检测技术基础教 材：,机械工程测试技术基础,
黄长艺 严普强 主编 机械工业出版社参考书：,机械工程测量与试验技术,
黄长艺 卢文祥 主编 机械工业出版社总学时 40= 授课 34+实验 6
1
绪 言一、测量系统的一般组成信 号 ——反映物体运动状态的物理量,含有物体的有关信息 。
以作为信号的物理量命名,表明信号的特性,
如电信号,光信号,力 信号,磁信号等等 。
被测对象传感器信号调理信号通讯信号处理显示记录观察者激励装置反馈,控制
2
测量系统基本任务 ——获取被观测物的状态信息。 (信号；转换）
传 感 器 ——由功能材料或特定机构组成的器件,能够按一定规律将被测物理量转换成易于后续处理的信号,通常是电信号 。
信号调理 ——把来自传感器的信号进一步转换成更适合传输和处理的形式 。 如放大,滤波,电信号形式的转换等 。
信号处理 ——间接量计算,信号分析,编码,匹配识辨,状态判断等 。
显示记录 ——以数字,表格,图形,曲线等形式提供给观察者 。
信号通讯 ——信号处理结果按通讯协议传输至上位机 。
反馈控制 ——按控制算法计算控制量,传给执行机构 。
激励装置 ——当被测物理量不能由被测物体自身产生,需要借助人为 附加的激励装置作用下产生,这种检测方式称为主动检测 。
反之为被动检测 。
3
二、测量技术的应用
1,科学研究感知是研究的基础，自然科学学科离开检测设备都不能展开研究工作。
检测设备是人类感觉器官的延伸，他使人类能更加深入的感知自然界的奥秘。
2,自动装置现代社会的基础之一，任何行业都不可缺少。
测控技术 自动化技术 机电一体技术
（ 系统构成 ） （系统功能 ） （ 综合设计 ）
3,机械专业、汽车专业的应用三、测量技术的发展
1、各环节电子元器件性能提高。
2、新型传感器应用
（ 1） 物性型传感器开发 。
（ 2） 集成,智能化传感器的开发 。
（ a） 变参量测量传感器 。
（ b） 传感器与放大,运算,补偿电路一体化 。
（ 3） 化学传感器开发 。
3,信息处理技术的发展 。
4、多变量测量系统的开发。
5
四,课程研究内容检测系统由一系列信号转换装置组成,理解,掌握各环节的基本转换原理,方法及引起信号失真,附加燥声的机理,是正确运用检测系统的关键 。
6
（ 4） 对动态测试工作的基本问题有一个较完整的概念,并运用于机械工程中某些参数的测试 。
（ 1）理解信号时域和频域描述方法，建立明确的信号频谱结构的概念，
掌握频谱分析和相关分析的基本原理和方法。
（ 2） 掌握测量装置基本静态,动态特性的评价方法和不失真测试条件,
掌握一阶,二阶线性系统动态特性及其测定方法 。
（ 3） 理解常用传感器,常用信号调理工作原理和性能,较合理运用 。
第一章 信号及其描述第一节 信号分类与描述一、信号的分类
8
信号的分类确定性信号随机信号连续信号离散信号能量信号功率信号周期信号非周期信号准周期信号瞬变非周期信号平稳随机信号非平稳随机信号模拟信号数字信号
（一）确定性信号与随机信号按信号的规律性对信号分类。规律性强的信号不仅能反映当前状态，
并且能预期其变化趋势。
1,确定性信号 ——信号可表示为一个确定的时间解析函数,可确定其任何时刻的量值
（ 1） 周期信号 ——按一定时间间隔而复始重复出现,无始无终的信号,可表示为：
x (t) = x (t + nT0 ) (n = 1,2,3,……,) (1—1)
式中 T0——周期
)s i n ()( 00 tmkxtx （ 1—2）
9
单自由度无阻尼振动系统
(2)非周期信号 ——确定性信号中那些不具有周期重复性的信号 。
（ a） 准周期信号 ——由两种以上周期信号合成,但其组成分量间无法找到公共周期 （ 但有离散频谱 ） 。
（ b） 瞬变非周期信号 ——在一定时间区间内存在,且随时间增长而衰减至零的信号 。
例如单质点自由度振动加上阻尼后,其质点位移 x (t ) 可表示为：
)s i n ()( 000 textx at
衰减振荡信号
10
)2s i n ()3s i n ( ttx
2、随机信号 ——一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用数学关系描述。它具有某些统计特征，均值、方差、均方根等。由概率统计其过去值，来估计其未来值。
① 平稳随机信号 ——统计特征不随时间变化，具有各态遍历性，
可用前段时间的统计特征来估计其未来的统计特征。
② 非平稳随机信号 ——规律性极差。
11
（ 二 ） 连续信号与离散信号连续信号 ——数学表达式中独立变量取值是连续的信号 。
离散信号 ——若独立变量取离散值,则称为离散信号 。
模拟信号 ____独立变量和函数都是连续取值的信号 。
数字信号 ____独立变量和函数都是取离散值的信号 。
连续信号
x(t)
t0
离散信号
x(t)
t0
A/D放大器传感器 采样器被测物体模拟脉冲模拟 模拟 离散 数字计数器 数字
（三）能量信号和功率信号
x (t )——电压信号，加到电阻 R上，其瞬间功率为：
R
txtP )()( 2?
1/R 为常值系数，瞬间功率正比于电压信号平方。
这种信号称为功率有限信号或功率信号 。
但它在有限区间 （ t1,t2） 的平均功率是有限的,即若信号在区间（ -∞,+∞ ） 的能量是无限的，即
2
1
)(1 2
12
t
t
dttxtt
2 ()x t dt
→∞ （ 1—5）
（ 1—6）
则认为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称能量信号。
信号的能量为当 x(t)满足
dttx? )(2
dttx )(2 (1—4)
二,信号的时域描述和频域描述用来描述信号变化规律的参考 变量称为信号的描述域,信号表达成描述域为独立变量 （ 自变量 ） 的函数 。 一个信号可以用多种 描述域建立不同函数关系,
来反映不同的规律 。 x(t),x(k),X(f),ε(σ),
检测希望采用能反映被测物理量本质特性的表达方式来描述信号 。
时域 ——以时间为独立变量来描述信号 。 直接观测到的信号 。
特点：直接反映信号幅值随时间变化的关系。
频域 ——以频率为独立变量来描述信号 。 如视觉,听觉 。
特点：分解信号频率结构,呈现频率与幅值,频率与相位的关系 。
特征域 ——以某些特征为独立变量来描述信号 。
特点：复杂信号的描述,如语言信号识别 。
空间域 ——以 2D/3D空间为独立变量来描述信号 。
特点：信号是空间的函数,如图象信号识别 。
14
)5s i n513s i n31( s i n4)( 000 tttAtx
式中
0
0
2
T
此式表明该周期方波由一系列幅值和频率不等，相角为零的正弦信号此式可写成
1
s in14)(
n
tnAtx
其中 ω= nω 0 n = 1,3,5,…
可见，若视 t 为参变量，以 ω为独立变量，则此式即为周期方波的频域描述 。
将该周期方波应用傅里叶级数展开，可得
x(t)=x(t+nT0)
x (t ) = A 0< t < T0/2
-A -T0/2 < t < 0
-T0
T0
周期方波
-A
A
-T0/2 T0/2
t0
x (t)例：右图一个周期方波的一种时域描述形式表示为,
叠加而成 。
15
信号分析的基本概念信号由多个分量复合而成，信号分析是把信号分解为各个分量，从中找出能代表物体状态的分量或分量组合，更清晰、准确的反映物体的状态。信号分解基于函数内积的投影性质。两个矢量的内积的几何意义是分量或投影。
G1 ·G2 =|G1||G2|cosθ G1-G2
矢量的内积表达式也可用矢量在 N维空间的坐标来表示：
连续信号可视为无穷维矢量，两个同自变量的函数的内积定义为：
Cn反映了信号 x(t)在基函数 Φn(t)上的分量、投影或相关性。 Φn(t)为 正交基函数集，信号 x(t)可表示为基函数的加权和。
第二节周期信号与离散频谱
16
)( 2
1 1
21 n
N
n
n GGGG?
ba nn dtttxc )()(?
1
)()(
n
nn tctx?
一、傅里叶级数的三角函数展开式在有限周期区间上,凡满足 狄里赫利条件 的周期信号 x(t),均可展开成傅里叶级数 。
1
000 )s i nco s()(
n
nn tnbtnaatx（ 1—7）
2
20
0
0
0 )(
1 T
T dttxTa
dttntxTa
T
Tn 2
2
0
0
0
0 c o s)(
2?
dttntxTb
T
Tn 2
2
0
0
0
0 s i n)(
2?
