第二章 测试装置的基本特性第一节 概述检测装置可整体的 表示为具有 传输特性 h(t) 的单一环节，把输入信号
x(t) 转换为输出信号 y(t) 。已知 x(t),y(t) 及 h(t)之中的两项，求另一项，
组成两种工作方式,
1,已知 x(t),y(t),求 h(t) 。 校准过程，即确定检测装置的 传输特性 。
2,已知 h(t),y(t),求 x(t) 。 检测过程，用检测装置获取信息。
1
输 出示 值图 2-1
输 入真 值系统 y(t)
Y(s)
x(t)
X(s) h (t)
H (s)
一．对测试装置的基本要求
2
测量 误差 =测量装置 示值 — 被测量的 真值真值：一般指国际计量局的基准 。
实际值：比测量装置高一等级计量标准所复现的量值 。
约定真值：经修正的实际值的算术平均值 。
总误差 =系统误差 +随机误差 +粗大误差系统误差：有确定规律的误差 。
随机误差：随机出现,具有统计规律的误差 。
粗大误差：偶然出现的大值误差 。
理想的检测装置应能准确无误的反映被测物理量，具有单值的、确定的输入 ---输出关系，测量装置的准确度 (精确度 )是指该装置给出接近 于被测量值真值的示值的能力,测量装置的准确程度采用误差来描述。
（ 误差是绝对的，准确是相对的 ）
例子误差的表示方法
1,绝对误差：示值与 真值之差，误差 与 真值有相同的量纲。
2,相对误差：绝对误差 / 真值
3,引用误差：量程内最大绝对误差 / 量程范围多数仪表采用引用误差值表示准确度等级
4,信躁比信号功率干扰 (噪声 )功率信噪比 =
记为 SNR,并用分贝（ dB）表示
n
s
N
NS NR lg10? (2-7)
式中 Ns,Nn 分别是信号和噪声的功率也可表示为
n
s
V
VS N R lg20? (2-8)
式中 Vs,Vn 分别是信号和噪声的电压 例子一般情况下信噪比是灵敏度的上限二．线性系统及其主要性质定义：线性系统 — 系统的输入 x(t) 和输出 y(t) 之间可用常系数线性微分方程来描述该系统叫时不变线性系统（定常数线性系统）。
用（ 2-1）式表示：
)()()()( 01111 tyadt tdyadt tydadt tyda nnnnnn
)()()()( 01111 txbdt tdxbdt txdbdt txdb mmmmmm(2-1)
式中 t — 时间自变量 ;
011011,,,,,,,bbbbaaaa mmnn
均为常数严格说,很多物理系统是时变的,例如弹性体材料的弹性模量,电子元件电容,电阻等均受到环境温度的影响 。 但在工业中常以足够精确度认为多数常见物理系统的参数是时不变的,即把一些时变线性系统当作时不变线性系统处理 。
4
检测装置尽量设计成 定常数线性系统，以获得 理想的检测特性 。
（ 1） 符合叠加原理若 )()( tytx?
)()( 11 tytx?
)()()()( 2121 tytytxtx (2-2)
作用在线性系统的各输入所产生的输出是互不影响的，多输入同时加在系统上所产生的总效果相当于各个单个输入效果的叠加。
叠加 特性是检测装置应具备的基本属性，也是其他特性的依据。
（ 2）比例特性（均匀性）
对于 任意常数 a 必有 ( ) ( )ax t ay t? (2-3)
（ 3）系统对输入导数的响应等于对原响应 的导数。即
dt
tdy
dt
tdx )()(? (2-4)
（ 4）如系统的初始状态均为零，则系统对输入积分的响应 等同于对原输入响应的积分，即
00
00
)()(
tt
dttydttx
(2-5)
5
（ 5）频率保持性输入为某一频率简谐 (正弦或余弦 )信号，系统稳态输出必是同频率简谐信号。
由于 )()( tytx?
由线性系统比例特性有 )()( 22 tywtxw?
由线性系统的微分特性
2
2
2
2 )()(
dt
tyd
dt
txd?
应用叠加原理有
)()()()( 222222 tywdt tydtxwdt txd
输入某一单一频率的简谐信号，记作
tjeXtx?0)(?
其二阶导数为
)()()()( 2020220222 txeXeXjdt eXddt txd tjtjtj
因此得
0)()()()( 22222 txtxtxwdt txd
输出 y(t)的唯一可能解只能是
)(0 0)( tjeYty
结论
6
三．有关测试和测试装置的若干术语
（ 一 ） 测量计量和测试测量 —— 确定被测物属性量值为目的的全部操作 。
计量 —— 实现单位统一和量值准确可靠的测量 。
测试 —— 具有试验性质的测量，也可理解为测量和试验的综合。
（二）测量装置的误差和准确性 基本的核心概念
（ 1） 测量装置误差 =测量装置示值 - 被测量的真值实际测量中,常用被测量量的实际值,已修正过的算术平均值,计量标准器所复现的量值作为 约定真值 代替 真值 。
（ 2）测量装置的准确度 (精确度 )—— 该装置给出接近 于被测量值真值的示值的能力。
准确度反映测量装置的总误差 =系统误差 +随机误差（重复性误差）
例子（ 3） 测量装置引用误差 = 装置示值绝对误差引用值
x100%
7
（三）量程和测量范围量程 —— 测量装置的示值范围上,下限之差的模称为量程 。
测量范围 —— 该装置的误差处于允许极限内它所能测量的 被测量值的范围 。
频率范围 —— 用于动态测量中允许的测量频率误差范围 。
8
（四）信号的强度
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
0
||
0
0
m i nm a x
m a x
)(
1
)(
1
|)(|
1
)(
1
)()(
|)(|
T
r m s
T
m
T
x
T
x
pp
p
dttx
T
x
dttx
T
P
dttx
T
dttx
T
txtxx
txx
峰值峰峰值均值绝对均值平均功率有效值信号范围直流分量随机信号全波整流信号注意仪表的校准信号波形随机信号
（五）动态范围 DR
定义：指装置不受噪声影响而能获得不失真输出测量的上限值 ymax和下限值 ymin之比值,以 dB 为单位 。
m in
m a xlg20
y
yDR?
四,测量装置的特性静态特性 —— 适用于静态测量动态特性 —— 适用于动态测量,并加上静态特性。
分类
9
第二节 测量装置的静态特性静态测量情况下,信号不随时间变化,有 dx/dt=0,式 (2-1)中各阶微分项均为零,理想的定常线性系统输入,输出微分方程式变为
Sxxaby
0
0 (2-10)
理想的定常线性系统,其输出将是输入的单调,线性函数,其中 S 为常数 。
但实际测量装置中，传感器、电子器件的材料特性存在非线性、温度系数、
内摩擦、热噪声、蠕变等缺陷。实际测量系统的 a0,b0是多种因素的函数，
引起多种类型的测量误差，静态测量出现的误差为静态误差。
静态特性,是在静态测量情况下，实际测量装置与理想定常线性系统的接近程度。
线性度 灵敏度、鉴别力阈,分辨力回程误差 稳定度漂 移静态特性
10
一．线性度线性度 —— 指测量装置输出、输入之间保持常值比例关系的程度。
在静态测量情况下，用实验来确定被测量的实际值和测量装置示值之间的函数关系过程称为 静态校准 。
用直线来拟合校准曲线 （ 为使仪表具有通用性 ）
校准曲线接近拟合直线的程度就是 线性度,即拟合曲线确定方法 （ 1）端基直线 （图 2-2）
（ 2）最小二乘法,最小（偏差平方和最小）?
i
iB2
图 2-2
测量范围
A 1
2
B
x
y
0
线性度 =B/A x100%
11
减小非线性的方法：
1,改进产生非线性的环节。
2,处理环节加入补偿、修正算法。
二．灵敏度、鉴别力阈,分辨力
灵敏度 —— 用来描述装置对测量系统变化的反映能力的,用 S 表示。
0
0
a
b
x
y
x
yS
常数
灵敏度即校准曲线的斜率，量纲取决于输入、输出量的单位。如果二者量纲相同,‘ S ’ 也称为,放大比,或,放大倍数,。
鉴别力阈 (灵敏阈或灵敏限 )—— 引起装置输出一个可观察变化的最小被测量变化量，用来描述装置对微小输入变化的响应能力。
鉴别力的提高 受限于信噪比。
分辨力 （ 分辨率 ） —— 是指指示装置有效地辨别紧密相邻值的能力 。
数字装置就是最后位数的一个字 。
模拟装置为指示标尺分度值的一半 。
分辨率与精度是两个不同的概念 。
12
三．回程误差回程误差 (滞后或变差 )—— 描述测量装置的输出同输入变化方向有关的特性。
回程误差用量程内最大的双程差或最大的双程差与量程之比来表示。
1020 yyh
回程偏差是起点和加载方向的多变量函数，难于用补偿的 的方法减小。
只能通过改进产生 回程误差 的环节来提高性能。
0
A
y20
y0
y10
y
x
13
检测系统的某个环节中存在材料内摩擦、间隙、死区、存储效应等因素的影响，出现响应滞后，产生与加载方向有关的多值现象。
h=y20-y10 / FS
14
四．稳定度和漂移稳定度 —— 指测量装置在规定条件下,保持其测量特性恒定不变的能力 。
漂 移 —— 装置测量特性随时间的慢变化 。
工作环境条件不变：蠕变,1/f噪声 。
特定影响因素：温漂 。
灵敏度 漂移 —— 校准曲线的斜率 出现变化 。
零点漂移 —— 校准曲线的 标称范围最低值处出现变化 。
减小误差的途径：
1,起因直接补偿 。
2,软件补偿 。
五,重复性误差信号中混入随机干扰信号，使同一被测量值同一加载方向多次测量，示值存在分散性。
重复性误差是随机干扰信号的体现，只能用统计量来衡量、表示。常用 σ表示分散程度用多次测量取均值可以减小重复性误差。
六,静态特性测定
1,线性度
2,灵敏度
3,回程误差
4,重复度
5,蠕变第三节 测量装置的动态特性的数学描述 （频域）
拉普拉斯变换,某函数付氏变换为
dtetxX tj )()(
有的函数付氏变换不存在情况下,通常由于 t→∞ 时,x(t) 幅度不衰减,积分不收敛 。 为了克服上述问题,可以用因子 e-σ t （ σ为常数；指数窗 ） 乘
x(t),选择适当 σ使上述积分收敛 。
e-σ t x(t) 的付氏变换为
dtetxdtetxe tjtjt )()()(
上述积分是 (σ+jω )的函数，令
dtetxjX tj )()()( (A)
付氏逆变换为
dejXtxe tjt )(
2
1)(
两边同乘 eσ t
dejXtx tj )()(
2
1)( (B)
令
j
dsd
js
,(A)(B)两式为?
dtetxsX st)()(
j
j
st dsesX
jtx
)(2 1)(
)()( txsX?
即存在关系
｛
拉氏变换性质：
)()(
)()(
22
11
sXtx
sXtx
)()()()( 2121 sbXsaXtbxtax
（ 2）时域微分性质 )()( sXtx )()( ssXdt tdx?
（ 3）时域积分性质
（ 1）线性性质
)()( sXtx )(1)(
0
sXsdttx
t
常用信号拉氏变换
1 e-at cosAt sinAt e-atcosAt e-atsinAt δ(t) (tn-1) δ(t-T) tn-1e-at
信号变换收敛域
1 1 s A (s+a) A 1 1 e-sT 1
Re(s)>0 Re(s)>-a Re(s)>0 Re(s)>0 Re(s)>-a Re(s)>-a S面 Re(s)>0 s面 Re(s)>-a
(n-1)! (n-1)!
