§ 3-1 静电场的保守性和环路定理一、静电场力作功的特点
dlEqldEqdA oo?c o s
24 r
q
E
o
dr
r
qqdl
r
qqdA
o
o
o
o
22 4c o s4
q
b
a
r?
r dr
E
ld?
oq



bao
or
r
o
o
ab rr
qqdr
r
qqA b
a
11
44 2
结论,给定试验电荷在静电场中移动时，电场力所作的功只与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
0l o ldEqA
静电场中电场强度 的环流为零。E?
0
l
ldE
保守力作功的特点：
静电场的环流定理：
0 0?q?
二、电势能（ W）
保守力作功等于势能的减少
ba
b
aoab
WWldEqA
令 b点的势能为零（ Wb =0）
a点的势能,
ba oa ldEqW
结论,试验电荷 qo在空间某处的电势能在数值上就等于将 qo从该处移至势能的零点电场力所作的功。
ba
Wa Wb
F
qo
注,虽说电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上，当场源电荷为有限带电体时,通常把电势能的零点选取在无穷远处。

a oa
ldEqW
空间 a点的电势能：
三、电势定义：
a
o
a
a ldEq
WV单位：伏特（ V）
结论,电场中 a点的电势，在数值上等于把单位正电荷从 a点移至势能的零点处电场力所作的功。
电势能是系统的，不能反映场的性质，但其比值
w/q0与 q0无关，反映的是场的性质 。
四、电势差
ba
b
aoab
WWldEqA
o
b
o
ab
a q
W
q
WldE
电势差：
babaab ldEVVU
结论,静电场中 a,b两点的电势差，等于将单位正电荷从 a点移至 b点电场力所作的功。
)( baoab VVqA
五、电势叠加原理
1、点电荷的电势
q
r a
E? drr
qldEV r
r
o
aa a

24

ao
a
r
q
V
4



rr
q
ao
11
4
若 q>0,则 V>0
若 q<0,则 V<0
2,点电荷系的电势
nEEEE

21
pp ldEV
p np ldEEEV )( 21
p nppp ldEldEldEV 21
电势叠加原理：
np VVVV21
E
Pr
1
r2 r
3 rn
qn
q1
q2 q
3
3、连续分布带电体的电势
rdqV p
04



n
i i
i
n
i
pip r
qVV
1 01 4

或注：电势的叠加是标量叠加，不同于电场强度的叠加。
六、电势的计算两种方法：
1、利用电势与场强的积分关系计算。
2、利用场源电荷分布与电势的关系计算。
例 1,半径为 R的均匀带电球体，带电量为 q。求电势分布。
q
R
r
解：
i
oS
qSdE
1
3
4
34
14 3
3
2
1
r
R
qrE
o


31 4 R
qrE
o
22 4 r
q
E
o
利用电势与场强的积分关系计算 。由高斯定理可求出带电球体内外的电场分布。
RRrp drEdrEldEV 211

22
22
33
( 3 )()
8 4 8o o o
q q q R rRr
R R R

r
q
dr
r
q
drEldEV
o
r
o
rp
44
2
22






R
r R
oo
dr
r
qdr
R
qr
23 44
q
R
球体外的电势分布相当于把电荷全部集中于球心的点电荷一样。
球体内任一点电势：
球体外任一点电势：
问题：如果是球面电荷，情况会怎样呢？
p
r
例 2,求无限长均匀带电直线外任一点 P的电势。
(电荷密度?)
解：
ro
P
r
dr
r
ldEV oo
r
r
o
r
r


2

r
E
o
2
r
rrrr o
o
o
o
r
r
o
o ln
2
)ln( l n
2
ln
2



如果势能零点在 ro=1m
rV
o
ln
2

例 3,均匀带电圆环，带电量为 q，半径为 a，求轴线上任意一点的 P电势。
解法一：
P x
x
a
dl
a
qdldq
2

ar
qdl
r
dqdV
oo
284
r
22
2
88 Loo
q q aV dl
ar ar


2244 ax
q
r
qV
oo?


a
利用场源电荷与电势的关系求 。取电荷元问题,如果圆环一半带正电荷,
另一半带负电荷,又如何?
法二：
2322 )(4
1
ax
qx
E
o?




x
o
x ax
x d xqldEV
2322 )(4

224 ax
q
V
o?