式中常值分量余弦分量幅值正弦分量幅值其中 T0——周期
ω 0 =2π /T0（ 圆频率 ） n=1,2,3,…
an,bn分别是 nω0的两个独立的函数 。
（ 1—8）
将式（ 1—7）改写成
1
000 )s i nco s()(
n
nn tnbtnaatx
1
022022
22
0 )s i nc o s()(
n nn
n
nn
n
nn tnba
btn
ba
abaatx
1
00
22
0 )s i nco sco s( s i n)(
n
nnnn tntnbaatx
1
00 )s i n ()(
n
nn tnAatx
（ 1—9）
式中 22
nnn baA
n
n
n b
atg
b n
a n22 nn ba?
n?
An,Φn也分别是 nω0的两个独立的函数,An为幅值,Φn为相位移,几何意义清晰,可 分别 作出 幅频谱 和 相频谱 。
周期信号是由无数多个不同频率的谐波叠加而成的,各频率成分是 ω0的 整数倍,相邻频率间隔称为 n 次谐波 。)s in (
0 nn tnA
基频—,/2 000 T
18
例 求脉冲信号的频谱 )()(
0nTtxtx
A
Atx )(
02/
2/0
0
0
tT
Tt
付氏级数展开
1
000 )s i nco s()(
n
nn tnbtnaatx
0]2)20)([(1][1)([1 00
0
2/
2/
0
2/
2/
000
0
0
0 0
0
TATA
TA d tA d tTdttxTa
T
T T
T
2/
2/
0
2/
2/
0
00
0
0
0
0
0 0
0
]co sco s[2co s)([2
T
T T
T
n t d tnAt d tnATt d tntxTa
令式中第一项 t =-t,则
0]c o s)1(c o s[2
0
2/
2/
0
00
0 0
0
T
T
n t d tnAt d tnATa
19
-T0/2
t
T0/2
0
-A
A
x (t)
2/
2/
0
2/
2/
0
00
0
0
0
0
0 0
0 ]s i ns i n[2s i n)([2 T
T T
T
n t d tnAt d tnATt d tntxTb
同理,令式中第一项 t =-t,则
2/
0
0
0
0
2/
2/
0
00
0
0
0
0 ]s i n2[2]s i n)1(s i n)1([2 T
T
T
n t d tnATt d tnAt d tnATb
0
/4)c os1(2c os14 2/
00
00
0 nAnn AtnnT Ab Tn,6,4,2,5,3,1nn
幅频谱 和 相频谱 由各次谐波的 幅值和相位移得出。
1
0
1
00
1
s i n14s i n4s i n)(
nnn
n tnn
Atn
n
Atnbtx?
),5,3,1(n
频谱图见 表 1-1。脉冲信号展开为各分量之和。
20
22 nnn baA
n
n
n b
atg=bn,=0
二,傅里叶级数的复指数函数展开式根据殴拉公式
tjte
tjte
tj
tj
s inco s
s inco s
)(21c o s tjtj eet
)(2s in tjtj eejt
将（ 1-11）（ 1-12）两式代入（ 1-7）式，得
（ 1-10）
（ 1-11）
（ 1-12）
1
000 )s i nco s()(
n
nn tnbtnaatx
)](2)(21[)( 0000
1
0
tjntjn
n
tjntjn
n
n ee
jbeeaatx
)])(21)(21[)( 00
1
0
tjn
n
n
n
tjn
nn ejbaejbaatx
(1-13)
令 00 ca?
)(21 nnn jbac
)(21 nnn jbac
(1-14a)
(1-14b)
(1-14c)
（ 1-7）
21
则
1
0 )()( 00
n
tjn
n
tjn
n ececctx
或
n
tjn
n ectx
0)(? ),2,1,0(n
即以复指数为基函数来分解信号。将式（ 1-8）代入式（ 1-14b）和（ 1-14c）得
]s i n)(c o s)([221)(21
2/
2/
0
2/
2/
0
0
0
0
0
0
dttntxjdttntxTjbac
T
T
T
T
nnn
2/
2/
2/
2/0
0
0
000
0
0
])(2)()(21)([1
T
T
tjntjntjntjn
T
T
n dtee
jtxjdteetx
Tc
o
dtetxTc
T
T
tjn
n?
2/
2/0
0
0
0)(1?
同理 dtetx
Tc
T
T
tjn
n?
2/
2/0
0
0
0)(1?
合并为
dtetx
T
c
T
T
tjn
n?
2/
2/0
0
0
0)(1?
),2,1,0(n (1-16)
22
说明：
njnnInRn ecjccc
（ 1-17）式中
22 nInRn ccc （ 1-18）
nR
nIn cca rct g （ 1-19）
nc 与 nc? 共轭，即 nn cc
nn;
2．频谱图 把周期函数 )(tx 展开为付里叶级数的复指数形式后，可分别为
nI
nR
n
n
c
c
c 作幅频谱图作相频谱图作实频谱图作虚频谱图
23
1,表示方法 一般情况下,cn 是复数，可以写成周期信号的频谱,离散谱、整数谐波,(次增幅减 )。 准周期信号的频谱？
3．比较 比较付里叶级数的两种展开形式可知复指数形式双边谱 )( 奇函数三角函数形式单边谱 )0( 偶函数
00
2
1
ac
Ac nn
4,负频率
当 n 取负值时,谐波频率 为,负频率,,
实际上角速度按其旋转方向可以有正有负 。
一个谐波频率的实部可以看成是两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影和 。
其虚部则为两个旋转方向相反的矢量在虚轴上投影之差 。
0?n
24
0
A/2
Re
Im
A
ω 0
-ω0
φ
-
φ
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号，常见下图所示衰减振荡函数
t
指数衰减函数
x(t)
0t
矩形周期函数
x(t)
0
单一脉冲函数
t
x(t)
0 t
x(t)
0
一．傅里叶变换瞬变非周期信号可以当成周期 T0为无穷大的周期信号来分析，当
0T
时，信号频谱中的频率间隔
0
0
2
T
无穷小。
谱线无限靠近，演变成一条连续曲线。所以非周期信号的 频谱是连续 的，
可理解将非周期信号由无限多个频率无限接近的频率成分所组成的。
25
设有一个周期信号在 )
2,2( 00 TT? 区间以傅里叶级数表示为
tjn
n
n ectx 0)(
式中 0 0
0
/2
0 /2
1 ()T jn t
n
T
c x t e d tT
代入上式 0
00
0
/2
0 /2
1( ) ( ( ) )T j n t j n t
T
x t x t e d t e
T
当
0T d 221
0
d
T?
0n
tjtj edtetxdtx
))((
2
)(
dedtetxtx tjtj ))(
2
1()(
(1-25)
称为付里叶积分
26
上式原括号中积分中 t 为积分变量，故积分后为 ω 的函数，
dtetxX tj?
)(2
1)(
deXtx tj?
)()(
付里叶变换 （ 1-26）
付里叶逆变换 （ 1-27）
两者互称为付里叶变换对,可记为 )()(?Xtx?
把 ω=2π f 代入式 （ 1-25） 中,则式 （ 1-26） 和 （ 1-27） 变为
dtetxfX ftj?
2)()(
dfefXtx ftj?
2)()(
（ 1-28）
（ 1-29）
两种形式的关系为 )(2)( XfX? (1-30)
27
记为 X (ω)
式中 为信号 的连续幅频谱,为信号 的连续相频谱。
,用 X(f)的虚、实部计算，方法同周期信号。
)(fX )(tx )(f? )(tx
一般 是实变量 f 的复函数，可以写成)(fX
)()()( fjefXfX
（ 1-31）
注意,? 非周期信号的幅频谱 )(fX 和周期信号幅频谱 nc
很相似，但两者是差别的，表现在量纲上。
)(fX 的量纲与信号幅值量纲不一样，它是单位频宽上的幅值，更确切地说 是频谱密度函数。)(fX
量纲与信号幅值的量纲一样。
nc
28
)(fX )(f?
例 1-3 求矩形窗函数 w(t) 的频谱定义：
0
1)(tw
2
2
T
T
t
t
（ 1-32）
解,)(
2
1)()( 2
2
22 fTjfTj
T
T
ftjftj ee
fjdtedtetwfW
根据欧拉公式
)(2 1)s i n ( fTjfTj eejfT
代入上式
)(s i ns i ns i n)( fTcTfT fTTf fTfW
（ 1-33）
式中 T—窗宽上式中我们定义
s ins in?c
图形见右图 （图 1-13）
T
θ3π 4π-π 0 π
sincθ
29
函数只有实部，没有虚部。其幅频谱为)(fW
)(s in)( fTcTfW （ 1-34）
其相位频谱视 的符号而定，当 为正值时相角为零，
为负值时相角为
)(s in fTc? )(sin fTc?
