§ 3-3 电荷间相互作用能 静电场的能量教材 3.5,3.6,3.7三节一、电荷在外电场中的静电能
1 2 1 2A W W
电场力做功点电荷在电场中
1 2 0 1 2 0 1 0 2()A q V V q V q V
取
1 0 1 2 0 2 W q V W q V
一般
0W q V?
电荷在外电场中的电势能讨论：电势能有正有负例 1、求电偶极子在均匀外场中的电势能。
l
–q
+q
E?
A
B
解：
()
c o s c o s
A B A BW W W q V q V q V V
q l E p E


W p E
0,
0
2
W p E
W p E
W




,最 低
，,最 高
，
例 2、求电子在原子核电场中的电势能。
04
ZeV
r
解：
2
04
ZeW e V
r

电荷之间具有相互作用能（电势能），当电荷间相对位置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能转化为其它形式的能量。
1,点电荷间的相互作用能
1.1 两个点电荷假设 q1,q2从相距无穷远移至相距为 r。
先把 q1从无限远移至 A点，因 q2与 A点相距仍然为无限，外力做功等于零。
1q
A
1q 2q
二、电荷系的静电能再把 q2从无限远移至 B点，外力要克服 q1的电场力做功，其大小等于系统电势能的增量。
1q
A
1q 2q
)( 22 VVqA
2q
Br
V2是 q1在 B点产生的电势,V∞是 q1在无限远处的电势。
1
2
0
1
4
qV
r
0V
所以 22VqA? r
qq 21
04
1

同理，先把 q2从无限远移 B点，再把 q1移到 A点，
外力做功为
1q
A
1q 2q2q
Br
11VqA? r
qq 21
04
1

V1是 q2在 A点产生的电势。
两种不同的迁移过程，外力做功相等。
根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能 W。
r
qqAW 21
04
1


可改写为
r
qq
r
qqW 1
0
2
2
0
1 4
1
2
1
4
1
2
1


2211 2
1
2
1 VqVq
2
12
1
i
iiVq
两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）
等于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中的电势能的代数和的一半 。
1.2 三个点电荷依次把 q1,q2,q3从无限远移至所在的位置。
A
1q
把 q1 移至 A点，外力做功 01?A
再把 q2 移至 B点，外力做功
2q
B12r
120
1
22 4 r
qqA

最后把 q3 移至 C点，外力做功
3q
C
13r
23r
)
44
(
230
2
130
1
33 r
q
r
qqA


三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）
A
1q 2q
B12r
3q
C
13r
23r
321 AAAW
)
44
(
4 230
2
130
1
3
120
1
2 r
q
r
qq
r
qq


可改写为
)
44
()
44
([
2
1
230
3
120
1
2
130
3
120
2
1 r
q
r
qq
r
q
r
qqW


)]
44
(
230
2
130
1
3 r
q
r
qq


)(21 332211 VqVqVq i
i
iVq?
3
12
1
V1是 q2和 q3在 q1 所在处产生的电势，余类推。
n个点电荷系统的相互作用能（电势能）
n
i
iiVqW
12
1
Vi是除 qi外的其它所有电荷在 qi 所在处产生的电势。
1.3 多个点电荷
2、任意带电体的静电能
dq
带电体：
带电面：
带电线：
1 d
2 V
WV
1 d
2 S
WS
1
2 L
W d l
切记,?是所有电荷在体积元 dV处的电势。
1
2 q
W dq
说明：
1、点电荷系的电能称为,互能,。它等于将各点电荷从无限远处移到给定位置所作的功。互能可正可负。
2、单个带电体的电能称为,自能,。它等于将该带电体上各个部分的电荷从无限分散的状态聚集起来，克服电场力所作的功。自能只能为正。
3、电荷在电场中某一点的,电势能,等于将该电荷从无限远处移到这一点，克服电场力所作的功。
（其它带电体或场源电荷都已在给定位置）
4、带电体系的,静电能,等于各带电体的自能和各带电体之间的互能之总和。
明白,这些能量本质没有区别，区别只在于如何划分系统例 1,真空中一半径为 R，带电量为 Q的均匀球面的静电能。
RQ球内场强：
1 0E?
球外场强：
22 4 r
QE
o
解：
2 4R
o
QE d r
R


球面电势


2
0
11
2 2 4 8
Q
e
oo
QQW d q d q
RR
三、静电场的能量 能量密度
R dR
设想带电气球，静电能

2
8 o
QW
R
膨胀 dR后，能量减少


2
28
o
Qd W d R
R
储存在球壳内的能量

2
28
o
Qd W d R
R


2 2 2 22 1( ) 4 ( ) 4
2 4 2
o
o
o
QdW R dR E R dR
R
212 od W E d V
令，能量密度
212eodWwEdV
212eo
VV
W w d V E d V总能量电能是储存在（定域在）电场中。
例 2,真空中一半径为 a，带电量为 Q的均匀球体的静电能。
aQ
解法一：
o
r
a
QrE
34
34
4
3
3
2
1
球内场强：
31 4 a
QrE
o
球外场强：
22 4 r
QE
o
12
a
ra
E d r E d r
34 3a
Q

2
3 2 3
3
4 4 8
a
ra
o o o
Q r d r Q d r Q r
a r a a










2
2
330
1 1 3 4
2 2 8 4 3
a
e
o
Q r QW d V r d r
a a a
dr
a
r
a
r
a
Q a
o



0 3
2
2
3
2 3
16
3

a
QW
o
e20
3 2?
aQ
解法二：
22
120
11
22
a
e e o oaW w d V E d V E d V

22
22
32
11 44
2 4 2 4
a
oooa
oo
Q r Qr d r r d r
ar





2 2 23
4 0 8 2 0o o o
Q Q Q
a a a
说明,电场能是以体密度定域分布在空间内的静电能。它总是正的。对于单个带电体，整个空间的电场能就等于它的自能。
对于带电体系，整个空间的电场能等于该带电体系所有的自能与互能之和。
aQ
r
dr
end