习题十
10-1 一半径=10cm的圆形回路放在=0.8T的均匀磁场中．回路平面与垂直．当回路半径以恒定速率=80cm·s-1 收缩时，求回路中感应电动势的大小．
解,回路磁通
感应电动势大小
10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路，半径=5cm，如题10-2图所示．均匀磁场=80×10-3T，的方向与两半圆的公共直径(在轴上)垂直，且与两个半圆构成相等的角 当磁场在5ms内均匀降为零时，求回路中的感应电动势的大小及方向．
解,取半圆形法向为,题10-2图
则
同理，半圆形法向为，则
∵ 与夹角和与夹角相等，
∴
则
方向与相反，即顺时针方向．
题10-3图
*10-3 如题10-3图所示，一根导线弯成抛物线形状=，放在均匀磁场中．与平面垂直，细杆平行于轴并以加速度从抛物线的底部向开口处作平动．求距点为处时回路中产生的感应电动势．
解,计算抛物线与组成的面积内的磁通量
∴
∵
∴
则 实际方向沿．
题10-4图
10-4 如题10-4图所示，载有电流的长直导线附近，放一导体半圆环与长直导线共面，且端点的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为，环心与导线相距．设半圆环以速度平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及两端的电压 ．
解,作辅助线，则在回路中，沿方向运动时
∴
即
又∵
所以沿方向，
大小为
点电势高于点电势，即
题10-5图
10-5如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以的变化率增大，求：
(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量；
(2)线圈中的感应电动势．
解,以向外磁通为正则
(1)
(2)
10-6 如题10-6图所示，用一根硬导线弯成半径为的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为．求：感应电流的最大值．
题10-6图解,
∴
∴
10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长=0.06m，宽=0.04m，线圈以速度=0.03m·s-1垂直于直线平移远离．求：=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．
题10-7图
解,、运动速度方向与磁力线平行，不产生感应电动势,
产生电动势
产生电动势
∴回路中总感应电动势
方向沿顺时针．
10-8 长度为的金属杆以速率v在导电轨道上平行移动．已知导轨处于均匀磁场中，的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，的大小为=(为正常)．设=0时杆位于处，求：任一时刻导线回路中感应电动势的大小和方向．
解,
∴
即沿方向顺时针方向,
题10-8图
10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，的方向如题10-9图所示．取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时=0)．
解,如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时,；
题10-9图(a)题10-9图(b)
在磁场中时,；
出场时，，故曲线如题10-9图(b)所示.
题10-10图
10-10 导线长为，绕过点的垂直轴以匀角速转动，=磁感应强度平行于转轴，如图10-10所示．试求：
（1）两端的电势差；
（2）两端哪一点电势高?
解,(1)在上取一小段则
同理
∴
(2)∵ 即
∴点电势高,
题10-11图
10-11 如题10-11图所示，长度为的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并以速度平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流，两导线相距2．试求：金属杆两端的电势差及其方向．
解：在金属杆上取距左边直导线为，则
∵
∴实际上感应电动势方向从，即从图中从右向左，
∴
题10-12图
10-12 磁感应强度为的均匀磁场充满一半径为的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中位置，杆长为2，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向．
解,∵
∴
∵
∴ 即从
10-13 半径为R的直螺线管中，有＞0的磁场，一任意闭合导线，一部分在螺线管内绷直成弦，,两点与螺线管绝缘，如题10-13图所示．设 =，试求：闭合导线中的感应电动势．
解：如图，闭合导线内磁通量
∴
∵
∴，即感应电动势沿，逆时针方向．
题10-13图题10-14图
10-14 如题10-14图所示，在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体于直径位置，另一导体在一弦上，导体均与螺线管绝缘．当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示方向．试求：
（1）两端的电势差；
（2）两点电势高低的情况．
解,由知，此时以为中心沿逆时针方向,
(1)∵是直径，在上处处与垂直
∴
∴,有
(2)同理,
∴ 即
题10-15图
10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．求：线圈与导线间的互感系数．
解,设长直电流为，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为
∴
10-16 一矩形线圈长为=20cm，宽为=10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放在一无限长导线的旁边且与线圈共面．求：题10-16图中(a)和(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感．
解：(a)见题10-16图(a)，设长直电流为，它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为
∴
(b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通，见题10-16图(b)
∴
题10-16图题10-17图
10-17 两根平行长直导线，横截面的半径都是，中心相距为，两导线属于同一回路．设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为的一段自感为
In．
解,如图10-17图所示，取
则
∴
10-18 两线圈顺串联后总自感为1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4H．试求：它们之间的互感．
解,∵顺串时
反串联时
∴
10-19图
10-19 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示，共有N匝．试求：
(1)此螺线环的自感系数；
(2)若导线内通有电流，环内磁能为多少?
