线性空间习题一、填空题
1、已知是的一个子空间，则维(V)＝　3　,V的一组基是 .
2、已知a是数域P中的一个固定的数，而

是Pn+1的一个子空间，则a＝　0　，而维(W)＝　n　.
3、设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T＝，而在基下的坐标是.
二、判断题
1、设，则是V的子空间.×
2、已知为R上的线性空间，则维(V)＝2,×
3、设，V是的解空间，V1是AX＝0的解空间，V2是(A＋B)X＝0的解空间，则.√
4、设W是线性空间V的子空间,如果但则必有×
三、计算题在线性空间P2×2中,

求的维数与一组基.
求的维数与一组基.
解：1) ,有,所以有,即

其一般解为   令可得  所以,因此Dim()=1,且为其一组基.
解,2) ,将都看成列向量,则

对A进行初等行变换可得,所以秩且为的一组基.
2、在线性空间P4中，求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标，其中


解,设,令,,则有=
==
所以由基到基的过渡矩阵为

设在基下的坐标为则

四、证明题
1、V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令

证明：W1、W2皆为V的子空间，且
证明,,则 所以


因此W1是V的子空间,同理可证W2也是V的子空间.
 令,,则显然,,且,所以.
,则且,所以,由此可知,因此是直和,即有 证毕.
2、设W是P n的一个非零子空间，若对于W的每一个向量来说，或者，或者每一个都不等于零，证明：维(W)＝1.
证明：由W是Pn的一个非零子空间可知dim(W)≥1,所以只要证明dim(W)<2即可.
反证法。若有dim(W)≥2，则可设W的一组基为,其中k=dim(W)≥2.设,,则由题设知.令 ,但由线性无关可知，这与题设矛盾。所以必由dim(W)<2,证毕.