习题四
4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：
(1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．
题4-1图
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一,描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用,或者说，若一个系统的运动微分方程能用
描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中,各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点；而小球在运动中的回复力为，如题4-1图(b)所示．题 中所述，＜＜，故→0，所以回复力为.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
令，则有
4-2 劲度系数为和的两根弹簧，与质量为的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
题4-2图解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有，设串联弹簧的等效倔强系数为等效位移为，则有
又有
所以串联弹簧的等效倔强系数为
即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为
(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有，即，设并联弹簧的倔强系数为，则有
故
同上理，其振动周期为
4-3 如题4-3图所示，物体的质量为，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为，滑轮的转动惯量为，半径为．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
题4-3图
解：分别以物体和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为轴正向，则当重物偏离原点的坐标为时，有
①
②
③
式中，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有
令
则有
故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
4-4 质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?
(3)与两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为，则知：
又
(2)
当时，有，
即
∴
(3)
4-5 一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表示．如果时质点的状态分别是：
(1)；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)过处向负向运动；
(4)过处向正向运动．
试求出相应的初位相，并写出振动方程．
解：因为
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
4-6 一质量为的物体作谐振动，振幅为，周期为，当时位移为．求：
(1)时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；
(2)由起始位置运动到处所需的最短时间；
(3)在处物体的总能量．
解：由题已知
∴
又，时，
故振动方程为
(1)将代入得
方向指向坐标原点，即沿轴负向．
(2)由题知，时，，
时
∴
(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为的物体时，伸长为．用这个弹簧和一个质量为的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开后,给予向上的初速度，求振动周期和振动表达式．
解：由题知
而时， ( 设向上为正)
又
∴
4-8 图为两个谐振动的曲线，试分别写出其谐振动方程．
题4-8图解：由题4-8图(a)，∵时，
即
故
由题4-8图(b)∵时，
时，
又
∴
故
4-9 一轻弹簧的倔强系数为，其下端悬有一质量为的盘子．现有一质量为的物体从离盘底高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．
(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?
(2)此时的振动振幅多大?
(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．
解：(1)空盘的振动周期为，落下重物后振动周期为，即增大．
(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，时，则．碰撞时，以为一系统动量守恒，即
则有
于是
（3） (第三象限)，所以振动方程为
4-10 有一单摆，摆长，摆球质量，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量，取打击时刻为计时起点，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．
解：由动量定理，有
∴
按题设计时起点，并设向右为轴正向，则知时， ＞0
∴
又
∴
故其角振幅
小球的振动方程为
4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动的位相差为，已知第一振动的振幅为，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．
题4-11图
解：由题意可做出旋转矢量图如下．
由图知
∴
设角，则
即
即，这说明，与间夹角为，即二振动的位相差为.
4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
(1) (2)
解,(1)∵
∴合振幅
(2)∵
∴合振幅
4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。
解：∵
∴
∴
其振动方程为
(作图法略)
*4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知方向的振动方程为，求方向的振动方程．
题4-14图解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为或；又，轨道是按顺时针方向旋转，故知两分振动位相差为.所以方向的振动方程为
4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：
(1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．
题4-1图
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一,描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用,或者说，若一个系统的运动微分方程能用
描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中,各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点；而小球在运动中的回复力为，如题4-1图(b)所示．题 中所述，＜＜，故→0，所以回复力为.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
令，则有
4-2 劲度系数为和的两根弹簧，与质量为的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
题4-2图解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有，设串联弹簧的等效倔强系数为等效位移为，则有
又有
所以串联弹簧的等效倔强系数为
即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为
(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有，即，设并联弹簧的倔强系数为，则有
故
同上理，其振动周期为
4-3 如题4-3图所示，物体的质量为，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为，滑轮的转动惯量为，半径为．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
题4-3图
解：分别以物体和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为轴正向，则当重物偏离原点的坐标为时，有
①
②
③
式中，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有
令
则有
故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
4-4 质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?
(3)与两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为，则知：
又
(2)
当时，有，
即
∴
(3)
4-5 一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表示．如果时质点的状态分别是：
(1)；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)过处向负向运动；
(4)过处向正向运动．
试求出相应的初位相，并写出振动方程．
解：因为
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
4-6 一质量为的物体作谐振动，振幅为，周期为，当时位移为．求：
(1)时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；
(2)由起始位置运动到处所需的最短时间；
(3)在处物体的总能量．
解：由题已知
∴
又，时，
故振动方程为
(1)将代入得
方向指向坐标原点，即沿轴负向．
(2)由题知，时，，
时
∴
(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为的物体时，伸长为．用这个弹簧和一个质量为的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开后,给予向上的初速度，求振动周期和振动表达式．
解：由题知
而时， ( 设向上为正)
又
∴
4-8 图为两个谐振动的曲线，试分别写出其谐振动方程．
题4-8图解：由题4-8图(a)，∵时，
即
故
由题4-8图(b)∵时，
时，
又
∴
故
4-9 一轻弹簧的倔强系数为，其下端悬有一质量为的盘子．现有一质量为的物体从离盘底高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．
(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?
(2)此时的振动振幅多大?
(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．
解：(1)空盘的振动周期为，落下重物后振动周期为，即增大．
(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，时，则．碰撞时，以为一系统动量守恒，即
则有
于是
（3） (第三象限)，所以振动方程为
4-10 有一单摆，摆长，摆球质量，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量，取打击时刻为计时起点，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．
解：由动量定理，有
∴
按题设计时起点，并设向右为轴正向，则知时， ＞0
∴
又
∴
故其角振幅
小球的振动方程为
4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动的位相差为，已知第一振动的振幅为，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．
题4-11图
解：由题意可做出旋转矢量图如下．
由图知
∴
设角，则
即
即，这说明，与间夹角为，即二振动的位相差为.
4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
(1) (2)
解,(1)∵
∴合振幅
(2)∵
∴合振幅
4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。
解：∵
∴
∴
其振动方程为
(作图法略)
*4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知方向的振动方程为，求方向的振动方程．
题4-14图解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为或；又，轨道是按顺时针方向旋转，故知两分振动位相差为.所以方向的振动方程为
