欧氏空间测试题一、填空题(每空3分，共24分)
1．设V是一个欧氏空间,,若对任意都有,则＝ 0,
2．在欧氏空间中，向量，，那么＝ 0,＝．
3．在n维欧氏空间V中，向量在标准正交基下的坐标是，那么＝,＝．
4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们有相同的维数．
5．已知A是一个正交矩阵，那么＝，＝ 1,
二、判断题(每小题2分，共16分)
1．在实线性空间中，对于向量，定义，那么构成欧氏空间。( × )
2．在n维实线性空间中，对于向量，定义，则构成欧氏空间。 ( × )
3．是n维欧氏空间V的一组基，与分别是V中的向量在这组基下的坐标，则。( × )
4．对于欧氏空间V中任意向量，是V中一个单位向量。( × )
5．是n维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵。( √ )
6．设V是一个欧氏空间，，并且，则与正交。(√)
7．设V是一个欧氏空间，,并且，则线性无关。(×)
8．若都是欧氏空间V的对称变换，则也是对称变换。(×)
9,实对称矩阵总是与对角矩阵（）
合同；相似；合同且相似
三、计算题(每小题20分，共40分)
1．把向量组，扩充成的一组标准正交基.
解,线性无关,施密特正交化过程…
2．求正交矩阵T，使成对角形。其中
解:特征值:1,-2,4; 特征向量,(2,1,-2),(1,2,2),(2,-2,1),正交化得:
(2,1,-2),(1,2,2),(2,-2,1); 令则.
四、证明题(每小题20分，共40分)
1．设A，B为同级正交矩阵，且，证明：．
证明, (1)
(2)
(1)减(2)得 ,由知,#
2．设A为实对称半正定矩阵，且，证明：.证:特征值
1．设V是一个欧氏空间,,若对任意都有,则＝ 0,
2．在欧氏空间中，向量，，那么＝ 0,＝．
3．在n维欧氏空间V中，向量在标准正交基下的坐标是，那么＝,＝．
4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们有相同的维数．
5．已知A是一个正交矩阵，那么＝，＝ 1,
二、判断题(每小题2分，共16分)
1．在实线性空间中，对于向量，定义，那么构成欧氏空间。( × )
2．在n维实线性空间中，对于向量，定义，则构成欧氏空间。 ( × )
3．是n维欧氏空间V的一组基，与分别是V中的向量在这组基下的坐标，则。( × )
4．对于欧氏空间V中任意向量，是V中一个单位向量。( × )
5．是n维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵。( √ )
6．设V是一个欧氏空间，，并且，则与正交。(√)
7．设V是一个欧氏空间，,并且，则线性无关。(×)
8．若都是欧氏空间V的对称变换，则也是对称变换。(×)
9,实对称矩阵总是与对角矩阵（）
合同；相似；合同且相似
三、计算题(每小题20分，共40分)
1．把向量组，扩充成的一组标准正交基.
解,线性无关,施密特正交化过程…
2．求正交矩阵T，使成对角形。其中
解:特征值:1,-2,4; 特征向量,(2,1,-2),(1,2,2),(2,-2,1),正交化得:
(2,1,-2),(1,2,2),(2,-2,1); 令则.
四、证明题(每小题20分，共40分)
1．设A，B为同级正交矩阵，且，证明：．
证明, (1)
(2)
(1)减(2)得 ,由知,#
2．设A为实对称半正定矩阵，且，证明：.证:特征值
