第四章 超静定结构的解法
Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
4.无弯矩情况判别在 不计轴向变形 前提下,
下述情况无弯矩,只有轴力,
(1).集中荷载沿柱轴作用
P
(2).等值反向共线集中荷载沿杆轴作用,
PP
(3).集中荷载作用在不动结点 P
可利用下面方法判断,
化成铰接体系后,若能平衡外力,则原体系无弯矩,
4.无弯矩情况判别




0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX



0321 PPP
奇次线性方程的系数组成的矩阵可逆,只有零解,
0321 XXX
PMXMXMXMM 332211
三,荷载作用下超静定结构的计算
1.力法的典型方程
2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核
3.算例
4.无弯矩情况判别
5.超静定拱的计算
P
P
X1
X1=1
11?P
P1?
dsGAQdsEANdsEIM
2
1
2
1
2
1
11

01111 PX?
01
dsEIMM PP 11
通常用数值积分方法或计算机计算
4.2 力法 (Force Method)
一,力法的基本概念二,力法的基本体系与基本未知量三,荷载作用下超静定结构的计算四,对称性 (Symmetry) 的利用
(1),对称性的概念对称结构,几何形状、支承情况,刚度分布 对称的结构,
对称结构 非对称结构支承不对称刚度不对称几何对称支承对称刚度对称四,对称性 (Symmetry) 的利用
(1),对称性的概念对称结构,几何形状、支承情况,刚度分布 对称的结构,
对称荷载,作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载反对称荷载,作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作用点对称,方向反对称的荷载
PP
对称荷载
PP
反对称荷载
P
l l
M
l l
P
l l
EI=C
l l
EI=C
M
下面这些荷载是对称,反对称荷载,还是一般性荷载?
四,对称性的利用
(1),对称性的概念
(2).选取对称基本结构,对称基本未知量和反对称基本未知量
P EI
EI
EI P
1X
2X
3X
11?X
M1
12?X
M2
13?X
M3
P
MP




0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX



032233113




0
0
0
3333
P2222121
P1212111
PX
XX
XX



典型方程分为两组,
一组只含对称未知量另一组只含反对称未知量对称荷载,反对称未知量为零反对称荷载,对称未知量为零
P
P
P
1X
2X
3X
11?X
M1
12?X
M2
13?X
M3
PMXMXMM 2211
对称荷载,反对称未知量为零反对称荷载,对称未知量为零
P
MP
P
P EI
EI
EI P
X3=0
对称结构在正对称荷载作用下，
其弯矩图和轴力图是正对称的,
剪力图反对称；变形与位移对称,
P
对称荷载,
P
1X
2X
3X
11?X
M1
12?X
M2
13?X
M3
PMXMM 33
对称荷载,反对称未知量为零反对称荷载,对称未知量为零
P
MP
P
X1= X2 =0
对称结构在反正对称荷载作用下，
其弯矩图和轴力图是反正对称的,
剪力图对称；变形与位移反对称,
EI
P EI EI P P
反正对称荷载,
例,作图示梁弯矩图 P
l/2 l/2
EI
1X
2X
3X
P/2 P/2
解,X3=0 X2=0
01111 PX?
11?X
M1
1
MP
P/2 P/2Pl/4 Pl/4
EI
l?
11?
EI
Pl
P 8
3
1
81
PlX
PMXMM 11
M
P Pl/8Pl/8
解,0
P1 111 ＝＋ X
11
144 EI＝?
1
1800 EI
P＝?
1 5.12X ＝－ P11 MXMM ＋＝
例,求图示结构的弯矩图。 EI=常数。
四,对称性的利用
(1),对称性的概念
(2).选取对称基本结构,对称基本未知量和反对称基本未知量
(3).取半结构计算
A.无中柱对称结构（奇数跨结构）
P EI
EI
EI P
对称荷载,
P 半结构
(3).取半结构计算
A.无中柱对称结构（奇数跨结构）
P EI
EI
EI P
对称荷载,
P
P EI
EI
EI P
反对称荷载,
P 半结构
(3).取半结构计算
A.无中柱对称结构（奇数跨结构）
P EI
EI
EI P
对称荷载,
P P EI
EI
EI P
反对称荷载,
P
B.有中柱对称结构（偶数跨结构）
P EI
EI
EI P
EI
对称荷载,
P
反对称荷载,
P EI
EI
EI P
EI
EI
P EI/2 PEI/2
P EI/2
P EI/2
P EI
EI
EI P P P EI
EI
EI P P
P EI
EI
EI P
EI
P P EI
EI
EI P
EI
EI P EI/2
练习,
EI
EI
EI
P
P EI
EI
EI P
EI
P
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
P/2
P EI
EI
EI
EI
EI/2
P/2
练习,
EI=
C
P q
q
P P
q
q
P/2
P/2
P/2 q
q
q
例 1:作图示对称结构的弯矩图
P P
EI=C
l l
l
l
P P
X1 X1=1
l
M1
MP
P
Pl
M
P
Pl Pl/2
Pl
Pl/2
解,0P1 111 ＝＋ X
EI
pl
EI
l
P 23
3
1
3
11,?
2
3
1
PX
PMXMM 11
例 2:作图示对称结构的弯矩图解,0P1 111 ＝＋ X
EI
pl
EI
l
P 1624
7 3
1
3
11,?
PX 1431?
PMXMM 11
P
2EI
l l
l EI
EI EI
EI
P/2 P/2
P/2 P/2
+=
P/2
EIEI
EI
+=P/4 P/4 P/4 P/4 P/4
X1P/4
l/2
X1=1
M1
MP
Pl/4
P/4
M
3Pl/28P/4
Pl/7
Pl/7
3Pl/28
Pl/7
3Pl/28
Pl/7
3Pl/28
2Pl/7
3Pl/14
例 3:作图示对称结构的弯矩图解,0P1 111 ＝＋ X
EI
pl
EI
l
P 4
32 2
111,?
PlX 831
PMXMM 11
P
P
EI=C
l l
l
l
P P/2
X1
P/2
M1
1
X1=1
MP
Pl/2
P/2
M
3Pl/8
P/2
Pl/8
Pl/8
Pl/8Pl/8
Pl/8
3Pl/8
例 4：求作图示圆环的弯矩图,
EI=常数。
解,取结构的 1/4分析
11?M
s i nP 2PRM
,d EIREI sM 22111
,dM P EIPREI sMP 2 211
PRX?
1
)s i n(P 2111 PRMXMM
若只考虑弯矩对位移的影响，有：
例 5,试用对称性对结构进行简化。 EI为常数。
P /2
P/2
P/2
P /2
I/2I/2
P /2
P /2
I/2
方法 1
P
P /2P /2
P
P /4P /4
P /4
I/2
P /4
P /4P /4
P /4
I/2
P /4
P/4P/4
I/2
P/4
I/2
P /4
例 5,试用对称性对结构进行简化。 EI为常数。
方法 2
P
P /2P /2
P
P /4
P/2
P /4P /4 P /2
P /4 P /4 P/2
P /4P /4 P /2
P /4P /4
P /4P /4
P /4
I/2
P /4
P/4P/4
I/2
P/4
I/2