(s+a)2+A2 (s+a)2+A2(s2+A2)(s2+A2)s+a sn (s+a)ns
17
一．传递函数 （系统传输特性复频域表现）
设 X (s)和 Y (s)是输入 x (t)、输出 y (t)的拉普拉斯变换，对式 (2-1)取拉氏变换得，
)()()()( sGsXsHsY h (2-13)
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
其中 js 为复变量；
)(sGh 是与输入和系统初始条件有关的
)(sH 是只反映系统本身特性，称为系统传递函数。
若初始条件全为零，即 0)(?sG
h
使得
)(
)()(
sX
sYsH? (2-14)
18
3页
（ 1） H (s)与 x (t)及 系统初始条件无关，它代表了系统的传输特性,x (t) → y(t)。
特 点：
（ 2） H (s)只反映系统传输特性,而不限制在系统的物理结构中，同一传输特性的系统，可能代表不同的物理系统。
（ 3）用传递函数描述的系统通过系统 011011,,,,,,,bbbbaaaa mmnn
来反映的，它们的量纲因具体物理系统和输入、输出的量纲而定。
（ 4） H (s)中的分母取决于系统的结构，分子则和系统同外界之间的关系如输入
aaaaa点位置、输入方式、被测量及测量点布置等）有关。
a) H (s)中 ai,bi的值仅反映系统传输特性 。
b) H (s)不受物理结构限制 。
c) 的量纲 反映了具体真实系统。
011011,,,,,,,bbbbaaaa mmnn
d) 反映了系统结构，
e) 反映了系统同外界关系。
011,,,aaaa nn
011,,,bbbb mm
19
二．频率响应函数（系统传输特性频域表现）
（一）幅频特性、相频特性和频率响应函数根据定常线性系统的频率保持性,系统在简谐信号激励下,其稳态输出也是简谐信号,两者幅值比 A=Y0/X0和相位差 φ 均随频率 ω变化,即是 ω的函数 。
幅频特性 —— 定常线性系统在简谐信号激励下其 稳态 输出信号和输入信号的幅值比为系统的幅频特性，记为 A(ω)。
相频特性 —— 上述条件下,稳态 输出对输入的相位差被定义为该系统的相频特性,记为 φ (ω)。
系统频率特性 —— 该系统的幅频特性和相频特性统称为系统频率特性。
一个复数可表示为 Z =a+jb 或 其中
jeZZ? 22 baZ abtg
用 H(ω)表示系统频率特性，也称为频率响应函数。
)()()( jeAH?
20
（二）频率响应函数的求法系统传递函数 H(s) 如式（ 2-13）所示为
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
令 s =jω 代入上式，便可得系统频率响应函数 H(ω)，记作 H (jω)
01
1
1
01
1
1
)()()(
)()()()(
ajajaja
bjbjbjbH
n
n
n
n
m
m
m
m
(2-15)
由 和 付里叶变换 (定常线性系统,初始条件为 0)
系统的频率响应函数 H(ω)就成为输出 y(t) 的付氏变换 Y (ω )和输入 x(t) 的付氏变换 X (ω ) 之比，即
)(
)()(
sX
sYsH? )()( HsH js
)(
)()(
X
YH? (2-16)
说 明：
21
（ 三 ） 幅,相频特性及其图象描述
1．幅频特性曲线
2．相频特性曲线
3．伯德 (Bode)图
(增加‘图’的动态范围）
4．实频特性曲线
5．虚频特性曲线
6．奈魁斯特 (Nyguist)图
22
)(A
)(
以 ω（或 f =ω/2π ）取对数为横坐标，
20lgA(ω)为纵坐标，作对数幅频特性曲线。
以 ω（或 f =ω/2π ）取对数为横坐标，
φ (ω)为纵坐标，作对数相频特性曲线。
)(P
)(Q
)()( PQ?
)()()( jQPH
)()()( 22 QPA
)(
)()(
P
Qtg?
图中自原点画出的矢量向径和与横轴夹角分别是该频率 ω点的 A(ω)和 φ (ω)。
详细见图三．脉冲响应函数 （系统传输特性时域表现）
若输入为单位脉冲，即 则)()( ttx 1)]([)( tLsX?
由
)(
)()(
sX
sYsH? 变换出 )()()()( sHsXsHsY
由拉氏反变换
)()]([)( 1 thsHLty
常称为系统的脉冲响应函数或权函数，可作为系统特性的时域描述。)(th
测试装置动态特性的数学描述有三种形式：
传递函数 H(s)在复数域描述系统特性,确保可积 。 理论建摸 。
频率响应函数 H(ω)在频域 直观的 描述系统稳态特性 。 频响法建摸 。
脉冲响应函数 h (t) 在时域直观的描述系统过度过程的特性 。 脉冲响应 建摸 。
关系 )()( sHth?
)()(?Hth?
23
a = 0
四．环节的串联和并联
（一）串联 两个传递函数各为 H1(s)
和 H2(s) 的环节，如图 2-5所示。系统传递函数 H(s)，在初始条件为零时
)()()( )()( )()( )()( 21 sHsHsZ sYsX sZsX sYsH 图 2-5 两个环节并联
H(s)
X(s) Y(s)Z(s)H
1(s) H2(s)
类似对 n 个环节串联的系统有传 递 函 数?
n
i
i sHsH
1
)()(
n
i
iHH
1
)()(
（ 2-18）
n
i
iAA
1
)()(
n
i
i
1
)()(
频率响应函数幅 频 特 性相 频 特 性
（ 2-21）
（ 2-22）
（ 2-22）
24
用传递函数描述系统特性，可使高阶系统的综合和分析大为简化。
（二）并联若两个环节并联见图 2-6，因为
)()()( 21 sYsYsY
所以
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
2
2
1
1
sX
sY
sX
sY
sX
sYsH
)()()( 21 sHsHsH （ 2-19）
n个环节并联系统的传递函数为?
n
i
i sHsH
1
)()(
n个环节并联系统的频率响应函数为
（ 2-20）
n
i
iHH
1
)()(
（ 2-23）
Y(s)
图 2-6 两个环节并联
X(s)
H(s)
+
+
Y2(s)
Y1(s)H
1(s)
H2(s)
25
（三）高阶系统将式（ 2-13）中分母分解为 s 的一次和二次 实 函数因子式，即
( ) / 21 2 2
1 1 0 11( ) ( 2 )
nrrnn
n n n i i n i n iiia s a s a s a a s p s s
（ 2-24）
式中 —— 实常数，其中niiip,,12?
i?
据此，可把式（ 2-13）分解成部分分式形式 。 （ 留数法 ）
r
i
rn
i ninii
ii
i
i
ss
s
ps
qsH
1
2/)(
1
22 )2)(
（ 2-25）
式中 —— 实常数iii q,,
式 (2-25)表明：任何分母中 s 高于三次 (n>3)的高阶系统都可以看作是由若干个一 阶环节和二阶环节的并联。把分子也作因式分解，可以转化为串联形式。
并联形式易于反变换；串联形式易于作系统特性分析。因此，分析并了解一阶和二阶环节的传输特性是分析并了解高阶、复杂系统传输特性的基础。
26
五．一阶、二阶系统的特性 （理论建模、动态特性及其引出的误差）
（一）阶系统以一阶系统 RC 电路为例,令 x(t),y(t)分别 为输入、输出电压，有
)()()( txtydt tdyRC
令 RC=τ,得
)()()( txtydt tdy (2-26)
式中 τ 称为时间常数，其量纲为 t
一般形式为 )()()(
001 txbtyadt
tdya
或改写为
)()()( tSxtydt tdy
式中
0
1aa
0
0abS?
为时间常数为系统灵敏度为了方便可令 S=1（归一化系统），上式化为
)()()( txtydt tdy
i C y(t)
R
x(t)
力位移
x(t)y(t)
ck
x(t)
y(t)
图 2— 7 一阶系统
27
根据拉氏变换性质上式传递函数为
1
1)(
ssH?
（ 2-27）
令 s= jω 得频率响应函数为
22 )(1)(1
1
)1)(1(
11)(
j
jj
j
jH
（ 2-28）
幅频特性为
2
2
2
2
2
22
)(1
1]
)(1[])(1
1[)()()(
QPA
（ 2-29）
相频特性为 ()
( ) ( )()Qa rc tg a rc tgP（ 2-30）
负号说明输出信号滞后于输入信号。
一阶系统 伯德图见图 (2-8),奈魁斯特图见图 (2-9)，
一阶系统的脉冲响应函数为一阶系统的瞬态特性曲线。? teth 1)(
（ 2-31）
幅频曲线、相频曲线见图 (2-10)。 一阶系统的稳态特性曲线。
其图形见 图 2-8,2-9,2-10,2-11
28
特 点：
（ 1）当 ω<<1/τ （约 ω<1/ 5τ ）时,A(ω)值接近于 1(误差不超过 2%)，
输入输出幅值几乎相等，见图 2-11。
当 ω>(2～ 3)/τ 时，即 τω>>1时，
jH
1)(?
与之对应方程式为 t dttxty
0 )(
1)(
输出与输入的积分成正比，系统相当于一个积分器，其中 A(ω)与 ω
成反比，相位差近 900 。 一阶系统装置使用于测量缓变或低频的测量。
（ 2） τ 是一阶系统重要参数。在 τ =1/τ 处,A(ω)=0.707(-3dB) 相角滞后 450。 τ 决定了该装置适用的频率范围。
（ 3） 一阶系统伯德图可用一条折线近似描述 。 ω<1/τ → A(ω)=1的直线,
ω>1/τ → 为一条 -20dB/10 倍频斜率直线,1/τ 是转折频率，最大误差为 -3dB 。
29
（二）二阶系统
a)
x(t) y(t)
m
ck
b)
x(t) y(t)
L R
C
y(t)
SN
c)
i(t)
N S
图 2-12 二阶系统实例
a) 弹簧 -质量 -阻尼系统
b)RLC电路 c)动圈式电表图 2— 12中三种系统均属二阶系统，
以动圈式表为例讨论其特性。固定的永久磁场和通电线圈所产生的磁场相互作用所产生的电磁矩使线圈产生偏转运动，可用二阶微分方程描述：
)()()()(22 txktGydt tdyCdt tydJ i
x(t)— 输入线圈的电流信号
y(t)— 动圈的角位移输出信号式中
J— 转动惯量 (取决于结构和质量 )
C— 阻尼系数 (包括空气、电磁、油阻尼 )
G— 游丝的扭转刚度 ki— 电磁转矩系数
30
令 JGn 2C GJ GkS i?
