第四节矩阵的秩与初等变换
.
,
,1
2
阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义
kA
kA
knk
mkkkAnm
一、矩阵秩的概念
,个阶子式共有的矩阵 knkm CCkAnm
.
.)(
0
1
02
等于零并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于
）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义
ARA
rAD
rD
rA
.
)(
子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵 AARAnm?
，对于 TA ).()( ARAR T?显有例 1
.
174
532
321
的秩求矩阵
A
解 中，在 A
，阶子式只有一个的又 AA 3?
.032 21?
，且 0?A
.2)( AR
例 2
.
00000
34000
52130
23012
的秩求矩阵
B
解 行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵,3B?
.4 阶子式全为零的所有B?
,0
400
230
312
而
.3)( BR
例 3
，求该矩阵的秩．已知
5102
3120
2231
A
,0220 31
102
120
231
502
320
231
解 计算 A的 3阶子式，
,0?,0?
510
312
223
512
310
221
,0?,0?
.0,2 AR
做初等变换，对矩阵
5102
3120
2231
A
另解
,
0000
3120
2231
~
5102
3120
2231
显然，非零行的行数为 2，
,2 AR 此方法简单！
.
,
梯形等行变换把他变为行阶总可经过有限次初因为对于任何矩阵 nmA?
问题,经过变换矩阵的秩变吗？
,,~1 BRARBA?则若定理证矩阵秩的求法
).()(
BRAR
BA
则
，经一次初等行变换变为先证明：若
.0 )( rDrArAR 阶子式的某个，且设时，或当 BABA krrr iji
时，分三种情况讨论：当 BA ji krr
,.rr DDB 相对应的子式中总能找到与在
,rrrrrr kDDDDDD 或或由于
.)(0 rBRD r,从而因此行；行但不含第中含第）（
行；行和第中同时含第）（
行；中不含第）（
jiD
jiD
iD
r
r
r
3
2
1
.)(,0
)2(),1(
rBRDD
DB
rr
r
故子式对应的中与两种情形，显然对
，对情形 )3(
,? rrjijir DkDrkrkrrD
,0rD若
,
非零子式阶行的中有不含第行知中不含第因 riAiD r
.)( rBR
,0rD若
).()( BRARBA?，则经一次初等行变换变为若
,AB 为也可经一次初等变换变又由于
.)(,0 rBRDD rr 也有则
).()( BRAR?因此
).()( ARBR?故也有经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
).()(,BRARBA?也有经初等列变换变为设
,BA 经初等列变换变为设
).()(),~
(,
BRARBA
BA
则即经有限次初等变换变为若综上
,TT BA 经初等行变换变为则
),()( TT BRAR
),()(),()( TT BRBRARAR且
).()( BRAR
证毕初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,
例 4
．的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设
A
AA,
41461
35102
16323
05023
阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对 A解
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
16323
41461
41 rr?
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
11340
41461
42
41
rr
rr
12812160
1179120
11340
41461
41461
35102
16323
05023
A
42
41
rr
rr
14
13
3
2
rr
rr
84000
84000
11340
41461
00000
84000
1134
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)(?AR
23 3rr?
24 4rr?
34 rr?
,的一个最高阶子式求 A
,3)(?AR?,3 阶的最高阶非零子式为知 A
阶子式共有的 3A,403534 个 CC
阶梯形矩阵为的行则矩阵记 ),,(),,,,,( 42154321 aaaBaaaaaA
的行阶梯形矩阵，考察 A
000
400
140
161
,3)(?BR?
的前三行构成的子式计算 B
,3 阶非零子式中必有故 B,4 个且共有
623
502
523
110
502
523
116
522
.016
则这个子式便是 的一个最高阶非零子式,A
，阶可逆矩阵设 An
,0?A?,AA 的最高阶非零子式为?
,)( nAR?,~,EAEA 的标准形为单位阵故
.为满秩矩阵
，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数
.奇异矩阵为降秩矩阵例 5
4
3
2
1
,
6063
3242
0842
1221
bA设
,)( 的秩及矩阵求矩阵 bABA?
解 ),~,~(~ bABB?的行阶梯形矩阵为设分析：
的行阶梯形矩阵，就是则 AA~
).()()~,~(~ BRARbAB 及中可同时看出故从?
46063
33242
20842
11221
B
13600
51200
02400
11221
13
12
2
2
rr
rr
14 3rr?
