用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa1
2
,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa
,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa
，得两式相减消去 2x
一、二阶、三阶行列式第一节 n阶行列式;212221121122211 baabxaaaa ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ）（
时，当 021122211 aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定,
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）
)4(2221
1211
aa
aa
定义
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作称为二阶表达式?
即,21122211
2221
1211 aaaa
aa
aaD
11a 12a
22a12a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算若记,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x
注意 分母都为原方程组的系数行列式,
.
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x
例 1
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组解 12 23D )4(3,07
11
212
1
D
,14? 12
123
2?D,21
D
Dx 1
1,27
14
D
Dx 2
2?,37
21
三阶行列式：
定义
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式,
3231
2221
1211
aa
aa
aa
.312213332112322311 aaaaaaaaa
(1)沙路法三阶行列式的计算
322113312312332211 aaaaaaaaaD
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
.列标行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?
.322311 aaa?
(2)对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113 aaa? 312312 a?
312213 aaa? 332112 a?
如果三元线性方程组?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
,0?
利用三阶行列式求解三元线性方程组
2.三阶行列式包括 3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负,
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
若记
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
或
1
2
1
b
b
b
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
记
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
即
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.
33231
22221
11211
3
baa
baa
ba
D
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?,
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D?
则三元线性方程组的解为,
,11 DDx?,22 DDx?,33 DDx?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
2-43-
122-
4-21
D?计算三阶行列式例２
解 按对角线法则，有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
.0
94
32
111
2
x
x求解方程例 3
解 方程左端
12291843 22 xxxxD
,652 xx
解得由 052 xx
3.2 xx 或例 4 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D
111132
121111122 131
5,0?
同理可得
110
311
122
1
D
,5
101
312
121
2
D
,10
011
112
221
3
D
,5
故方程组的解为,
,111 DDx,222 DDx,133 DDx
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的,
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
三、小结思考题
使求一个二次多项式,xf
,283,32,01 fff
思考题解答解 设所求的二次多项式为
,2 cbxaxxf
由题意得,01 cbaf
,3242 cbaf,28393 cbaf
得一个关于未知数 的线性方程组,cba,,
又,020D,20,60,40 321 DDD
得,21 DDa,32 DDb 13 DDc
故所求多项式为
,132 2 xxxf
二,n阶行列式
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义
).de t ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )de t ( ijij aa
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa例如
3223332211 aaaaa3321312312 aaaaa
3122322113 aaaaa
3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
余子式与代数余子式在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素的 余子式,记作
n ija i j
1?n ija
.Mij
,记 ijjiij MA 1叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M?
233223 1 MA,23M
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
,
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M?
122112 1 MA,12M
,
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M?
,1 44444444 MMA
.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别第二节 行列式的性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的转置行列式,TD D
记
nn
a
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
21
nn
aa
a
D
2
121
n
n
a
aa
nn
aa
a
21
12
TD
nn
a
a
a
22
11
证明的转置行列式记 ijaD de t?,
21
22221
11211
nnnn
n
n
T
bbb
bbb
bbb
D
,,,2,1,njiab ijij即 按定义
,11 2121 2121 nppptnppptT nn aaabbbD
又因为行列式 D可表示为
,1 21 21 npppt naaaD?
故,TDD? 证毕性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
证明 设行列式,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
是由行列式 变换 两行得到的,ijaD d e t? ji,
例如推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有
.0 D
,DD
,
571571
266
853
.
8
2
5
8
2
5
3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
1
266
853
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
21
21
11211
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
21
21
21
11211
.0?
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
1
2221
1111
1
2221
1111例如性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr
)(
)(
)(
1
222221
111111
k例如返回二阶行列式计算式规律的观察：
21122211
2221
1211 )1( aaaa
aa
aa
12121111 AaAa
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
333231
232221
131211
)1(
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
aaa
aaa
aaa
131312121111 AaAaAa
||)1(|,|)1( 212112221111 aAaA
第三节行列式按任一行（列）展开代数余子式的分别为称
131211
3231
222131
13
3331
232121
12
3332
232211
11
,,)1(
,)1(,)1(
aaa
aa
aa
A
aa
aa
A
aa
aa
A
行列式按任一行 (列 )展开，其值相等，即,
的代数余子式。称为阶行列式，所得的列后行第的第为划去其中
ijij
ijij
ji
ij
ininiiii
aAn
jiAMMA
AaAaAaA
1
,)1(
,d e t 2211
2347
2000
1312
1004
D
347
312
004
2
34
3142
)15(42
例 1
返回例 2 求 det A:
解
73
42
)1(7
23
32
)1)(3(
27
34
)1(1d e t
31
2111
A
1 9 6)1214(7)94(3)218(
273
342
731
A
返回例 3 计算
nnnn
n
aaa
aa
a
D
21
2221
11
O
解
nnnn
n
aaa
aa
a
aD
32
3332
22
11
O
nnnn
aaa
aa
a
aa
43
4443
33
2211
O
nnaaa 2211
返回例 4 计算
nn
n
n
n
a
aa
aaa
D
0
222
11211
解
1,1
1,222
1,11211
0
nn
n
n
nnn
a
aa
aaa
aD
2,2
2,222
2,11211
1,1
0
nn
n
n
nnnn
a
aa
aaa
aa
nnaaa 2211
返回例 5
635241
654
321
975
654
321
654
654
321
321
654
321
000
返回例 6
111
322
321
A
1
2
1
00
320
321
210
320
321
111
322
321
A
2
111
322
642
2A
8
111
322
321
222
222
644
642
2A
例１
2101044
614753
12402
59733
13211
D
应用举例计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
ji krr?