上式写成 2
22
2
( ) ( )2 ( ) ( )
n n n
d y t d y t y t S x t
d t d t
（ 2-32）
令 S=1(归一化 )得二阶系统传递函数为 2
22() 2
n
nn
Hs ss （ 2-33）
频率响应函数为 2
2 2 2
1()
( ) 2 ( ) [ 1 ( ) ] 2
nn
n
nn
H j j j（ 2-34）
幅频特性为
2 2 2
1()
[ 1 ( ) ] 4 ( )nnA
（ 2-35）
相频特性为
2
2()
1 ( )
n
n
a r c tg
（ 2-36）
二阶系统响应的幅频、相频特性曲线见 图 2-13所示,伯德图见 图 2-14
奈魁斯特图见 图 2-15,脉冲响应函数图形见 图 2-16。
31
二阶系统脉冲响应函数见式（ 2-37），其图形见图 2-16所示。
2
2( ) s i n 11
n tn nh t e t
01 （ 2-37）特 点：
（ 1）当 ω<<ωn时,H(ω)≈1 ；当 ω>>ωn时,H(ω)→0
（ 2）影响二阶系统动态特性的参数是固有频率和阻尼比,ωn 尤为重要。当
ω=ωn 时，系统共振。 A(ω)=1/2ζ,φ (ω)=-900，不因阻尼比不同而改变。
（ 3）伯德图可用折线近似。在 ω<0.5ωn 段，用 A(ω)=0 近似；
在 ω>2ω n 段，可用 -40dB/10 倍频或 -12dB/2 倍频直线来近似。
在 ω≈(0.5 ～ 2)ω n区间，因共振区，偏差较大。
（ 4）在 ω<<ωn段,φ (ω)甚小，在 ω>>ωn段,φ (ω)趋近于 1800，输出与输入反相。在 ω靠近 ω n区间,φ (ω)随频率剧烈变化,ζ ↓ → 变化 ↑（ 5）二阶系统是一个振荡环节，从测试角度看，希望在宽频率范围内不理想频率特性引起的误差尽可能小。为此，需恰当选择固有频率和阻尼比。
一般情况下 ω≤(0.6 ～ 0.8)ωn,ζ =0.65～ 0.7。
32
第四节 测量装置对任意输入的响应一．系统对任意输入的响应现将输入 x(t)分割成众多相邻,
持续时间 Δ τ 的脉冲信号见图
(2-17a)。 当 Δ τ 足够小时
x(τ )Δ τ 看作是 τ 时刻脉冲信号强度,见图 b)在 t时刻该脉冲对系统的贡献为
)()( thx
系统的输出则应是所有 τ <t诸贡献之和，即
t
thxty
0
)()()(
x(t)
t
τ Δ τ
0
0
y(t)
t
h(t)
t0
t0
x(t)
dttx )(
a) b)
c) d)
( ) ( )xh
()x
图 2-17 系统对任意输入的响应
33
据卷积定义
dthxthtx )()()()(
对于 t<0时,x (t) = 0 和 h(t)=0 积分下限可取为 0，上限取为 t,
因此式（ 2-38）可记为
)()()( thtxty （ 2-39）
此式表明,
（ 1） 系统的输出就是输入与系统的脉冲响应函数的卷积 。
（ 2） 输入 — 输出关系形式简明,含义明确 。
（ 3）可利用 h(t),H(s),H(ω)的关系，以及 L氏变换,F 氏变换的卷积定理，
将卷积计算变换成复频域或频域的乘法运算，简化计算工作。
当 Δ τ →0?
t dthxty 0 )()()( （ 2-38）
34
二．系统对单位阶跃输入的响应单位阶跃输入为
1
0)(tx
其 L氏变换为
0 0
11)()(
sesdtedtetxsX
ststst
一阶系统传递函数为
1
1)(
ssH?
一阶系统输出为
1
11)()()(
sssHsXsY?
改变形式为
1
11
1
1)(
sss
s
ssY
L氏反变换 11?
s ateas1 tes
1
11
一阶系统输出为?tety 1)( （ 2-40）
二阶系统输出为
22( ) 1 s in ( )1
n t
d
ey t t
( 1) （ 2-41）
其中
21dn
2
2
1a rctg
参见 图 2-18； 图 2-19 ； 图 2-20
0
0
t
t
35
（ 1）单位脉冲函数 δ (t)的积分是单位阶跃函数 u (t)，
故单位阶跃输入下的输出就是系统脉冲响应的积分，
t dtu )()(
t dhty )()(
（ 2）一阶系统在 u(t) 激励下稳态输出误差理论上为零，
初始上升斜率为 1/τ,并且
1)( tyt
（ 3） 二阶系统在 u(t) 激励下稳态输出误差也为零 。 但很大程度上决定于 ζ 和 ω n 。
(a) ζ =0超调量为 100% 振荡不稳定；
(b) ζ ≥ 1 系统退化为二个一阶系统串联，需长时间稳定；
(c) ζ =0.6～ 0.8系统在较短时间进入偏离稳态不到 2~5 %的范围内。
说 明：
36
第五节 实现不失真测试的条件某装置输出 y(t) 与输入 x (t) 满足下 式
)()( 00 ttxAty
(2-42)
式中 A0,t0 均为常数,此式表明该装置输出波形与输入波形精确一致，只是幅值扩大了 A0倍，在时间上延长了 t0，见图 2-21。此种情况被认为实现了 不失真测量 。 图 2-21波形的不失真复现
y(t)=A0x(t)
y(t)=A0x(t-t0)
x(t)
0 t0
x(t) y(t)
t
对式 2-42）做付氏变换，则（不考虑时移特性） )()( 0
0 XeAY tj
若 t<0 时,x (t)=0,y(t)=0，
于是频率响应函数 H(ω)为 0
0
)(
)(
)()()( tjj eA
X
YeAH
可见，若要求装置输出波形不失真，则其幅频和相频特性应分别满足
0)( AA? 常数 （ 2-43）
0)( t 线性 （ 2-44）
幅值失真 — A(ω)不等于常数时所引起的失真叫幅值失真 。
相位失真 — φ (ω)与 ω之间的非线性关系所引起的失真
37
▲ 一阶以上系统都不能在全频段上满足式 (2-43),(2-44)的不失真条件 。
▲ 根据使用要求合理分别确定幅值失真,相位失真的允许值 。
▲ 正确选择检测系统的特性和结构,以达到精度要求 。
（ 1）正确选择检测系统的通带，滤去非信号频带内噪声。
（ 2）分析权衡幅值失真和相位失真的使用要求，选择检测系统的阶数和参数。
（ 3）一阶环节时间常数越小，不失真通频带越宽。
（ 4）二阶环节
（ 5）使测量各个环节的不失真都尽量小，提高整体测量水平。
ω<0.3ωn,φ (ω)特性曲线接近直线,A(ω)变化不超过 10%，波形输出失真很小。
ω>(2.5～ 3)ωn,φ (ω)近 1800，按测试信号反相，接近相位不失真,A(ω)太小。
ω=(0～ 0.58)ωn,ζ =0.6～ 0.8 时,φ (ω)≈0,不超过 5% 误差，合适综合特性。
38
第六节 测试装置动态特性的测试为了确保检测的准确度,必须确认检测装置静,动态特性 。 动态特性的 测试按输入信号的类型分为,频率响应法,阶跃响应法,脉冲响应法 。
一．频率响应法激励信号为正弦信号,x(t)=X0sinωt。 ω从小到大逐渐增加，逐个频率记录输出和输入的幅值比和相角差，即得幅频和相频曲线 A(f) 和 φ (f) 。
▲ 对装置加正弦输入信号峰 — 峰值通常为量程的 20%，防止共振超量程。
▲ 必须在输出达到稳定后，才可记录幅值比和相角差 。
一阶系统：主要动态特性参数是 τ,可通过一阶系统频谱的特点直接确定，
ω0 = 1/τ 处的幅值比和相角差。
2)(1
1)(
A )()( a rc tg
39
二阶系统,主要动态特性参数是 ωn,ζ 。 可通过二阶系统频谱的特点来确定 。
（ 1） 在 ω =ωn 处输出对输入相角滞后 900,该点斜率直接反映了阻尼比
ζ 的大小 。
（ 2）由幅频特性曲线估计其动态特性参数对于欠阻尼系统 (ζ <1),A(ω)曲线的峰值稍偏离 ωn在 ωr处 (参见图 2-13),且
212rn （ 2-45）
或
212
r
n
当 ζ ↓↓ → ω r=ω n
由式（ 2-35）
2 2 2 2
1()
[ 1 ( ) ] 4 ( )
nn
A
（ 2-35）
当 ω=ω n 时 1
() 2nA
当 ζ ↓↓ → A(ω n)非常接近峰值
40
令 1
2
(1 )
(1 )
n
n
分别代入（ 2-35）式,可得
12
1( ) ( )
22AA
在 A(ω)曲线上，在距峰值 处作一水平线交曲线于 a,b两点，
它们对应的频率将是 ω 1和 ω 2，利用（ A）式，可得 ζ 估计值。
7 0 7.021?
21 ( 1 ) ( 1 ) 2n n n
求出 21
2 n
（ 2-46）
（ 3）用 A(ωr)和 A(0)两特殊点，也可求 ζ 。
2
() 1
( 0 ) 21
rA
A
（ 2-47）
(A)
图 2-23 二阶系统阻尼比的估计
ba
A(ω)
ω 1ω nω20 ω
22
1
21
41
二．阶跃响应法激励信号为单位阶跃信号。
▲ 单位阶跃信号易于获得，且精度较高。
▲ 只须一次加载即可完成测量。
（一）一阶装置的阶跃响应求其动态特性参数方法 1：取出该输出值达到最终稳态值 63%所经过的时间作为时间常数 τ,
可靠性差。
方法 2：由式（ 2-40）阶跃响应为?tety 1)(
移项并取对数得 )](1ln [ tyt
上式表明 ln[1-y(t)]与 t 成线性关系，由测得 y(t)作出 ln[1-y(t)]— t曲线，
根据其斜率确定时间常数 τ 。此方法运用了全部数据，考虑了瞬态响应的全过程。
42
（二）二阶装置的阶跃响应求其动态特性参数由典型有阻尼二阶装置的阶跃响应函数表达式（ 2-41）可知，其瞬态响应是以圆频率 ωd = 作衰减振荡,ωd 称为有阻尼固有频率 。
用过均值点求其周期为 tp= 0,π /ω d,2π /ω d,… 。
● 利用最大超调量 M求阻尼比 ζ
将 t =π /ω d代入式 (2-41)，得出 最大超调量 M 和阻尼比 ζ 的关系：
21n
21Me
(2-48)
或
2
ln
1
( ) 1M?
(2-49)
测得 M 代入上式 求取阻尼比 ζ,或借助 M— ζ 图 求取阻尼比 ζ 见 图 (2-25)。
M1
M
td
图 2-24欠阻尼二阶装置的阶跃响应
t0
y(t)
1
43
● 利用任意两个超调量 Mi和 Mi+n求阻尼比 ζ 。
有
2
22
1i n i id n
nnt t t
将其代入二阶装置的阶跃响应 y(t) 表达式 （ 2-41）,得
2
2ln
1
i
in
M n
M
整理 （ 2-50）
其中
ni
in
M
M
ln? （ 2-51）
根据式 (2-50和 (2-51)，按实测的 Mi与 Mi+n，即可求出 ζ 。
当考虑 ζ <0.3 时,可用式 (2-52) 近似算出 ζ 值。211
ln
2
i
in
M
M
n
（ 2-52）
2
2 2 24
n
n n
其中 n 是两峰相隔的某一整周期数,Mi与 Mi+n对应时间为 ti和 ti+n，
44
第七节 负载效应一．负载效应
○ 负载效应 — 某装置由于后接另一个装置而产生的种种现象，称为负载效应。
负载效应有时是不能忽略的,比如,(a) 功率极小的集成电路的接触式测量 。
(b) 单自由度系统质点块上联结一个质量为 m f 的传感器,测振时有变化 。
例 1 例 2
○ 负载 —— 一个 装置从其他装置获取能量，获取能量者就是后者的负载。
在实际测试中，被测系统和被测对象之间、测试系统内部各环节之间相互连接和作用，
测试装置的接入就成为被测对象的负载,获取能量的 环节成为输出 能量 环节 的 负载。
45
二．减轻负载效应的措施负载效应所造成的影响应根据具体环节,装置来具体分析,如果将电阻抗的概念推广到广义阻抗,可以比较简捷地研究各种物理环节之间的负载效应 。
对于电压输出连接,减轻负载效应的办法有：
（ 1） 尽量采用轻负载结构 。 提高后续环节的输入阻抗 。
（ 2） 在原来两个相连接的环节之中,插入高输入阻抗,低输出阻抗的放大器 。
一方面减少从前环节吸收能,另一方面提高对后一环节负载的驱动能力,从而减轻负载效应 。
（ 3） 用反馈或零点测量原理 (如电位差计测量 ),使后环节几乎不从前环节总之，在测试中，应当建立系统整体概念，充分考虑各种装置、环节连接后可能产生的影响。如传感器的接入；成套仪器系统各组成部件间的互相影响。
吸取能量。
46
结 束结论：
应用叠加原理和频率保持性,在测试中已知线性系统和其输入频率,采用滤波技术把同频率输出信号提出来,即有效输出 。
对复杂输入信号可转到频域中去研究,将输入分解,
分别处理,比较方便和简捷 。
47
例,示值范围为 0~150V电压表,当其示值 为 100.0V时,实际值为 99.4V。
该表引用误差为：
%4.0%100150 4.990.100
多数热工仪表常用允许引用值作为准确度级别的代号例如 0.2 级电压表表示该表允许的示值误差不超过电压表引用值的 0.2%。
48
例：用某仪器测量某信号时的 SNR为 65 dB,代入（ 2-8）式
25.31065lg20
n
s
n
s
V
V
V
V
表示信号电压与干扰电压之比为,即噪声电压达不到信号电压的千分之一。
25.310
49
说 明：
（ 1）可以用实验求得频率响应函数
（ a）依次用不同的 ωi激励系统，同时测出激励和稳态输出及相位差
X0i,Y0i,φi 直至得到全部 Ai— ωi和 φ i — ωi。
（ b）在初始条件下，同时测得 x(t)和 y(t)，由付氏变换 X (ω )和 Y (ω )求得频率响应函数,
)(
)()(
X
YH?