10000
50000
01200
11221
00000
10000
01200
11221
23
2 2
rr
r
24 3rr?
53?r
34 rr?
.3)(,2)( BRAR
引例
)1(
回顾消元法解线性方程组求解线性方程组
,97963
,42264
,42
,22
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
分析：用消元法解下列方程组的过程．
2?
解
)( 1B)1(
)( 2B
2?
1
3
2
,97963
,232
,22
,42
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2? 1
32?
3
3? 14?
,3433
,6355
,0222
,42
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
1
3
4
2
)( 3B
)( 4B
,3
,62
,0
,42
4
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
1
3
4
2
5?
2 21?
3
3?4
2
2
,00
,3
,0
,42
4
432
4321
x
xxx
xxxx
1
3
4
2?3
2?4
4
3
用“回代”的方法求出解：
于是解得?
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
.3 为任意取值其中 x
方程组的解可记作或令,3 cx?
,
3
3
4
4
3
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
.为任意常数其中 c
3
0
3
4
0
1
1
1
cx即
（ 2）
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
i j（ 与 相互替换）
（以 替换 ）i k? i
j（以 替换 ）i k? i
3．上述三种变换都是可逆的．
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．
ji)(A若
),(B? )(B则 );(Aji?
k?)(A若 ),(Bji
)(A若 ),(Bi k? )(B则 );(Ai k?
)(B则 ).(Ak? ji
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记
97963
42264
41211
21112
)( bAB
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B(方程组（ 1）的增广矩阵）的变换．
定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
）；记作两行对调两行（对调 ji rrji?,,1
;02 乘以某一行的所有元素以数?k
）记作行乘（第 krki i?,
.
3
）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
二、矩阵的初等变换定义 2 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是把,r”换成,c”)．
ji rr?
kri?
逆变换 ;ji rr?
逆变换 ;)1( krkr ii 或
ji krr? 逆变换,)( jiji krrrkr 或等价关系的性质：；反身性）（ A A 1?
A;B,B A 2 则若对称性）（
C,AC,BB,A 3 则若）传递性（
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
~
具有上述三条性质的关系称为等价．
例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换 解方程组（ 1）：
97963
42264
41211
21112
B
1
97963
21132
21112
41211
B?
21 rr?
23?r
3
31000
62000
01110
41211
B?
97963
21132
21112
41211
1B
2
34330
63550
02220
41211
B?
13
32
2rr
rr
14 3rr?
23
2
5
2
rr
r
24 3rr?
5
00000
31000
30110
40101
B?
31000
62000
01110
41211
3
B
4
00000
31000
01110
41211
B?
43 rr?
34 2rr?
21 rr?
32 rr?
对应的方程组为5B?
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
方程组的解可记作或令,3 cx?
3
3
4
4
3
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
3
0
3
4
0
1
1
1
c
.为任意常数其中 c
.54 都称为行阶梯形矩阵和矩阵 BB
特点：
（ 1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；
5
00000
31000
30110
40101
B?
（ 2）、每个台阶 只有一行，
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．
.
1
5
的其他元素都为零列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵 B
.
,A nm
和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵?
注意,行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
00000
31000
30110
40101
5 B
例如，
00000
30100
31010
41001
43 cc?
.的标准形称为矩阵矩阵 BF
F?
00000
00100
00010
00001
3215 334 cccc
214 ccc
00000
30100
30010
40001
.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F
标准形总可经过初等变换化为矩阵 Anm?
nm
r
OO
OEF
.
,,
的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由 rrnm
特点：
所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，
称为一个 等价类,标准形 是这个等价类中最简单的矩阵,
A
F
三、小结
(2)初等变换法
1,矩阵秩的概念
2,求矩阵秩的方法
(1)利用定义
(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 );
（一）矩阵的秩
1.初等行 (列 )变换
;1 jiji ccrr
;2 kckr ii
.3 jiji kcckrr
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
3.矩阵等价具有的性质
;1 反身性 ;2 对称性,3 传递性
2,A 初等变换 B,~ BA?
（二）初等变换思考题
)()(,是否相等与为任一实矩阵设 ARAARA T 1.
已知四元齐次方程组 及另一
0
0:
42
21
xx
xxI
四元齐次方程组 的通解为II
,,1,2,2,10,1,1,0 2121 Rkkkk TT
.,;,?