30
1
-T/2 T/2 t0
x(t)
Ie
Re<0 Re>0
Re -4/T -3/T -2/T –1/T 1/T ;;2/T; ;3/T; ;4/T
π
f
-3/T -2/T f3/T2/T
-1/T 1/T
0
T
W(f)
φ (f)
0
图 1-12
二．傅立叶变换的主要性质信号的时域与频域描述靠傅立叶变换建立彼此一一对应的关系，
即
)()(?Xtx?（一）奇偶虚实性一般 X(f)是实变量 f 的复变函数，有欧拉公式它可以写成
)()()2s i n2) ( c os()()( 2 fXjIfXRdtftjfttxdtetxfX meftj
（ 1-35）
式中
f tdttxfXR e?2c o s)()(
（ 1-36）
f td ttxfXI m?2s i n)()(
（ 1-37）
31
·x(t)为实函数 → )(fX 实部为偶函数 ( ) ( )
eeR X f R X f
)( fX 虚部为奇函数 )()( fXIfXI mm
·x(t)为实偶函数 → 0)(?fXI
m )(fX
为实偶函数,)()()( fXfXRfX
e
·x(t)为实奇函数 → 0)(?fXR
e
)(fX 为虚奇函数,( ) ( ) ( )mX f jI X f X f
·x(t)为虚偶函数 → 0)(?fXI
m )(fX 为虚偶函数,( ) ( ) ( )eX f jR X f X f
·x(t)为虚奇函数 → 0)(?fXR
e
为实奇函数，)( fX )()()( fXfXIfX m
了解此性质有助于估计傅立叶变换对的响应图形性质，减少计算。
→
32
由于余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数，有式（ 1-36）和（ 1-37）知
（二）对称性若 )()( fXtx )()( fxtX
证明：由 dfefXtx ftj
2)()(
令 ut dfefXux fuj
2)()(
u 和 f 对换
dueuXfx fuj?
2)()(
令 u = t
2( ) ( ) j ftx f X t e d t?
所以 )()( fxtX 证毕
33
0
A
-T/2 T/2 t0
x(t)
-3/T
-2/T f
3/T
2/T
-1/T 1/T
0
AT
X(f)
x(f)
-f0/2 f
A
f0/2-2/f0 t2/f0
-1/f0 1/f0
0
Af0
X(t)
（三）时间尺度改变特性若 )()( fXtx )0(?k
证明：
)(1)(1)(
)(22
k
fX
k
dk tektx
k
dtektx
kt
k
fj
ftj
（ 1）当时间尺度压缩（ k>1）时，见图 c 其频谱的频带加宽，幅值降低。
（ 2） 当时间尺度扩展 （ k<1） 时,见图 a 其频谱的频带边窄,幅值增高 。
（ 3） 压缩时间尺度,可以提高处理信号效率,但后续处理频带加宽,容易失真 。
（ 4） 扩展时间尺度,处理后续信号容易,但效率太低 。
34
0
X(f)
-1/2T 1/2T
X(f/2)/2
0
0-2/T 2/T
-1/T 1/T
AT/2
2AT
AT
2X(2f)
f
f
f
A
x(2t)
-T/2 0 T/2
-T T
t
t
t
-T/4 0 T/4
x(t)
0
A
A x(t/2) 扩展
k=0.5
正常
k=1
压缩
k=2
a)
b)
c)
)(1)( kfXkktx?
(四 ) 时移和频移特性
1．若 )()( fXtx
020 )()( ftjefXttx
（ 1-40）
证明：
dtetxfX ftj?
2)()(
令 t = t-t0 代入上式
02 ( )
0( ) ( )
j f t tX f x t t e d t?
dteettxfX ftjftj 0220 )()(
dtettxfXe ftjftj?
2
0
2 )()(0
所以
020 )()( ftjefXttx
式 (1-40)说明将信号时域中平移，其幅频谱不变，而相位谱中相角的改变量与频率 f 成正比，即 。以表 1—1的方波相频谱为例，
其中,则基波频率为 相移为
02 ft
400 Tt
0
0
1
Tf?
002 ( )4 2Tf
35
三次谐波的频率为 3f0,则相移为
00 32 3 ( )4 2Tf
2．如 )()( fXtx
)()( 02 0 ffXetx tfj
（ 1-41）
证明,dfefXtx ftj
2)()(
令 0fff
dfeeffXdfeffXtx tfjftjtffj 00 220)(20 )()()(
dfeffXetx ftjtfj?
202 )()( 0?
所以 )()( 02 0 ffXetx tfj
由欧拉公式知式（ 1-41）左侧是时域信号 x(t) 与频率为 f0 的正、余弦信号之和的乘积。描述了调频信号的调制过程。
36
（五）卷积定理两个函数 和 卷积定义为)(1 tx )(
2 tx
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
d e fx t x t x x t d
若 )()( )()(
22
11
fXtx
fXtx
则 )()()()( 2121 fXfXtxtx （ 1-42）
)()()()( 2121 fXfXtxtx （ 1-43）
证明时域卷积 dtedtxx ftj 2
21 ])()([
交换积分顺序
ddtetxx ftj ])()[( 221
根据时移特性
2
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
jfx X f e d X f X f
证毕证明频域卷积 2
12[ ( ) ( ) ]
j ftX X f d e d f
交换积分顺序
2
12( ) [ ( ) ]
j ftX X f e d f d
根据时移特性
2
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
jfX x t e d x t x t
证毕
37
（六）微分和积分特性由
dtetxfX ftj?
2)()( （ 1-28）
dfefXtx ftj?
2)()( （ 1-29）
对式 (1-29)中 t 进行微分 dfefXfj
dt
tdx ftj
2)()2()(
)()2()( fXfjdt tdx
同理 )()2()( fXfj
dt
txd n
n
n （ 1-44）
对式 (1-28)中 f 进行微分 dtetxtj
df
fdX ftj
2)()2()(
)()2()( txtjdf fdX
同理
)()2()( txtjdf fXd nnn （ 1-45）
同样可证明
)(21)( fXfjdttx
t
（ 1-46）
38
2/T
39
三、几种典型信号的频谱
（一）矩形窗函数的频谱从上 例 1—3中看出：
（ 1）一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率，称为泄漏。
（ 2）在时域中截取信号一段记录相当 x(t)w(t) W(f)*X(f)
（ 3）在 f= 0～ ± 1/T 之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰值称为旁瓣。
（ 4）主瓣宽度为 2/T与时域窗宽度 T 成反比,T↑ → 截取时间长，主瓣宽度小，
减小低频端的影响。高频泄漏部分衰减加快，减少了混叠现象的影响。
1
-T/2 T/2 t0
x(t)
Ie
Re<0 Re>0
Re -4/T -3/T -2/T –1/T 1/T;;2/T;; 3/T; ;4/T
π
f
-3/T
-2/T
f3/T
-1/T 1/T
0
T
W(f)
φ (f)
0
（二） δ 函数及其频谱
1,δ 函数的定义在 δ 时间内激发一个矩形脉冲
（或三角脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等），其面积为 1。
)(tS?
当 时，有0
0l i m ( ) ( )S t t
0)(t? 0
0
t
t （ 1-47）
从面积 （ 通常称其为 δ 函数的强度 ）
的角度看
0( ) l i m ( ) 1t d t S t d t
（ 1-48）
矩形脉冲
-ε /2 0ε /2
1/ε
Sε (t)
t
0
1
δ (t)
t
δ 函数
40
2,δ 函数的采样性质由于 δ (t)函数的性质
)()0()()( tfttf 强度为 f (0) 的 δ (t)函数从数值上看)()0( tf?
从面积（强度）看则为 f (0)，即
( ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) (0 )f t t d t f t d t f t d t f
(1-49)
同理,对于有延时 t0的 δ 函数 δ (t-t0),它与 f (t)乘积只有在 t= t0时刻不等于零即 )()()()( 000 tttftttf
积分 )()()()()()()(
000000 tfdttttfdttttfdttttf
(1-50)
从式 （ 1-49） 和 （ 1-50） 表明
（ 1） 任意函数 f (t)与 δ (t -t0)的乘积是一个强度为 f (t0)的 δ 函数 δ (t -t0)。
（ 2） 该乘积在有限区间的积分是 f (t)在 t -t0的值 f (t0)
（ 3）此性质描述了连续信号的采样过程，即离散化过程。
41
3,δ 函数与其它函数的卷积δ 函数与 x(t)的卷积为?
