§ 1-3 电通量 高斯定理一、电场线电场线：
1、曲线上每一点的切线方向表示该点电场强度 E
的方向。
描述电场分布情况的曲线。
2、曲线的疏密表示该点处场强 E的大小。即：
垂直通过单位面积 的电场线条数，在数值上就等于该点处电场强度的大小
edE
dS?
dS?
E?
几种常见的电场线：
+ –
点电荷的场强
+
+
+
–
静电场中电场线的特点：
3、电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。
1、电场线起始于正电荷，终止于负电荷。
2、电场线不闭合，不相交。
平板电容器中的电场线
+ +
+ +
+ +
+ +
+
--
--
--
--
--
--
--
电场线 01
二、电场强度通量电场强度通量（电通量）?e：
通过电场中任一曲面的电场线条数。
1、均匀电场中通过平面 S的电通量
E?
e ES c o se E S E S
ne
E?
2、非均匀电场的电通量
dS
c o sed E d S E d S
c o se
SS
E d S E d S
（ 1）当?< 90° 时,电通量为正
（ 2）当? > 90° 时,电通量为负
（ 3）当? = 90° 时,电场线与曲面相切，电通量为零
ne
E?
不闭合曲面,面元的法向单位矢量可有两种相反取向
，电通量可正也可负。
ne
ne
3、对闭合曲面的电通量
e
S
E d S
外法线方向为正
闭合曲面：
规定面元的法向单位矢量取向外为正。
电场线穿出，电通量为正，反之则为负。
ne
ne
o
z
y
x
ne
解：
1 1 1c o sE S E S
2 3 4 0
5 5 1c o sE S E S
1 2 3 4 5 0
E
S1
S3
例 1,有一三棱柱放在电场强度为的 均匀电场中。求通过此三棱柱的电场强度通量 。
-1 = 2 0 0 ( N C )Ei?
三、高斯定理高斯 (K.F.Gauss)是德国物理学家和数学家，
他在理论物理和实验物理以及数学方面均有杰出的贡献。他导出的高斯定理表述了电场中通过任一闭合曲面的电通量与该曲面所包围的源电荷之间的定量关系，
是静电场的一条基本定理，也是电磁场理论的基本规律之一。
真空中的高斯定理：
在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的 1/?o倍。
1
1 n
ei
ioS
E d S q
+
推证高斯定理：
1、点电荷在球形 高斯面 的球心处
dS
E
24 R
qE
o
球面上场强：
2c o s 0 4e
o
q d Sd E d S
R
2
22 444e
o o oS
q d S q qR
RR
结果与球面半径无关，只与包围它的点荷电量有关。
2,如果一个任意闭合曲面 S'包围同一点电荷 q
S?
q?
2
0
0
4
e
s
q
dS
r
q
+
由于电场的连续性，
通过闭合曲面 S'的电场线与通过 S的电场线数目相同，则通过闭合曲面 S'的 E通量为,S
12
1 2 1 2
()e
SS
ee
SS
E d S E E d S
E d S E d S
4、对有 n个点电荷共同激发的场
3、如果一个闭合曲面 S不包围点电荷 q
12
0e e e
ss
dd
闭合曲面可分成两部分 S1,S2，由电场线的连续性，有一侧穿进曲面 S2的电场线和由另一侧 S1穿出曲面的电场线数目相等。则 通过闭合曲面 S得 E通量 为：
ne?
ne?
+q
s1
s2
12
0 0 0 0
c o s
e
SS
i
ii
E d S E d S
q
qqq
0
1
e
SV
E d S d V?
n个点电荷中，若从第 1个到第 i个被 S包围，
其余的不被包围，则：
对由连续带电体激发的场,
注意,
强。有电荷共同产生的合场内外所它是由曲面是曲面上的场强定律中的,)1( E
(2) 等式右端的?q 仅仅包含曲面内的电荷 。
思考题
1,静电场中任一闭合曲面 S,
,0d
s
SE若有
0 内无电荷或是否意味着 SE
2,若闭合曲面 S 上各点场强为零,S 面 内一定不包围电荷吗?
由高斯定理：
1、当闭合曲面内电荷为正时,?e>0,电场线从 q出发穿出闭合曲面，＋ q称为静电场的 源头 。
2、当闭合曲面内电荷为负时,?e <0,电场线穿入闭合曲面，终止于负电荷 q，－ q称为静电场的 尾闾 。
结论,高斯定理说明，电场线起始于正电荷，终止于负电荷，即静电场是 有源场 。
+ –
四、高斯定理的应用高斯定理的一个重要应用就是计算电场强度。
i
e
oS
q
E d S
o
i
S
q
dSE
c o s
0 c o s
i
S
q
E
dS
高斯定理计算场强的条件：
带电体的场强分布要具有高度的对称性。
例 2、求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径为 R，带电量为 q）
解,（ 1）球外某点的场强
R
r
oS
q
SdE
oS
qrEdSE
24
24 r
qE
o
( r ≥ R )
取半径为 r （ ≥ R） 的球形高斯面
R
（ 2）求球体内一点的场强
r
3
3 3
4
34
1 r
R
qdSE
os
3
3
24
R
qr
rE
o?