说明理由有若没求出来若有是否有非零公共解与问 III
2.
思考题解答
1.答 相等,
,0?x因为对于任一实向量,0时当?Ax
,0?AxA T必有 有时反之当,0?AxA T 0?AxAx TT
即 0?AxAx T ;0 Ax
由此可知,00 同解与 AxAAx T
.ARAAR T?故
2.解得的通解代入将 III
02
02
221
212
kkk
kkk
.21 kk
的公共解为与故 III
TTT kkk 1,1,1,11,2,2,10,1,1,0 221
所有非零公共解为
.01,1,1,1 kk T
定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵,
E
三种初等变换对应着三种初等方阵,
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛,
初等矩阵的概念
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
，得初等方阵两行，即中第对调 )(,ji rrjiE?
对调两行或两列、1
1
1
01
1
1
10
1
1
),(
jiE
行第 i?
行第 j?
，得左乘阶初等矩阵用 nmijm aAjiEm )(),(
mnmm
inii
jnjj
n
m
aaa
aaa
aaa
aaa
AjiE
21
21
21
11211
),(
行第 i?
行第 j?
).(
ji rrjiA
A
行对调行与第的第把
：施行第一种初等行变换相当于对矩阵
，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，
AjiEn n ),(
mnmimjm
nij
nij
n
aaaa
aaaa
aaaa
jiAE
1
22221
11111
),(
).(
ji ccjiA
A
列对调列与第的第把
：施行第一种初等列变换相当于对矩阵
02 乘某行或某列、以数?k
) ),((
)(0
kiE
krik i
矩阵
，得初等行乘单位矩阵的第以数
1
1
1
1
))((
kkiE
行第 i?；行的第乘相当于以数 )( kriAk i?
mnmm
inii
n
m
aaa
kakaka
aaa
AkiE
21
21
11211
))((
行第 i?
类似地，
，左乘矩阵以 AkiE m ))((
).(
))((
kciAk
AkiE
i
n
列的第乘相当于以数
，其结果矩阵右乘以上去列加到另一行列乘某行、以数 )()(03?k
，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以
)([
)(
ij
ji
kccjiEk
krrijEk
1
1
1
1
))((
k
kijE
行第 i?
行第 j?
，左乘矩阵以 AkijE m ))((
mnmm
jnjj
jninjiji
n
m
aaa
aaa
aakaakaa
aaa
AkijE
21
21
2211
11211
))((
).( ji krrikjA?行上加到第行乘的第把
).(
))((
ij
n
kccjkiA
AkijE
列上加到第列乘的第把
，其结果相当于右乘矩阵类似地，以
mnmjmjmim
njji
njji
n
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kijAE
1
222221
111111
))((
定理 1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,
nm?
m
n
A
A
AA
A
二、初等矩阵的应用初等变换 初等矩阵初等逆变换 初等逆矩阵
),(),( 1 ；则的逆变换是其本身，变换
jiEjiE
rr ji
));
1
(())((
1
1
k
iEkiE
k
rkr ii
则
，的逆变换为变换
,))(())((
)(
1 kijEkijE
rkrkrr jiji
则
，的逆变换为变换定理 2 设 A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵,,,,,2121 ll PPPAPPP使证,~ EA?
使即存在有限个初等方阵,,,,21 lPPP?
APEPPPP lrr 121
.PPPA l?21?即
.,
:~
BPA QQnPm
BAnm
使阶可逆方阵及阶可逆方阵存在的充分必要条件是矩阵推论
,AE 经有限次初等变换可变故利用初等变换求逆阵的方法：
，有时，由当 lPPPAA?21 0
,11111 EAPPP ll,111111 AEPPP ll?及
EPPPAPPP llll 1111111111
1 AE
EAPPP ll 11111
,
)(2
1?
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对
.,
343
122
321
1?
AA 求设解例１
103620
012520
001321
1034
010122
001321
EA
12 2rr?
13 3rr?
21 rr?
23 rr?
111100
012520
011201
21 rr?
23 rr?
111100
563020
231001
31 2rr?
32 5rr?
31 2rr?
32 5rr?
）（ 22r
）（ 13r
.
111
2
5
3
2
3
231
1
A
111100
2
5
3
2
3
010
231001
）（ 22r
）（ 13r
,
1 BA?矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵
E
)()( 11 BAEBAA
)( BA
BA 1?