3
2101044
614753
12402
59733
13211
D
3
解
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12
rr
2101044
614753
14020
20100
13211
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12
rr
2
3
12 2rr?
4
42 rr?
22200
20100
14020
35120
13211
22200
35120
14020
20100
13211
14 4rr?
13 3rr?
22200
01000
21100
35120
13211
34 rr?
22200
20100
21100
35120
13211
23 rr?
2
60000
01000
21100
35120
13211
61245 4rr?,12?
64000
01000
21100
35120
13211
35 2rr?
4?
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
解
abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
1
1
1
1
D
将第 都加到第一列得 n,,3,2?
abb
bab
bba
bbb
bna
1
1
1
1
)1(
ba
ba
ba
bbb
bna
1
)1(
0
0
,)()1( 1 nbabna
证 用数学归纳法
21
2
11
xxD 12 xx,)(12 ji ji xx
）式成立．时（当 12 n
例 2 证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
).(
111
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
)1(
，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（ 11?n
)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
D
n
n
n
nn
nn
n
n
就有提出，因子列展开，并把每列的公按第 )(1 1xx i?
)()())((
211312 jjin inn
xxxxxxxxD
).(
1 jjin i
xx
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
n-1阶范德蒙德行列式推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji 02211?
,
1
1
1
111
11
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
aa
aa
aa
aa
AaAa
证 行展开，有按第把行列式 jaD ij )de t (?
,
1
1
1
111
11
nnn
ini
ini
n
jninji
aa
aa
aa
aa
AaAa
可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk
行第 j
行第 i
,时当 ji?
).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji
相同
(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ).
计算行列式常用方法,(1)利用定义 ;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
三、小结行列式的 6个性质
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb?则称此方程组为 非齐次线性方程组 ;,,,,21 全为零若常数项 nbbb?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
非齐次与齐次线性方程组的概念第四节 克莱姆法则如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
0?
一、克莱姆法则,
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn232211
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即
jD D j n
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaa
D
111
11111111
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为
1
证明
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
2211
2222222121
1111212111
得个方程的依次乘方程组列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjD njjj?
在把 个方程依次相加，得n
,
1
11
1
1
1
n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa
由代数余子式的性质可知,
.,,2,1 njDDx jj
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn232211
,Dx j的系数等于上式中
;0的系数均为而其余 jix i?,jD又等式右端为于是?2
当 时,方程组 有唯一的一个解0?D2
由于方程组 与方程组 等价,21 故
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn232211
也是方程组的 解,1
重要定理定理 1 如果线性方程组 的系数行列式则 一定有解,且解是唯一的,
1
1
,0?D
定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零,
1
齐次线性方程组的相关定理2
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式则齐次线性方程组 没有非零解,0?D
2
2
定理 如果齐次线性方程组2 有非零解,则它的系数行列式必为零,
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
有非零解,
系数行列式 0?D
例 1 用克莱姆法则解方程组
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
D
21 2rr?
24 rr?
12770
2120
6031
13570
1277
212
1357
21 2cc?
23 2cc? 277
010
353
27
33
,27?
6740
2125
6039
1518
1
D
,81?
6701
2150
6091
1582
2
D
,108
6041
2520
6931
1812
3
D
,27
0741
5120
9031
8512
4
D
,27?
,3278111 DDx,4271 0 822 DDx
,1272733 DDx,1272744 DDx
例 2 用克莱姆法则解方程组
.6523
,611
,443
,3253
4321
4321
42
4321
xxxx
xxxx
xx
xxxx
解
2311
1111
4030
1253
D
67?,0?
23165
111611
4034
1253
1
D
,367?
23651
116111
4040
1233
2
D
,0?
26511
161111
4430
1353
3
D
,267?
65311
611111
4030
3253
4
D
,67?
,DDx 3167 3
67
1
1,D
Dx 0
67
02
2
,DDx 2167 2
67
3
3,167
674
4 D
Dx
例 3 问 取何值时，齐次方程组
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解？
解
111
132
421
D
101
112
431
3121431 3
3121 23
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,20,3
1,用克莱姆法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数 ;
(2)系数行列式不等于零,
2,克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,它主要适用于理论推导,
三、小结思考题当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
思考题解答不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解,
