4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
1
力 的时间累积效应：
冲量、动量、动量定理．
力矩 的时间累积效应：
冲量矩、角动量、角动量定理．
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
2
ip? jp?
0,0 p
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
v mp?质点 运动
JL?刚体 定轴转动
0,0 p
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
3
v?
1 质点的角动量
v mrprL
v?
r?
L?
L?
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x y
z
o
m
质量为 的质点以速度 在空间运动，某时对 O 的位矢为,质点对参考点 O的角动量
m
r?
v?
s invrmL?大小的方向符合右手法则L?
角动量单位,kg·m2·s -1
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
4
L?
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m
o
质点以 作半径为的圆周运动，相对圆心
r
JmrL 2
t
LM
d
d
作用于质点的合外力对 参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的 角动量 随时间的变化率,
2 质点的角动量定理
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
5
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质点角动量定理的推导
prL
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
6
对同一参考点 O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量,—— 质点的角动量定理
t
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12d
2
1
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t
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冲量矩 tMt
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2
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
7
LM,0 恒矢量
3 质点的角动量守恒定律当质点所受对参考点 Ｏ 的合力矩为零时，质点对该参考点 Ｏ 的角动量为一恒矢量,—— 质点的角动量守恒定律
t
LM
d
d
当
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
8
例 1 一半径为 R
的光滑圆环置于竖直平面内,一质量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动,小球开始时静止于圆环上的点 A
(该点在通过环心 O 的水平面上 )，然后从 A
点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度．
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
9
解 小球受力,作用,的力矩为零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理
c osm gRM?
t
Lm g R
d
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NF
P? NF?
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
10
考虑到
2,dd mRmRLt v
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得由题设条件积分上式
0320 dco sd gRmLLL
21)s i n2(
R
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2123 )s i n2(?gmRL?
得
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
11
例 2 一质量为 m 的登月飞船，在离月球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点 B,且 OA 与 OB 垂直．飞船所喷气体相对飞船的速度为试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量 是多少?
14 sm1000.1u
m?
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
13
解 设飞船在点
A 的速度,月球质量 mM,由万有引力和牛顿定律
0v
121
2
0 sm6 1 21)(
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
15
RmhRm Bvv )(0
1sm7 0 91)( RhR
0B vv
质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用,
角动量守恒
'm
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的过程中，机械能守恒
R
mmG
hR
mmG
MM
2
1
2
1 2
B
2
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
16
R
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B
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R
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即
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于是
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0
2
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kg120 umm v
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
17
二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
2
i
i
i rmL O ir?
im
iv
JL?
z
i
ii rm )(
2
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
18
对定轴转动的刚体,
exiMM
2 刚体定轴转动的角动量定理质点 mi受合力矩 Mi(包括 Miex,Miin)
)(
d
d
d
)(d
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i
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合外力矩
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
19
非刚体 定轴转动的角动量定理
1122
2
1
d JJtMt
t
12
2
1
d JJtMt
t
对定轴转的刚体，受合外力矩 M，从到 内，角速度从 变为,积分可得：
2ω1ω2t1t
当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量,—— 定轴转动的角动量定理
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
20
3 刚体定轴转动的 角动量守恒定律
0?M?JL?，则若 =常量如果物体所受的合外力矩等于零，
或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变,—— 角动量守恒定律
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
21
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
内力矩不改变系统的角动量,
守恒条件 0?M
若 不变,不变；
若 变,也变，但 不变,
J?
JL?J
讨论
exin MM在 冲击 等问题中 L 常量
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
22
许多现象都可以用角动量守恒来说明,
花样滑冰
跳水运动员跳水点击图片播放
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
23
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
能量守恒定律
角动量守恒定律
电荷守恒定律
质量守恒定律
宇称守恒定律等
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
24
例 3 质量很小长度为 l 的均匀细杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在距点 O为 l/4 处，并背离点 O向细杆的端点 A爬行．设小虫与细杆的质量均为 m．问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
0v
l/4
O
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
25
22
0 )4(12
1
4
l
mml
l
m v
l
0
7
12 v
解 虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
26
l
0
7
12 v
由角动量定理
t
J
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t
l
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t
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得此即小虫需具有的爬行速率．
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
27
例 4 一杂技演员 M由距水平跷板高为 h
处自由下落到跷板的一端 A，并把跷板另一端的演员 N弹了起来．问演员 N可弹起多高?
l l/2
C A
B
M
N
h
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
28
设跷板是匀质的，长度为 l,质量为,
跷板可绕中部支撑点 C 在竖直平面内转动，
演员的质量均为 m．假定演员 M落在跷板上，
与跷板的碰撞是 完全非弹性 碰撞．
'm
解 碰撞前 M落在 A点的速度
21
M )2( gh?v
碰撞后的瞬间,M,N具有相同的线速度
2
lu?
