlX
01212111 PXX
02222121 PXX
0
0
2
1
1X
2X
40203 221 /,/ qlXqlX
01212111 PXX
02222121 PXX
0
0
2
1
小结,
1.力法的典型方程是体系的变形协调方程
2.主系数恒大于零,付系数满足位移互等定理
3.柔度系数是体系常数
4.荷载作用时,内力分布与刚度大小无关,与各杆刚度比值有关,荷载不变,调整各杆刚度比可使内力重分布,
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程求 A截面转角
0
0
2
1
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
(1).位移计算
q
l
l
EI
2EIA
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
1
Mi
)()( EIqlqllqllEIA 322 80114021120211
求 A截面转角
(1).位移计算
q
l
l
EI
2EIA
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
1
Mi
)()( EIqlqllqllEIA 322 80114021120211
1X
2X
20
2ql
402 /ql
M
1
Mi )()
(
EI
qlql
l
ql
l
EIA
32
2
80
1
2
1
83
2
3
2
202
1
2
1
单位荷载法 求超静定结构位移时,单位力可加在任意力法基本结构上,
正确的解答应满足什么条件?
错误的解答能否满足平衡条件?
(2).力法计算校核
q
l
l
EI
2EIA
X2
X1
A
q
20
2ql
402 /ql
M 202ql
402 /ql
M
011 dsEIMM
022 dsEIMM
X1=1
M1
l
X2=1
M2
l
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程例 1,力法解图示结构,作 M图,
01
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
l/2
EI EI
P
l/2 l
X1
P
P X1=1
83 /Pl
MP
2/l
M1
解,
01111 PX?
323 /Pl
M
EIl 6311 /
EI
PllPl
l
lPl
l
EI
P
96
11
442
1
2
23
2
42
11
3
1
)
(
4/Pl 16111 /PX?
PMXMM 11
01
l/2
EI EI
P
l/2 l
X1
P
P X1=1
83 /Pl
MP
2/l
M1
解,
01111 PX?
323 /Pl
M
EIl 6311 /
EI
PllPll
lPll
EIP
96
11
442
1
2
23
2
42
11
3
1
)
(
4/Pl 16111 /PX?
PMXMM 11
01解,
01111 PX?
EIl 3211 /
EI
PlPll
EIP 162
1
42
11 2
1
3231 /PlX?
PMXMM 11
P X1
4/Pl
MP
P
1
M1
X1=1
另一解法
03113
0
0
0
3
2
1
P
X1=1
M1
X2=1
M2
M3
X3=1P
MP
X1
P
X2 X3
X1=1
X2=1 X3=1
P
M1
M2
M3
MP
P
X1 X2 X3
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
032 PP
例 2,力法解图示结构,作 M图,
解,
P
l l
X1
P X2
X3
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
0332233113 P
023232333 EAlGA skQEA sNEI sM d dd?
03?X
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
EIl 32211 /
EIl 62112 /
EIPlPP 16221 /
8
8
2
2
2
1
/
/
PlX
plX
PMXMXMM 2211
82 /Pl
两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力,
例 3,力法解图示桁架,
EA=常数,
解,P
a
a
1X
P0
1
01111 PX?
EA
a
EA
lNN )( 21411
11
EA
Pa
EA
lNN P
P )( 21211
21 /PX
PNXNN 11
P P2?
P 0 0
P
0 0
NP
11?X
N1
1
1
1
1 1
2?
2?
1X
P
-P/2
-P/2P/2
P/2
22/?
22/
1X1X EA
aX 1
1
变形条件仍为,
对吗?01
解：
kXX P /11111
)(32251 qlX
例 4,求作图示梁的弯矩图。
PMXMM 11
)1( 11
1
1
k
X P
,310 lEIk?当
k
当
)( qlX 451
EI
kX /11
EI
l
6
3
11 EI
Pl
P 24
5 3
1
0?k当 01?X
解,01111 PX
例 5,求解图示加劲梁。
横梁 44 m101I
EI
EAEI
P
3.533
,
2.1267.10
1
11
当
kN,
,m
944
101
1
23
X
A
PP,NXNNMXMM 1111
有无下部链杆时梁内最大弯矩之比：
%../,3191925080415
通过改变连杆的刚度来调整梁内弯矩分布,
当
kN,
,m
944
101
1
23
X
A
令梁内正、负弯矩值相等可得：
23 m107.1A
qlX 4598.4967.10 3.5331
当,A
梁的受力与两跨连续梁相同。
（同例 4中 ）k
下侧正弯矩为设基本未知力为 X，则
2)05.04(5)05.04)(5.040( XXXX
跨中支座负弯矩为
80)5.040(4 X
根据题意正弯矩等于负弯矩，可得
862915.46?X
有了基本未知力，由典型方程可得
23 m 1072.1A
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
4.无弯矩情况判别在 不计轴向变形 前提下,
下述情况无弯矩,只有轴力,
(1).集中荷载沿柱轴作用
P
(2).等值反向共线集中荷载沿杆轴作用,
PP
(3).集中荷载作用在不动结点 P
可利用下面方法判断,
化成铰接体系后,若能平衡外力,则原体系无弯矩,
4.无弯矩情况判别
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
0321 PPP
奇次线性方程的系数组成的矩阵可逆,只有零解,
0321 XXX
PMXMXMXMM 332211
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
4.无弯矩情况判别
5.超静定拱的计算
P
P
X1
X1=1
11?P
P1?
dsGAQdsEANdsEIM
2
1
2
1
2
1
11
01111 PX?
01
dsEIMM PP 11
通常用数值积分方法或计算机计算