（ 2） 频率响应函数是描述系统的简谐输入和稳态输出关系,因此测量时应当在系统达到 稳态 阶段时才测量 。
（ 3）由于任意信号可以分解成简谐信号的叠加，所以频率特性适合任意复杂信号。此时该特性分别表征系统对输入信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。
50
图 2-9 一阶系统的奈魁斯特图
∠ H(jω)
∣ H(jω ∣
0
ω
P
jQ
图 2-11 一阶系统的脉冲响应函数
0 τ 2τ 3τ 4τ
1/τ
h(t)
t
0
-10
-20
ω
图 2-8一阶系统的伯德图
a)对数幅频曲线 b)对数相频曲线
b)
a)
ω
-20dB/10倍频
11.0?1?110
11.0?1?110
φ
(ω
)
20
lgA
(ω
)(dB)
51
1 2 3 4 5 ωτ
图 2-10 一阶系统的幅频和相频曲线
b)
a)
0
-300
-600
-900
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
A(ω)
φ (ω )
52
图 2-9 一阶系统的奈魁斯特图
∠ H(jω)
∣ H(jω ∣
0
ω
P
jQ
图 2-11 一阶系统的脉冲响应函数
0 τ 2τ 3τ 4τ
1/τ
h(t)
t
0
-10
-20
ω
图 2-8一阶系统的伯德图
a)对数幅频曲线 b)对数相频曲线
b)
a)
ω
-20dB/10倍频
11.0?1?110
11.0?1?110
φ
(ω
)
20
lgA
(ω
)(dB)
1 2 3 4 5 ωτ
图 2-10 一阶系统的幅频和相频曲线
b)
a)
0
-300
-600
-900
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
A(ω)
φ (ω )
6
5
4
3
2
1
0
A(ω )
1 2 3
ζ =0.05
ζ =0.10
ζ =0.15
ζ =0.25
ζ =0.50
ζ =1.00
图 2-14 二阶系统的伯德图
20
10
0
-10
00
-900
-1800
20
lgA
(ε
)(dB)
0.1 0.2 0.4 0.60.8 1 2 4 6 8 10
ζ =0.1
ζ =0.2
ζ =0.3
ζ =0.5ζ =0.7
ζ =1.0
ζ =0.1ζ =0.2
ζ =0.3ζ =0.5
ζ =0.7ζ =1.0
图 2-13 二阶系统的幅频,相频特性
1 2 3
φ (ω)
-π
-π /2
0
ζ =0.05ζ =0.10
ζ =0.15ζ =0.25
ζ =0.50ζ =1.00
ζ =0
ζ =0 ω/ω
n
53
图 2-15 二阶系统的奈魁斯特图
（ 小 ζ ）ω n
ω n
ω n
ω n
ω =∞
（ 大 ζ ）
1
0
Im
Re
图 2-16 二阶系统的脉冲响应函数
2ππ
h(t)
ω nt0
ζ =0.1ζ =0.3
ζ =0.5ζ =0.7
ζ =1.0
54
图 2-18 单位阶跃输入
0
1
x(t)
t
图 2-19 一阶系统的单位阶跃响应
1
τ 2τ 3τ 4τ 5τ t
y(t)
0
t
图 2-20 二阶系统 (ζ <1)
的单位阶跃响应
1
2
ζ =0
0.1
0.3
0.5
0.7
y(t)
0
1
2
55
2 2
'
22
2
2
2 [ 1 ( ) ] 21
( ) | |2
[ 1 ( ) ][ 1 ]
1 ( )
n n n
nnn
n n
n
2
2()
1 ( )
n
n
a r c tg
二阶系统相频特性对其求导
22
2 2 4 1|
( 2 ) 4nn
56
2 2 2
1()
[ 1 ( ) 4 ( )nnA
由幅频特性曲线设
2 2 2 2( ) [1 ( ) ] 4 ( )
nnB
2
22 8' 2 2 2411( ) 2 [ 1 ( ) ] ( 1 ) 2 4 2 [ 1 ( ) ]n n n n n nnnB
求导令 ' ( ) 0B
2224 [ 2 1 ( ) ] 0
nn
22( ) 1 2
n
解出
212rn
由
'' 2
2
8( ) (1 2 ) 0
n
B→ B (ω r) = 极小值
（ ζ <0.707时）
→ A (ω r) = 极大值
57
2 2 2 2
1()
[ 1 ( ) ] 4 ( )
nn
A
由幅频特性曲线
1 ( 1 ) 2 2 2 2 2 3 4 2
1 1 1 1( ) |
22[ 1 ( 1 ) ] 4 ( 1 ) 8 1 2 5 8nA
同理
1 ( 1 ) 2
11( ) |
228nA
所以
12
1( ) ( )
22AA
带入 ω 1=（ 1-ζ ） ωn,并 略去 ζ 3,ζ 4 高次项
58
二阶系统阶跃响应函数
22( ) 1 s in ( )1
n t
d
ey t t
式中
2
2
1
2
1dn
arc tg
（ 2-41）
(ζ <1)
求导
'
222
1( ) [ s i n ( ) c o s ( ) ] 0
1
nnttn d d dy t e t e t
22sin ( ) c o s( ) ] 0n d d dtt
22
22
11() nd
d
nn
tg t tg
要想等式成立需要 0,,2,
d t
20,,,
dd
t
解出
59
将 t =π /ω d 代入式（ 2-41）
21
2222( ) 1 s in ( ) 1 s in11
n d
d
d
eeyt
21
212
2
( ) 1 1 1
1
ey t e
最大超调量 21( ) 1M y t e
取对数
2ln 1M
2
2
2
()ln
1M
解出 2
2
22
ln
ln
M
M
2
2 2 2
ln
l n 1
l n ( ) 1M
M
M
60
图 2-25 欠阻尼二阶系统 M— ζ 关系图
M
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 ζ
0.6
0.4
0.2
61
假如 ti+n与 ti 两相邻时间周期差为 2nπ,即
2d i n d it t n 2 dni n itt
22 1n ni n itt
代入式 (2-41)得
22( ) 1 s in ( )1
n i nt
i n d i n
ey t t
2
21()
222
2( ) 1 s in [ ( ) ]
11
nni
n
t
i n i n d i
n
eny t M t
2
21
2
222
12si n[ ]
111
n nni
n
t
i n d i
enM e t
2
21
22 s in [ ]1
n n ni
n
t
i n d i
eM e t
2
21
n n
ni n iM e M
2
2ln
1
in
i
M n
M
1
2
2ln ( )
1
in
i
M n
M
2
2ln ( )
1
i
in
M n
M
平方 2 2 2 2 2(1 ) l n ( ) 4i
in
M n
M
2
2
2 2 2
l n ( )
l n ( ) 4
i
in
i
in
M
M
M
M n
2
2 2 24
n
n n
其中 2 ln in inMM
得到
62
例 1,在图 (2-27)简单直流电路中,可算 出电阻器 R2 的电压降 U0 为,E
RR
RU
21
20
测量时在 R2 两端并联一个内阻为 Rm 的电压表,
由于 Rm的接入,R2和 Rm两端的电压降 U为
ERR RU
L
L
1
图 2-27直流电压测量
E R2
R1
Rm
V
考虑
m
mL RR RRR
2
2 则 ERRRRR RRU
mm
m
221
2 )(
由于 Rm 的接入,使 R2 的电压降发生了变化,即 U≠ U0,两者差异随 Rm↑ 而减小。
令 R1=100kΩ ; R2= Rm=150kΩ ; E=150V 代入上式得到 U0=90V;U=64.3V
误差达 28.6%
若 Rm=1MΩ 其余参数不变，则 U=84.9V 误差达 5.7%
结论,为了减少负载效应，测量仪表内阻要求非常大 。
63
例 2：在图 2-28中两个 RC电路（一阶系统）的传递函数分别为
1
1)(
1
1 ssH?
111 CR
1
1)(
2
2 ssH?
222 CR
图 2-28 两个一阶环节的联接
a) b) 一阶环节 c)两环节不加隔离地直接串联
UyUx U2
c)
C2C1
R2R1
b)a)
C2C1
R2R1
若未加隔离将它们串联，令 U2(t)为连接点电压，可写成 ssU sU y
22 1
1
)(
)(
连接点右侧 阻抗 为
sC
s
sC
sCR
sCRZ 2 22 22222
111
令 Z表示 R1后右侧电路的阻抗，它由 C1和 Z2并联而成，利用导钠计算 C1// Z2
22
2 1 1 2 2 1 2 1 2
1
2 2 2
()1
1 1 1
C s C s C s C s C C s C sCs
Z s s s
64
由于
Z
sU
RZ
sU x )()( 2
1
(电流相等 )
所以
s
sCsCCR
Z
R
x ZR
Z
sU
sU
2
2
212111
1
])[(
1
2
1
1
1
1
)(
)(
2
212121
2
2
212112
22
)(1
1
1
1
)(
)(
ssCR
s
ssCRss
s
sU
sU
x
连接后传递函数为
2
2121212
2
)(1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
ssCRsU
sU
sU
sU
sU
sUsH y
xx
y
注意到
2
212121
21 )(1
1
1
1
1
1)()(
sssssHsH
可见 )()()(
21 sHsHsH?
此外，从上面推导过程，利用阻抗概念求电路的传递函数，比较简便，
可免去求电路微分方程的步骤。
65
网络元件 S域模型电 阻 电 感 电 容基 本关 系
( ) ( )
1( ) ( )
u t Ri t
i t u tR
0
()()
1( ) ( )t
d i tu t L
dt
i t u t d xL
0
1( ) ( )
()()
t
u t i x d x
c
d u ti t c
dt
串联并联
S
域模型
( ) ( )U s RI s? ( ) ( )U s sLI s? 1( ) ( )U s I s
sC?