dtxttx )()()()(
由于 δ 函数为 偶函数
dtxttx )()()()(
所以 )()()( txttx （ 1-50）
同理当 δ 函数为 δ (t ± t0)
时
dttxtttx )()()()( 00
dttxtttx )]([)()()( 00
)()()( 00 ttxtttx
可见,函数 x(t)与 δ 函数的卷积结果就是发生在
δ 函数坐标位置上 (坐标原点 )简单将函数重构图，
即描述了函数沿坐标轴的移动。
-t0 0 t0 t
x(t)*δ (t+t0) x(t)*δ (t-t0)
x(t)*δ (t± t0)
0 t
x(t)
t-t0 0 t0
δ (t+t0) δ (t-t0)δ (t± t0)
A
0 t
x(t)*δ (t)
0 t
A x(t)
0
1
t
δ (t)
42
4,δ (t )的频谱
1)()( 02
edtetf ftj
(1-53)
其逆变换为 dfet ftj
21)(
(1-54) f0
1
Δ (f)
t0
1
δ (t)
δ 函数具有无限宽广频谱,而且是等强度的,也称为,均匀谱,。 根据付里叶变换的对称性质,时移性质和频移性质,可得到以下付里叶变换对时 域 频 域
δ (t ) ←→ 1
（ 单位瞬时脉冲 ） （ 均匀频谱密度函数 ）
1 ←→ δ (f)
（ 幅值为 1的直流量 ） （ 在 f = 0处有脉冲谱线 ）
δ (t -t0) ←→ e-j2π ft0
（ δ 函数时移 t0） (各频率成分分别相移 -j2π ft0)
ej2π f0 t ←→ δ (f -f0)
(复数指数函数 ) （ 将 δ （ f） 频移到 f0）
43
(1-55)
（三） 正、余弦函数的频谱密度函数根据欧拉公式可推出
)(22s i n 00 220 tfjtfj eejtf
)(212c o s 00 220 tfjtfj eetf
用式 (1-55)付里叶变换对
)]()([22s i n 000 ffffjtf
)]()([212c os 000 fffftf
(1-56)
(1-57)
看出：正、余弦函数是把频域中两个 δ 函数向不同频移后的差或和的付里叶逆变换，参见函数和频谱图。
1/21/2
-f0 f0
-f0
f0
ReX(f)
-1/2
1/2
0
0
f
f
ImX(f)
x(t)=cos2π f0t
x(t)=sin2π f0t
0
0
t
t
44
（ 四 ） 周期单位脉冲序列的频谱此序列常称为梳状函数，并用 comb(t,Ts)表示
(,) ( )d e fss
n
c om b t T t nT
（ 1-58）
式中 Ts—周期 n =± 1,± 2,… 因此，此函数是周期函数。
表示为复指数函数形式
k
tkfj
ks
seCTtco m b?2),(
（ 1-59）
式中 fs=1/Ts，系数 Ck为
2
2
2),(1
s
s
s
T
T
tkfj
s
s
k dteTtco m bTC
因为在 区间内，式（ 1-58）中只有一个 δ 函数 δ (t )，
且
),( 22 ss TT?
2 0
0 1|
sj k f t
tee
所以
2
2
2 1),(1
s
s
s
T
T s
tkfj
s
s
k TdteTtco m bTC
45
式（ 1-59）变成
21(,) sj kf t
s
ks
co m b t T eT?
根据式（ 1-55） tkfj se?2? )( skff
可得 comb(t,Ts)函数频谱 comb (f,fs)也是梳状函数
k k ss
s
s
s T
kf
TkffTffco m b )(
1)(1),((1-60)
由图可见时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列 。
时域周期为 Ts,脉冲强度为 1,频谱周期为 1/Ts,强度为 1/Ts。
46
-3/Ts -1/Ts 0 1/Ts 3/Ts-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts ft
1/Ts1
Comb(f,fs)Comb(t,Ts)
……… …
图 1-20 周期单位脉冲序列及其频谱
ω
φ (ω)
幅 —频谱
7ω 05ω 03ω 0ω 0
A(ω)
相 —频谱
7ω 05ω 03ω 0ω 0 ω
A
-A
t
x(t)
T0/2-T0/2
T0
T0/3
T0/5
T0/7
4A/π
4A/3π
4A/5π
4A/7π
47
狄里赫利条件：
（ 1）在一个周期内只有有限个不连续点。
（ 2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
存在?
2
2
)(
T
T dttf
（ 3）
48
证明 δ (t)函数为偶函数由
( ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) (0 )x t t d t x t d t x t d t x
(A)
令 t = -t 代入
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t x t d t t x t d t
( ) ( ) ( )t x t d t?
( ) ( ) ( )t x t d t?
( ) ( ) ( ) (0 )t x t d t x?
(B)
比较 (A)和 (B)两式，有
( ) ( )x t t d t?
( ) ( )tt
49
第四节 信号数字化出现的问题 （第五章 第二节）
一、离散傅里叶变换 DFT
数字信号处理器 DSP 中，信号的描述域是离散的，时域与频域之间的转换需采用 DFT 。 DSP 中的数据是对信号采样的有限数字序列。
在 DSP 中频域也是离散的，只取频率间隔 Δ f的整数倍，即 f=kΔ f 。其中频率间隔 Δ f为窗口时间宽度 T的倒数。
∵ Δ f=1/T=1/TsN,Δ fTs=1/N ∴ -j2π fnTs = -j2π kn/N
n,k分别为时间序列号和频率序列的序号。在作 DFT 时，不论时间单位 Ts和频率单位 Δ f为何值，都对应一个数组地址，故 DFT 变换对如下。
1
0
1
0
)2e x p ()()(
)()()()()()(
N
n
ss
c
N
n
ss
c
f n TjnTxfX
nTtnTxtc o m btwtxtx
经傅里叶变换
1
0
1
0
)/2e x p ()()(
)/2e x p ()(
1
)(
N
n
N
n
NknjnxkX
NknjkX
N
nx
由 X(k)可求出频谱。 注意：在频谱图中的单位是频率间隔 Δ f。
))(e x p (|)(|)( kjkXkX
应用 DFT 需考虑以下几个问题：
1.∵ T/Ts = fs/ Δ f = N
Ts小，则时间分辨率高； Δ f小，则频率分辨率高； N大，则计算量大；
∴ 须综合考虑分辨率与计算量的矛盾。
2,瞬变信号：增加窗口尺寸，有利于减小误差。
3,周期信号：窗口尺寸应采用整数信号周期。
4,以有限 ‘ N’项和替代无限项和，产生,截断误差,。
二、时域采样、混叠和采样定理
),()( sTtc o m btx
k
s
sk
s
s
s
kffX
T
kfffX
T
ffc o m bfX
)(1))(1
),()(
（?
由付氏变换的卷积定理可知：经过时域采样的信号等效于频域信号与梳状函数作卷积。
右式表示幅度为 X(f),周期为 fs的梳状函数。 fs小于二倍信号最高频率 fn，
则产生混叠现象，使信号失真。 当 fs高于二倍信号最高频率 fn,X(f)的高频梳状分量可用滤波器滤除，不产生信号失真。
1,选择采样频率应满足 fs > 2fn，避免产生混叠，造成信号失真。
2,采用模拟滤波器滤除高频噪声，避免高频噪声混叠到低频段。考虑到滤波器的性能影响，通常取 fs > 3---5fn.