即初等行变换例２,
34
13
52
,
343
122
321
,
BA
BAXX,其中使求矩阵解,1 BAXA可逆，则若
34343
13122
52321
)( BA
122620
91520
52321
31100
91520
41201
31100
64020
2301
12 2rr?
13 3rr?
21 rr?
23 rr?
31 2rr?
32 5rr?
，
31100
32010
23001
.
31
32
23
X
）（ 22r
）（ 13r
31100
64020
23001
31 2rr?
32 5rr?
.1 CAY即可得作初等行变换，也可改为对 ),( TT CA
,1 作初等列变换，则可对矩阵如果要求?
C
ACAY
,CA 1?
CA
E列变换
),)(,(),1 TTTT CAECA?（ 列变换
TT1 C)( AY T即可得,C)( T1 TA
.Y即可求得
,
,
1000
1100
1110
2222
A
1,
n
ji
ij
AA
n
式之和中所有元素的代数余子求方阵已知
解例 3
,02A?,可逆A?
.1* AAA且
10001000
01001100
00101110
00012222
EA
10001000
11000100
01100010
001
2
1
0001
,
1000
1100
0110
001
2
1
1
A
,2 1* AA?
n
ji
ijA
1,
故,1)]1()1(21[2 nn
三、小结
1,单位矩阵 初等矩阵,一次初等变换
2,利用初等变换求逆阵的步骤是,
;1?
E
AEA 或构造矩阵?
.,,
(,
,2
1
1
AEEA
E
A
AE
EAEA
对应部分即为后划为单位阵将变换施行初等列或对对应部分即为右边后化为单位矩阵将施行初等行变换对?
思考题
.
010
102
001
的乘积表示成有限个初等方阵将矩阵
A
思考题解答解 可以看成是由 3阶单位矩阵 经 4次初等变换,A E
333132 1,1,2,crccrr
而得,而这 4次初等变换所对应的初等方阵为,
,
010
100
001
1
P,
102
010
001
2
P,
100
01
001
3
P
.
100
010
001
4
P
由初等方阵的性质得
4213 PEPPPA?,4213 PPPP?
.
,
,1
2
阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义
kA
kA
knk
mkkkAnm
一、矩阵秩的概念
,个阶子式共有的矩阵 knkm CCkAnm
.
.)(
0
1
02
等于零并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于
）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义
ARA
rAD
rD
rA
.
)(
子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵 AARAnm?
，对于 TA ).()( ARAR T?显有例 1
.
174
532
321
的秩求矩阵
A
解 中，在 A
，阶子式只有一个的又 AA 3?
.032 21?
，且 0?A
.2)( AR
例 2
.
00000
34000
52130
23012
的秩求矩阵
B
解 行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵,3B?
.4 阶子式全为零的所有B?
,0
400
230
312
而
.3)( BR
例 3
，求该矩阵的秩．已知
5102
3120
2231
A
,0220 31
102
120
231
502
320
231
解 计算 A的 3阶子式，
,0?,0?
510
312
223
512
310
221
,0?,0?
.0,2 AR
做初等变换，对矩阵
5102
3120
2231
A
另解
,
0000
3120
2231
~
5102
3120
2231
显然，非零行的行数为 2，
,2 AR 此方法简单！
.
,
梯形等行变换把他变为行阶总可经过有限次初因为对于任何矩阵 nmA?
问题,经过变换矩阵的秩变吗？
,,~1 BRARBA?则若定理证矩阵秩的求法
).()(
BRAR
BA
则
，经一次初等行变换变为先证明：若
.0 )( rDrArAR 阶子式的某个，且设时，或当 BABA krrr iji
时，分三种情况讨论：当 BA ji krr
,.rr DDB 相对应的子式中总能找到与在
,rrrrrr kDDDDDD 或或由于
.)(0 rBRD r,从而因此行；行但不含第中含第）（
行；行和第中同时含第）（
行；中不含第）（
jiD
jiD
iD
r
r
r
3
2
1
.)(,0
)2(),1(
rBRDD
DB
rr
r
故子式对应的中与两种情形，显然对
，对情形 )3(
,? rrjijir DkDrkrkrrD
,0rD若
,
非零子式阶行的中有不含第行知中不含第因 riAiD r
.)( rBR
,0rD若
).()( BRARBA?，则经一次初等行变换变为若
,AB 为也可经一次初等变换变又由于
.)(,0 rBRDD rr 也有则
).()( BRAR?因此
).()( ARBR?故也有经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
).()(,BRARBA?也有经初等列变换变为设
,BA 经初等列变换变为设
).()(),~
(,
BRARBA
BA
则即经有限次初等变换变为若综上
,TT BA 经初等行变换变为则
),()( TT BRAR
),()(),()( TT BRBRARAR且
).()( BRAR
证毕初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,
例 4
．的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设
A
AA,
41461
35102
16323
05023
阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对 A解
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
16323
41461
41 rr?