1( ) ( )I s U s
R? 1( ) ( )I s U ssL? ( ) ( )I s sCU s?
66
x(t) 转换为输出信号 y(t) 。已知 x(t),y(t) 及 h(t)之中的两项，求另一项，
组成两种工作方式,
1,已知 x(t),y(t),求 h(t) 。 校准过程，即确定检测装置的 传输特性 。
2,已知 h(t),y(t),求 x(t) 。 检测过程，用检测装置获取信息。
1
输 出示 值图 2-1
输 入真 值系统 y(t)
Y(s)
x(t)
X(s) h (t)
H (s)
一．对测试装置的基本要求
2
测量 误差 =测量装置 示值 — 被测量的 真值真值：一般指国际计量局的基准 。
实际值：比测量装置高一等级计量标准所复现的量值 。
约定真值：经修正的实际值的算术平均值 。
总误差 =系统误差 +随机误差 +粗大误差系统误差：有确定规律的误差 。
随机误差：随机出现,具有统计规律的误差 。
粗大误差：偶然出现的大值误差 。
理想的检测装置应能准确无误的反映被测物理量，具有单值的、确定的输入 ---输出关系，测量装置的准确度 (精确度 )是指该装置给出接近 于被测量值真值的示值的能力,测量装置的准确程度采用误差来描述。
（ 误差是绝对的，准确是相对的 ）
例子误差的表示方法
1,绝对误差：示值与 真值之差，误差 与 真值有相同的量纲。
2,相对误差：绝对误差 / 真值
3,引用误差：量程内最大绝对误差 / 量程范围多数仪表采用引用误差值表示准确度等级
4,信躁比信号功率干扰 (噪声 )功率信噪比 =
记为 SNR,并用分贝（ dB）表示
n
s
N
NS NR lg10? (2-7)
式中 Ns,Nn 分别是信号和噪声的功率也可表示为
n
s
V
VS N R lg20? (2-8)
式中 Vs,Vn 分别是信号和噪声的电压 例子一般情况下信噪比是灵敏度的上限二．线性系统及其主要性质定义：线性系统 — 系统的输入 x(t) 和输出 y(t) 之间可用常系数线性微分方程来描述该系统叫时不变线性系统（定常数线性系统）。
用（ 2-1）式表示：
)()()()( 01111 tyadt tdyadt tydadt tyda nnnnnn
)()()()( 01111 txbdt tdxbdt txdbdt txdb mmmmmm(2-1)
式中 t — 时间自变量 ;
011011,,,,,,,bbbbaaaa mmnn
均为常数严格说,很多物理系统是时变的,例如弹性体材料的弹性模量,电子元件电容,电阻等均受到环境温度的影响 。 但在工业中常以足够精确度认为多数常见物理系统的参数是时不变的,即把一些时变线性系统当作时不变线性系统处理 。
4
检测装置尽量设计成 定常数线性系统，以获得 理想的检测特性 。
（ 1） 符合叠加原理若 )()( tytx?
)()( 11 tytx?
)()()()( 2121 tytytxtx (2-2)
作用在线性系统的各输入所产生的输出是互不影响的，多输入同时加在系统上所产生的总效果相当于各个单个输入效果的叠加。
叠加 特性是检测装置应具备的基本属性，也是其他特性的依据。
（ 2）比例特性（均匀性）
对于 任意常数 a 必有 ( ) ( )ax t ay t? (2-3)
（ 3）系统对输入导数的响应等于对原响应 的导数。即
dt
tdy
dt
tdx )()(? (2-4)
（ 4）如系统的初始状态均为零，则系统对输入积分的响应 等同于对原输入响应的积分，即
00
00
)()(
tt
dttydttx
(2-5)
5
（ 5）频率保持性输入为某一频率简谐 (正弦或余弦 )信号，系统稳态输出必是同频率简谐信号。
由于 )()( tytx?
由线性系统比例特性有 )()( 22 tywtxw?
由线性系统的微分特性
2
2
2
2 )()(
dt
tyd
dt
txd?
应用叠加原理有
)()()()( 222222 tywdt tydtxwdt txd
输入某一单一频率的简谐信号，记作
tjeXtx?0)(?
其二阶导数为
)()()()( 2020220222 txeXeXjdt eXddt txd tjtjtj
因此得
0)()()()( 22222 txtxtxwdt txd
输出 y(t)的唯一可能解只能是
)(0 0)( tjeYty
结论
6
三．有关测试和测试装置的若干术语
（ 一 ） 测量计量和测试测量 —— 确定被测物属性量值为目的的全部操作 。
计量 —— 实现单位统一和量值准确可靠的测量 。
测试 —— 具有试验性质的测量，也可理解为测量和试验的综合。
（二）测量装置的误差和准确性 基本的核心概念
（ 1） 测量装置误差 =测量装置示值 - 被测量的真值实际测量中,常用被测量量的实际值,已修正过的算术平均值,计量标准器所复现的量值作为 约定真值 代替 真值 。
（ 2）测量装置的准确度 (精确度 )—— 该装置给出接近 于被测量值真值的示值的能力。
准确度反映测量装置的总误差 =系统误差 +随机误差（重复性误差）
例子（ 3） 测量装置引用误差 = 装置示值绝对误差引用值
x100%
7
（三）量程和测量范围量程 —— 测量装置的示值范围上,下限之差的模称为量程 。
测量范围 —— 该装置的误差处于允许极限内它所能测量的 被测量值的范围 。
频率范围 —— 用于动态测量中允许的测量频率误差范围 。
8
（四）信号的强度
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
0
||
0
0
m i nm a x
m a x
)(
1
)(
1
|)(|
1
)(
1
)()(
|)(|
T
r m s
T
m
T
x
T
x
pp
p
dttx
T
x
dttx
T
P
dttx
T
dttx
T
txtxx
txx
峰值峰峰值均值绝对均值平均功率有效值信号范围直流分量随机信号全波整流信号注意仪表的校准信号波形随机信号
（五）动态范围 DR
定义：指装置不受噪声影响而能获得不失真输出测量的上限值 ymax和下限值 ymin之比值,以 dB 为单位 。
m in
m a xlg20
y
yDR?
四,测量装置的特性静态特性 —— 适用于静态测量动态特性 —— 适用于动态测量,并加上静态特性。
分类
9
第二节 测量装置的静态特性静态测量情况下,信号不随时间变化,有 dx/dt=0,式 (2-1)中各阶微分项均为零,理想的定常线性系统输入,输出微分方程式变为
Sxxaby
0
0 (2-10)
理想的定常线性系统,其输出将是输入的单调,线性函数,其中 S 为常数 。
但实际测量装置中，传感器、电子器件的材料特性存在非线性、温度系数、
内摩擦、热噪声、蠕变等缺陷。实际测量系统的 a0,b0是多种因素的函数，
引起多种类型的测量误差，静态测量出现的误差为静态误差。
静态特性,是在静态测量情况下，实际测量装置与理想定常线性系统的接近程度。
线性度 灵敏度、鉴别力阈,分辨力回程误差 稳定度漂 移静态特性
10
一．线性度线性度 —— 指测量装置输出、输入之间保持常值比例关系的程度。
在静态测量情况下，用实验来确定被测量的实际值和测量装置示值之间的函数关系过程称为 静态校准 。
用直线来拟合校准曲线 （ 为使仪表具有通用性 ）
校准曲线接近拟合直线的程度就是 线性度,即拟合曲线确定方法 （ 1）端基直线 （图 2-2）
（ 2）最小二乘法,最小（偏差平方和最小）?
i
iB2
图 2-2
测量范围
A 1
2
B
x
y
0
线性度 =B/A x100%
11
减小非线性的方法：
1,改进产生非线性的环节。
2,处理环节加入补偿、修正算法。
二．灵敏度、鉴别力阈,分辨力
灵敏度 —— 用来描述装置对测量系统变化的反映能力的,用 S 表示。
0
0
a
b
x
y
x
yS
常数
灵敏度即校准曲线的斜率，量纲取决于输入、输出量的单位。如果二者量纲相同,‘ S ’ 也称为,放大比,或,放大倍数,。
鉴别力阈 (灵敏阈或灵敏限 )—— 引起装置输出一个可观察变化的最小被测量变化量，用来描述装置对微小输入变化的响应能力。
鉴别力的提高 受限于信噪比。
分辨力 （ 分辨率 ） —— 是指指示装置有效地辨别紧密相邻值的能力 。
数字装置就是最后位数的一个字 。
模拟装置为指示标尺分度值的一半 。
分辨率与精度是两个不同的概念 。
12
三．回程误差回程误差 (滞后或变差 )—— 描述测量装置的输出同输入变化方向有关的特性。
回程误差用量程内最大的双程差或最大的双程差与量程之比来表示。
1020 yyh
回程偏差是起点和加载方向的多变量函数，难于用补偿的 的方法减小。
只能通过改进产生 回程误差 的环节来提高性能。
0
A
y20
y0
y10
y
x
13
检测系统的某个环节中存在材料内摩擦、间隙、死区、存储效应等因素的影响，出现响应滞后，产生与加载方向有关的多值现象。
h=y20-y10 / FS
14
四．稳定度和漂移稳定度 —— 指测量装置在规定条件下,保持其测量特性恒定不变的能力 。
漂 移 —— 装置测量特性随时间的慢变化 。
工作环境条件不变：蠕变,1/f噪声 。
特定影响因素：温漂 。
灵敏度 漂移 —— 校准曲线的斜率 出现变化 。
零点漂移 —— 校准曲线的 标称范围最低值处出现变化 。
减小误差的途径：
1,起因直接补偿 。
2,软件补偿 。
五,重复性误差信号中混入随机干扰信号，使同一被测量值同一加载方向多次测量，示值存在分散性。
重复性误差是随机干扰信号的体现，只能用统计量来衡量、表示。常用 σ表示分散程度用多次测量取均值可以减小重复性误差。
六,静态特性测定
1,线性度
2,灵敏度
3,回程误差
4,重复度
5,蠕变第三节 测量装置的动态特性的数学描述 （频域）
拉普拉斯变换,某函数付氏变换为
dtetxX tj )()(
有的函数付氏变换不存在情况下,通常由于 t→∞ 时,x(t) 幅度不衰减,积分不收敛 。 为了克服上述问题,可以用因子 e-σ t （ σ为常数；指数窗 ） 乘
x(t),选择适当 σ使上述积分收敛 。
e-σ t x(t) 的付氏变换为
dtetxdtetxe tjtjt )()()(
上述积分是 (σ+jω )的函数，令
dtetxjX tj )()()( (A)
付氏逆变换为
dejXtxe tjt )(
2
1)(
两边同乘 eσ t
dejXtx tj )()(
2
1)( (B)
令
j
dsd
js
,(A)(B)两式为?
dtetxsX st)()(
j
j
st dsesX
jtx
)(2 1)(
)()( txsX?
即存在关系
｛
拉氏变换性质：
)()(
)()(
22
11
sXtx
sXtx
)()()()( 2121 sbXsaXtbxtax
（ 2）时域微分性质 )()( sXtx )()( ssXdt tdx?
（ 3）时域积分性质
（ 1）线性性质
)()( sXtx )(1)(
0
sXsdttx
t
常用信号拉氏变换
1 e-at cosAt sinAt e-atcosAt e-atsinAt δ(t) (tn-1) δ(t-T) tn-1e-at
信号变换收敛域
1 1 s A (s+a) A 1 1 e-sT 1
Re(s)>0 Re(s)>-a Re(s)>0 Re(s)>0 Re(s)>-a Re(s)>-a S面 Re(s)>0 s面 Re(s)>-a
(n-1)! (n-1)!