3,对于确定的混叠噪声信号，如截断窗口产生的泄漏，可采用补偿措施予以消除。
三、截断、泄漏和窗函数
1,矩形窗 1 |t|≤T/2
w(t)=
0 |t|＞ T/2
2,三角窗 1-2|t|/T |t|≤T/2
w(t)=
0 |t|＞ T/2
W(f) = T sinC(πfT)
频谱延伸至无限频率，称为泄漏。泄漏的高频信号被混叠到低频信号中，产生误差。
W(f) = T/2 sin (π fT/2)
三角窗主瓣宽度约为矩形窗的两倍，
但旁瓣低，泄漏小，且无负值。
3,汉宁窗?-?cos(2πt/T) |t|≤T/2
w(t)=
0 |t|＞ T/2
W(f)=1/2 WR(f)+1/4[WR(f+1/T)+ WR(f-1/T)]
4,指数窗 exp(-at) |t|≥ 0
w(t)=
0 |t|＜ 0
22 )2(/1|)(| fafW
的特点是无旁瓣，但主瓣很宽，其频率分辨率低，抑制泄漏作用明显。适合用于脉冲响应信号。
主瓣宽度约为矩形窗的两倍，旁瓣衰减率为 60B/10倍频程，明显降低，具有抑制泄漏作用。适合用于强截断信号。
WR(f)为矩形窗函数
2C
四、量化误差数字信号的幅值用二进制数字表示，量化间隔为
bDx 2/
其中 ‘ D’ 为 A/D转换器的工作范围,‘ b’ 为字长。量化误差最大为 ± Δ x/2。
本章讨论了周期信号、瞬变信号及数字信号的时域 —频域转换方法及特点，
他们的转换算法的差别仅在于基函数的指数（连续 /离散）和积分域（周期 /无穷）。
数字信号的时域 —频域转换可能会产生采样误差、量化误差、舍入误差、
结尾误差，正确的选择参数可避免这些附加的误差。
减小由泄漏造成的误差
1,正确的选择截断窗口的形式和参数。
2,采用补偿措施予以消除。
黄长艺 严普强 主编 机械工业出版社参考书：,机械工程测量与试验技术,
黄长艺 卢文祥 主编 机械工业出版社总学时 40= 授课 34+实验 6
1
绪 言一、测量系统的一般组成信 号 ——反映物体运动状态的物理量,含有物体的有关信息 。
以作为信号的物理量命名,表明信号的特性,
如电信号,光信号,力 信号,磁信号等等 。
被测对象传感器信号调理信号通讯信号处理显示记录观察者激励装置反馈,控制
2
测量系统基本任务 ——获取被观测物的状态信息。 (信号；转换）
传 感 器 ——由功能材料或特定机构组成的器件,能够按一定规律将被测物理量转换成易于后续处理的信号,通常是电信号 。
信号调理 ——把来自传感器的信号进一步转换成更适合传输和处理的形式 。 如放大,滤波,电信号形式的转换等 。
信号处理 ——间接量计算,信号分析,编码,匹配识辨,状态判断等 。
显示记录 ——以数字,表格,图形,曲线等形式提供给观察者 。
信号通讯 ——信号处理结果按通讯协议传输至上位机 。
反馈控制 ——按控制算法计算控制量,传给执行机构 。
激励装置 ——当被测物理量不能由被测物体自身产生,需要借助人为 附加的激励装置作用下产生,这种检测方式称为主动检测 。
反之为被动检测 。
3
二、测量技术的应用
1,科学研究感知是研究的基础，自然科学学科离开检测设备都不能展开研究工作。
检测设备是人类感觉器官的延伸，他使人类能更加深入的感知自然界的奥秘。
2,自动装置现代社会的基础之一，任何行业都不可缺少。
测控技术 自动化技术 机电一体技术
（ 系统构成 ） （系统功能 ） （ 综合设计 ）
3,机械专业、汽车专业的应用三、测量技术的发展
1、各环节电子元器件性能提高。
2、新型传感器应用
（ 1） 物性型传感器开发 。
（ 2） 集成,智能化传感器的开发 。
（ a） 变参量测量传感器 。
（ b） 传感器与放大,运算,补偿电路一体化 。
（ 3） 化学传感器开发 。
3,信息处理技术的发展 。
4、多变量测量系统的开发。
5
四,课程研究内容检测系统由一系列信号转换装置组成,理解,掌握各环节的基本转换原理,方法及引起信号失真,附加燥声的机理,是正确运用检测系统的关键 。
6
（ 4） 对动态测试工作的基本问题有一个较完整的概念,并运用于机械工程中某些参数的测试 。
（ 1）理解信号时域和频域描述方法，建立明确的信号频谱结构的概念，
掌握频谱分析和相关分析的基本原理和方法。
（ 2） 掌握测量装置基本静态,动态特性的评价方法和不失真测试条件,
掌握一阶,二阶线性系统动态特性及其测定方法 。
（ 3） 理解常用传感器,常用信号调理工作原理和性能,较合理运用 。
第一章 信号及其描述第一节 信号分类与描述一、信号的分类
8
信号的分类确定性信号随机信号连续信号离散信号能量信号功率信号周期信号非周期信号准周期信号瞬变非周期信号平稳随机信号非平稳随机信号模拟信号数字信号
（一）确定性信号与随机信号按信号的规律性对信号分类。规律性强的信号不仅能反映当前状态，
并且能预期其变化趋势。
1,确定性信号 ——信号可表示为一个确定的时间解析函数,可确定其任何时刻的量值
（ 1） 周期信号 ——按一定时间间隔而复始重复出现,无始无终的信号,可表示为：
x (t) = x (t + nT0 ) (n = 1,2,3,……,) (1—1)
式中 T0——周期
)s i n ()( 00 tmkxtx （ 1—2）
9
单自由度无阻尼振动系统
(2)非周期信号 ——确定性信号中那些不具有周期重复性的信号 。
（ a） 准周期信号 ——由两种以上周期信号合成,但其组成分量间无法找到公共周期 （ 但有离散频谱 ） 。
（ b） 瞬变非周期信号 ——在一定时间区间内存在,且随时间增长而衰减至零的信号 。
例如单质点自由度振动加上阻尼后,其质点位移 x (t ) 可表示为：
)s i n ()( 000 textx at
衰减振荡信号
10
)2s i n ()3s i n ( ttx
2、随机信号 ——一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用数学关系描述。它具有某些统计特征，均值、方差、均方根等。由概率统计其过去值，来估计其未来值。
① 平稳随机信号 ——统计特征不随时间变化，具有各态遍历性，
可用前段时间的统计特征来估计其未来的统计特征。
② 非平稳随机信号 ——规律性极差。
11
（ 二 ） 连续信号与离散信号连续信号 ——数学表达式中独立变量取值是连续的信号 。
离散信号 ——若独立变量取离散值,则称为离散信号 。
模拟信号 ____独立变量和函数都是连续取值的信号 。
数字信号 ____独立变量和函数都是取离散值的信号 。
连续信号
x(t)
t0
离散信号
x(t)
t0
A/D放大器传感器 采样器被测物体模拟脉冲模拟 模拟 离散 数字计数器 数字
（三）能量信号和功率信号
x (t )——电压信号，加到电阻 R上，其瞬间功率为：
R
txtP )()( 2?
1/R 为常值系数，瞬间功率正比于电压信号平方。
这种信号称为功率有限信号或功率信号 。
但它在有限区间 （ t1,t2） 的平均功率是有限的,即若信号在区间（ -∞,+∞ ） 的能量是无限的，即
2
1
)(1 2
12
t
t
dttxtt
2 ()x t dt
→∞ （ 1—5）
（ 1—6）
则认为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称能量信号。
信号的能量为当 x(t)满足
dttx? )(2
dttx )(2 (1—4)
二,信号的时域描述和频域描述用来描述信号变化规律的参考 变量称为信号的描述域,信号表达成描述域为独立变量 （ 自变量 ） 的函数 。 一个信号可以用多种 描述域建立不同函数关系,
来反映不同的规律 。 x(t),x(k),X(f),ε(σ),
检测希望采用能反映被测物理量本质特性的表达方式来描述信号 。
时域 ——以时间为独立变量来描述信号 。 直接观测到的信号 。
特点：直接反映信号幅值随时间变化的关系。
频域 ——以频率为独立变量来描述信号 。 如视觉,听觉 。
特点：分解信号频率结构,呈现频率与幅值,频率与相位的关系 。
特征域 ——以某些特征为独立变量来描述信号 。
特点：复杂信号的描述,如语言信号识别 。
空间域 ——以 2D/3D空间为独立变量来描述信号 。
特点：信号是空间的函数,如图象信号识别 。
14
)5s i n513s i n31( s i n4)( 000 tttAtx
式中
0
0
2
T
此式表明该周期方波由一系列幅值和频率不等，相角为零的正弦信号此式可写成
1
s in14)(
n
tnAtx
其中 ω= nω 0 n = 1,3,5,…
可见，若视 t 为参变量，以 ω为独立变量，则此式即为周期方波的频域描述 。
将该周期方波应用傅里叶级数展开，可得
x(t)=x(t+nT0)
x (t ) = A 0< t < T0/2
-A -T0/2 < t < 0
-T0
T0
周期方波
-A
A
-T0/2 T0/2
t0
x (t)例：右图一个周期方波的一种时域描述形式表示为,
叠加而成 。
15
信号分析的基本概念信号由多个分量复合而成，信号分析是把信号分解为各个分量，从中找出能代表物体状态的分量或分量组合，更清晰、准确的反映物体的状态。信号分解基于函数内积的投影性质。两个矢量的内积的几何意义是分量或投影。
G1 ·G2 =|G1||G2|cosθ G1-G2
矢量的内积表达式也可用矢量在 N维空间的坐标来表示：
连续信号可视为无穷维矢量，两个同自变量的函数的内积定义为：
Cn反映了信号 x(t)在基函数 Φn(t)上的分量、投影或相关性。 Φn(t)为 正交基函数集，信号 x(t)可表示为基函数的加权和。
第二节周期信号与离散频谱
16
)( 2
1 1
21 n
N
n
n GGGG?
ba nn dtttxc )()(?
1
)()(
n
nn tctx?
一、傅里叶级数的三角函数展开式在有限周期区间上,凡满足 狄里赫利条件 的周期信号 x(t),均可展开成傅里叶级数 。
1
000 )s i nco s()(
n
nn tnbtnaatx（ 1—7）
2
20
0
0
0 )(
1 T
T dttxTa
dttntxTa
T
Tn 2
2
0
0
0
0 c o s)(
2?
dttntxTb
T
Tn 2
2
0
0
0
0 s i n)(
2?
