１、定义
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BA
2211
2222222121
1112121111一、矩阵的加法设有两个 矩阵 那末矩阵与 的和记作,规定为
nm,bB,aA ijij
A B BA?
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,
例如?
123
456
981
863
091
5312
182633
405961
9583112
.
986
447
41113
2,矩阵加法的运算规律
;1 ABBA
,2 CBACBA
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11
22221
11211
3
,,04 BABAAA
,ija
.负矩阵的称为矩阵 A
1、定义
.
11
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
AA
二、数与矩阵相乘规定为或的乘积记作与矩阵数, AAA
;1 AA
;2 AAA
,3 BABA
2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算,
（设 为 矩阵,为数）,nm?BA、
１、定义
s
k kjiksjisjijiij
babababac
12211
,,,2,1;,2,1 njmi
并把此乘积记作,ABC?
三、矩阵与矩阵相乘设 是一个 矩阵,是一个矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵,其中
ijaA? smijbB?
ns?
nmijcC?
A B
例１
2222 63
42
21
42
C
22?
16? 32?
8 16
设
4150
0311
2101
A
121
113
121
430
B例 2
故
121
113
121
430
4150
0311
2101
ABC
.
解,43 ijaA,34 ijbB
,33 ijcC
5? 6 7
10 2 6?
2? 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,
106
861
985
123
321
例如
1
2
3
321
132231.10?
不存在,
２、矩阵乘法的运算规律
;1 BCACAB?
,2 ACABCBA ;CABAACB
BABAAB3 （其中 为数） ;?
;4 AEAAE
若 A是 阶矩阵，则 为 A的 次幂，即并且
5 n kA k
个k
k AAAA?
,AAA kmkm,mkkm AA?
为正整数k,m
注意 矩阵不满足交换律，即：
,BAAB,BAAB kkk?
例 设
11
11A?
11
11B
则,00 00?
AB,
22
22?
BA
.BAAB?故但也有例外，比如设
,20 02?
A,
11
11?
B
则有
,?
AB 2 2?
2? 2
BA 2 2?
2? 2
.BAAB
例 3 计算下列乘积：
21
3
2
2
1
解
21
3
2
2
1
12? 22?
12? 22?
13? 23?
.
63
42
42
3
2
1
333231
232221
131211
3212
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bbb
解
332222112 bababa
3
2
1
b
b
b
.222 322331132112233322222111 bbabbabbabababa
3
2
1
333231
232221
131211
321
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bbb
331221111 bababa=( 333223113 babab）
解?
00
10
01
00
10
01
2A
.
00
20
12
2
2
2
.
00
10
01
kAA 求设
例 4
00
10
01
00
20
12
2
2
2
23 AAA
3
23
23
00
30
33
由此归纳出
2
00
0
2
1
1
21
kk
kk
k
A
k
kk
kkk
k
用数学归纳法证明当 时，显然成立,2?k
假设 时成立，则 时，nk? 1 nk
,
00
10
01
00
0
2
1
1
21
1
n
nn
nnn
nn
n
nn
n
AAA
所以对于任意的 都有k
.
00
0
2
1
1
21
k
kk
kkk
k
k
kk
k
A
,
00
10
2
1
1
1
1
11
n
nn
nnn
n
nn
n
定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,?A
A
A
例,854
221?
A ;
82
52
41
TA
,618?B,618TB
１、转置矩阵四、矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质
;1 AA TT?
;2 TTT BABA
;3 TT AA
,4 TTT ABAB?
例 5 已知
,
102
324
171
,
231
102
BA
.TAB求解法 1
102
324
171
231
102
AB?
,101317 3140?
,
103
1314
170
TAB
解法 2
TTT ABAB?
21
30
12
131
027
241
.
103
1314
170
2、方阵的行列式定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，
叫做方阵 的行列式，记作 或
n A
A A,det A
86
32A例
86
32?A则
.2
运算性质 ;1 AA T ;2 AA n
;3 BAAB?,BAAB
3、对称阵与伴随矩阵定义 设 为 阶方阵，如果满足,即那末 称为 对称阵,
A n TAA?
n,,,j,iaa jiij?21
A
.A 为对称阵例如
601
086
1612
.称为反对称的则矩阵如果 AAA T
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,
说明例 6 设列矩阵 满足TnxxxX,,,21,1?XX T
.,
,2,
EHH
HXXEHnE
T
T
且阵是对称矩证明阶单位矩阵为证明TTT XXEH 2TTT XXE 2
,2 HXXE T
.是对称矩阵H?
2HHH T22 TXXE
TTT XXXXXXE 44 TTT XXXXXXE 44
TT XXXXE 44,E?
例 7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和,
n A
证明 TAAC设
TTT AAC则 AA T?,C?
所以 C为对称矩阵,
,TAAB设TTAAB则 AA T,B
所以 B为反对称矩阵,
22
TT AAAA
A,2BC 命题得证,
定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵
A ijA
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
性质,EAAAAA
证明,ijaA?设,ijbAA记 则
jninjijiij AaAaAab2211,ijA
称为矩阵的 伴随矩阵,
A
4、共轭矩阵定义当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记,称为 的共轭矩阵,
ijaA? ija ija
ijaA? A A
故ijAAAij,EA?
同理可得
n
k
kjki aAAA
1
ijAijA,EA?
;2 AA
,3 BAAB?
运算性质
;1 BABA
（设 为复矩阵,为复数,且运算都是可行的）,BA,?
五、小结矩阵运算
加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵
（ 2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律,
（ 1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,
注意
（ 3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同,
思考题问等式阶方阵为与设,nBA
BABABA 22
成立的充要条件是什么?
思考题解答答,22 BABBAABABA
故 成立的充要条件为BABABA 22
.BAAB?