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
29
M,N和跷板组成的系统，角动量守恒
22M
2
1
12
1
2
2
2
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l l/2
C A
B
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
30
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2 21
22
M
v
解得演员 N以 u起跳，达到的高度：
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2
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第四章 刚体的转动物理学第五版
31
4-1 刚体的定轴转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4-3 角动量 角动量守恒定律本章目录
4-4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
4-0 教学基本要求
*4-5 刚体的平面平行运动选择进入下一节：
1
力 的时间累积效应：
冲量、动量、动量定理．
力矩 的时间累积效应：
冲量矩、角动量、角动量定理．
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
2
ip? jp?
0,0 p
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
v mp?质点 运动
JL?刚体 定轴转动
0,0 p
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
3
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1 质点的角动量
v mrprL
v?
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L?
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z
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m
质量为 的质点以速度 在空间运动，某时对 O 的位矢为,质点对参考点 O的角动量
m
r?
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s invrmL?大小的方向符合右手法则L?
角动量单位,kg·m2·s -1
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
4
L?
r?
p?
m
o
质点以 作半径为的圆周运动，相对圆心
r
JmrL 2
t
LM
d
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作用于质点的合外力对 参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的 角动量 随时间的变化率,
2 质点的角动量定理
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
5
？,
t
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p
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质点角动量定理的推导
prL
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
6
对同一参考点 O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量,—— 质点的角动量定理
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2
1
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
7
LM,0 恒矢量
3 质点的角动量守恒定律当质点所受对参考点 Ｏ 的合力矩为零时，质点对该参考点 Ｏ 的角动量为一恒矢量,—— 质点的角动量守恒定律
t
LM
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当
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
8
例 1 一半径为 R
的光滑圆环置于竖直平面内,一质量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动,小球开始时静止于圆环上的点 A
(该点在通过环心 O 的水平面上 )，然后从 A
点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度．
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
9
解 小球受力,作用,的力矩为零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理
c osm gRM?
t
Lm g R
d
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NF
P? NF?
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
10
考虑到
2,dd mRmRLt v
θθgRmLL dc o sd 32?
得由题设条件积分上式
0320 dco sd gRmLLL
21)s i n2(
R
g2mRL
2123 )s i n2(?gmRL?
得
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
11
例 2 一质量为 m 的登月飞船，在离月球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点 B,且 OA 与 OB 垂直．飞船所喷气体相对飞船的速度为试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量 是多少?
14 sm1000.1u
m?
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
13
解 设飞船在点
A 的速度,月球质量 mM,由万有引力和牛顿定律
0v
121
2
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
15
RmhRm Bvv )(0
1sm7 0 91)( RhR
0B vv
质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用,
角动量守恒
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飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的过程中，机械能守恒
R
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1
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
16
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
17
二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
2
i
i
i rmL O ir?
im
iv
JL?
z
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2
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
18
对定轴转动的刚体,
exiMM
2 刚体定轴转动的角动量定理质点 mi受合力矩 Mi(包括 Miex,Miin)
)(
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合外力矩
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
19
非刚体 定轴转动的角动量定理
1122
2
1
d JJtMt
t
12
2
1
d JJtMt
t
对定轴转的刚体，受合外力矩 M，从到 内，角速度从 变为,积分可得：
2ω1ω2t1t
当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量,—— 定轴转动的角动量定理
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
20
3 刚体定轴转动的 角动量守恒定律
0?M?JL?，则若 =常量如果物体所受的合外力矩等于零，
或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变,—— 角动量守恒定律
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
21
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
内力矩不改变系统的角动量,
守恒条件 0?M
若 不变,不变；
若 变,也变，但 不变,
J?
JL?J
讨论
exin MM在 冲击 等问题中 L 常量
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
22
许多现象都可以用角动量守恒来说明,
花样滑冰
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
23
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
能量守恒定律
角动量守恒定律
电荷守恒定律
质量守恒定律
宇称守恒定律等
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
24
例 3 质量很小长度为 l 的均匀细杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在距点 O为 l/4 处，并背离点 O向细杆的端点 A爬行．设小虫与细杆的质量均为 m．问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
0v
l/4
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
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0 )4(12
1
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解 虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
26
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12 v
由角动量定理
t
J
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24
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r v
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得此即小虫需具有的爬行速率．
4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
27
例 4 一杂技演员 M由距水平跷板高为 h
处自由下落到跷板的一端 A，并把跷板另一端的演员 N弹了起来．问演员 N可弹起多高?
l l/2
C A
B
M
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
28
设跷板是匀质的，长度为 l,质量为,
跷板可绕中部支撑点 C 在竖直平面内转动，
演员的质量均为 m．假定演员 M落在跷板上，
与跷板的碰撞是 完全非弹性 碰撞．
'm
解 碰撞前 M落在 A点的速度
21
M )2( gh?v
碰撞后的瞬间,M,N具有相同的线速度
2
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
29
M,N和跷板组成的系统，角动量守恒
22M
2
1
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l l/2
C A
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4-3 角动量 角动量守恒定律第四章 刚体的转动物理学第五版
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2 21
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M
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解得演员 N以 u起跳，达到的高度：
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第四章 刚体的转动物理学第五版
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4-1 刚体的定轴转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4-3 角动量 角动量守恒定律本章目录
4-4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
4-0 教学基本要求
*4-5 刚体的平面平行运动选择进入下一节：