o
i
S
q
SdE
34 R
qrE
o
（ r < R）
r
E
R
取半径为 r （ ≦ R） 的球形高斯面讨论：若电荷 q均匀分布在半径为 R的球面上,球面内无电荷 。
则由高斯定理得球面内场强,E＝ 0 ( r <R )
24 r
qE
o
( r ≥ R )
球面外场强：
例 3,求无限长带电直线的场强分布。（已知线电荷密度为?）
解：
r
h
o
i
S
q
dSE
21 底侧底 Ed SSdE
S
021 底底 rhEdSE?2
侧
o
hrhE
2
r
E
o
2
E由分析可知，带电长直线周围的场强分布具有对称性。
可做圆柱形高斯面 S。
例 4,计算无限大均匀带电平面的场强分布。
（设电荷密度为?）
解：
侧底 2
S
SdE
oS
S
SdE
0 侧 ES2 底
o
S
ES
2
o
E
2
EE
由分析可知，无限大均匀带电平面周围的场强分布具有对称性。可做圆柱形高斯面 S。
例 5,计算两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布。
-?+
BA
解：
EA
EB
o
BA EE?
2
平面之间：
o
BA EEE?
内平面之外：
0 BA EEE 外
A B
一个内外半径分别为 a 和 b 的球壳,壳内电荷体密度? = A / r,A 为常数,r 为球壳内任一点到球心的距离,球壳中心有一个点电荷 Q,求 A为多大时,
才能使 a < r < b 区域中的场强大小恒定?
a
b
P S
内qSE
S
0
1d
例 6：
解,设 P 为壳内距球心 o 为
r 的任意一点,过 P 点作同心球面 S 为 高斯 面,则同产生的电场共和壳内电荷为点电荷 QQE?
QQ EEE
r
Q
内qSE
S
0
1d
P
r
Q
S
b
o
a
QQ EEE
2
v
22
d v 4 d
1
4 ( )
2
r
a
A
q Q Q r r
r
Q A r a
内
)(24 22
00
2 arAQrE
2
0
2
0
2
0 4
2
4
2
4 r
AaA
r
QE
若 E = const,
则
2
0
2
2
0 4
2
4 r
Aa
r
Q
22 a
QA
例 8-7 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为 R，
沿轴线方向单位长度带电量为?。
r
l
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。
高为 l,半径为 r
E S Sdd侧 面
S
E
（ 1）当 r<R 时，
由高斯定理知
lr
q
E
02
0q
0?E
解：
2rEl
l
r
（ 2）当 r>R 时，
lq?
r
E
02
均匀带电圆柱面的电场分布
r0
E
R
E? r 关系曲线
R02
1 r
例 8.已知均匀带电球体，电荷体密度为?。球半径为
R，在球内挖去一个半径为 r（ r<R）的球体。
试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。
r
证明,用补缺法证明 。
1
03
op?
Ε
c
po
在空腔内任取一点 p,E?
设想用一个半径为 r且体电荷密度与大球相同的小球将空腔补上后,p点场强变为 1E?
设该点场强为
R
1E?
2E?
3
1 33
4
4 4 3 3o o o
q r rE R r
RR
（ r′ < R）
由第二题结论可知
EEE 21
21 EEE
03
oc?
因为 oc为常矢量，所以空腔内为匀强电场。
0
()
3
op c p?
r
c
po
R
1E?
2E?
小球单独存在时,p点的场强为
2
03
E c p?
1、曲线上每一点的切线方向表示该点电场强度 E
的方向。
描述电场分布情况的曲线。
2、曲线的疏密表示该点处场强 E的大小。即：
垂直通过单位面积 的电场线条数，在数值上就等于该点处电场强度的大小
edE
dS?
dS?
E?
几种常见的电场线：
+ –
点电荷的场强
+
+
+
–
静电场中电场线的特点：
3、电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。
1、电场线起始于正电荷，终止于负电荷。
2、电场线不闭合，不相交。
平板电容器中的电场线
+ +
+ +
+ +
+ +
+
--
--
--
--
--
--
--
电场线 01
二、电场强度通量电场强度通量（电通量）?e：
通过电场中任一曲面的电场线条数。
1、均匀电场中通过平面 S的电通量
E?
e ES c o se E S E S
ne
E?
2、非均匀电场的电通量
dS
c o sed E d S E d S
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SS
E d S E d S
（ 1）当?< 90° 时,电通量为正
（ 2）当? > 90° 时,电通量为负
（ 3）当? = 90° 时,电场线与曲面相切，电通量为零
ne
E?
不闭合曲面,面元的法向单位矢量可有两种相反取向
，电通量可正也可负。
ne
ne
3、对闭合曲面的电通量
e
S
E d S
外法线方向为正
闭合曲面：
规定面元的法向单位矢量取向外为正。
电场线穿出，电通量为正，反之则为负。
ne
ne
o
z
y
x
ne
解：
1 1 1c o sE S E S
2 3 4 0
5 5 1c o sE S E S
1 2 3 4 5 0
E
S1
S3
例 1,有一三棱柱放在电场强度为的 均匀电场中。求通过此三棱柱的电场强度通量 。
-1 = 2 0 0 ( N C )Ei?