利用电势与场强的积分关系求。
思考,半径为 R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。
解,以 O为圆心，取半径为 L?L+dL的薄圆环，带电
dq=?ds=2?L?dL
到 P点距离
P点电势：
O
L
dL
22r x L
0
1d
4
qV
r

R Lx LL0 22
0
24 1 d )( xxR 22
02?
p
x
R
例 4,如图所示，已知两点电荷电量分别为 q1 =3.0?10 -8C,q2
= -3.0?10 -8 C。 A,B,C,D为电场中四个点，图中 a=8.0cm,
r=6.0cm。（ 1）今将电量为 2.0?10-9 C的点电荷从无限远处移到 A点，电场力作功多少？电势能增加多少？ （ 2）将此电荷从 A点移到 B点，电场力作多少功？电势能增加多少？（ 3）将此点电荷从 C点移到 D,电场力作多少功？电势能增加多少？
22
21
44 ar
q
r
qV
oo
A


)(1 8 0 0 VV A?
)(106.3 6 JqVW AA
6( ) 3,6 1 0 ( )AAA q V V J
)(106.3 6 JAWWW A
A B C
D
r
a/2 a/2
r r
q1 q2
解,(1)
（ 2）
0
44
21?
r
q
r
qV
oo
B
)(106.30106.3
)(
66 JWW
VVqA
BA
BAAB


)(106.3 6 JWWW AB
A B C
D
r
a/2 a/2
r r
（ 3）
)(1 8 0 0
44
2
22
1 V
r
q
ra
qV
oo
C
0?DV
)(106.3)( 6 JVVqWWA DCDCCD
)(106.3 6 JWWW CD
A B C
D
r
a/2 a/2
r r
§ 3-2 等势面和电势梯度一、等势面等势面,静电场中，电势相等的点所组成的曲面。
规定,相邻等势面之间的电势差相等。
等势面的性质：
（ 2）等势面与电场线处处正交
（ 3）电场线指向电势降低的方向
（ 4）等势面和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小
（ 1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零。
4 o
qV
r
电偶极子的等势面
+
平行板电容器电场的等势面
++ ++++ +++
考虑空间两等势面 V,V+dV,作等势面的法线与两等势面交于 P1,P2两点,相距 dn,任意点 P3距 P1为 dl,
c o sdldn?
c o sdndVdldV?
dn
dV
dn
dV
dl
dVc o s
1
,Vn
P
沿 方 向 变 化 率 最 大定 义 处 的 电 势 梯 度 矢 量
V V+dV
n?
P3P1
ld?
P2
二、电势梯度
dV n
dn
dn
电势梯度矢量：
n
dn
dV? 记为,Vgrad
n
dn
dVg r a d V 即则，电势沿任意方向的增加率
lg r a d Vdl
dV )(?
电势梯度的大小等于电势在该点最大空间变化率；方向沿等势面法向，指向电势增加的方向。
三、场强与电势梯度的关系
V V+dV
n?
E?
P3P1
ld
12P P o od A q V V d V q E d n
nd V E d n
n dVE
dn
P2
nE n E负 号 表 示 与 的 方 向 相 反,正 是 的 方 向
g r a d VndndVE
说明：电场中各点的场强等于各点的电势梯度矢量的负值。
所以根据等势面的性质，有：
dn
)( k
z
Vj
y
Vi
x
VkEjEiEE
zyx




结论：
电场中某一点的场强沿任一方向的分量等于这一点的电势沿该方向的 方向导数 的负值。
任一方向电场强度的分量
c o s c o s ( )ll d V d VE E g r a d Vd n d l
z
VE
y
VE
x
VE
zyx?


,,
直角坐标系中，场强的分量
V V+dV
n?
E?
P3P1
ld
P2
dn
El
例 5,均匀带电圆环，带电量为
q，半径为 a。求轴线上任一点 P
的场强。
224 ax
qV
o?

2322 )(4 ax
qx
dx
dVEE
o
x
P x
ra
x解：
那勃勒算符?
k
z
j
y
i
x




矢量式,k
z
Vj
y
Vi
x
VVVg r a d



可见，电势梯度 grad V在直角坐标系中可写成,
例 6 计算均匀带电圆盘轴线上的电场。
p O
22
0
()
2
V R x x?

x
VEE
x

)1(
2 220 xR
x

与用叠加原理得到的结果一致。
x
讨论,当 R时，
02?
E
即无穷大均匀带电平面的电场。
解：
R


r
q
r
qU
p
00 44
求电偶极子的电势分布 。
c o s
2
lrr
,c o s2?
lrr
2
0
2
0
222
00
4
c o s
4
1
)4c o s(
c o s
4
)(
4
r
rP
r
p
lr
lq
rr
rrq
U
e
p







当 r >>l 时,可做如下近似,?r?
q?
l?
q?
r
r?
p
解：
例 7：
由电偶极子的电势公式，
求其电场的分布。
3
04
c o s2
r
p
r
UE
r


已知电偶极子的电势为
3
04
s i n
r
p
r
UE




r?
r?
r
q?
l?
q?
r
r?
p
解：
22
00
1 c o s
44
ePr pU
rr


例 8：
电偶极子中垂线上一点的场强。
电偶极子延长线上一点的场强。
3
04 r
PE e

，3
04
2
r
PE e
r
① 当 θ =π / 2 时
，0?rE
0E
② 当 θ = 0 时
r?
q?
l
q?
r?
r?
p
3
0
2 c o s
4r
UpE
rr


3
04
s i n
r
p
r
UE