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
11340
41461
42
41
rr
rr
12812160
1179120
11340
41461
41461
35102
16323
05023
A
42
41
rr
rr
14
13
3
2
rr
rr
84000
84000
11340
41461
00000
84000
1134
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)(?AR
23 3rr?
24 4rr?
34 rr?
,的一个最高阶子式求 A
,3)(?AR?,3 阶的最高阶非零子式为知 A
阶子式共有的 3A,403534 个 CC
阶梯形矩阵为的行则矩阵记 ),,(),,,,,( 42154321 aaaBaaaaaA
的行阶梯形矩阵，考察 A
000
400
140
161
,3)(?BR?
的前三行构成的子式计算 B
,3 阶非零子式中必有故 B,4 个且共有
623
502
523
110
502
523
116
522
.016
则这个子式便是 的一个最高阶非零子式,A
，阶可逆矩阵设 An
,0?A?,AA 的最高阶非零子式为?
,)( nAR?,~,EAEA 的标准形为单位阵故
.为满秩矩阵
，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数
.奇异矩阵为降秩矩阵例 5
4
3
2
1
,
6063
3242
0842
1221
bA设
,)( 的秩及矩阵求矩阵 bABA?
解 ),~,~(~ bABB?的行阶梯形矩阵为设分析：
的行阶梯形矩阵，就是则 AA~
).()()~,~(~ BRARbAB 及中可同时看出故从?
46063
33242
20842
11221
B
13600
51200
02400
11221
13
12
2
2
rr
rr
14 3rr?
10000
50000
01200
11221
00000
10000
01200
11221
23
2 2
rr
r
24 3rr?
53?r
34 rr?
.3)(,2)( BRAR
引例
)1(
回顾消元法解线性方程组求解线性方程组
,97963
,42264
,42
,22
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
分析：用消元法解下列方程组的过程．
2?
解
)( 1B)1(
)( 2B
2?
1
3
2
,97963
,232
,22
,42
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2? 1
32?
3
3? 14?
,3433
,6355
,0222
,42
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
1
3
4
2
)( 3B
)( 4B
,3
,62
,0
,42
4
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
1
3
4
2
5?
2 21?
3
3?4
2
2
,00
,3
,0
,42
4
432
4321
x
xxx
xxxx
1
3
4
2?3
2?4
4
3
用“回代”的方法求出解：
于是解得?
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
.3 为任意取值其中 x
方程组的解可记作或令,3 cx?
,
3
3
4
4
3
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
.为任意常数其中 c
3
0
3
4
0
1
1
1
cx即
（ 2）
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
i j（ 与 相互替换）
（以 替换 ）i k? i
j（以 替换 ）i k? i
3．上述三种变换都是可逆的．
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．
ji)(A若
),(B? )(B则 );(Aji?
k?)(A若 ),(Bji
)(A若 ),(Bi k? )(B则 );(Ai k?
)(B则 ).(Ak? ji
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记
97963
42264
41211
21112
)( bAB
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B(方程组（ 1）的增广矩阵）的变换．
定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
）；记作两行对调两行（对调 ji rrji?,,1
;02 乘以某一行的所有元素以数?k
）记作行乘（第 krki i?,
.
3
）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
二、矩阵的初等变换定义 2 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是把,r”换成,c”)．
ji rr?
kri?
逆变换 ;ji rr?
逆变换 ;)1( krkr ii 或
ji krr? 逆变换,)( jiji krrrkr 或等价关系的性质：；反身性）（ A A 1?
A;B,B A 2 则若对称性）（
C,AC,BB,A 3 则若）传递性（
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
~
具有上述三条性质的关系称为等价．
例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换 解方程组（ 1）：
97963
42264
41211
21112
B
1
97963
21132
21112
41211
B?
