习题解答习题一
1-1 ｜｜与 有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试举例说明．
解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；
（2）是速度的模，即.
只是速度在径向上的分量.
∵有（式中叫做单位矢），则
式中就是速度径向上的分量，
∴不同如题1-1图所示,
题1-1图
(3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.
∵有表轨道节线方向单位矢），所以
式中就是加速度的切向分量.
(的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
1-2 设质点的运动方程为=()，=()，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝，然后根据 =，及＝而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
=及= 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有，
故它们的模即为
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在平面上运动，运动方程为
=3+5,=2+3-4.
式中以 s计，,以m计．(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算＝0 s时刻到＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算＝4 s 时质点的速度；(5)计算＝0s 到＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1）
(2)将,代入上式即有
(3)∵
∴
(4)
则
(5)∵
(6)
这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以(m·)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解,设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知
将上式对时间求导，得
题1-4图根据速度的定义，并注意到,是随减少的，
∴
即
或
将再对求导，即得船的加速度
1-5 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 ＝2+6，的单位为，的单位为 m,质点在＝0处，速度为10,试求质点在任何坐标处的速度值．
解,∵
分离变量,
两边积分得
由题知，时，,∴
∴
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 ＝4+3 ，开始运动时，＝5 m， =0，求该质点在＝10s 时的速度和位置．
解：∵
分离变量，得
积分，得
由题知，,,∴
故
又因为
分离变量,
积分得
由题知 ,,∴
故
所以时
1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3，式中以弧度计，以秒计，求：(1) ＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
解,
(1)时,
(2)当加速度方向与半径成角时，有
即
亦即
则解得
于是角位移为
1-8 质点沿半径为的圆周按＝的规律运动，式中为质点离圆周上某点的弧长,，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等于．
解：（1）
则
加速度与半径的夹角为
(2)由题意应有
即
∴当时，
1-9 半径为的轮子，以匀速沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点的运动方程为＝，＝，式中/是轮子滚动的角速度，当与水平线接触的瞬间开始计时．此时所在的位置为原点，轮子前进方向为轴正方向；(2)求点速度和加速度的分量表示式．
解：依题意作出下图，由图可知
题1-9图
(1)
(2)
1-10 以初速度＝20抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，
求：(1)球轨道最高点的曲率半径；(2)落地处的曲率半径．
(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-10图
(1)在最高点，
又∵
∴
(2)在落地点，
,
而
∴
1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β= 0.2 rad·，求＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当时，
则
1-12 如题1-12图，物体以相对的速度＝沿斜面滑动，为纵坐标，开始时在斜面顶端高为处，物体以匀速向右运动，求物滑到地面时的速度．
解：当滑至斜面底时，，则,物运动过程中又受到的牵连运动影响，因此，对地的速度为
题1-12图
1-13 一船以速率＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率＝40km·h-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
解：(1)大船看小艇，则有，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)
题1-13图由图可知
方向北偏西
(2)小船看大船，则有，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得
方向南偏东
1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m,如雨滴的速度大小为8 m·s-1，求轮船的速率．
解,依题意作出矢量图如题1-14所示．
题1-14图
∵
∴
由图中比例关系可知
1-1 ｜｜与 有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试举例说明．
解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；
（2）是速度的模，即.
只是速度在径向上的分量.
∵有（式中叫做单位矢），则
式中就是速度径向上的分量，
∴不同如题1-1图所示,
题1-1图
(3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.
∵有表轨道节线方向单位矢），所以
式中就是加速度的切向分量.
(的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
1-2 设质点的运动方程为=()，=()，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝，然后根据 =，及＝而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
=及= 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有，
故它们的模即为
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在平面上运动，运动方程为
=3+5,=2+3-4.
式中以 s计，,以m计．(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算＝0 s时刻到＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算＝4 s 时质点的速度；(5)计算＝0s 到＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1）
(2)将,代入上式即有
(3)∵
∴
(4)
则
(5)∵
(6)
这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以(m·)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解,设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知
将上式对时间求导，得
题1-4图根据速度的定义，并注意到,是随减少的，
∴
即
或
将再对求导，即得船的加速度
1-5 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 ＝2+6，的单位为，的单位为 m,质点在＝0处，速度为10,试求质点在任何坐标处的速度值．
解,∵
分离变量,
两边积分得
由题知，时，,∴
∴
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 ＝4+3 ，开始运动时，＝5 m， =0，求该质点在＝10s 时的速度和位置．
解：∵
分离变量，得
积分，得
由题知，,,∴
故
又因为
分离变量,
积分得
由题知 ,,∴
故
所以时
1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3，式中以弧度计，以秒计，求：(1) ＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
解,
(1)时,
(2)当加速度方向与半径成角时，有
即
亦即
则解得
于是角位移为
1-8 质点沿半径为的圆周按＝的规律运动，式中为质点离圆周上某点的弧长,，都是常量，求：(1)时刻质点的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等于．
解：（1）
则
加速度与半径的夹角为
(2)由题意应有
即
∴当时，
1-9 半径为的轮子，以匀速沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点的运动方程为＝，＝，式中/是轮子滚动的角速度，当与水平线接触的瞬间开始计时．此时所在的位置为原点，轮子前进方向为轴正方向；(2)求点速度和加速度的分量表示式．
解：依题意作出下图，由图可知
题1-9图
(1)
(2)
1-10 以初速度＝20抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，
求：(1)球轨道最高点的曲率半径；(2)落地处的曲率半径．
(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-10图
(1)在最高点，
又∵
∴
(2)在落地点，
,
而
∴
1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β= 0.2 rad·，求＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当时，
则
1-12 如题1-12图，物体以相对的速度＝沿斜面滑动，为纵坐标，开始时在斜面顶端高为处，物体以匀速向右运动，求物滑到地面时的速度．
解：当滑至斜面底时，，则,物运动过程中又受到的牵连运动影响，因此，对地的速度为
题1-12图
1-13 一船以速率＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率＝40km·h-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
解：(1)大船看小艇，则有，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)
题1-13图由图可知
方向北偏西
(2)小船看大船，则有，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得
方向南偏东
1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m,如雨滴的速度大小为8 m·s-1，求轮船的速率．
解,依题意作出矢量图如题1-14所示．
题1-14图
∵
∴
由图中比例关系可知