解：如题10-19图示
(1)通过横截面的磁通为
磁链
∴
(2)∵
∴
10-20 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为．求：导线内部单位长度上所储存的磁能．
解：在时
∴
取 (∵导线长)
则
10-1 一半径=10cm的圆形回路放在=0.8T的均匀磁场中．回路平面与垂直．当回路半径以恒定速率=80cm·s-1 收缩时，求回路中感应电动势的大小．
解,回路磁通
感应电动势大小
10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路，半径=5cm，如题10-2图所示．均匀磁场=80×10-3T，的方向与两半圆的公共直径(在轴上)垂直，且与两个半圆构成相等的角 当磁场在5ms内均匀降为零时，求回路中的感应电动势的大小及方向．
解,取半圆形法向为,题10-2图
则
同理，半圆形法向为，则
∵ 与夹角和与夹角相等，
∴
则
方向与相反，即顺时针方向．
题10-3图
*10-3 如题10-3图所示，一根导线弯成抛物线形状=，放在均匀磁场中．与平面垂直，细杆平行于轴并以加速度从抛物线的底部向开口处作平动．求距点为处时回路中产生的感应电动势．
解,计算抛物线与组成的面积内的磁通量
∴
∵
∴
则 实际方向沿．
题10-4图
10-4 如题10-4图所示，载有电流的长直导线附近，放一导体半圆环与长直导线共面，且端点的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为，环心与导线相距．设半圆环以速度平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及两端的电压 ．
解,作辅助线，则在回路中，沿方向运动时
∴
即
又∵
所以沿方向，
大小为
点电势高于点电势，即
题10-5图
10-5如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以的变化率增大，求：
(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量；
(2)线圈中的感应电动势．
解,以向外磁通为正则
(1)
(2)
10-6 如题10-6图所示，用一根硬导线弯成半径为的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为．求：感应电流的最大值．
题10-6图解,
∴
∴
10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长=0.06m，宽=0.04m，线圈以速度=0.03m·s-1垂直于直线平移远离．求：=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．
题10-7图
解,、运动速度方向与磁力线平行，不产生感应电动势,
产生电动势
产生电动势
∴回路中总感应电动势
方向沿顺时针．
10-8 长度为的金属杆以速率v在导电轨道上平行移动．已知导轨处于均匀磁场中，的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，的大小为=(为正常)．设=0时杆位于处，求：任一时刻导线回路中感应电动势的大小和方向．
解,
∴
即沿方向顺时针方向,
题10-8图
10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，的方向如题10-9图所示．取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时=0)．
解,如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时,；
题10-9图(a)题10-9图(b)
在磁场中时,；
出场时，，故曲线如题10-9图(b)所示.
题10-10图
10-10 导线长为，绕过点的垂直轴以匀角速转动，=磁感应强度平行于转轴，如图10-10所示．试求：
（1）两端的电势差；
（2）两端哪一点电势高?
解,(1)在上取一小段则
同理
∴
(2)∵ 即
∴点电势高,
题10-11图
10-11 如题10-11图所示，长度为的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并以速度平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流，两导线相距2．试求：金属杆两端的电势差及其方向．
解：在金属杆上取距左边直导线为，则
∵
∴实际上感应电动势方向从，即从图中从右向左，
∴
题10-12图
10-12 磁感应强度为的均匀磁场充满一半径为的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中位置，杆长为2，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向．
解,∵
∴
∵
∴ 即从
10-13 半径为R的直螺线管中，有＞0的磁场，一任意闭合导线，一部分在螺线管内绷直成弦，,两点与螺线管绝缘，如题10-13图所示．设 =，试求：闭合导线中的感应电动势．
解：如图，闭合导线内磁通量
∴
∵
∴，即感应电动势沿，逆时针方向．
题10-13图题10-14图
10-14 如题10-14图所示，在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体于直径位置，另一导体在一弦上，导体均与螺线管绝缘．当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示方向．试求：
（1）两端的电势差；
（2）两点电势高低的情况．
解,由知，此时以为中心沿逆时针方向,
(1)∵是直径，在上处处与垂直
∴
∴,有
(2)同理,
∴ 即
题10-15图
10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．求：线圈与导线间的互感系数．
解,设长直电流为，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为
∴
10-16 一矩形线圈长为=20cm，宽为=10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放在一无限长导线的旁边且与线圈共面．求：题10-16图中(a)和(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感．
解：(a)见题10-16图(a)，设长直电流为，它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为
∴
(b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通，见题10-16图(b)
∴
题10-16图题10-17图
10-17 两根平行长直导线，横截面的半径都是，中心相距为，两导线属于同一回路．设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为的一段自感为
In．
解,如图10-17图所示，取
则
∴
10-18 两线圈顺串联后总自感为1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4H．试求：它们之间的互感．
解,∵顺串时
反串联时
∴
10-19图
10-19 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示，共有N匝．试求：
(1)此螺线环的自感系数；
(2)若导线内通有电流，环内磁能为多少?
解：如题10-19图示
(1)通过横截面的磁通为
磁链
∴
(2)∵
∴
10-20 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为．求：导线内部单位长度上所储存的磁能．
解：在时
∴
取 (∵导线长)
则
