,111 aaaa
,11 EAAAA
则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵,A1?A
一、概念的引入在数的运算中,当数 时，0?a 有
aa
11 a其中 为 的倒数,a（或称 的逆）；
在矩阵的运算中,E单位阵 相当于数的乘法运算中的 1,A那么，对于矩阵,1?A如果存在一个矩阵,
使得二、逆矩阵的概念和性质定义 对于 阶矩阵,如果有一个 阶矩阵则说矩阵 是 可逆 的，并把矩阵 称为 的 逆矩阵,
n A B
,EBAAB
B A
n
A
,使得
.1?AA 的逆矩阵记作例 设,2121
2121,
11
11?
BA
,EBAAB,的一个逆矩阵是 AB?
说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是 唯一 的,A A
若设 和 是 的可逆矩阵，B C A 则有
,,ECAACEBAAB
可得 EBBBCAABC?,CCE
所以 的逆矩阵是唯一的,即A
.1 ACB
例 设,01
12?
A,的逆阵求 A
解 设 是 的逆矩阵,
dc
baB
A
则?
dc
baAB
01
12?
0
01
10
0122
ba
dbca
利用待定系数法
,1
,0
,02
,12
b
a
db
ca
.2
,1
,1
,0
d
c
b
a
又因为
01
12?
21
10?
01
12
21
10
,10 01?
所以,21 101?
A
AB AB
定理 1 矩阵 可逆的充要条件是,且
,11 AAA
A 0?A
证明 若 可逆，A,EAAA 11 使即有
,11 EAA故,0?A所以
.的伴随矩阵为矩阵其中 AA?
,0时当?A
,0时当?A
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
AA
21
22212
12111
21
22221
11211
AAaAaAa nn 1112121111?
AAaAaAa nnnnnnnn2211
,
A
A
A
A
O
O
EAAAAA,EAA
A
A
AA
.1 AAA
按逆矩阵的定义得证毕
.
,0,,0
非奇异矩阵称为时当称为奇异矩阵时当 AAAA
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得 AA
,1 EBA,0?A故
,1 存在因而?A 于是
EBBBAA 1ABA 1
EA 1,1 A 证毕
,,1 ABEBAEAB 则或若推论证明
,,,1 111 AAAA 且亦可逆则可逆若逆矩阵的运算性质
且可逆则数可逆若,,0,2 AA
且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3 ABBA
1111 ABBAABAB
1 AEA,1 EAA
,111 ABAB
证明
1AB B1? 1?A
,1 11 AA
TTT AAAA 11 TE?,E?
,11 TT AA
,,
,0,
10 kk AAEA
A
定义时当另外证明
为正整数k
,1212 AA推广 1A mA 1?mA 1?1A
,,,4 AAAA T?且亦可逆则可逆若 T T1? 1?
,AA,A 115则有可逆若证明 EAA 1?
11AA
.AA 11因此有为整数时当,,,0A
, AAA, A?
例 1 求方阵 的逆矩阵,?
343
122
321
A
解
343
122
321
A?
,0?,1存在 A
,234 1211A,333 1212A
三、逆矩阵的求法同理可得,2,6,6,2 23222113 AAAA
,2,5,4 333231 AAA
,
222
563
462
A得故
A
AA
11
222
563
462
2
1,
111
25323
231
,
331
212
321
A,
1151
531
132
B
解
331
212
321
A
010
430
321
.
,?,
矩阵求出其逆若可逆是否可逆下列矩阵 BA例 2
010
430
321
01
43
4?,0?,A 可逆所以
,333 2111A?,431 2212A
,531 1213A
.A,A
,A,A,A,A
34
1103
3332
31232221
同理可求得
332313
322212
312111
1 1
AAA
AAA
AAA
AA
A
A
.
315
404
133
4
1
1151
531
132
B由于
,0?,B 不可逆故
,
13
02
31
,
35
12
,
343
122
321
CBA
例 3 设
.CAXBX?使满足求矩阵解
,02
343
122
321
A?
,0135 12B
.,11 都存在 BA
,
111
25323
231
1
A且
,25 131?
B
CAX B?又由 1111 CBAAXBBA
.11 CBAX
于是 11 CBAX
25
13
13
02
31
111
25323
231
E
证明,022 EAA由
EEAA 2得
,0 A
EEAA 2
12 EAA
.,2,
:,022
并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵
EAA
EAAA
例 4
25
13
20
20
11
.
410
410
12
.可逆故 A
1?A
022 EAA又由
0432 EEAEA
EEAEA 3412
.EA 可逆故 2?
EAEA 3412 1且,43 AE
.211 EAA
12 EA
,13412 EAEA
;
510
402
321
112
011
111
2
X
,
112
510
324
123
011
111
112
011
111
3
X
;41 2341 511?
X解矩阵方程例 5
41
23
41
51
41
51
41
51 11 X得
41
23
11
54,
64
2817?
解
41
23
41
511 X
给方程两端左乘矩阵,41
51 1
41
23
41
51 1X
E
510
402
321
112
011
111
2 X
1
112
011
111
510
402
321
X
给方程两端右乘矩阵
,
112
011
111
1?
得
112
510
324
123
011
111
112
011
111
3 X
.
9144
682
592
给方程两端左乘矩阵
,
123
011
111
1?
251
121
131
112
510
324
251
121
131
.
4712021
21529
307513
11
123
011
111
112
510
324
123
011
111
X
得给方程两端右乘矩阵
,
123
011
111
1?
71
41
21
,61 ABAABAA 且
o
o
.B求
ABABAA 61
ABAEA 61 EBEA 61
,6 11 EAB
解
:,满足关系设三阶矩阵 BA例 6
1
100
010
001
700
040
002
6
1
600
030
001
6
1
600
030
001
6
6100
0310
001
6,
100
020
006
116 EAB
,0!5A因由伴随矩阵法得,1 AAA
解,1存在故?A
.
50000
04000
00300
00020
00001
1?
AA 求已知例 7
43210000
05321000
00542100
00054310
00005432
5
1
!
.
510000
041000
003100
000210
00001
四、小结逆矩阵的概念及运算性质,
.0?A
逆矩阵的计算方法
;2 1 AAA
利用公式逆矩阵 存在1?A?
;1 待定系数法
.3 下一章介绍初等变换法思考题
,
1
1
BAY
BYABAX
BAXA
是否有唯一解矩阵方程是否有唯一解那么矩阵方程可逆若思考题解答
.,1 的唯一性决定的这是由于是的?A答