(s+a)2+A2 (s+a)2+A2(s2+A2)(s2+A2)s+a sn (s+a)ns
17
一．传递函数 （系统传输特性复频域表现）
设 X (s)和 Y (s)是输入 x (t)、输出 y (t)的拉普拉斯变换，对式 (2-1)取拉氏变换得，
)()()()( sGsXsHsY h (2-13)
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
其中 js 为复变量；
)(sGh 是与输入和系统初始条件有关的
)(sH 是只反映系统本身特性，称为系统传递函数。
若初始条件全为零，即 0)(?sG
h
使得
)(
)()(
sX
sYsH? (2-14)
18
3页
（ 1） H (s)与 x (t)及 系统初始条件无关，它代表了系统的传输特性,x (t) → y(t)。
特 点：
（ 2） H (s)只反映系统传输特性,而不限制在系统的物理结构中，同一传输特性的系统，可能代表不同的物理系统。
（ 3）用传递函数描述的系统通过系统 011011,,,,,,,bbbbaaaa mmnn
来反映的，它们的量纲因具体物理系统和输入、输出的量纲而定。
（ 4） H (s)中的分母取决于系统的结构，分子则和系统同外界之间的关系如输入
aaaaa点位置、输入方式、被测量及测量点布置等）有关。
a) H (s)中 ai,bi的值仅反映系统传输特性 。
b) H (s)不受物理结构限制 。
c) 的量纲 反映了具体真实系统。
011011,,,,,,,bbbbaaaa mmnn
d) 反映了系统结构，
e) 反映了系统同外界关系。
011,,,aaaa nn
011,,,bbbb mm
19
二．频率响应函数（系统传输特性频域表现）
（一）幅频特性、相频特性和频率响应函数根据定常线性系统的频率保持性,系统在简谐信号激励下,其稳态输出也是简谐信号,两者幅值比 A=Y0/X0和相位差 φ 均随频率 ω变化,即是 ω的函数 。
幅频特性 —— 定常线性系统在简谐信号激励下其 稳态 输出信号和输入信号的幅值比为系统的幅频特性，记为 A(ω)。
相频特性 —— 上述条件下,稳态 输出对输入的相位差被定义为该系统的相频特性,记为 φ (ω)。
系统频率特性 —— 该系统的幅频特性和相频特性统称为系统频率特性。
一个复数可表示为 Z =a+jb 或 其中
jeZZ? 22 baZ abtg
用 H(ω)表示系统频率特性，也称为频率响应函数。
)()()( jeAH?
20
（二）频率响应函数的求法系统传递函数 H(s) 如式（ 2-13）所示为
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
令 s =jω 代入上式，便可得系统频率响应函数 H(ω)，记作 H (jω)
01
1
1
01
1
1
)()()(
)()()()(
ajajaja
bjbjbjbH
n
n
n
n
m
m
m
m
(2-15)
由 和 付里叶变换 (定常线性系统,初始条件为 0)
系统的频率响应函数 H(ω)就成为输出 y(t) 的付氏变换 Y (ω )和输入 x(t) 的付氏变换 X (ω ) 之比，即
)(
)()(
sX
sYsH? )()( HsH js
)(
)()(
X
YH? (2-16)
说 明：
21
（ 三 ） 幅,相频特性及其图象描述
1．幅频特性曲线
2．相频特性曲线
3．伯德 (Bode)图
(增加‘图’的动态范围）
4．实频特性曲线
5．虚频特性曲线
6．奈魁斯特 (Nyguist)图
22
)(A
)(
以 ω（或 f =ω/2π ）取对数为横坐标，
20lgA(ω)为纵坐标，作对数幅频特性曲线。
以 ω（或 f =ω/2π ）取对数为横坐标，
φ (ω)为纵坐标，作对数相频特性曲线。
)(P
)(Q
)()( PQ?
)()()( jQPH
)()()( 22 QPA
)(
)()(
P
Qtg?
图中自原点画出的矢量向径和与横轴夹角分别是该频率 ω点的 A(ω)和 φ (ω)。
详细见图三．脉冲响应函数 （系统传输特性时域表现）
若输入为单位脉冲，即 则)()( ttx 1)]([)( tLsX?
由
)(
)()(
sX
sYsH? 变换出 )()()()( sHsXsHsY
由拉氏反变换
)()]([)( 1 thsHLty
常称为系统的脉冲响应函数或权函数，可作为系统特性的时域描述。)(th
测试装置动态特性的数学描述有三种形式：
传递函数 H(s)在复数域描述系统特性,确保可积 。 理论建摸 。
频率响应函数 H(ω)在频域 直观的 描述系统稳态特性 。 频响法建摸 。
脉冲响应函数 h (t) 在时域直观的描述系统过度过程的特性 。 脉冲响应 建摸 。
关系 )()( sHth?
)()(?Hth?
23
a = 0
四．环节的串联和并联
（一）串联 两个传递函数各为 H1(s)
和 H2(s) 的环节，如图 2-5所示。系统传递函数 H(s)，在初始条件为零时
)()()( )()( )()( )()( 21 sHsHsZ sYsX sZsX sYsH 图 2-5 两个环节并联
H(s)
X(s) Y(s)Z(s)H
1(s) H2(s)
类似对 n 个环节串联的系统有传 递 函 数?
n
i
i sHsH
1
)()(
n
i
iHH
1
)()(
（ 2-18）
n
i
iAA
1
)()(
n
i
i
1
)()(
频率响应函数幅 频 特 性相 频 特 性
（ 2-21）
（ 2-22）
（ 2-22）
24
用传递函数描述系统特性，可使高阶系统的综合和分析大为简化。
（二）并联若两个环节并联见图 2-6，因为
)()()( 21 sYsYsY
所以
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
2
2
1
1
sX
sY
sX
sY
sX
sYsH
)()()( 21 sHsHsH （ 2-19）
n个环节并联系统的传递函数为?
n
i
i sHsH
1
)()(
n个环节并联系统的频率响应函数为
（ 2-20）
n
i
iHH
1
)()(
（ 2-23）
Y(s)
图 2-6 两个环节并联
X(s)
H(s)
+
+
Y2(s)
Y1(s)H
1(s)
H2(s)
25
（三）高阶系统将式（ 2-13）中分母分解为 s 的一次和二次 实 函数因子式，即
( ) / 21 2 2
1 1 0 11( ) ( 2 )
nrrnn
n n n i i n i n iiia s a s a s a a s p s s
（ 2-24）
式中 —— 实常数，其中niiip,,12?
i?
据此，可把式（ 2-13）分解成部分分式形式 。 （ 留数法 ）
r
i
rn
i ninii
ii
i
i
ss
s
ps
qsH
1
2/)(
1
22 )2)(
（ 2-25）
式中 —— 实常数iii q,,
式 (2-25)表明：任何分母中 s 高于三次 (n>3)的高阶系统都可以看作是由若干个一 阶环节和二阶环节的并联。把分子也作因式分解，可以转化为串联形式。
并联形式易于反变换；串联形式易于作系统特性分析。因此，分析并了解一阶和二阶环节的传输特性是分析并了解高阶、复杂系统传输特性的基础。
26
五．一阶、二阶系统的特性 （理论建模、动态特性及其引出的误差）
（一）阶系统以一阶系统 RC 电路为例,令 x(t),y(t)分别 为输入、输出电压，有
)()()( txtydt tdyRC
令 RC=τ,得
)()()( txtydt tdy (2-26)
式中 τ 称为时间常数，其量纲为 t
一般形式为 )()()(
001 txbtyadt
tdya
或改写为
)()()( tSxtydt tdy
式中
0
1aa
0
0abS?
为时间常数为系统灵敏度为了方便可令 S=1（归一化系统），上式化为
)()()( txtydt tdy
i C y(t)
R
x(t)
力位移
x(t)y(t)
ck
x(t)
y(t)
图 2— 7 一阶系统
27
根据拉氏变换性质上式传递函数为
1
1)(
ssH?
（ 2-27）
令 s= jω 得频率响应函数为
22 )(1)(1
1
)1)(1(
11)(
j
jj
j
jH
（ 2-28）
幅频特性为
2
2
2
2
2
22
)(1
1]
)(1[])(1
1[)()()(
QPA
（ 2-29）
相频特性为 ()
( ) ( )()Qa rc tg a rc tgP（ 2-30）
负号说明输出信号滞后于输入信号。
一阶系统 伯德图见图 (2-8),奈魁斯特图见图 (2-9)，
一阶系统的脉冲响应函数为一阶系统的瞬态特性曲线。? teth 1)(
（ 2-31）
幅频曲线、相频曲线见图 (2-10)。 一阶系统的稳态特性曲线。
其图形见 图 2-8,2-9,2-10,2-11
28
特 点：
（ 1）当 ω<<1/τ （约 ω<1/ 5τ ）时,A(ω)值接近于 1(误差不超过 2%)，
输入输出幅值几乎相等，见图 2-11。
当 ω>(2～ 3)/τ 时，即 τω>>1时，
jH
1)(?
与之对应方程式为 t dttxty
0 )(
1)(
输出与输入的积分成正比，系统相当于一个积分器，其中 A(ω)与 ω
成反比，相位差近 900 。 一阶系统装置使用于测量缓变或低频的测量。
（ 2） τ 是一阶系统重要参数。在 τ =1/τ 处,A(ω)=0.707(-3dB) 相角滞后 450。 τ 决定了该装置适用的频率范围。
（ 3） 一阶系统伯德图可用一条折线近似描述 。 ω<1/τ → A(ω)=1的直线,
ω>1/τ → 为一条 -20dB/10 倍频斜率直线,1/τ 是转折频率，最大误差为 -3dB 。
29
（二）二阶系统
a)
x(t) y(t)
m
ck
b)
x(t) y(t)
L R
C
y(t)
SN
c)
i(t)
N S
图 2-12 二阶系统实例
a) 弹簧 -质量 -阻尼系统
b)RLC电路 c)动圈式电表图 2— 12中三种系统均属二阶系统，
以动圈式表为例讨论其特性。固定的永久磁场和通电线圈所产生的磁场相互作用所产生的电磁矩使线圈产生偏转运动，可用二阶微分方程描述：
)()()()(22 txktGydt tdyCdt tydJ i
x(t)— 输入线圈的电流信号
y(t)— 动圈的角位移输出信号式中
J— 转动惯量 (取决于结构和质量 )
C— 阻尼系数 (包括空气、电磁、油阻尼 )
G— 游丝的扭转刚度 ki— 电磁转矩系数
30
令 JGn 2C GJ GkS i?