式中常值分量余弦分量幅值正弦分量幅值其中 T0——周期
ω 0 =2π /T0（ 圆频率 ） n=1,2,3,…
an,bn分别是 nω0的两个独立的函数 。
（ 1—8）
将式（ 1—7）改写成
1
000 )s i nco s()(
n
nn tnbtnaatx
1
022022
22
0 )s i nc o s()(
n nn
n
nn
n
nn tnba
btn
ba
abaatx
1
00
22
0 )s i nco sco s( s i n)(
n
nnnn tntnbaatx
1
00 )s i n ()(
n
nn tnAatx
（ 1—9）
式中 22
nnn baA
n
n
n b
atg
b n
a n22 nn ba?
n?
An,Φn也分别是 nω0的两个独立的函数,An为幅值,Φn为相位移,几何意义清晰,可 分别 作出 幅频谱 和 相频谱 。
周期信号是由无数多个不同频率的谐波叠加而成的,各频率成分是 ω0的 整数倍,相邻频率间隔称为 n 次谐波 。)s in (
0 nn tnA
基频—,/2 000 T
18
例 求脉冲信号的频谱 )()(
0nTtxtx
A
Atx )(
02/
2/0
0
0
tT
Tt
付氏级数展开
1
000 )s i nco s()(
n
nn tnbtnaatx
0]2)20)([(1][1)([1 00
0
2/
2/
0
2/
2/
000
0
0
0 0
0
TATA
TA d tA d tTdttxTa
T
T T
T
2/
2/
0
2/
2/
0
00
0
0
0
0
0 0
0
]co sco s[2co s)([2
T
T T
T
n t d tnAt d tnATt d tntxTa
令式中第一项 t =-t,则
0]c o s)1(c o s[2
0
2/
2/
0
00
0 0
0
T
T
n t d tnAt d tnATa
19
-T0/2
t
T0/2
0
-A
A
x (t)
2/
2/
0
2/
2/
0
00
0
0
0
0
0 0
0 ]s i ns i n[2s i n)([2 T
T T
T
n t d tnAt d tnATt d tntxTb
同理,令式中第一项 t =-t,则
2/
0
0
0
0
2/
2/
0
00
0
0
0
0 ]s i n2[2]s i n)1(s i n)1([2 T
T
T
n t d tnATt d tnAt d tnATb
0
/4)c os1(2c os14 2/
00
00
0 nAnn AtnnT Ab Tn,6,4,2,5,3,1nn
幅频谱 和 相频谱 由各次谐波的 幅值和相位移得出。
1
0
1
00
1
s i n14s i n4s i n)(
nnn
n tnn
Atn
n
Atnbtx?
),5,3,1(n
频谱图见 表 1-1。脉冲信号展开为各分量之和。
20
22 nnn baA
n
n
n b
atg=bn,=0
二,傅里叶级数的复指数函数展开式根据殴拉公式
tjte
tjte
tj
tj
s inco s
s inco s
)(21c o s tjtj eet
)(2s in tjtj eejt
将（ 1-11）（ 1-12）两式代入（ 1-7）式，得
（ 1-10）
（ 1-11）
（ 1-12）
1
000 )s i nco s()(
n
nn tnbtnaatx
)](2)(21[)( 0000
1
0
tjntjn
n
tjntjn
n
n ee
jbeeaatx
)])(21)(21[)( 00
1
0
tjn
n
n
n
tjn
nn ejbaejbaatx
(1-13)
令 00 ca?
)(21 nnn jbac
)(21 nnn jbac
(1-14a)
(1-14b)
(1-14c)
（ 1-7）
21
则
1
0 )()( 00
n
tjn
n
tjn
n ececctx
或
n
tjn
n ectx
0)(? ),2,1,0(n
即以复指数为基函数来分解信号。将式（ 1-8）代入式（ 1-14b）和（ 1-14c）得
]s i n)(c o s)([221)(21
2/
2/
0
2/
2/
0
0
0
0
0
0
dttntxjdttntxTjbac
T
T
T
T
nnn
2/
2/
2/
2/0
0
0
000
0
0
])(2)()(21)([1
T
T
tjntjntjntjn
T
T
n dtee
jtxjdteetx
Tc
o
dtetxTc
T
T
tjn
n?
2/
2/0
0
0
0)(1?
同理 dtetx
Tc
T
T
tjn
n?
2/
2/0
0
0
0)(1?
合并为
dtetx
T
c
T
T
tjn
n?
2/
2/0
0
0
0)(1?
),2,1,0(n (1-16)
22
说明：
njnnInRn ecjccc
（ 1-17）式中
22 nInRn ccc （ 1-18）
nR
nIn cca rct g （ 1-19）
nc 与 nc? 共轭，即 nn cc
nn;
2．频谱图 把周期函数 )(tx 展开为付里叶级数的复指数形式后，可分别为
nI
nR
n
n
c
c
c 作幅频谱图作相频谱图作实频谱图作虚频谱图
23
1,表示方法 一般情况下,cn 是复数，可以写成周期信号的频谱,离散谱、整数谐波,(次增幅减 )。 准周期信号的频谱？
3．比较 比较付里叶级数的两种展开形式可知复指数形式双边谱 )( 奇函数三角函数形式单边谱 )0( 偶函数
00
2
1
ac
Ac nn
4,负频率
当 n 取负值时,谐波频率 为,负频率,,
实际上角速度按其旋转方向可以有正有负 。
一个谐波频率的实部可以看成是两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影和 。
其虚部则为两个旋转方向相反的矢量在虚轴上投影之差 。
0?n
24
0
A/2
Re
Im
A
ω 0
-ω0
φ
-
φ
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号，常见下图所示衰减振荡函数
t
指数衰减函数
x(t)
0t
矩形周期函数
x(t)
0
单一脉冲函数
t
x(t)
0 t
x(t)
0
一．傅里叶变换瞬变非周期信号可以当成周期 T0为无穷大的周期信号来分析，当
0T
时，信号频谱中的频率间隔
0
0
2
T
无穷小。
谱线无限靠近，演变成一条连续曲线。所以非周期信号的 频谱是连续 的，
可理解将非周期信号由无限多个频率无限接近的频率成分所组成的。
25
设有一个周期信号在 )
2,2( 00 TT? 区间以傅里叶级数表示为
tjn
n
n ectx 0)(
式中 0 0
0
/2
0 /2
1 ()T jn t
n
T
c x t e d tT
代入上式 0
00
0
/2
0 /2
1( ) ( ( ) )T j n t j n t
T
x t x t e d t e
T
当
0T d 221
0
d
T?
0n
tjtj edtetxdtx
))((
2
)(
dedtetxtx tjtj ))(
2
1()(
(1-25)
称为付里叶积分
26
上式原括号中积分中 t 为积分变量，故积分后为 ω 的函数，
dtetxX tj?
)(2
1)(
deXtx tj?
)()(
付里叶变换 （ 1-26）
付里叶逆变换 （ 1-27）
两者互称为付里叶变换对,可记为 )()(?Xtx?
把 ω=2π f 代入式 （ 1-25） 中,则式 （ 1-26） 和 （ 1-27） 变为
dtetxfX ftj?
2)()(
dfefXtx ftj?
2)()(
（ 1-28）
（ 1-29）
两种形式的关系为 )(2)( XfX? (1-30)
27
记为 X (ω)
式中 为信号 的连续幅频谱,为信号 的连续相频谱。
,用 X(f)的虚、实部计算，方法同周期信号。
)(fX )(tx )(f? )(tx
一般 是实变量 f 的复函数，可以写成)(fX
)()()( fjefXfX
（ 1-31）
注意,? 非周期信号的幅频谱 )(fX 和周期信号幅频谱 nc
很相似，但两者是差别的，表现在量纲上。
)(fX 的量纲与信号幅值量纲不一样，它是单位频宽上的幅值，更确切地说 是频谱密度函数。)(fX
量纲与信号幅值的量纲一样。
nc
28
)(fX )(f?
例 1-3 求矩形窗函数 w(t) 的频谱定义：
0
1)(tw
2
2
T
T
t
t
（ 1-32）
解,)(
2
1)()( 2
2
22 fTjfTj
T
T
ftjftj ee
fjdtedtetwfW
根据欧拉公式
)(2 1)s i n ( fTjfTj eejfT
代入上式
)(s i ns i ns i n)( fTcTfT fTTf fTfW
（ 1-33）
式中 T—窗宽上式中我们定义
s ins in?c
图形见右图 （图 1-13）
T
θ3π 4π-π 0 π
sincθ
29
函数只有实部，没有虚部。其幅频谱为)(fW
)(s in)( fTcTfW （ 1-34）
其相位频谱视 的符号而定，当 为正值时相角为零，
为负值时相角为
)(s in fTc? )(sin fTc?