21 rr?
23?r
3
31000
62000
01110
41211
B?
97963
21132
21112
41211
1B
2
34330
63550
02220
41211
B?
13
32
2rr
rr
14 3rr?
23
2
5
2
rr
r
24 3rr?
5
00000
31000
30110
40101
B?
31000
62000
01110
41211
3
B
4
00000
31000
01110
41211
B?
43 rr?
34 2rr?
21 rr?
32 rr?
对应的方程组为5B?
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
方程组的解可记作或令,3 cx?
3
3
4
4
3
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
3
0
3
4
0
1
1
1
c
.为任意常数其中 c
.54 都称为行阶梯形矩阵和矩阵 BB
特点：
（ 1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；
5
00000
31000
30110
40101
B?
（ 2）、每个台阶 只有一行，
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．
.
1
5
的其他元素都为零列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵 B
.
,A nm
和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵?
注意,行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
00000
31000
30110
40101
5 B
例如，
00000
30100
31010
41001
43 cc?
.的标准形称为矩阵矩阵 BF
F?
00000
00100
00010
00001
3215 334 cccc
214 ccc
00000
30100
30010
40001
.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F
标准形总可经过初等变换化为矩阵 Anm?
nm
r
OO
OEF
.
,,
的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由 rrnm
特点：
所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，
称为一个 等价类,标准形 是这个等价类中最简单的矩阵,
A
F
三、小结
(2)初等变换法
1,矩阵秩的概念
2,求矩阵秩的方法
(1)利用定义
(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 );
（一）矩阵的秩
1.初等行 (列 )变换
;1 jiji ccrr
;2 kckr ii
.3 jiji kcckrr
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
3.矩阵等价具有的性质
;1 反身性 ;2 对称性,3 传递性
2,A 初等变换 B,~ BA?
（二）初等变换思考题
)()(,是否相等与为任一实矩阵设 ARAARA T 1.
已知四元齐次方程组 及另一
0
0:
42
21
xx
xxI
四元齐次方程组 的通解为II
,,1,2,2,10,1,1,0 2121 Rkkkk TT
.,;,?
说明理由有若没求出来若有是否有非零公共解与问 III
2.
思考题解答
1.答 相等,
,0?x因为对于任一实向量,0时当?Ax
,0?AxA T必有 有时反之当,0?AxA T 0?AxAx TT
即 0?AxAx T ;0 Ax
由此可知,00 同解与 AxAAx T
.ARAAR T?故
2.解得的通解代入将 III
02
02
221
212
kkk
kkk
.21 kk
的公共解为与故 III
TTT kkk 1,1,1,11,2,2,10,1,1,0 221
所有非零公共解为
.01,1,1,1 kk T
定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵,
E
三种初等变换对应着三种初等方阵,
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛,
初等矩阵的概念
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
，得初等方阵两行，即中第对调 )(,ji rrjiE?
对调两行或两列、1
1
1
01
1
1
10
1
1
),(
jiE
行第 i?
行第 j?
，得左乘阶初等矩阵用 nmijm aAjiEm )(),(
mnmm
inii
jnjj
n
m
aaa
aaa
aaa
aaa
AjiE
21
21
21
11211
),(
行第 i?
行第 j?
).(
ji rrjiA
A
行对调行与第的第把
：施行第一种初等行变换相当于对矩阵
，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，
AjiEn n ),(
mnmimjm
nij
nij
n
aaaa
aaaa
aaaa
jiAE
1
22221
11111
),(
).(
ji ccjiA
A
列对调列与第的第把
：施行第一种初等列变换相当于对矩阵
02 乘某行或某列、以数?k
) ),((
)(0
kiE
krik i
矩阵
，得初等行乘单位矩阵的第以数
1
1
1
1
))((
kkiE
行第 i?；行的第乘相当于以数 )( kriAk i?
mnmm
inii
n
m
aaa
kakaka
aaa
AkiE
21
21
11211
))((
行第 i?
类似地，
，左乘矩阵以 AkiE m ))((
).(
))((
kciAk
AkiE
i
n
列的第乘相当于以数
，其结果矩阵右乘以上去列加到另一行列乘某行、以数 )()(03?k
，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以
)([
)(
ij
ji
kccjiEk
krrijEk
1
1
1
1
))((
k
kijE
行第 i?