上式写成 2
22
2
( ) ( )2 ( ) ( )
n n n
d y t d y t y t S x t
d t d t
（ 2-32）
令 S=1(归一化 )得二阶系统传递函数为 2
22() 2
n
nn
Hs ss （ 2-33）
频率响应函数为 2
2 2 2
1()
( ) 2 ( ) [ 1 ( ) ] 2
nn
n
nn
H j j j（ 2-34）
幅频特性为
2 2 2
1()
[ 1 ( ) ] 4 ( )nnA
（ 2-35）
相频特性为
2
2()
1 ( )
n
n
a r c tg
（ 2-36）
二阶系统响应的幅频、相频特性曲线见 图 2-13所示,伯德图见 图 2-14
奈魁斯特图见 图 2-15,脉冲响应函数图形见 图 2-16。
31
二阶系统脉冲响应函数见式（ 2-37），其图形见图 2-16所示。
2
2( ) s i n 11
n tn nh t e t
01 （ 2-37）特 点：
（ 1）当 ω<<ωn时,H(ω)≈1 ；当 ω>>ωn时,H(ω)→0
（ 2）影响二阶系统动态特性的参数是固有频率和阻尼比,ωn 尤为重要。当
ω=ωn 时，系统共振。 A(ω)=1/2ζ,φ (ω)=-900，不因阻尼比不同而改变。
（ 3）伯德图可用折线近似。在 ω<0.5ωn 段，用 A(ω)=0 近似；
在 ω>2ω n 段，可用 -40dB/10 倍频或 -12dB/2 倍频直线来近似。
在 ω≈(0.5 ～ 2)ω n区间，因共振区，偏差较大。
（ 4）在 ω<<ωn段,φ (ω)甚小，在 ω>>ωn段,φ (ω)趋近于 1800，输出与输入反相。在 ω靠近 ω n区间,φ (ω)随频率剧烈变化,ζ ↓ → 变化 ↑（ 5）二阶系统是一个振荡环节，从测试角度看，希望在宽频率范围内不理想频率特性引起的误差尽可能小。为此，需恰当选择固有频率和阻尼比。
一般情况下 ω≤(0.6 ～ 0.8)ωn,ζ =0.65～ 0.7。
32
第四节 测量装置对任意输入的响应一．系统对任意输入的响应现将输入 x(t)分割成众多相邻,
持续时间 Δ τ 的脉冲信号见图
(2-17a)。 当 Δ τ 足够小时
x(τ )Δ τ 看作是 τ 时刻脉冲信号强度,见图 b)在 t时刻该脉冲对系统的贡献为
)()( thx
系统的输出则应是所有 τ <t诸贡献之和，即
t
thxty
0
)()()(
x(t)
t
τ Δ τ
0
0
y(t)
t
h(t)
t0
t0
x(t)
dttx )(
a) b)
c) d)
( ) ( )xh
()x
图 2-17 系统对任意输入的响应
33
据卷积定义
dthxthtx )()()()(
对于 t<0时,x (t) = 0 和 h(t)=0 积分下限可取为 0，上限取为 t,
因此式（ 2-38）可记为
)()()( thtxty （ 2-39）
此式表明,
（ 1） 系统的输出就是输入与系统的脉冲响应函数的卷积 。
（ 2） 输入 — 输出关系形式简明,含义明确 。
（ 3）可利用 h(t),H(s),H(ω)的关系，以及 L氏变换,F 氏变换的卷积定理，
将卷积计算变换成复频域或频域的乘法运算，简化计算工作。
当 Δ τ →0?
t dthxty 0 )()()( （ 2-38）
34
二．系统对单位阶跃输入的响应单位阶跃输入为
1
0)(tx
其 L氏变换为
0 0
11)()(
sesdtedtetxsX
ststst
一阶系统传递函数为
1
1)(
ssH?
一阶系统输出为
1
11)()()(
sssHsXsY?
改变形式为
1
11
1
1)(
sss
s
ssY
L氏反变换 11?
s ateas1 tes
1
11
一阶系统输出为?tety 1)( （ 2-40）
二阶系统输出为
22( ) 1 s in ( )1
n t
d
ey t t
( 1) （ 2-41）
其中
21dn
2
2
1a rctg
参见 图 2-18； 图 2-19 ； 图 2-20
0
0
t
t
35
（ 1）单位脉冲函数 δ (t)的积分是单位阶跃函数 u (t)，
故单位阶跃输入下的输出就是系统脉冲响应的积分，
t dtu )()(
t dhty )()(
（ 2）一阶系统在 u(t) 激励下稳态输出误差理论上为零，
初始上升斜率为 1/τ,并且
1)( tyt
（ 3） 二阶系统在 u(t) 激励下稳态输出误差也为零 。 但很大程度上决定于 ζ 和 ω n 。
(a) ζ =0超调量为 100% 振荡不稳定；
(b) ζ ≥ 1 系统退化为二个一阶系统串联，需长时间稳定；
(c) ζ =0.6～ 0.8系统在较短时间进入偏离稳态不到 2~5 %的范围内。
说 明：
36
第五节 实现不失真测试的条件某装置输出 y(t) 与输入 x (t) 满足下 式
)()( 00 ttxAty
(2-42)
式中 A0,t0 均为常数,此式表明该装置输出波形与输入波形精确一致，只是幅值扩大了 A0倍，在时间上延长了 t0，见图 2-21。此种情况被认为实现了 不失真测量 。 图 2-21波形的不失真复现
y(t)=A0x(t)
y(t)=A0x(t-t0)
x(t)
0 t0
x(t) y(t)
t
对式 2-42）做付氏变换，则（不考虑时移特性） )()( 0
0 XeAY tj
若 t<0 时,x (t)=0,y(t)=0，
于是频率响应函数 H(ω)为 0
0
)(
)(
)()()( tjj eA
X
YeAH
可见，若要求装置输出波形不失真，则其幅频和相频特性应分别满足
0)( AA? 常数 （ 2-43）
0)( t 线性 （ 2-44）
幅值失真 — A(ω)不等于常数时所引起的失真叫幅值失真 。
相位失真 — φ (ω)与 ω之间的非线性关系所引起的失真
37
▲ 一阶以上系统都不能在全频段上满足式 (2-43),(2-44)的不失真条件 。
▲ 根据使用要求合理分别确定幅值失真,相位失真的允许值 。
▲ 正确选择检测系统的特性和结构,以达到精度要求 。
（ 1）正确选择检测系统的通带，滤去非信号频带内噪声。
（ 2）分析权衡幅值失真和相位失真的使用要求，选择检测系统的阶数和参数。
（ 3）一阶环节时间常数越小，不失真通频带越宽。
（ 4）二阶环节
（ 5）使测量各个环节的不失真都尽量小，提高整体测量水平。
ω<0.3ωn,φ (ω)特性曲线接近直线,A(ω)变化不超过 10%，波形输出失真很小。
ω>(2.5～ 3)ωn,φ (ω)近 1800，按测试信号反相，接近相位不失真,A(ω)太小。
ω=(0～ 0.58)ωn,ζ =0.6～ 0.8 时,φ (ω)≈0,不超过 5% 误差，合适综合特性。
38
第六节 测试装置动态特性的测试为了确保检测的准确度,必须确认检测装置静,动态特性 。 动态特性的 测试按输入信号的类型分为,频率响应法,阶跃响应法,脉冲响应法 。
一．频率响应法激励信号为正弦信号,x(t)=X0sinωt。 ω从小到大逐渐增加，逐个频率记录输出和输入的幅值比和相角差，即得幅频和相频曲线 A(f) 和 φ (f) 。
▲ 对装置加正弦输入信号峰 — 峰值通常为量程的 20%，防止共振超量程。
▲ 必须在输出达到稳定后，才可记录幅值比和相角差 。
一阶系统：主要动态特性参数是 τ,可通过一阶系统频谱的特点直接确定，
ω0 = 1/τ 处的幅值比和相角差。
2)(1
1)(
A )()( a rc tg
39
二阶系统,主要动态特性参数是 ωn,ζ 。 可通过二阶系统频谱的特点来确定 。
（ 1） 在 ω =ωn 处输出对输入相角滞后 900,该点斜率直接反映了阻尼比
ζ 的大小 。
（ 2）由幅频特性曲线估计其动态特性参数对于欠阻尼系统 (ζ <1),A(ω)曲线的峰值稍偏离 ωn在 ωr处 (参见图 2-13),且
212rn （ 2-45）
或
212
r
n
当 ζ ↓↓ → ω r=ω n
由式（ 2-35）
2 2 2 2
1()
[ 1 ( ) ] 4 ( )
nn
A
（ 2-35）
当 ω=ω n 时 1
() 2nA
当 ζ ↓↓ → A(ω n)非常接近峰值
40
令 1
2
(1 )
(1 )
n
n
分别代入（ 2-35）式,可得
12
1( ) ( )
22AA
在 A(ω)曲线上，在距峰值 处作一水平线交曲线于 a,b两点，
它们对应的频率将是 ω 1和 ω 2，利用（ A）式，可得 ζ 估计值。
7 0 7.021?
21 ( 1 ) ( 1 ) 2n n n
求出 21
2 n
（ 2-46）
（ 3）用 A(ωr)和 A(0)两特殊点，也可求 ζ 。
2
() 1
( 0 ) 21
rA
A
（ 2-47）
(A)
图 2-23 二阶系统阻尼比的估计
ba
A(ω)
ω 1ω nω20 ω
22
1
21
41
二．阶跃响应法激励信号为单位阶跃信号。
▲ 单位阶跃信号易于获得，且精度较高。
▲ 只须一次加载即可完成测量。
（一）一阶装置的阶跃响应求其动态特性参数方法 1：取出该输出值达到最终稳态值 63%所经过的时间作为时间常数 τ,
可靠性差。
方法 2：由式（ 2-40）阶跃响应为?tety 1)(
移项并取对数得 )](1ln [ tyt
上式表明 ln[1-y(t)]与 t 成线性关系，由测得 y(t)作出 ln[1-y(t)]— t曲线，
根据其斜率确定时间常数 τ 。此方法运用了全部数据，考虑了瞬态响应的全过程。
42
（二）二阶装置的阶跃响应求其动态特性参数由典型有阻尼二阶装置的阶跃响应函数表达式（ 2-41）可知，其瞬态响应是以圆频率 ωd = 作衰减振荡,ωd 称为有阻尼固有频率 。
用过均值点求其周期为 tp= 0,π /ω d,2π /ω d,… 。
● 利用最大超调量 M求阻尼比 ζ
将 t =π /ω d代入式 (2-41)，得出 最大超调量 M 和阻尼比 ζ 的关系：
21n
21Me
(2-48)
或
2
ln
1
( ) 1M?
(2-49)
测得 M 代入上式 求取阻尼比 ζ,或借助 M— ζ 图 求取阻尼比 ζ 见 图 (2-25)。
M1
M
td
图 2-24欠阻尼二阶装置的阶跃响应
t0
y(t)
1
43
● 利用任意两个超调量 Mi和 Mi+n求阻尼比 ζ 。
有
2
22
1i n i id n
nnt t t
将其代入二阶装置的阶跃响应 y(t) 表达式 （ 2-41）,得
2
2ln
1
i
in
M n
M
整理 （ 2-50）
其中
ni
in
M
M
ln? （ 2-51）
根据式 (2-50和 (2-51)，按实测的 Mi与 Mi+n，即可求出 ζ 。
当考虑 ζ <0.3 时,可用式 (2-52) 近似算出 ζ 值。211
ln
2
i
in
M
M
n
（ 2-52）
2
2 2 24
n
n n
其中 n 是两峰相隔的某一整周期数,Mi与 Mi+n对应时间为 ti和 ti+n，
44
第七节 负载效应一．负载效应
○ 负载效应 — 某装置由于后接另一个装置而产生的种种现象，称为负载效应。
负载效应有时是不能忽略的,比如,(a) 功率极小的集成电路的接触式测量 。
(b) 单自由度系统质点块上联结一个质量为 m f 的传感器,测振时有变化 。
例 1 例 2
○ 负载 —— 一个 装置从其他装置获取能量，获取能量者就是后者的负载。
在实际测试中，被测系统和被测对象之间、测试系统内部各环节之间相互连接和作用，
测试装置的接入就成为被测对象的负载,获取能量的 环节成为输出 能量 环节 的 负载。
45
二．减轻负载效应的措施负载效应所造成的影响应根据具体环节,装置来具体分析,如果将电阻抗的概念推广到广义阻抗,可以比较简捷地研究各种物理环节之间的负载效应 。
对于电压输出连接,减轻负载效应的办法有：
（ 1） 尽量采用轻负载结构 。 提高后续环节的输入阻抗 。
（ 2） 在原来两个相连接的环节之中,插入高输入阻抗,低输出阻抗的放大器 。
一方面减少从前环节吸收能,另一方面提高对后一环节负载的驱动能力,从而减轻负载效应 。
（ 3） 用反馈或零点测量原理 (如电位差计测量 ),使后环节几乎不从前环节总之，在测试中，应当建立系统整体概念，充分考虑各种装置、环节连接后可能产生的影响。如传感器的接入；成套仪器系统各组成部件间的互相影响。
吸取能量。
46
结 束结论：
应用叠加原理和频率保持性,在测试中已知线性系统和其输入频率,采用滤波技术把同频率输出信号提出来,即有效输出 。
对复杂输入信号可转到频域中去研究,将输入分解,
分别处理,比较方便和简捷 。
47
例,示值范围为 0~150V电压表,当其示值 为 100.0V时,实际值为 99.4V。
该表引用误差为：
%4.0%100150 4.990.100
多数热工仪表常用允许引用值作为准确度级别的代号例如 0.2 级电压表表示该表允许的示值误差不超过电压表引用值的 0.2%。
48
例：用某仪器测量某信号时的 SNR为 65 dB,代入（ 2-8）式
25.31065lg20
n
s
n
s
V
V
V
V
表示信号电压与干扰电压之比为,即噪声电压达不到信号电压的千分之一。
25.310
49
说 明：
（ 1）可以用实验求得频率响应函数
（ a）依次用不同的 ωi激励系统，同时测出激励和稳态输出及相位差
X0i,Y0i,φi 直至得到全部 Ai— ωi和 φ i — ωi。
（ b）在初始条件下，同时测得 x(t)和 y(t)，由付氏变换 X (ω )和 Y (ω )求得频率响应函数,
)(
)()(
X
YH?