30
1
-T/2 T/2 t0
x(t)
Ie
Re<0 Re>0
Re -4/T -3/T -2/T –1/T 1/T ;;2/T; ;3/T; ;4/T
π
f
-3/T -2/T f3/T2/T
-1/T 1/T
0
T
W(f)
φ (f)
0
图 1-12
二．傅立叶变换的主要性质信号的时域与频域描述靠傅立叶变换建立彼此一一对应的关系，
即
)()(?Xtx?（一）奇偶虚实性一般 X(f)是实变量 f 的复变函数，有欧拉公式它可以写成
)()()2s i n2) ( c os()()( 2 fXjIfXRdtftjfttxdtetxfX meftj
（ 1-35）
式中
f tdttxfXR e?2c o s)()(
（ 1-36）
f td ttxfXI m?2s i n)()(
（ 1-37）
31
·x(t)为实函数 → )(fX 实部为偶函数 ( ) ( )
eeR X f R X f
)( fX 虚部为奇函数 )()( fXIfXI mm
·x(t)为实偶函数 → 0)(?fXI
m )(fX
为实偶函数,)()()( fXfXRfX
e
·x(t)为实奇函数 → 0)(?fXR
e
)(fX 为虚奇函数,( ) ( ) ( )mX f jI X f X f
·x(t)为虚偶函数 → 0)(?fXI
m )(fX 为虚偶函数,( ) ( ) ( )eX f jR X f X f
·x(t)为虚奇函数 → 0)(?fXR
e
为实奇函数，)( fX )()()( fXfXIfX m
了解此性质有助于估计傅立叶变换对的响应图形性质，减少计算。
→
32
由于余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数，有式（ 1-36）和（ 1-37）知
（二）对称性若 )()( fXtx )()( fxtX
证明：由 dfefXtx ftj
2)()(
令 ut dfefXux fuj
2)()(
u 和 f 对换
dueuXfx fuj?
2)()(
令 u = t
2( ) ( ) j ftx f X t e d t?
所以 )()( fxtX 证毕
33
0
A
-T/2 T/2 t0
x(t)
-3/T
-2/T f
3/T
2/T
-1/T 1/T
0
AT
X(f)
x(f)
-f0/2 f
A
f0/2-2/f0 t2/f0
-1/f0 1/f0
0
Af0
X(t)
（三）时间尺度改变特性若 )()( fXtx )0(?k
证明：
)(1)(1)(
)(22
k
fX
k
dk tektx
k
dtektx
kt
k
fj
ftj
（ 1）当时间尺度压缩（ k>1）时，见图 c 其频谱的频带加宽，幅值降低。
（ 2） 当时间尺度扩展 （ k<1） 时,见图 a 其频谱的频带边窄,幅值增高 。
（ 3） 压缩时间尺度,可以提高处理信号效率,但后续处理频带加宽,容易失真 。
（ 4） 扩展时间尺度,处理后续信号容易,但效率太低 。
34
0
X(f)
-1/2T 1/2T
X(f/2)/2
0
0-2/T 2/T
-1/T 1/T
AT/2
2AT
AT
2X(2f)
f
f
f
A
x(2t)
-T/2 0 T/2
-T T
t
t
t
-T/4 0 T/4
x(t)
0
A
A x(t/2) 扩展
k=0.5
正常
k=1
压缩
k=2
a)
b)
c)
)(1)( kfXkktx?
(四 ) 时移和频移特性
1．若 )()( fXtx
020 )()( ftjefXttx
（ 1-40）
证明：
dtetxfX ftj?
2)()(
令 t = t-t0 代入上式
02 ( )
0( ) ( )
j f t tX f x t t e d t?
dteettxfX ftjftj 0220 )()(
dtettxfXe ftjftj?
2
0
2 )()(0
所以
020 )()( ftjefXttx
式 (1-40)说明将信号时域中平移，其幅频谱不变，而相位谱中相角的改变量与频率 f 成正比，即 。以表 1—1的方波相频谱为例，
其中,则基波频率为 相移为
02 ft
400 Tt
0
0
1
Tf?
002 ( )4 2Tf
35
三次谐波的频率为 3f0,则相移为
00 32 3 ( )4 2Tf
2．如 )()( fXtx
)()( 02 0 ffXetx tfj
（ 1-41）
证明,dfefXtx ftj
2)()(
令 0fff
dfeeffXdfeffXtx tfjftjtffj 00 220)(20 )()()(
dfeffXetx ftjtfj?
202 )()( 0?
所以 )()( 02 0 ffXetx tfj
由欧拉公式知式（ 1-41）左侧是时域信号 x(t) 与频率为 f0 的正、余弦信号之和的乘积。描述了调频信号的调制过程。
36
（五）卷积定理两个函数 和 卷积定义为)(1 tx )(
2 tx
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
d e fx t x t x x t d
若 )()( )()(
22
11
fXtx
fXtx
则 )()()()( 2121 fXfXtxtx （ 1-42）
)()()()( 2121 fXfXtxtx （ 1-43）
证明时域卷积 dtedtxx ftj 2
21 ])()([
交换积分顺序
ddtetxx ftj ])()[( 221
根据时移特性
2
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
jfx X f e d X f X f
证毕证明频域卷积 2
12[ ( ) ( ) ]
j ftX X f d e d f
交换积分顺序
2
12( ) [ ( ) ]
j ftX X f e d f d
根据时移特性
2
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
jfX x t e d x t x t
证毕
37
（六）微分和积分特性由
dtetxfX ftj?
2)()( （ 1-28）
dfefXtx ftj?
2)()( （ 1-29）
对式 (1-29)中 t 进行微分 dfefXfj
dt
tdx ftj
2)()2()(
)()2()( fXfjdt tdx
同理 )()2()( fXfj
dt
txd n
n
n （ 1-44）
对式 (1-28)中 f 进行微分 dtetxtj
df
fdX ftj
2)()2()(
)()2()( txtjdf fdX
同理
)()2()( txtjdf fXd nnn （ 1-45）
同样可证明
)(21)( fXfjdttx
t
（ 1-46）
38
2/T
39
三、几种典型信号的频谱
（一）矩形窗函数的频谱从上 例 1—3中看出：
（ 1）一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率，称为泄漏。
（ 2）在时域中截取信号一段记录相当 x(t)w(t) W(f)*X(f)
（ 3）在 f= 0～ ± 1/T 之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰值称为旁瓣。
（ 4）主瓣宽度为 2/T与时域窗宽度 T 成反比,T↑ → 截取时间长，主瓣宽度小，
减小低频端的影响。高频泄漏部分衰减加快，减少了混叠现象的影响。
1
-T/2 T/2 t0
x(t)
Ie
Re<0 Re>0
Re -4/T -3/T -2/T –1/T 1/T;;2/T;; 3/T; ;4/T
π
f
-3/T
-2/T
f3/T
-1/T 1/T
0
T
W(f)
φ (f)
0
（二） δ 函数及其频谱
1,δ 函数的定义在 δ 时间内激发一个矩形脉冲
（或三角脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等），其面积为 1。
)(tS?
当 时，有0
0l i m ( ) ( )S t t
0)(t? 0
0
t
t （ 1-47）
从面积 （ 通常称其为 δ 函数的强度 ）
的角度看
0( ) l i m ( ) 1t d t S t d t
（ 1-48）
矩形脉冲
-ε /2 0ε /2
1/ε
Sε (t)
t
0
1
δ (t)
t
δ 函数
40
2,δ 函数的采样性质由于 δ (t)函数的性质
)()0()()( tfttf 强度为 f (0) 的 δ (t)函数从数值上看)()0( tf?
从面积（强度）看则为 f (0)，即
( ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) (0 )f t t d t f t d t f t d t f
(1-49)
同理,对于有延时 t0的 δ 函数 δ (t-t0),它与 f (t)乘积只有在 t= t0时刻不等于零即 )()()()( 000 tttftttf
积分 )()()()()()()(
000000 tfdttttfdttttfdttttf
(1-50)
从式 （ 1-49） 和 （ 1-50） 表明
（ 1） 任意函数 f (t)与 δ (t -t0)的乘积是一个强度为 f (t0)的 δ 函数 δ (t -t0)。
（ 2） 该乘积在有限区间的积分是 f (t)在 t -t0的值 f (t0)
（ 3）此性质描述了连续信号的采样过程，即离散化过程。
41
3,δ 函数与其它函数的卷积δ 函数与 x(t)的卷积为?