行第 j?
，左乘矩阵以 AkijE m ))((
mnmm
jnjj
jninjiji
n
m
aaa
aaa
aakaakaa
aaa
AkijE
21
21
2211
11211
))((
).( ji krrikjA?行上加到第行乘的第把
).(
))((
ij
n
kccjkiA
AkijE
列上加到第列乘的第把
，其结果相当于右乘矩阵类似地，以
mnmjmjmim
njji
njji
n
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kijAE
1
222221
111111
))((
定理 1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,
nm?
m
n
A
A
AA
A
二、初等矩阵的应用初等变换 初等矩阵初等逆变换 初等逆矩阵
),(),( 1 ；则的逆变换是其本身，变换
jiEjiE
rr ji
));
1
(())((
1
1
k
iEkiE
k
rkr ii
则
，的逆变换为变换
,))(())((
)(
1 kijEkijE
rkrkrr jiji
则
，的逆变换为变换定理 2 设 A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵,,,,,2121 ll PPPAPPP使证,~ EA?
使即存在有限个初等方阵,,,,21 lPPP?
APEPPPP lrr 121
.PPPA l?21?即
.,
:~
BPA QQnPm
BAnm
使阶可逆方阵及阶可逆方阵存在的充分必要条件是矩阵推论
,AE 经有限次初等变换可变故利用初等变换求逆阵的方法：
，有时，由当 lPPPAA?21 0
,11111 EAPPP ll,111111 AEPPP ll?及
EPPPAPPP llll 1111111111
1 AE
EAPPP ll 11111
,
)(2
1?
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对
.,
343
122
321
1?
AA 求设解例１
103620
012520
001321
1034
010122
001321
EA
12 2rr?
13 3rr?
21 rr?
23 rr?
111100
012520
011201
21 rr?
23 rr?
111100
563020
231001
31 2rr?
32 5rr?
31 2rr?
32 5rr?
）（ 22r
）（ 13r
.
111
2
5
3
2
3
231
1
A
111100
2
5
3
2
3
010
231001
）（ 22r
）（ 13r
,
1 BA?矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵
E
)()( 11 BAEBAA
)( BA
BA 1?
即初等行变换例２,
34
13
52
,
343
122
321
,
BA
BAXX,其中使求矩阵解,1 BAXA可逆，则若
34343
13122
52321
)( BA
122620
91520
52321
31100
91520
41201
31100
64020
2301
12 2rr?
13 3rr?
21 rr?
23 rr?
31 2rr?
32 5rr?
，
31100
32010
23001
.
31
32
23
X
）（ 22r
）（ 13r
31100
64020
23001
31 2rr?
32 5rr?
.1 CAY即可得作初等行变换，也可改为对 ),( TT CA
,1 作初等列变换，则可对矩阵如果要求?
C
ACAY
,CA 1?
CA
E列变换
),)(,(),1 TTTT CAECA?（ 列变换
TT1 C)( AY T即可得,C)( T1 TA
.Y即可求得
,
,
1000
1100
1110
2222
A
1,
n
ji
ij
AA
n
式之和中所有元素的代数余子求方阵已知
解例 3
,02A?,可逆A?
.1* AAA且
10001000
01001100
00101110
00012222
EA
10001000
11000100
01100010
001
2
1
0001
,
1000
1100
0110
001
2
1
1
A
,2 1* AA?
n
ji
ijA
1,
故,1)]1()1(21[2 nn
三、小结
1,单位矩阵 初等矩阵,一次初等变换
2,利用初等变换求逆阵的步骤是,
;1?
E
AEA 或构造矩阵?
.,,
(,
,2
1
1
AEEA
E
A
AE
EAEA
对应部分即为后划为单位阵将变换施行初等列或对对应部分即为右边后化为单位矩阵将施行初等行变换对?
思考题
.
010
102
001
的乘积表示成有限个初等方阵将矩阵
A
思考题解答解 可以看成是由 3阶单位矩阵 经 4次初等变换,A E
333132 1,1,2,crccrr
而得,而这 4次初等变换所对应的初等方阵为,
,
010
100
001
1
P,
102
010
001
2
P,
100
01
001
3
P
.
100
010
001
4
P
由初等方阵的性质得
4213 PEPPPA?,4213 PPPP?