（ 2） 频率响应函数是描述系统的简谐输入和稳态输出关系,因此测量时应当在系统达到 稳态 阶段时才测量 。
（ 3）由于任意信号可以分解成简谐信号的叠加，所以频率特性适合任意复杂信号。此时该特性分别表征系统对输入信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。
50
图 2-9 一阶系统的奈魁斯特图
∠ H(jω)
∣ H(jω ∣
0
ω
P
jQ
图 2-11 一阶系统的脉冲响应函数
0 τ 2τ 3τ 4τ
1/τ
h(t)
t
0
-10
-20
ω
图 2-8一阶系统的伯德图
a)对数幅频曲线 b)对数相频曲线
b)
a)
ω
-20dB/10倍频
11.0?1?110
11.0?1?110
φ
(ω
)
20
lgA
(ω
)(dB)
51
1 2 3 4 5 ωτ
图 2-10 一阶系统的幅频和相频曲线
b)
a)
0
-300
-600
-900
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
A(ω)
φ (ω )
52
图 2-9 一阶系统的奈魁斯特图
∠ H(jω)
∣ H(jω ∣
0
ω
P
jQ
图 2-11 一阶系统的脉冲响应函数
0 τ 2τ 3τ 4τ
1/τ
h(t)
t
0
-10
-20
ω
图 2-8一阶系统的伯德图
a)对数幅频曲线 b)对数相频曲线
b)
a)
ω
-20dB/10倍频
11.0?1?110
11.0?1?110
φ
(ω
)
20
lgA
(ω
)(dB)
1 2 3 4 5 ωτ
图 2-10 一阶系统的幅频和相频曲线
b)
a)
0
-300
-600
-900
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
A(ω)
φ (ω )
6
5
4
3
2
1
0
A(ω )
1 2 3
ζ =0.05
ζ =0.10
ζ =0.15
ζ =0.25
ζ =0.50
ζ =1.00
图 2-14 二阶系统的伯德图
20
10
0
-10
00
-900
-1800
20
lgA
(ε
)(dB)
0.1 0.2 0.4 0.60.8 1 2 4 6 8 10
ζ =0.1
ζ =0.2
ζ =0.3
ζ =0.5ζ =0.7
ζ =1.0
ζ =0.1ζ =0.2
ζ =0.3ζ =0.5
ζ =0.7ζ =1.0
图 2-13 二阶系统的幅频,相频特性
1 2 3
φ (ω)
-π
-π /2
0
ζ =0.05ζ =0.10
ζ =0.15ζ =0.25
ζ =0.50ζ =1.00
ζ =0
ζ =0 ω/ω
n
53
图 2-15 二阶系统的奈魁斯特图
（ 小 ζ ）ω n
ω n
ω n
ω n
ω =∞
（ 大 ζ ）
1
0
Im
Re
图 2-16 二阶系统的脉冲响应函数
2ππ
h(t)
ω nt0
ζ =0.1ζ =0.3
ζ =0.5ζ =0.7
ζ =1.0
54
图 2-18 单位阶跃输入
0
1
x(t)
t
图 2-19 一阶系统的单位阶跃响应
1
τ 2τ 3τ 4τ 5τ t
y(t)
0
t
图 2-20 二阶系统 (ζ <1)
的单位阶跃响应
1
2
ζ =0
0.1
0.3
0.5
0.7
y(t)
0
1
2
55
2 2
'
22
2
2
2 [ 1 ( ) ] 21
( ) | |2
[ 1 ( ) ][ 1 ]
1 ( )
n n n
nnn
n n
n
2
2()
1 ( )
n
n
a r c tg
二阶系统相频特性对其求导
22
2 2 4 1|
( 2 ) 4nn
56
2 2 2
1()
[ 1 ( ) 4 ( )nnA
由幅频特性曲线设
2 2 2 2( ) [1 ( ) ] 4 ( )
nnB
2
22 8' 2 2 2411( ) 2 [ 1 ( ) ] ( 1 ) 2 4 2 [ 1 ( ) ]n n n n n nnnB
求导令 ' ( ) 0B
2224 [ 2 1 ( ) ] 0
nn
22( ) 1 2
n
解出
212rn
由
'' 2
2
8( ) (1 2 ) 0
n
B→ B (ω r) = 极小值
（ ζ <0.707时）
→ A (ω r) = 极大值
57
2 2 2 2
1()
[ 1 ( ) ] 4 ( )
nn
A
由幅频特性曲线
1 ( 1 ) 2 2 2 2 2 3 4 2
1 1 1 1( ) |
22[ 1 ( 1 ) ] 4 ( 1 ) 8 1 2 5 8nA
同理
1 ( 1 ) 2
11( ) |
228nA
所以
12
1( ) ( )
22AA
带入 ω 1=（ 1-ζ ） ωn,并 略去 ζ 3,ζ 4 高次项
58
二阶系统阶跃响应函数
22( ) 1 s in ( )1
n t
d
ey t t
式中
2
2
1
2
1dn
arc tg
（ 2-41）
(ζ <1)
求导
'
222
1( ) [ s i n ( ) c o s ( ) ] 0
1
nnttn d d dy t e t e t
22sin ( ) c o s( ) ] 0n d d dtt
22
22
11() nd
d
nn
tg t tg
要想等式成立需要 0,,2,
d t
20,,,
dd
t
解出
59
将 t =π /ω d 代入式（ 2-41）
21
2222( ) 1 s in ( ) 1 s in11
n d
d
d
eeyt
21
212
2
( ) 1 1 1
1
ey t e
最大超调量 21( ) 1M y t e
取对数
2ln 1M
2
2
2
()ln
1M
解出 2
2
22
ln
ln
M
M
2
2 2 2
ln
l n 1
l n ( ) 1M
M
M
60
图 2-25 欠阻尼二阶系统 M— ζ 关系图
M
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 ζ
0.6
0.4
0.2
61
假如 ti+n与 ti 两相邻时间周期差为 2nπ,即
2d i n d it t n 2 dni n itt
22 1n ni n itt
代入式 (2-41)得
22( ) 1 s in ( )1
n i nt
i n d i n
ey t t
2
21()
222
2( ) 1 s in [ ( ) ]
11
nni
n
t
i n i n d i
n
eny t M t
2
21
2
222
12si n[ ]
111
n nni
n
t
i n d i
enM e t
2
21
22 s in [ ]1
n n ni
n
t
i n d i
eM e t
2
21
n n
ni n iM e M
2
2ln
1
in
i
M n
M
1
2
2ln ( )
1
in
i
M n
M
2
2ln ( )
1
i
in
M n
M
平方 2 2 2 2 2(1 ) l n ( ) 4i
in
M n
M
2
2
2 2 2
l n ( )
l n ( ) 4
i
in
i
in
M
M
M
M n
2
2 2 24
n
n n
其中 2 ln in inMM
得到
62
例 1,在图 (2-27)简单直流电路中,可算 出电阻器 R2 的电压降 U0 为,E
RR
RU
21
20
测量时在 R2 两端并联一个内阻为 Rm 的电压表,
由于 Rm的接入,R2和 Rm两端的电压降 U为
ERR RU
L
L
1
图 2-27直流电压测量
E R2
R1
Rm
V
考虑
m
mL RR RRR
2
2 则 ERRRRR RRU
mm
m
221
2 )(
由于 Rm 的接入,使 R2 的电压降发生了变化,即 U≠ U0,两者差异随 Rm↑ 而减小。
令 R1=100kΩ ; R2= Rm=150kΩ ; E=150V 代入上式得到 U0=90V;U=64.3V
误差达 28.6%
若 Rm=1MΩ 其余参数不变，则 U=84.9V 误差达 5.7%
结论,为了减少负载效应，测量仪表内阻要求非常大 。
63
例 2：在图 2-28中两个 RC电路（一阶系统）的传递函数分别为
1
1)(
1
1 ssH?
111 CR
1
1)(
2
2 ssH?
222 CR
图 2-28 两个一阶环节的联接
a) b) 一阶环节 c)两环节不加隔离地直接串联
UyUx U2
c)
C2C1
R2R1
b)a)
C2C1
R2R1
若未加隔离将它们串联，令 U2(t)为连接点电压，可写成 ssU sU y
22 1
1
)(
)(
连接点右侧 阻抗 为
sC
s
sC
sCR
sCRZ 2 22 22222
111
令 Z表示 R1后右侧电路的阻抗，它由 C1和 Z2并联而成，利用导钠计算 C1// Z2
22
2 1 1 2 2 1 2 1 2
1
2 2 2
()1
1 1 1
C s C s C s C s C C s C sCs
Z s s s
64
由于
Z
sU
RZ
sU x )()( 2
1
(电流相等 )
所以
s
sCsCCR
Z
R
x ZR
Z
sU
sU
2
2
212111
1
])[(
1
2
1
1
1
1
)(
)(
2
212121
2
2
212112
22
)(1
1
1
1
)(
)(
ssCR
s
ssCRss
s
sU
sU
x
连接后传递函数为
2
2121212
2
)(1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
ssCRsU
sU
sU
sU
sU
sUsH y
xx
y
注意到
2
212121
21 )(1
1
1
1
1
1)()(
sssssHsH
可见 )()()(
21 sHsHsH?
此外，从上面推导过程，利用阻抗概念求电路的传递函数，比较简便，
可免去求电路微分方程的步骤。
65
网络元件 S域模型电 阻 电 感 电 容基 本关 系
( ) ( )
1( ) ( )
u t Ri t
i t u tR
0
()()
1( ) ( )t
d i tu t L
dt
i t u t d xL
0
1( ) ( )
()()
t
u t i x d x
c
d u ti t c
dt
串联并联
S
域模型
( ) ( )U s RI s? ( ) ( )U s sLI s? 1( ) ( )U s I s
sC?
1( ) ( )I s U s
R? 1( ) ( )I s U ssL? ( ) ( )I s sCU s?
66