dtxttx )()()()(
由于 δ 函数为 偶函数
dtxttx )()()()(
所以 )()()( txttx （ 1-50）
同理当 δ 函数为 δ (t ± t0)
时
dttxtttx )()()()( 00
dttxtttx )]([)()()( 00
)()()( 00 ttxtttx
可见,函数 x(t)与 δ 函数的卷积结果就是发生在
δ 函数坐标位置上 (坐标原点 )简单将函数重构图，
即描述了函数沿坐标轴的移动。
-t0 0 t0 t
x(t)*δ (t+t0) x(t)*δ (t-t0)
x(t)*δ (t± t0)
0 t
x(t)
t-t0 0 t0
δ (t+t0) δ (t-t0)δ (t± t0)
A
0 t
x(t)*δ (t)
0 t
A x(t)
0
1
t
δ (t)
42
4,δ (t )的频谱
1)()( 02
edtetf ftj
(1-53)
其逆变换为 dfet ftj
21)(
(1-54) f0
1
Δ (f)
t0
1
δ (t)
δ 函数具有无限宽广频谱,而且是等强度的,也称为,均匀谱,。 根据付里叶变换的对称性质,时移性质和频移性质,可得到以下付里叶变换对时 域 频 域
δ (t ) ←→ 1
（ 单位瞬时脉冲 ） （ 均匀频谱密度函数 ）
1 ←→ δ (f)
（ 幅值为 1的直流量 ） （ 在 f = 0处有脉冲谱线 ）
δ (t -t0) ←→ e-j2π ft0
（ δ 函数时移 t0） (各频率成分分别相移 -j2π ft0)
ej2π f0 t ←→ δ (f -f0)
(复数指数函数 ) （ 将 δ （ f） 频移到 f0）
43
(1-55)
（三） 正、余弦函数的频谱密度函数根据欧拉公式可推出
)(22s i n 00 220 tfjtfj eejtf
)(212c o s 00 220 tfjtfj eetf
用式 (1-55)付里叶变换对
)]()([22s i n 000 ffffjtf
)]()([212c os 000 fffftf
(1-56)
(1-57)
看出：正、余弦函数是把频域中两个 δ 函数向不同频移后的差或和的付里叶逆变换，参见函数和频谱图。
1/21/2
-f0 f0
-f0
f0
ReX(f)
-1/2
1/2
0
0
f
f
ImX(f)
x(t)=cos2π f0t
x(t)=sin2π f0t
0
0
t
t
44
（ 四 ） 周期单位脉冲序列的频谱此序列常称为梳状函数，并用 comb(t,Ts)表示
(,) ( )d e fss
n
c om b t T t nT
（ 1-58）
式中 Ts—周期 n =± 1,± 2,… 因此，此函数是周期函数。
表示为复指数函数形式
k
tkfj
ks
seCTtco m b?2),(
（ 1-59）
式中 fs=1/Ts，系数 Ck为
2
2
2),(1
s
s
s
T
T
tkfj
s
s
k dteTtco m bTC
因为在 区间内，式（ 1-58）中只有一个 δ 函数 δ (t )，
且
),( 22 ss TT?
2 0
0 1|
sj k f t
tee
所以
2
2
2 1),(1
s
s
s
T
T s
tkfj
s
s
k TdteTtco m bTC
45
式（ 1-59）变成
21(,) sj kf t
s
ks
co m b t T eT?
根据式（ 1-55） tkfj se?2? )( skff
可得 comb(t,Ts)函数频谱 comb (f,fs)也是梳状函数
k k ss
s
s
s T
kf
TkffTffco m b )(
1)(1),((1-60)
由图可见时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列 。
时域周期为 Ts,脉冲强度为 1,频谱周期为 1/Ts,强度为 1/Ts。
46
-3/Ts -1/Ts 0 1/Ts 3/Ts-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts ft
1/Ts1
Comb(f,fs)Comb(t,Ts)
……… …
图 1-20 周期单位脉冲序列及其频谱
ω
φ (ω)
幅 —频谱
7ω 05ω 03ω 0ω 0
A(ω)
相 —频谱
7ω 05ω 03ω 0ω 0 ω
A
-A
t
x(t)
T0/2-T0/2
T0
T0/3
T0/5
T0/7
4A/π
4A/3π
4A/5π
4A/7π
47
狄里赫利条件：
（ 1）在一个周期内只有有限个不连续点。
（ 2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
存在?
2
2
)(
T
T dttf
（ 3）
48
证明 δ (t)函数为偶函数由
( ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) (0 )x t t d t x t d t x t d t x
(A)
令 t = -t 代入
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t x t d t t x t d t
( ) ( ) ( )t x t d t?
( ) ( ) ( )t x t d t?
( ) ( ) ( ) (0 )t x t d t x?
(B)
比较 (A)和 (B)两式，有
( ) ( )x t t d t?
( ) ( )tt
49
第四节 信号数字化出现的问题 （第五章 第二节）
一、离散傅里叶变换 DFT
数字信号处理器 DSP 中，信号的描述域是离散的，时域与频域之间的转换需采用 DFT 。 DSP 中的数据是对信号采样的有限数字序列。
在 DSP 中频域也是离散的，只取频率间隔 Δ f的整数倍，即 f=kΔ f 。其中频率间隔 Δ f为窗口时间宽度 T的倒数。
∵ Δ f=1/T=1/TsN,Δ fTs=1/N ∴ -j2π fnTs = -j2π kn/N
n,k分别为时间序列号和频率序列的序号。在作 DFT 时，不论时间单位 Ts和频率单位 Δ f为何值，都对应一个数组地址，故 DFT 变换对如下。
1
0
1
0
)2e x p ()()(
)()()()()()(
N
n
ss
c
N
n
ss
c
f n TjnTxfX
nTtnTxtc o m btwtxtx
经傅里叶变换
1
0
1
0
)/2e x p ()()(
)/2e x p ()(
1
)(
N
n
N
n
NknjnxkX
NknjkX
N
nx
由 X(k)可求出频谱。 注意：在频谱图中的单位是频率间隔 Δ f。
))(e x p (|)(|)( kjkXkX
应用 DFT 需考虑以下几个问题：
1.∵ T/Ts = fs/ Δ f = N
Ts小，则时间分辨率高； Δ f小，则频率分辨率高； N大，则计算量大；
∴ 须综合考虑分辨率与计算量的矛盾。
2,瞬变信号：增加窗口尺寸，有利于减小误差。
3,周期信号：窗口尺寸应采用整数信号周期。
4,以有限 ‘ N’项和替代无限项和，产生,截断误差,。
二、时域采样、混叠和采样定理
),()( sTtc o m btx
k
s
sk
s
s
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kffX
T
kfffX
T
ffc o m bfX
)(1))(1
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（?
由付氏变换的卷积定理可知：经过时域采样的信号等效于频域信号与梳状函数作卷积。
右式表示幅度为 X(f),周期为 fs的梳状函数。 fs小于二倍信号最高频率 fn，
则产生混叠现象，使信号失真。 当 fs高于二倍信号最高频率 fn,X(f)的高频梳状分量可用滤波器滤除，不产生信号失真。
1,选择采样频率应满足 fs > 2fn，避免产生混叠，造成信号失真。
2,采用模拟滤波器滤除高频噪声，避免高频噪声混叠到低频段。考虑到滤波器的性能影响，通常取 fs > 3---5fn.
3,对于确定的混叠噪声信号，如截断窗口产生的泄漏，可采用补偿措施予以消除。
三、截断、泄漏和窗函数
1,矩形窗 1 |t|≤T/2
w(t)=
0 |t|＞ T/2
2,三角窗 1-2|t|/T |t|≤T/2
w(t)=
0 |t|＞ T/2
W(f) = T sinC(πfT)
频谱延伸至无限频率，称为泄漏。泄漏的高频信号被混叠到低频信号中，产生误差。
W(f) = T/2 sin (π fT/2)
三角窗主瓣宽度约为矩形窗的两倍，
但旁瓣低，泄漏小，且无负值。
3,汉宁窗?-?cos(2πt/T) |t|≤T/2
w(t)=
0 |t|＞ T/2
W(f)=1/2 WR(f)+1/4[WR(f+1/T)+ WR(f-1/T)]
4,指数窗 exp(-at) |t|≥ 0
w(t)=
0 |t|＜ 0
22 )2(/1|)(| fafW
的特点是无旁瓣，但主瓣很宽，其频率分辨率低，抑制泄漏作用明显。适合用于脉冲响应信号。
主瓣宽度约为矩形窗的两倍，旁瓣衰减率为 60B/10倍频程，明显降低，具有抑制泄漏作用。适合用于强截断信号。
WR(f)为矩形窗函数
2C
四、量化误差数字信号的幅值用二进制数字表示，量化间隔为
bDx 2/
其中 ‘ D’ 为 A/D转换器的工作范围,‘ b’ 为字长。量化误差最大为 ± Δ x/2。
本章讨论了周期信号、瞬变信号及数字信号的时域 —频域转换方法及特点，
他们的转换算法的差别仅在于基函数的指数（连续 /离散）和积分域（周期 /无穷）。
数字信号的时域 —频域转换可能会产生采样误差、量化误差、舍入误差、
结尾误差，正确的选择参数可避免这些附加的误差。
减小由泄漏造成的误差
1,正确的选择截断窗口的形式和参数。
2,采用补偿措施予以消除。