三、高斯定理高斯 (K.F.Gauss)是德国物理学家和数学家，
他在理论物理和实验物理以及数学方面均有杰出的贡献。他导出的高斯定理表述了电场中通过任一闭合曲面的电通量与该曲面所包围的源电荷之间的定量关系，
是静电场的一条基本定理，也是电磁场理论的基本规律之一。
真空中的高斯定理：
在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的 1/?o倍。
1
1 n
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+
推证高斯定理：
1、点电荷在球形 高斯面 的球心处
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球面上场强：
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R
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RR
结果与球面半径无关，只与包围它的点荷电量有关。
2,如果一个任意闭合曲面 S'包围同一点电荷 q
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由于电场的连续性，
通过闭合曲面 S'的电场线与通过 S的电场线数目相同，则通过闭合曲面 S'的 E通量为,S
12
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4、对有 n个点电荷共同激发的场
3、如果一个闭合曲面 S不包围点电荷 q
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闭合曲面可分成两部分 S1,S2，由电场线的连续性，有一侧穿进曲面 S2的电场线和由另一侧 S1穿出曲面的电场线数目相等。则 通过闭合曲面 S得 E通量 为：
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n个点电荷中，若从第 1个到第 i个被 S包围，
其余的不被包围，则：
对由连续带电体激发的场,
注意,
强。有电荷共同产生的合场内外所它是由曲面是曲面上的场强定律中的,)1( E
(2) 等式右端的?q 仅仅包含曲面内的电荷 。
思考题
1,静电场中任一闭合曲面 S,
,0d
s
SE若有
0 内无电荷或是否意味着 SE
2,若闭合曲面 S 上各点场强为零,S 面 内一定不包围电荷吗?
由高斯定理：
1、当闭合曲面内电荷为正时,?e>0,电场线从 q出发穿出闭合曲面，＋ q称为静电场的 源头 。
2、当闭合曲面内电荷为负时,?e <0,电场线穿入闭合曲面，终止于负电荷 q，－ q称为静电场的 尾闾 。
结论,高斯定理说明，电场线起始于正电荷，终止于负电荷，即静电场是 有源场 。
+ –
四、高斯定理的应用高斯定理的一个重要应用就是计算电场强度。
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高斯定理计算场强的条件：
带电体的场强分布要具有高度的对称性。
例 2、求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径为 R，带电量为 q）
解,（ 1）球外某点的场强
R
r
oS
q
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24
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( r ≥ R )
取半径为 r （ ≥ R） 的球形高斯面
R
（ 2）求球体内一点的场强
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3
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（ r < R）
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取半径为 r （ ≦ R） 的球形高斯面讨论：若电荷 q均匀分布在半径为 R的球面上,球面内无电荷 。
则由高斯定理得球面内场强,E＝ 0 ( r <R )
24 r
qE
o
( r ≥ R )
球面外场强：
例 3,求无限长带电直线的场强分布。（已知线电荷密度为?）
解：
r
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o
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S
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E由分析可知，带电长直线周围的场强分布具有对称性。
可做圆柱形高斯面 S。
例 4,计算无限大均匀带电平面的场强分布。
（设电荷密度为?）
解：
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由分析可知，无限大均匀带电平面周围的场强分布具有对称性。可做圆柱形高斯面 S。
例 5,计算两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布。
-?+
BA
解：
EA
EB
o
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2
平面之间：
o
BA EEE?
内平面之外：
0 BA EEE 外
A B
一个内外半径分别为 a 和 b 的球壳,壳内电荷体密度? = A / r,A 为常数,r 为球壳内任一点到球心的距离,球壳中心有一个点电荷 Q,求 A为多大时,
才能使 a < r < b 区域中的场强大小恒定?
a
b
P S
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S
0
1d
例 6：
解,设 P 为壳内距球心 o 为
r 的任意一点,过 P 点作同心球面 S 为 高斯 面,则同产生的电场共和壳内电荷为点电荷 QQE?
QQ EEE
r
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2
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若 E = const,
则
2
0
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22 a
QA
例 8-7 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为 R，
沿轴线方向单位长度带电量为?。
r
l
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。
高为 l,半径为 r
E S Sdd侧 面
S
E
（ 1）当 r<R 时，
由高斯定理知
lr
q
E
02
0q
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解：
2rEl
l
r
（ 2）当 r>R 时，
lq?
r
E
02
均匀带电圆柱面的电场分布
r0
E
R
E? r 关系曲线
R02
1 r
例 8.已知均匀带电球体，电荷体密度为?。球半径为
R，在球内挖去一个半径为 r（ r<R）的球体。
试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。
r
证明,用补缺法证明 。
1
03
op?
Ε
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在空腔内任取一点 p,E?
设想用一个半径为 r且体电荷密度与大球相同的小球将空腔补上后,p点场强变为 1E?
设该点场强为
R
1E?
2E?
3
1 33
4
4 4 3 3o o o
q r rE R r
RR
（ r′ < R）
由第二题结论可知
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因为 oc为常矢量，所以空腔内为匀强电场。
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